Математические модели в биологии реферат

Обновлено: 05.07.2024

Математи́ческая моде́ль — это математическое представление реальности.
Математическое моделирование — это процесс построения и изучения математических моделей.
Все естественные и общественные науки, использующие математический аппарат, по сути занимаются математическим моделированием: заменяют объект его математической моделью и затем изучают последнюю. Связь математической модели с реальностью осуществляется с помощью цепочки гипотез, идеализаций и упрощений. С помощью математических методов описывается, как правило, идеальный объект, построенный на этапе содержательного моделирования.

Содержание

1)Определение математического моделирования.
2)Области применения математических методов
3)Математическая модель эпидемии
4)Система хищник-жертва
5) Модель Мальтуса
6) Методы оптимизации - моделирование процесса коррекции

Прикрепленные файлы: 1 файл

Документ Microsoft Word.doc

Государственное бюджетное образовательное учреждение

высшего профессионального образования

“Рязанский государственный медицинский университет

имени академика И.П.Павлова

и социального развития Российской федерации”

Кафедра математики и медицинской информатики

Математическое моделирование в биологии и медицине

Выполнил: студент 1 курса

34 группы Алешечкин Евгений

1)Определение математического моделирования.

2)Области применения математических методов

3)Математическая модель эпидемии

5) Модель Мальтуса

6) Методы оптимизации - моделирование процесса коррекции

1)Определение математического моделирования.

Математи́ческая моде́ль — это математическое представление реальности.

Математическое моделирование — это процесс построения и изучения математических моделей.

Все естественные и общественные науки, использующие математический аппарат, по сути занимаются математическим моделированием: заменяют объект его математической моделью и затем изучают последнюю. Связь математической модели с реальностью осуществляется с помощью цепочки гипотез, идеализаций и упрощений. С помощью математических методов описывается, как правило, идеальный объект, построенный на этапе содержательного моделирования.

Никакое определение не может в полном объёме охватить реально существующую деятельность по математическому моделированию. Несмотря на это, определения полезны тем, что в них делается попытка выделить наиболее существенные черты.

Определение модели по А. А. Ляпунову: Моделирование — это опосредованное практическое или теоретическое исследование объекта, при котором непосредственно изучается не сам интересующий нас объект, а некоторая вспомогательная искусственная или естественная система (модель):

находящаяся в некотором объективном соответствии с познаваемым объектом;ьспособная замещать его в определенных отношениях; дающая при её исследовании, в конечном счете, информацию о самом моделируемом объекте.

2)Области применения математических методов

Потребность в математическом описании появляется при любой попытке вести обсуждение в точных понятиях и даже если это касается таких сложных областей, как искусство и этика. Важен вопрос о том, в каких областях медицины применимы математические методы. Примером может служить область медицинской диагностики. Для постановки диагноза врач совместно с другими специалистами часто бывает вынужден учитывать самые разнообразные факты, опираясь отчасти на свой личный опыт, а отчасти на материалы, приводимые в многочисленных медицинских руководствах и журналах. Общее количество информации увеличивается со все возрастающей интенсивностью, и есть такие болезни, о которых уже столько написано, что один человек не в состоянии в точности изучить, оценить, объяснить и использовать всю имеющуюся информацию при постановке диагноза в каждом конкретном случае и тогда приходит на помощь математика, которая помогает структурировать материал. В тех случаях, когда задача содержит большое число существенных взаимозависимых факторов, каждый из которых в значительной мере подвержен естественной изменчивости, только с помощью правильно выбранного статистического метода можно точно описать, объяснить и углубленно исследовать всю совокупность взаимосвязанных результатов измерений. Если число факторов или важных результатов настолько велико, что человеческий разум не в состоянии их обработать даже при введении некоторых статистических упрощений, то обработка данных может быть произведена на электронной вычислительной машине.

3)Математическая модель эпидемии

Применение в медицине мы продемонстрируем на примере простейшей математической модели эпидемии. В модели описывается распространение инфекционного заболевания в изолированной популяции. Особи популяции делятся на три класса. Инфицированный класс численностью x(t) (t — время) состоит из инфицированных (заболевших) особей, каждая из этих особей заразна (предполагается, что инкубационный период заболевания пренебрежимо короток). Второй класс численностью y(t) составляют восприимчивые особи, т. е. особи, которые могут заразиться при контакте с инфицированными особями. И, наконец, третий класс состоит из невосприимчивых особей (приобретших иммунитет или погибших в результате заболевания). Его численность обозначается z(t). Предполагается также, что общая численность популяции n постоянна (т. е. не учитываются рождения, естественные смерти и миграция). Две гипотезы, лежащие в основе модели таковы: 14 1) заболеваемость в момент времени t равна x(t)y(t) (эта гипотеза основывается на правдоподобном предположении, что число заболевающих пропорционально числу встреч между больными и восприимчивыми особями, которое в свою очередь в первом приближении пропорционально x(t)y(t)); таким образом численность класса x растет, а численность класса y убывает со скоростью ax(t)y(t) (a > 0); 2) численность становящихся невосприимчивыми особей (приобретших иммунитет или погибших) растет со скоростью, пропорциональной численности заболевших, т. е. со скоростью bx(t) (b > 0).

В результате мы получаем систему уравнения

В силу этой задачи, как легко видеть, траектории системы x¢ и

y¢ меют вид, изображенный на рисунке

Допустим, что на некоторой территории обитают два вида животных: кролики (питающиеся растениями) и лисы (питающиеся кроликами). Пусть число кроликов , число лис . Используя модель Мальтуса с необходимыми поправками, учитывающими поедание кроликов лисами, приходим к следующей системе, носящей имя модели Лотки — Вольтерра:

Эта система имеет равновесное состояние, когда число кроликов и лис постоянно. Отклонение от этого состояния приводит к колебаниям численности кроликов и лис, аналогичным колебаниям гармонического осциллятора. Как и в случае гармонического осциллятора, это поведение не является структурно устойчивым: малое изменение модели (например, учитывающее ограниченность ресурсов, необходимых кроликам) может привести к качественному изменению поведения. Например, равновесное состояние может стать устойчивым, и колебания численности будут затухать. Возможна и противоположная ситуация, когда любое малое отклонение от положения равновесия приведет к катастрофическим последствиям, вплоть до полного вымирания одного из видов. На вопрос о том, какой из этих сценариев реализуется, модель Вольтерра — Лотки ответа не дает: здесь требуются дополнительные исследования.

5) Модель Мальтуса

Скорость роста пропорциональна текущему размеру популяции. Она описывается дифференциальным уравнением

Где — некоторый параметр, определяемый разностью между рождаемостью и смертностью. Решением этого уравнения является экспоненциальная функция . Если рождаемость превосходит смертность ( ), размер популяции неограниченно и очень быстро возрастает. Понятно, что в действительности этого не может происходить из-за ограниченности ресурсов. При достижении некоторого критического объёма популяции модель перестает быть адекватной, поскольку не учитывает ограниченность ресурсов. Уточнением модели Мальтуса может служить логистическая модель, которая описывается дифференциальным уравнением Ферхюльста

6) Методы оптимизации - моделирование процесса коррекции

деформации позвоночника аппаратом внешней фиксации довременная травматология и ортопедия широко используют устройства механического воздействия при лечении различного рода травм и патологий. В частности для коррекции деформаций позвоночника внедрён аппарат внешней фиксации, конструкция которого обладает высокой степенью статической неопределимости. Моделирование (от лат. modulus — мера, образец) — процесс создания оделей, схем, знаковых или реальных аналогов, отражающих существенные войства более сложных объектов (прототипов). Служит исследовательским инструментарием для изучения отдельных аспектов и свойств прототипа. Выбор математической модели оптимизации того или иного процесса предполагает учёт целого спектра составляющих параметров, способны оказывать влияние на качественные стороны рассматриваемого процесса. Строить математическую модель необходимо с использованием данных распределении усилий коррекции, напряжении в опасных сечениях, усилиях озникающих со стороны внешних связей – сегментов позвоночника. В астности существует методика получения зависимости между изменениями ормы искривлённого позвоночника и действием изгибающего момента Вега сечениях. В качестве целевой функции оптимизации перевода аппаратаиз одного пространственного положения в другое принято время совершения роцесса. Необходимо выявить ограничения по прочности, исходномупараметру деформации, рабочему диапазону усилий коррекции, изменениюпараметра деформации в ходе коррекции. Под результатами оптимизации подразумеваются величины усилийкоррекции, при которых значение целевой функции изменения времени вусловиях поставленных ограничений минимально (рис 1).

9Рис. 1. Блок-схема оптимизации процесса перевода аппарата из одногопространственного положения в другое 1 2 3 4 5 F , F , F , F , F - усилия коррекции, (H); L – величина деформации.Таким образом, математическоемоделирование процесса измененияпространственного положения аппарата внешней фиксации позвоночникапозволяет выявить режимы работы конструкции, при которыхобеспечиваемое механическое воздействие способно значительно сократитьсроки коррекции деформированного позвоночника.

1. Алатов Д. В. Получение зависимости между изменениями формы

искривлённого позвоночника и действием изгибающего момента в его

сечениях / Д. В. Алатов // Сб. науч. статей аспирантов КГУ. – Курган, 2003.

По мере развития химии до ее современного уровня в ней сложились четыре совокупности подходов к решению основной задачи. Развитие этих подходов обусловило формирование четырех концептуальных систем химических знаний.

Концептуальные подходы к решению основной проблемы химии, появлялись последовательно.

Первоначально свойства веществ связывались исключительно с их составом (в этом суть учения о составе). На этом уровне развития содержание химии исчерпывалось ее традиционным, менделеевским определением - как науки о химических элементах и их соединениях.

Затем было развито учение о химических процессах. В рамках этой концепции с помощью методов физической кинетики и термодинамики были выявлены факторы, влияющие на направленность и скорость протекания химических превращений и на их результат. Химия вскрыла механизмы управления реакциями и предложила способы изменения свойств получаемых веществ.

Последний этап концептуального развития химии связан с использованием в ней некоторых принципов, реализованных в химизме живой природы. В рамках эволюционной химии осуществляется поиск таких условий, при которых в процессе химических превращений идет самосовершенствование катализаторов реакций. По существу речь идет об изучении и применении самоорганизации химических систем, происходящих в клетках живых организмов.

Каждая новая концептуальная ступень в развитии химии, означает не отрицание подходов, использовавшихся ранее, а опору на них как на основание. Все показанные на схеме концептуальные системы используются не порознь, а во взаимосвязи. Последовательное дополнение химии названными концептуальными системами составляет логику развития этой науки.

2. Концептуальные уровни в биологии

2.1 Особенности биологического уровня организации материи.

2.1.1 ПРЕДМЕТ БИОЛОГИИ. ЕЕ СТРУКТУРА И ЭТАПЫ РАЗВИТИЯ

Определение предмета биологии на первый взгляд кажется довольно простым.

Биология - это наука о живом, его строении, формах активности, сообществах живых организмов, их распространении и развитии, связях друг с другом и с неживой природой.

В настоящее время биология представляет собой целый комплекс наук о живой природе. Структуру его можно рассматривать с разных точек зрения.

- По объектам исследования биология подразделяется на вирусологию, бактериологию, ботанику, зоологию, антропологию.

- По свойствам, проявлениям живого в биологии выделяются:

морфология - наука о строении живых организмов;

физиология - наука о функционировании организмов;

молекулярная биология, изучающая микроструктуру живых тканей и клеток;

экология, рассматривающая образ жизни растений и животных и их взаимосвязи с окружающей средой;

генетика, исследующая законы наследственности и изменчивости.

-По уровню организации исследуемых живых объектов выделяются:

анатомия, изучающая макроскопическое строение животных:

гистология, изучающая строение тканей;

цитология исследующая строение живых клеток.

В развитии биологии выделяют три основных этапа:

1) систематики (К. Линней),

2) эволюционный (Ч. Дарвин),

3) биологии микромира (Г. Мендель).

Каждый из них связан с изменением представлений о мире живого, самих основ биологического мышления, со сменой биологических парадигм.

2.1.2. Свойства живых организмов.

Определение сущности живого.

живой организм - это тело, слагаемое из живых объектов;

неживое тело - слагаемое из неживых объектов.

Это означает, что дать точное определение жизни весьма непросто. Современная биология при описании живого идет по пути перечисления основных свойств живых организмов. При этом подчеркивается, что только совокупность данных свойств может дать представление о специфике жизни.

К числу свойств живого обычно относят следующие.

- Живые организмы характеризуются сложной, упорядоченной структурой. Уровень их организации значительно выше, чем в неживых системах.

- Живые организмы получают энергию из окружающей среды, используя ее на поддержание своей высокой упорядоченности. Большая часть организмов прямо или косвенно использует солнечную энергию.

- Живые организмы активно реагируют на окружающую среду. Если толкнуть камень, то он пассивно сдвигается с места. Если толкнуть животное, оно отреагирует активно: убежит, нападет или изменит форму.

Способность реагировать на внешние раздражения - универсальное свойство всех живых существ, как растений, так и животных.

- Живые организмы не только изменяются, но и усложняются. Так, у растения или животного появляются новые ветви или новые органы, отличающиеся по своему химическому составу от породивших их структур.

- Все живое размножается. Эта способность к самовоспроизведению, пожалуй, самая поразительная способность живых организмов. Причем потомство и похоже, и в то же время чем-то отличается от родителей. В этом проявляется действие механизмов наследственности и изменчивости, определяющих эволюцию всех видов живой природы.

- Сходство потомства с родителями обусловлено еще одной замечательной особенностью живых организмов - передавать потомкам заложенную в них информацию, необходимую для жизни, развития и размножения. Эта информация содержится в генах - единицах наследственности, мельчайших внутриклеточных структурах.

Генетический материал определяет направление развития организма. Вот почему потомки похожи на родителей. Однако эта информация в процессе передачи несколько видоизменяется, искажается. В связи с этим потомки не только похожи на родителей, но и отличаются от них.

-- Живые организмы хорошо приспособлены к среде обитания и соответствуют своему образу жизни. Строение крота, рыбы, лягушки, дождевого червя полностью соответствует условиям, в которых они живут.

Обобщая и несколько упрощая сказанное о специфике живого, можно отметить, что все живые организмы питаются, дышат, растут, размножаются и распространяются в природе, а неживые тела не питаются, не дышат, не растут и не размножаются.

Из совокупности этих признаков вытекает следующее обобщенное определение сущности живого:

жизнь есть форма существования сложных, открытых систем, способных к самоорганизации и самовоспроизведению.

Важнейшими функциональными веществами этих систем являются белки и нуклеиновые кислоты.

2.2. Структурные уровни живого.

Структурный, или системный, анализ обнаруживает, что мир живого чрезвычайно многообразен, имеет сложную структуру. На основе разных критериев могут быть выделены различные уровни, или подсистемы, живого мира. Наиболее распространенным является выделение на основе критерия масштабности следующих уровней организации живого.

- Уровень биогеоценозов выражает следующую ступень структуры живого, состоящую из участков Земли с определенным составом живых и неживых компонентов, представляющих единый природный комплекс, экосистему. Рациональное использование природы невозможно без знания структуры и функционирования биогеоценозов, или экосистем.

- Популяционно-видовой уровень образуется свободно скрещивающимися между собой особями одного и того же вида. Его изучение важно для выявления факторов, влияющих на численность популяций. А затем на этой основе можно будет поддерживать оптимальную численность популяций. Этот уровень также чрезвычайно важен для исследования путей исторического развития живого, его эволюции.

- Организменный и органо-тканевый уровни отражают признаки отдельных особей, их строение, физиологию, поведение, а также строение и функции органов и тканей живых существ.

- Клеточный и субклеточный уровни отражают процессы специализации клеток, а также различные внутриклеточные включения.

- Молекулярный уровень составляет предмет молекулярной биологии, одной из важнейших проблем которой является изучение механизмов передачи генной информации и развитие генной инженерии и биотехнологии.

2.3. Клеточная теория. Строение и функции клетки

Создание клеточной теории, основы которой были заложены немецкими учеными Т. Шванном и М.Я.Шлейденом, стало одним из крупнейших достижений биологии XIX в. Основное положение клеточной теории состоит в утверждении, что все растительные и животные организмы состоят из клеток, сходных по своему строению.

Многочисленные исследования в области цитологии - новой биологической науки, специально занимающейся исследованием живой клетки, показали, что все клетки имеют некоторые общие свойства не только в строении, но и в функциях. Так, клетки осуществляют обмен веществ, способны к саморегуляции своего состояния, могут передавать наследственную информацию.

Вместе с тем выяснилось, что клетки весьма многообразны. Они могут существовать как одноклеточные организмы (амебы), а также в составе многоклеточных. У клеток разный срок существования. Жизненный цикл любой клетки завершается или делением и продолжением жизни, но уже в обновленном виде, или гибелью.

Клетки образуют ткани (нервная, мышечная и т.д.), а несколько типов тканей - органы (сердце, легкие и пр.). Группы органов, связанные с решением каких-то общих задач, называют системами организма.

Клетка имеет сложную структуру. Она обособляется от внешней среды оболочкой, которая, будучи неплотной и рыхлой, обеспечивает взаимодействие клетки с внешним миром, обмен с ним веществом, энергией, информацией. Обмен веществ, обеспечиваемый клетками, - важнейшее свойство всего живого.

Это свойство в биологической литературе называют метаболизмом клеток.

Метаболизм в свою очередь служит основой для другого (важнейшего свойства клетки - сохранения стабильности, устойчивости условий внутренней среды клетки. Это свойство клеток, присущее всей живой системе, называют гомеостазом.

Гомеостаз, т.е. постоянство состава клетки, поддерживается обменом веществ, или метаболизмом.

Но кто же в клетке обеспечивает управление всем этим сложным многоступенчатым процессом? Но общепризнано, что все нити управления внутриклеточным обменом находятся в особых структурах, как правило, в ядре клетки, в очень длинных цепях молекул нуклеиновых кислот (ДНК, РНК), исходной структурной единицей которых является ген. Это своего рода природное кибернетическое устройство, содержащее инструкцию, информацию, коды, определяющие характер всей деятельности клетки как по обмену веществ, так и по самовоспроизведению. Именно гены обеспечивают важнейшие метаболические и наследственные функции клетки, как и всего организма в целом.

Открытие в XX в. структуры и функционирования генетического аппарата клетки в развитии биологии сыграло такую же роль, как и открытие атомного ядра в физике. Если открытие ядра позволило человеку овладеть практически неисчерпаемыми запасами энергии, то открытие генов дало возможность людям вмешиваться в свойства живой клетки, управлять механизмами наследственности, практически решать задачи клонирования (копирования) живых организмов.

3. МОДЕЛИРОВАНИЕ КАК КАТЕГОРИЯ. МОДЕЛИ В БИОЛОГИИ.

3.1. Понятие моделирования.

Моделирование - это исследование объектов познания на их моделях ; построение и изучение моделей реально существующих предметов и явлений (живых и неживых систем, инженерных конструкций, разнообразных процессов - физических, химических, биологических и др.) и конструируемых объектов (для определения, уточнения их характеристик, рационализации способов построения).

Моделирование - познавательный прием, одна из форм отражения. Моделирование характеризует один из важных путей познания. Возможность моделирования, т.е. переноса результатов, полученных в ходе построения и исследования моделей, на оригинал, основана на том, что модель в определенном смысле отображает (воспроизводит, моделирует) какие-либо его черты. При этом такое отображение основано на понятиях изоморфизма и гомоморфизма между изучаемым объектом и некоторым другим объектом-оригиналом и часто осуществляется путем предварительного исследования (теоретического или экспериментального) того и другого. Поэтому для успешного моделирования необходимо наличие уже сложившихся теорий исследуемых явлений, или хотя бы обоснованных гипотез, указывающих предельно допустимые при построении моделей упрощения. Результативность моделирования значительно возрастает, если при построении модели и переносе результатов с модели на оригинал, можно воспользоваться некоторой теорией, уточняющей связанную с используемой процедурой моделирования, идею подобия.

Для явлений одной и той же физической природы такая теория, основанная на понятии размерности физических величин, хорошо разработана. Но для моделирования сложных систем и процессов, например, биологических, используется теория больших систем, модели сложных динамических систем живой природы.

3.2. Понятие модели

3.3. Модели в биологии

Применяются для моделирования биологических структур, функций и процессов на разных уровнях организации живого: молекулярном, субклеточном, клеточном, органно-системном, организменном и популяционно-биоценотическом. Возможно также моделирование различных биологических феноменов, а также условий жизнедеятельности отдельных особей, популяций, экосистем.

В биологии применяются в основном три вида моделей: биологические, физико-химические и математические (логико-математические).

Б и о л о г и ч е с к и е модели воспроизводят на лабораторных животных определенные состояния или заболевания, встречающиеся у животных или у человека. Это позволяет изучать в эксперименте механизмы возникновения данного состояния или заболевания, его течение и исход, воздействовать на его протекание. Примеры таких моделей - искусственно вызванные генетические нарушения, инфекционные процесс, интоксикации, воспроизведение гипертонических и гипоксических состояний, злокачественных новообразований, гиперфункции или гипофункции некоторых органов, а также неврозы и эмоциональные состояния. Для создания биологических моделей применяют различные способы воздействия на генетический аппарат, заражение микробами, введение токсинов, удаление отдельных органов или ведение продуктов их жизнедеятельности (например, гормонов), различные воздействия на центральную и периферическую нервную систему, исключение из пищи тех или иных веществ, помещение в искусственно создаваемую среду обитания и многие другие способы. Биологические модели широко используются в генетике, физиологии, фармакологии.

Позднее более сложные модели, основанные на гораздо более глубоком количественном подобии, строились на принципах электротехники и электроники. так, на основе данных электрофизиологических исследований были построены электронные схемы, моделирующие биоэлектрические потенциалы в нервной клетке, ее отростке и синапсе. Построены также механические машины с электронным управлением, моделирующие сложные действия поведения. Однако, такие модели сильно упрощают явления, наблюдаемые в организме, и имеют большее значение для бионики, чем для биологии.

Значительно большие успехи достигнуты в моделировании физико-химических условий существования живых организмов, их органов и клеток. Так, подобраны растворы неорганических и органических веществ (растворы Рингера, Локка, Тироде и др.), имитирующие внутреннюю среду организма и поддерживающие существование изолированных органов или культивируемых внутри организма клеток.

Модели биологических мембран (пленка из природных фосфолипидов разделяет раствор электролита) позволяют исследовать физико-химические основы процессов транспорта ионов и влияние на него различных факторов. С помощью химических реакций, протекающих в растворах в автоколебательном режиме, моделируют колебательные процессы, характерные для многих биологических феноменов -дифференцировки, морфогенеза, явлений в сложных нейронных сетях и т.д.

В настоящее время в области математического моделирования биообъектов и биосистем сложились работают следующие научные школы: Научно-исследовательский институт новых медицинских технологий Минздрава РФ, Тульский государственный университет, Институт математики НАН Украины. Разработаны: универсальный метод моделирования физиологических систем человека в норме и патологии на основе вычисления рекуррентных рядов; аппарат дифференциальных форм (внешней алгебры) применен для решения задач биоэнергоинформационного обмена и гемодинамики; для формирования алгоритмов моделирования процессов мышления и внутриорганного биоинформационного обмена, базирующихся на солитонном механизме волновой передачи, разработан метод решения канонических уравнений и др.

Список используемой литературы

2. Проблемы развития химии под ред. Г.А. Фединой, - Ленинград, 1989 год

3. Концепции современного естествознания: учебник для вузов, под ред. А.П. Садохина, из-во Эксмо, – Москва, 2006 год.

4. Концепции современного естествознания. Хрестоматия для студентов гуманитарных ВУЗОВ, Высшая школа, изд-во Астрель, АСТ, 2004 год.

Современное развитие науки характеризуется потребностью сложного изучения всевозможных сложных процессов и явлений — физических, химических, биологических, экономических, социальных и других. Происходит значительное увеличение темпов математизации и расширение ее области действия. Применение математического моделирование настолько широко и применяется в других науках, казалось бы совершенно далеких от математики — лингвистике, юриспруденции и рассмотренной нами в данной статье биологии.

Если известна скорость роста популяции v(t), то мы можем найти прирост численности популяции за промежуток времени от t₀ до Т. В самом деле из определения v(t) следует, что эта функция является производной от численности популяции N(t) в момент t, и, следовательно, численность популяции N(t) является первообразной для v(t). Поэтому

(1)

(2).

По формуле, подобной (2), подсчитывают, в частности численность культивируемых грибков, выделяющих пенициллин.

Рассмотрим микробиологическую задачу. Установим закон изменения со временем (t) численности бактерий (N), помещенных в питательную среду.

Для составления дифференциального уравнения, отражающего существование бактерий в этих условиях, необходим некоторый факт, который следует записать в математической форме. На основании экспериментальных данных и общих соображений таким фактом может служить утверждение: “скорость размножения бактерий (математически) пропорциональна их числу (N) в данный момент времени”.

Таким образом, необходимое дифференциальное уравнение имеет вид:

(3)

где k — доступный экспериментальному определению коэффициент пропорциональности, зависящий от вида бактерий и параметров среды их обитания. Дополнительные данные, необходимые для решения задачи следуют из начального условия: при t=0, N= , т. е. в начальный момент времени количество бактерий считается известным и равным .

Для решения уравнения (3) произведем разделение переменных и последующее интегрирование:

(4)

Произвольную постоянную в уравнении (4) удобно представить в виде lnС. Из начального условия: C=.

Решая логарифмическое уравнение (4) с учетом начального условия, получим искомый закон изменения числа бактерий со временем:

. (5)

Произведем некоторый анализ результата. В чем его сиюминутная практическая полезность и возможные более отдаленные выводы?

1) Зная коэффициент k и начальное число бактерий , легко определить их число в любой момент времени t.

2) Прирост бактериальной массы определяется через коэффициент k условиями среды обитания бактерий. Чем больше значение k, тем быстрее увеличивается число бактерий

Если существуют факторы, препятствующие размножению бактерий (повышенная температура, ионизирующие излучения и др.), то коэффициент k в формулах (4) — (5) уменьшается и может принять отрицательное значение — в этом случае будет наблюдаться гибель бактерий.

Рассмотрим пример решения данного типа задач: Выращена популяция бактерий численностью . Внезапно начинается гибель бактерий, причем за первую минуту число погибших бактерий составило

.Определить, за какое время погибнет вся популяция, если известно, что скорость гибели пропорциональна численности популяции.

Изменение численности популяции N запишем дифференциальным уравнением

; ;; lnN=-kt+lnC

N=; C=

Найдем k: K=

По условию за 1 минуту погибло бактерий, значит K=0,01

Время гибели t=ln

Считая нижней границей популяции значение N = 1, окончательно получаем

t=ln=100*ln=600*ln10≈1382минуты≈23часа

Получили решение биологической задачи путем составления математической модели и применения интегрального исчисления.

1. Акимова И. В., Ермолаева Е. И. Использование специальных программных средств в математическом моделировании// В мире научных открытий. 2012. № 5.4. С. 85–96.

2. Ермолаева Е. И. Математическое моделирование физических процессов в теории вероятностей// Актуальные проблемы гуманитарных и естественных наук. 2010. № 10. С. 13–15.

3. Крымская Ю. А., Титова Е. И., Ячинова С. Н. Построение математических моделей в прикладных задачах// Молодой ученый. 2013. № 12 (59). С. 3–6.

Основные термины (генерируются автоматически): начальное условие, популяция, численность популяции, время, гибель бактерий, дифференциальное уравнение, питательная среда, скорость роста, скорость роста популяции.

Модели в биологии

Моделирование биологических систем представляет собой процесс создания моделей биологических систем с характерными для них свойствами. Объектом моделирования может быть любая из биологических систем.

В биологии применяется моделирование биологических структур, функций и процессов на молекулярном, субклеточном, клеточном, органно-системном, организменном и популяционно-биоценотическом уровнях организации живых организмов. Применяется моделирование также к разным биологическим феноменам, условиям жизнедеятельности отдельных особей, популяций, экосистем.

Биологические системы – это очень сложные структурно-функциональные единицы.

Используется компьютерное и наглядное моделирование биологических компонентов. Примеров таких биологических моделей огромное количество. Приведем некоторые примеры биологических моделей:

Готовые работы на аналогичную тему

Основные виды моделей в биологии

Биологические модели на лабораторных животных воспроизводят определенные состояния или заболевания, которые встречаются у животных или человека. Их использование позволяет изучать при проведении экспериментов механизмы возникновения данного состояния или заболевания, его протекание и исход, воздействовать на его протекание. Примерами биологических моделей являются искусственно вызванные генетические нарушения, инфекционный процесс, интоксикация, воспроизведение гипертонических и гипоксических состояний, злокачественных новообразований, гиперфункция или гипофункция некоторых органов, неврозы и эмоциональные состояния.

Для создания биологических моделей воздействуют на генетический аппарат, применяется заражение микробами, вводят токсины, удаляют отдельные органы и т.д. Физико-химические модели воспроизводят с помощью химических или физических средств биологические структуры, функции или процессы и, обычно, они представляют собой далекое подобие биологического явления, которое моделируется.

Значительные успехи были достигнуты в создании моделей физико-химических условий существования живых организмов, их органов и клеток. Например, подобраны растворы неорганических и органических веществ (растворы Рингера, Локка, Тироде и др.), которые имитируют внутреннюю среду организма и поддерживают существование изолированных органов или культивируемых клеток внутри организма.

Моделирование биологических мембран позволяет выполнять исследование физико-химических основ процессов транспортировки ионов и влияния на него разных факторов. С помощью химических реакций, которые протекают в растворах в автоколебательном режиме, моделируются характерные для многих биологических феноменов колебательные процессы.

Математические модели (описание структуры, связей и закономерностей функционирования живых систем) построены на основе данных эксперимента или представляют собой формализованное описание гипотезы, теории или открытой закономерности какого-либо биологического феномена и для них необходима дальнейшая опытная проверка. Разные варианты таких экспериментов определяют границы использования математических моделей и представляют материал для ее дальнейшего корректирования. Испытание математической модели биологического явления на персональном компьютере дает возможность предвидеть характер изменения исследуемого биологического процесса в условиях, которые трудно воспроизвести с помощью эксперимента.

Математические модели дают возможность предсказать в отдельных случаях некоторые явления, которые были ранее неизвестны исследователю. Например, модель сердечной деятельности, которую предложили голландские ученые ван дер Пол и ван дер Марк, основанная на теории релаксационных колебаний, показала возможность особого нарушения сердечного ритма, которое впоследствии обнаружили у человека. Математической моделью физиологических явлений является также модель возбуждения нервного волокна, которая была разработана английскими учеными А. Ходжкином и А. Хаксли. Существуют логико-математические модели взаимодействия нейронов, построенные на основе теории нервных сетей, которые были разработаны американскими учеными У. Мак-Каллоком и У. Питсом.

Читайте также:

Математические модели в биологии реферат

Содержание

Прикрепленные файлы: 1 файл

Документ Microsoft Word.doc

Похожие статьи

О математических моделях симбиоза | Статья в журнале.

Математическая модель конкуренции двух популяций на.

Математическая модель логистической популяции на линейном.

Математическая модель популяции, подверженной промыслу

Математическая модель одиночной популяции на билокальном.

Математическая модель технологического процесса обогащения.

Математическая модель хищник-жертва на линейном ареале