Математические механизмы принятия решений реферат

Обновлено: 07.07.2024

Принятие решения по многим критериям (многокритериальная оптимизация)

В экономических задачах основными критериями служат экономическая эффективность и стоимость при этом каждый из этих критериев может быть подразделен на более частные критерии.

Если исходы оцениваются по m критериям, где m > 1, то такая задача принятия решения называется многокритериальной.

Основная сложность логического анализа многокритериальных задач: эффект несравнимости исходов.

Математическая модель ЗПР при многих критериях может быть представлена в виде (D; f1,…,fm), где D- некоторое множество допустимых исходов, f1 — числовая функция, заданная на множестве D, при этом f1 (a) — оценка исхода a по j- му критерию.

Критерий fjназывается позитивным, если принимающий решение стремится к его увеличению, и негативным, если он стремится к его уменьшению.

В многокритериальной ЗПР с позитивными критериями цель принимающего решение: получение исхода, имеющего как можно более высокие оценки по каждому критерию.

Для всякого исхода a є D набор его оценок по всем критериям, т.е. (f1 (a),…,fm (a)) есть векторная оценка исхода a. Векторная оценка исхода содержит полную информацию о ценности этого исхода для принимающего решение и сравнение любых исходов заменяется сравнением их векторных оценок.

Основное отношение, по которому производится сравнение векторных оценок — это отношение доминирования по Парето.

Определение: говорят, что векторная оценка y = (y1,…,ym) доминирует по Парето векторную оценку y´= (y1´,…,ym´), если каждого j =1,…,m выполняется неравенство y ≥ y´, причем, по крайней мере, для одного индекса неравенство должно быть строгим.

Определение: векторная оценка y* называется Парето-оптимальной в некотором множестве векторных оценок, если она является максимальным элементом этого множества относительно Парето-доминирования (т.е. если в этом множестве не существует такой векторной оценки, которая доминирует по Парето векторную оценку y*).

Перенесём теперь эти понятия на исходы.

Определение: говорят, что исход a1 доминирует по Парето исход a2, если векторная оценка исхода a1 доминирует векторную оценку исхода a2.

Определение: исход a*є D называется Парето-оптимальным исходом в множестве D, если он не доминирует по Парето никаким другим исходом их множества D (т.е. если векторная оценка исхода a* является Парето-оптимальной в множестве векторных оценок).

Парето-оптимальность исхода a* означает, что он не может быть улучшен ни по одному из критериев без ухудшения по какому-нибудь другому критерию.

Общая методика исследования ЗПР на основе математического моделирования может быть реализована в рамках одного из следующих подходов.

Первый подход. Для заданной многокритериальной ЗПР находится множество Парето — оптимальных исходов. А выбор конкретного оптимального исхода из этого множества предоставляется принимающему решение.

Второй подход. Производится сужение множества Парето-оптимальных исходов с помощью формальных процедур, что облегчает окончательный выбор исхода для принимающего решения.

Рассмотрим некоторые простейщие способы сужения Парето-оптимального множества.

Указание нижних границ критериев.

Дополнительная информация об оптимальном исходе a*є Dв этом случае имеет следующий вид fj (a*) ≥yjj =1,…,m

При указании нижних границ критериев оптимальным может считаться только такой Парето-оптимальный исход, для которого оценка по каждому из критериев j =1,…,mне ниже назначенной оценки fj. Таким образом, происходит сужение Парето-оптимального множества за счет условия. Окончательный выбор Парето-оптимального исхода производится из суженного Парето-оптимального множества принимающего решение.

Основной недостаток состоит в том, что оптимальное решение становится субъективным, так как зависит от величины назначенных границ критериев и от окончательного выбора, совершаемого принимающим решение.

Субоптимизацию производят следующим способом: выделяют один из критериев, а по всем остальным критериям назначают нижние границы. Оптимальным при этом считается исход, максимизирующий выделенный критерий на множестве исходов, оценки которых по остальным критериям не ниже назначенных.

Всякие задачи принятия решения является:

Альтернативы (варианты, планы, допустимые альтернативы)

Оптимальные решения (Наилучшие решения)

Математическая модель ЗПР включает в себя формальное описание этих компонентов.

X — множество допустимых альтернатив

A — множество возможных исходов

В математической модели ЗПР: а) реализационная структура

б) целевая структура.

Реализационная структура устанавливает связь между альтернативами и исходами. Следует иметь в виду, что в общем случае выбор той или иной альтернативы не определяет получающий исход: он зависит также от других факторов. Чаще всего связь между альтернативой и исходом устанавливается с помощью среды и введением дополнительной компоненты Y- множество всех состояниях среды. Среда это то, что при выбранной альтернативе определяет однозначно результат.

Определение: Функция реализация это отображение каждой пары вида (x,y) єX,Y.

где x альтернатива (xєX)

y состояние среды (yєY)

отображение каждого вида ставит в соответствии её исход.

По характеру организационной структуры все задачи делятся на три вида:

1. Принятие решений в условиях определенности характеризуется тем, что принимающий решение знает состояние среды.

2. Принятие решений в условиях неопределенности характеризуется тем, что принимающий решение не знает состояние среды, но знает множество всех сред.

3. Принятие решений несет информацию о вероятных появлений тех или иных состояний среды, тогда говорят что принятие решений происходит в условиях риска.

Целевая структура ЗПР дает оценку исходов с точки зрения принимающего решения. Эта оценка представляет функция: φ: A→ΙR каждому исходу ставится число в соответствии оценки с точки зрения принимающего решения. В экономике в качестве оценки выступает прибыль, доход, но не всегда. Время выполнение какого-нибудь проекта, доля рынка завоевание фирмой.

Компонента φ ·Fесть функция которая каждой паре вида (x,y) ставит в соответствии число-оценку исхода F (x,y).

Компонента действует последовательно!

φ ·F (x,y) = φ (F (x,y)) — есть число, которое является оценкой ситуации (x,y).

Принятие решений в условиях определенности.

При принятие решений в условиях определенности состояние среды известно, поэтому мы его исключаем из вопроса. Оценочная функция задается сразу на множестве их допустимых альтернатив и представляет собой числовое значение: f׃ x→R

f (x) Оценка альтернативы x (с точки зрения принимающего решение)

оценка альтернативы есть некоторый критерий, который может быть позитивным и негативным.

Позитивный критерий такой, каким мы хотим увеличить, а негативный наоборот, уменьшить. Принцип оптимальности алтернативы называется оптимальной если она максимизирует позитивный критерий (или миминизирует негативный).

x*єx ↔f (x*) =maxf (x) позитивный критерий

f (x*) =minf (x) негативный критерий

Учет неопределенных пассивных условий

Неопределенные факторы, закон распределения которых неизвестен, являются наиболее характерными при исследовании качества адаптивных систем. Именно на этот случай следует ориентироваться при выборе гибких конструкторских решений. Методический учет таких факторов базируется на формировании специальных критериев, на основе которых принимаются решения. Критерии Вальда, Сэвиджа, Гурвица и Лапласа уже давно и прочно вошли в теорию принятия решений.

Правило выбора решения в соответствии с критерием Вальда можно интерпретировать следующим образом: матрица решений [Wir ] дополняется еще одним столбцом из наименьших результатов Wir каждой строки. Выбрать надлежит тот вариант, в строке которого стоит наибольшее значение Wir этого столбца.

Выбранное таким образом решение полностью исключает риск. Это означает, что принимающий решение не может столкнуться с худшим результатом, чем тот, на который он ориентируется. Какие бы условия Vj не встретились, соответствующий результат не может оказаться ниже W. Это свойство заставляет считать критерий Вальда одним из фундаментальных. Поэтому в технических задачах он применяется чаще всего как сознательно, так и неосознанно. Однако в практических ситуациях излишний пессимизм этого критерия может оказаться очень невыгодным.

Применение этого критерия может быть оправдано, если ситуация, в которой принимается решение, характеризуется следующими обстоятельствами:

о вероятности появления состояния Vj ничего не известно;

с появлением состояния Vj необходимо считаться;

реализуется лишь малое количество решений;

не допускается никакой риск.

Критерий Байеса-Лапласа в отличие от критерия Вальда, учитывает каждое из возможных следствий всех вариантов решений:

Соответствующее правило выбора можно интерпретировать следующим образом: матрица решений [Wij ] дополняется еще одним столбцом, содержащим математическое ожидание значений каждой из строк. Выбирается тот вариант, в строках которого стоит наибольшее значение Wir этого столбца.

Критерий Байеса-Лапласа предъявляет к ситуации, в которой принимается решение, следующие требования:

вероятность появления состояния Vj известна и не зависит от времени;

принятое решение теоретически допускает бесконечно большое количество реализаций;

допускается некоторый риск при малых числах реализаций.

В соответствии с критерием Сэвиджа в качестве оптимальной выбирается такая стратегия, при которой величина риска принимает наименьшее значение в самой неблагополучной ситуации:

Здесь величину W можно трактовать как максимальный дополнительный выигрыш, который достигается, если в состоянии Vj вместо варианта Ui выбрать другой, оптимальный для этого внешнего состояния, вариант.

Соответствующее критерию Сэвиджа правило выбора следующее: каждый элемент матрицы решений [Wij ] вычитается из наибольшего результата max Wij соответствующего столбца. Разности образуют матрицу остатков. Эта матрица пополняется столбцом наибольших разностей Wir. Выбирается тот вариант, в строке которого стоит наименьшее значение.

Согласно критерию Гурвица выбирается такая стратегия, которая занимает некоторое промежуточное положение между крайним пессимизмом и оптимизмом:

где r — коэффициент пессимизма, выбираемый в интервале [0,1].

Правило выбора согласно этому критерию следующее: матрица решений [Wij ] дополняется столбцом, содержащим средние взвешенные наименьшего и наибольшего результатов для каждой строки. Выбирается тот вариант, в строках которого стоят наибольшие элементы Wir этого столбца.

При r = 1 критерий Гурвица превращается в критерий Вальда (пессимиста), а при r = 0 — в критерий азартного игрока. Отсюда ясно, какое значение имеет весовой множитель r. В технических приложениях правильно выбрать этот множитель бывает так же трудно, как правильно выбрать критерий. Поэтому чаще всего весовой множитель r = 0.5 принимается в качестве средней точки зрения.

Критерий Гурвица предъявляет к ситуации, в которой принимается решение, следующие требования:

о вероятности появления состояния Vj ничего не известно;

с появлением состояния Vj необходимо считаться;

реализуется лишь малое количество решений;

допускается некоторый риск.

Критерий Ходжа-Лемана базируется одновременно на критериях Вальда и Байеса-Лапласа:

Правило выбора, соответствующее этому критерию, формулируется следующим образом: матрица решений [Wij ] дополняется столбцом, составленным из средних взвешенных (с постоянными весами) математического ожидания и наименьшего результата каждой строки. Отбирается тот вариант решения, в строке которого стоит наибольшее значение этого столбца.

При z=1 критерий преобразуется в критерий Байеса-Лапласа, а при z=0 превращается в критерий Вальда. Таким образом, выбор параметра z подвержен влиянию субъективизма. Кроме того, без внимания остается и число реализаций. Поэтому этот критерий редко применяется при принятии технических решений.

Критерий Ходжа-Лемана предъявляет к ситуации, в которой принимается решение, следующие требования:

о вероятности появления состояния Vj ничего не известно, но некоторые предположения о распределении вероятностей возможны;

принятое решение теоретически допускает бесконечно большое количество реализаций;

допускается некоторый риск при малых числах реализаций.

Общие рекомендаций по выбору того или иного критерия дать затруднительно. Однако отметим следующее: если в отдельных ситуациях не допустим даже минимальный риск, то следует применять критерий Вальда; если определенный риск вполне приемлем, то можно воспользоваться критерием Сэвиджа. Можно рекомендовать одновременно применять поочередно различные критерии. После этого среди нескольких вариантов, отобранных таким образом в качестве оптимальных, приходится волевым решением выделять некоторое окончательное решение.

Такой подход позволяет, во-первых, лучше проникнуть во все внутренние связи проблемы принятия решений и, во-вторых, ослабляет влияние

субъективного фактора. Кроме того, в области технических задач различные критерии часто приводят к одному результату.

Критерий наиболее вероятного исхода.

Этот критерий предполагает замену случайной ситуации детерминированной путем замены случайной величины прибыли (или затрат) единственным значением, имеющим наибольшую вероятность реализации. Использование данного критерия, также как и в предыдущем случае в значительной степени опирается на опыт и интуицию. При этом необходимо учитывать два обстоятельства, затрудняющие применение этого критерия:

критерий нельзя использовать, если наибольшая вероятность события недопустимо мала;

применение критерия невозможно, если несколько значений вероятностей возможного исхода равны между собой.

Найти оптимальный вариант электростанции по критериям Лапласа, Вальда, Гурвица с показателями 0,8 и 0,3 и Сэвиджа по заданной таблице эффективностей:

В1 В2 В3 В4 Критерий Вальда Крит. Лапласа Критерий Гурвица
А1 10 8 4 11 4 8,25 5,4 8,9
А2 9 9 5 10 5 8,25 6 8,5
А3 8 10 3 14 3 8,75 5,2 10,7
А4 7 7 8 12 7 8,5 8 10,5
10 10 8 14

Вывод: по критерию Лапласа оптимальным решением являет выбор 3 типа электростанции.

Критерий Вальда: по критерию Вальда оптимальным решением является выбор 4 типа электростанции.

Н (1) =0,8*4+ (1-0,8) *11=5,4

Н (2) =0,8*5+ (1-0,8) *10=6

Н (3) =0,8*3+ (1-0,8) *14=5,2

Н (4) =0,8*7+ (1-0,8) *12=8

Н (1) =0,3*4+ (1-0,3) *11=8,9

Н (2) =0,3*5+ (1-0,3) *10=8,5

Н (3) =0,3*3+ (1-0,3) *14=10,7

Н (4) =0,3*7+ (1-0,3) *12=10,5

Вывод: по критерию Гурвица оптимальным решением является выбор 3 и 4 типа электростанции.

В1 В2 В3 В4 Критерий Сэвиджа
А1 2 4 3 4
А2 1 1 3 4 4
А3 2 5 0 5
А4 3 3 2 3

Вывод: по критерию Сэвиджа оптимальным решением является выбор 4 типа электростанции.

Ответ: оптимальное решение — выбор 4 электростанции.

Найти оптимальное решение задачи о бурении нефтяной скважины по критерию математического ожидания с учетом результата эксперимента:

Состояние скважины Тип грунта
Открытый Замкнутый
С 50 2
М 8 10
Б 12 28

Таблица результатов сейсморазведок

С М Б
Х -50 30 250
Х

Х1 — бурить; Х2 — не бурить.

Р (С) =0,52; Р (М) =0,18; Р (Б) =0,4

Состояние скважины Тип грунта Всего
Открытый Замкнутый
С 50 2 52
М 8 10 18
Б 12 28 40
Всего 70 40 110

Построенное дерево определяет игру руководителей группы с природой. Найдем вероятность каждого хода.

Р0(С) =Р (С∩О) /Р (О) =0,5/0,7=0,71

Р0(М) =Р (М∩О) /Р (О) =0,08/0,7=0,11

Р0(Б) =Р (Б∩О) /Р (О) =0,12/0,7=0,17

Р3 (С) =Р (С∩З) /Р (З) =0,02/0,4=0,05

Р3 (М) =Р (М∩З) /Р (З) =0,1/0,4=0,25

Р3 (Б) =Р (Б∩З) /Р (З) =0,28/0,4=0,7

а=а1 *р1 +а2 *р2 +а3 *р3

При выборе квартиры в качестве существенных признаков взяты: Р1 — метраж (м2 ), Р2 — время поездки на работу (мин), Р3 — время поездки в зону отдыха (мин).

а) найти варианты, оптимальные по Парето;

б) найти единственный оптимальный вариант методом субоптимизации, назначив верхние границы по критериям Р1 и Р2 .

Р1 Р2 Р3
1 45 30 20
2 60 40 30
3 42 20 10
4 45 30 15
5 48 45 25

а) варианты, оптимальные по Парето: 1>4

б) р1 — не менее 45

р2 — не более 30

Вывод: оптимальным вариантом при выборе квартиры является 4 вариант.

Ответ: вариант 4

Заключение

Список используемой литературы

6. Андреев В.Н., Герасимов Ю.Ю. Принятие оптимальных решений: Теория и применение в лесном деле. Йоэнсуу: Из-во ун-та Йоэнсуу, 1999.200 с.

7. Моисеев Н.Н., Математические методы системного анализа М. Наука 1981 487 с.

8. Е.С. Вентцель Исследование операций. Задачи, принципы, методология. М. Наука 1988 206 с.

Читайте также: