Логарифмы в природе реферат

Обновлено: 02.07.2024

Изобретение логарифмов Ж. Кондорсе для упрощения арифметических операций и их историческое значение. Явление логарифмической спирали и понятие о золотом сечении. Биологические примеры функционирования логарифма в ухе и его психологическая трансформация.

Рубрика	Математика
Вид	реферат
Язык	русский
Дата добавления	20.10.2012
Размер файла	148,6 K

Студенты, аспиранты, молодые ученые, использующие базу знаний в своей учебе и работе, будут вам очень благодарны.

Гениальное изобретение логарифмов, упрощая арифметические операции, облегчает все применения вычисления к реальным предметам и, таким образом, расширяет сферу всех наук, в которых эти численные применения, частные случаи искомой истины являют с одним из способов сравнения с фактами результатов гипотезы или теории и путём этого сравнения позволяют дойти до открытия законов природы. В самом деле, в математике протяженность и усложнение чисто практических вычислений имеют предел, который ни время, ни даже силы не позволяют переходить, и без помощи этих удачных сокращений время отметило бы границы самой науки и предел, который усилия гения не могли бы преодолеть.

Ж. КОНДОРСЕ. ИЗ ИСТОРИИ ЛОГАРИФМОВ

В течение XVI в. резко возрос объём работы, связанный с проведением приближенных вычислений в ходе решения разных задач, и в первую очередь задач астрономии, имеющей непосредственное практическое применение (в частности, при определении положения судов по звёздам и по Солнцу). Наибольшие проблемы возникали, как нетрудно понять, при выполнении операций умножения и деления.

Попытки частичного упрощения этих операций путём сведения их к сложению большого успеха не приносили. Поэтому открытие логарифмов, сводящее умножение и деление чисел к сложению и вычитанию их логарифмов, удлинило, по выражению Лапласа, жизнь вычислителей.

Логарифмы необычайно быстро вошли в практику. Изобретатели логарифмов не ограничились разработкой новой теории. Было создано практическое средство - таблицы логарифмов, - резко повысившее производительность труда вычислителей. А уже через девять лет (1623 г.) английский математик Д. Гунтер изобрёл первую логарифмическую линейку, ставшую рабочим инструментом для многих поколений пока на её место не пришла электронная вычислительная техника.

Самолёт, вылетевший из какой - нибудь точки земного шара на север, через некоторое время окажется над Северным полюсом. Если же он полетит на восток, то, облетев параллель, вернётся в тот же пункт, из которого вылетел. Предположим теперь, что самолёт будет лететь, пересекая все меридианы под одним и тем же углом, отличным от прямого, т. е. держась, всё время одного и того же курса. Когда он облетит земной шар, то попадёт в точку, имеющую ту же долготу, что и точка вылета, но расположенную ближе к Северному полюсу. После следующего облёта он окажется ещё ближе к полюсу и, продолжая лететь указанным образом, будет описывать вокруг полюса сужающуюся спираль.

Уравнение этой спирали r=ae kv ,где r - расстояние от произвольной точки М на спирали до выбранной точки О, v - угол между лучом ОМ и выбранным лучом Ох, a и k -постоянные. Решая его, получу ln e kv = ln r/a , kv = ln r/a,

Так как это уравнение связано с логарифмической функцией, то вычисленную по этой формуле спираль называют логарифмической.

В математике особо распространены три вида спирали:

а) архимедова спираль, б) гиперболическая спираль, в) логарифмическая спираль. Рассмотрю более подробно логарифмическую спираль. Логарифмическую спираль является траекторией точки, которая движется вдоль равномерно вращающейся прямой, удаляясь от полюса со скоростью, пропорциональной пройденному расстоянию. Если выражаться точнее, то в логарифмической спирали углу поворота пропорционально не само расстояние от полюса до точки кривой, а логарифм этого расстояния. Эта спираль пересекает все прямые, проходящие через полюс, под одним и тем же углом.

Точки, делящие стороны прямоугольников в среднем и крайнем отношении, лежат на логарифмической спирали, закручивающейся внутрь. Полюс спирали лежит на пересечении пунктирных диагоналей.

ЛОГАРИФМ И БИОЛОГИЯ

Логарифмическая спираль - единственный тип спирали, не меняющей своей формы при увеличении размеров. Это свойство объясняет, почему логарифмическая спираль так часто встречается в природе.

Живые существа обычно растут, сохраняя общее очертание своей формы. При этом они растут чаще всего во всех направлениях - взрослое существо и выше и толще детёныша. Но раковины морских животных могут расти лишь в одном направлении. Чтобы не слишком вытягиваться в длину, им приходиться скручиваться, причём каждый следующий виток подобен предыдущему. Например, по мере роста моллюска Nautilus раковина его, разделённая внутренними перегородками, увеличивается в своих размерах, закручиваясь по логарифмической спирали. При этом домик его не меняет формы: если центральную часть раковины посмотрим под микроскопом, увидим в точности такую же спираль, какая получилась бы, если бы раковина выросла до размеров галактики, и мы разглядывали бы её с большого расстояния. Очертания, выраженные логарифмической спиралью, имеют не только раковины многих моллюсков, улиток, а также рога таких млекопитающих, как архары, в подсолнухе семечки расположены по дугам, также близким к логарифмической спирали, и т. д. По логарифмической спирали формируется и тело циклона. Можно сказать, что спираль является математическим символом соотношения форм роста. Великий немецкий поэт Иоганн Вольфганг Гёте считал её даже математическим символом жизни и духовного развития.

ЛОГАРИФМ И В УХЕ

Начну с описания уха. Оно по своему устройству напоминает музыкальный инструмент. От ушной раковины идёт наружный слуховой проход, имеющий форму воронки

Схема строения уха:1-наружныйслуховой проход, 2- барабанная перепонка,

3 - плоскость среднего уха, 4 - молоточек, 5 - наковальня, 6 -

Слуховой проход служит резонатором, собственная частота которого близка к 3000гц.

В так называемом среднем ухе помещаются три мелкие косточки - молоточек, наковальня и стремечко. Они преобразуют колебания воздуха в колебания жидкости, находящейся в лабиринте внутреннего уха. Мне даже кажется, первые две косточки это отдельные части фортепиано. Ведь во время игры звук возникает при ударах молоточков по струнам. Далее, рассматривая устройство уха, можно заметить орган, который называется улиткой. Она представляет собой спирально закрученную трубку, образованную из 2,5 витка.

ЗВЁЗДЫ, ШУМ И ЛОГАРИФМЫ

Этот заголовок связывает столь, казалось бы, несоединимые вещи. Шум и звёзды объединяются здесь потому, что громкость шума и яркость звёзд оцениваются одинаковым образом - по логарифмической шкале.

По логарифмической спирали закручена Галактика, которой принадлежит Солнечная система.

Одно из наиболее важных понятий акустики - тон, представляющий собой непосредственное восприятие колебаний, возникающих при звучании струны, человеческого голоса или других источников звука.

Сила звука - это количество звуковой энергии, проходящей через единицу поверхности в единицу времени. Это физическая величина не выражает величины нашего звукового ощущения - громкости. Если будем слушать звуки различных частот, но одинаковой силы, то они покажутся нам отличающимися по громкости. Такое явление объясняется разной чувствительностью нашего уха к звукам различной частоты.

Проведу эксперимент: буду увеличивать силу, какого - нибудь звука в 2, 3, 4 раза и вижу, что моё звуковое ощущение не увеличивается во столько же раз. Оказывается, в 1846 году физиолог Вебер установил зависимость между ощущением и раздражением, вызывающим это ощущение. Им было доказано отношение прироста раздражения к его первоначальной величине всегда остаётся постоянным. Названное отношение можно выразить в процентах.

В дальнейшем (в 1860г.) уже другой учёный - Фехнер подверг закон Вебера математической обработке. По результатам исследования был сформулирован общий психофизический закон Вебера - Фехнера, согласно которому ощущение изменяется пропорционально логарифму раздражения:

S =k lg(J/J 0),

логарифм ухо психологический биологический

где S -ощущение, J 0 - первоначальное раздражение, J - последующее раздражение, k - коэффициент пропорциональности.

Единица измерения децибел используется в звуковой технике.

Связано это с тем, что мы реагируем не на абсолютные, а на относительные изменения уровня какого-либо воздействия, в том числе и звукового.

Если сила звука (интенсивность, I, Вт/м2) изменится в 10 раз, то субъективное ощущение громкости -- всего лишь на одну ступеньку, при 100-кратном увеличении силы звука -- на две (lg100 = 2), при 1000-кратном -- на три (lg1000 = 3). Поэтому увеличение или уменьшение силы звука принято измерять в логарифмических единицах и каждое десятикратное изменение силы звука оценивается единицей, называемой Бел (Б). На практике используется в основном единица, равная десятой части Бела - децибел .

Значение в децибелах равно десяти десятичным логарифмам отношения интенсивностей двух сигналов.

ЛОГАРИФМ И ПСИХОЛОГИЯ

Работая над темой, я раскрыла для себя много интересного, полезного и этим поделилась с Вами.

1. Азевич А.И. Двадцать уроков гармонии. - М.: Интеллектцентр, 1998, - 112с.

2. Брадис В.М. Четырёхзначные математические таблицы. - М.: Интеллектцентр, 1998, - 94с.

3. Берман В.П. Внеклассная работа по математике в училищах. - М.: Интеллектцентр, 1978, - 165с.

4. Воронцов Б.А. Астрономия. - М.: Просвещение, 1987, - 224с.

5. Гарднер Мартин. Математические головоломки и развлечения. - М.: Интеллектцентр, 1971, - 154с.

6. Зенкевич И.Г. Эстетика урока математики. - М.: Просвещение, 1981, - 154с.

7. Колмогоров А.Н. Алгебра и начала анализа. - М.: Просвещение, 1993, - 240с.

8. Лиман М.М. Школьникам о математике и математиках. - М.: Просвещение, 1981, - 130с.

9. Пышкало А.М. Учебно-наглядные пособия по математике. - М.: Просвещение, 1968, - 147с.

10. Угринович Н.Д. Практикум по информатике и информационным технологиям. - М.: Просвещение, 2005, - 165с.

Подобные документы

презентация [687,4 K], добавлен 01.03.2012

Общая терминология и история изобретения логарифма. Характеристики натурального и обычного логарифма, определение дробного числа и мантиссы. Таблицы и свойства натуральных логарифмов. Логарифмическая и экспоненциальная кривая, понятие функции логарифма.

реферат [211,2 K], добавлен 05.12.2011

Понятие логарифма как числа, применение которого позволяет упростить многие сложные операции арифметики. Введение логарифмов математиками Дж. Непером и Иостом Бюрги. Логарифмические свойства и тождества. Различие таблиц натуральных и обычных лагорифмов.

презентация [370,0 K], добавлен 26.11.2012

Краткие биографические данные от Джоне Непере - шотландском математике, изобретателе логарифмов и замечательного вычислительного инструмента - таблицы логарифмов. Математические заслуги Брадиса; его Таблицы. Изобретение первой логарифмической линейки.

презентация [5,3 M], добавлен 30.10.2013

Шотландский барон Джон Непер как первый изобретатель логарифмов. Пропорции Непера для логарифмирования. Применение логарифмов Кеплером в Марбурге в 1624-1625 гг. Таблица положительных, отрицательных степеней числа 2. Гиперболические логарифмы, применение.

доклад [120,5 K], добавлен 24.12.2011

История открытия логарифмов. Определение логарифма. Натуральные, десятичные, двоичные логарифмы и их применение в теории информации и информатике. Логарифмические функции и их графики. Логарифмическая спираль. Риманова поверхность. Свойства функции.

презентация [316,0 K], добавлен 20.02.2011

Характерные особенности логарифмов, их свойства. Методика определения логарифма числа по основанию a. Основные свойства логарифмической функции. Множество всех действительных чисел R. Анализ функций возрастания и убывания на всей области определения.

Логарифмы и степени в окружающем нас мире

Автор работы награжден дипломом победителя II степени

Текст работы размещён без изображений и формул.
Полная версия работы доступна во вкладке "Файлы работы" в формате PDF

Мы предположили, что понятия логарифмов, показательной и логарифмической функций встречаются в архитектуре, биологии, географии, банковском деле и при расчетах в производстве. И чтобы это доказать, решили рассмотреть их в каждой названной области.

Цель: Изучить понятие логарифмов, показательной и логарифмической функций, показать теоретическое и практическое значение данных понятий и широкое использование их в различных областях жизни.

Задачи: Ввести понятие логарифмов, узнать значение и историю термина; рассмотреть понятие логарифмической спирали и ее применение в таких областях как биология и архитектура; изучить применение логарифмов в географии и понять, что нужно учитывать при строительстве городов.

Основные понятия

Логарифм - показатель степени, в которую надо возвести число, называемое основанием, чтобы получить данное число.

Логарифмом числа b по основанию а называется показатель степени, в которую нужно возвести а, чтобы получить b.

Архитектура-искусство создавать здания и сооружения по законам красоты.

История возникновения логарифмов

Логарифмы возникли в 16 веке в связи с необходимостью проведения большого объема приближенных вычислений в ходе решения практических задач.

Близкое к современному понимание логарифмирования, как операции, обратной возведению в степень, впервые появилось у Джона Валлиса и Иоганна Бернулли, а окончательно было узаконено Эйлером (рис. 2) в XVIII веке.

Логарифмическая спираль

Р яд явлений природы помогает описать именно логарифмическая зависимость. Иначе говоря, математики, пытаясь составить математическую модель того или иного явления, достаточно часто обращаются именно к логарифмической функции. Одним из наиболее наглядных примеров такого обращения является логарифмическая спираль.

Логарифмическая спираль - плоская кривая, описываемая точкой, движущейся по прямой, которая вращается около одной из своих точек О (полюса логарифмической спирали) так, что логарифм расстояния движущейся точки от полюса изменяется пропорционально углу поворота (приложение 1). Логарифмическая спираль пересекает под постоянным углом все прямые, выходящие из полюса (рис. 3).

Логарифмическая спираль остается неизменной при преобразовании подобия и других различных преобразованиях. Неизменность спирали при преобразовании подобия является основой любопытного явления, состоящего в том, что если лист бумаги с изображенной на нем логарифмической спиралью быстро поворачивать вокруг полюса по ходу часовой стрелки или против часовой стрелки, то можно наблюдать кажущееся увеличение или уменьшение спирали (приложение 2).

Логарифмическая и “золотая” спирали

Золотая спираль - частный случай логарифмической спирали, коэффициент роста которой равен φ, где φ — число золотого сечения равное 1,618. В любой точке развития Золотой спирали, отношение длины дуги к ее диаметру равно 1.618. На изображении представлена “золотая” спираль. В прошлом году мы рассматривали эту спираль и знаем, что она строится из плавного

с оединения дугой противоположных углов квадратов, сторона которых равна наименьшей стороне данного “золотого” прямоугольника.

Так, например, нам дан прямоугольник, стороны которого находятся в золотой пропорции: АВ/ВС=0,618.

Е сли мы отсечем квадрат АВС1D1 , соединим его противоположные углы плавной дугой и аналогичные действия проведем с последующими образовавшимися “золотыми” прямоугольниками, только меньших размеров, то в результате получим “золотую” спираль. Таким образом, мы видим на рисунке 4, что “золотая” спираль вписана в подобные квадраты.

Логарифмическая спираль, имея постоянную, равномерную скорость разворачивания, описывает и вписывает прямоугольники с одинаковой одной стороной, равной шагу спирали (рис.5).

Сплошной линией - “золотая”, более вытянутая за счет коэффициента роста спирали.

Логарифмы в природе

Особенности логарифмической спирали поражали не только математиков. Ее свойства удивляют и биологов, которые считают именно эту спираль своего рода стандартом биологических объектов самой разной природы.

Н апример, раковины морских животных могут расти лишь в одном направлении. Чтобы не слишком вытягиваться в длину, им приходится скручиваться, причем каждый следующий виток подобен предыдущему. А такой рост может совершаться лишь по логарифмической спирали или ее аналогиям. Поэтому раковины многих моллюсков, улиток, закручены по логарифмической спирали, что можно увидеть на рисунке 7.

Галактики и различные природные явления, такие как штормы и ураганы, дают впечатляющие примеры логарифмических спиралей: на рисунке 8 изображена галактика Водоворот, которая представляет собой форму двух логарифмических спиралей, направленных в разные стороны, а на рисунке 9 мы видим область низкого давления над Исландией, сформированную по логарифмической спирали.

В растительном мире примеры еще более бросаются в глаза, потому что у растения может быть бесконечное число спиралей, а не только одна спираль у каждого. Например, если мы посмотрим сверху на любую сосновую шишку, то увидим, что ее семена располагаются в виде большого числа спиралей (Рис. 10). И это неслучайно. Семена расположены оптимально, т.е. максимально используют пространство, и эта оптимизация пространства достигается за счет расположения по спирали.

Красным и голубым цветом показаны логарифмических спирали, которые можно проследить в росте семян; зелёным - часть логарифмической спирали-дуга, которую явно видно в расположении семян по краям.

Применение в географии

Рассмотрев примеры роста некоторых растений по спирали, можно понять, как оптимально использовать пространство. Это свойство можно применять для строительства городов, тем самым придавая нестандартные формы микрорайонам, где могут находиться здания в виде логарифмической спирали или крыши зданий, спроектированные в виде спиралей, и максимально использовать пространство, что немаловажно в наше время.

М ы выявили, что оптимальным способом строить город, чтобы использовать полностью заданное пространство, является строительство по двойной логарифмической спирали, представленное на рисунке 11.

Белые линии — это дороги с двусторонним движением, используемые как обычные улицы для перемещения по городу. Черные линии - это четырехполосные дороги с двусторонним движением, которые будут использоваться для быстрого перемещения между центром и окраинами города. Голубым цветом обозначены двухполосные дороги с двусторонним движением, которые будут разделять город на районы. Примером города с элементами логарифмической спирали может служить самая красивая и современная столица Казахстана – Нурсултан (Астана), которая представляет нам интересные архитектурные сооружения, например:

Объект Всемирной Выставки EXPO2017, спроектированный в нестандартной форме логарифмической спирали. Одна из задач выставки - создание территории, которая в дальнейшем будет использоваться городом. В центре выставки располагается павильон Казахстана, а далее по логарифмической спирали павильоны других стран, которые представляют свои новейшие технологии (рис. 12). Некоторые из павильонов также спроектированы по логарифмической спирали, например, павильон, посвященный экологии, изображенный на рисунке 13.

Для планирования развития городов, других населённых пунктов, строительства жилья, дорог, не достаточно обладать знаниями о том, как оптимально использовать пространство, еще и необходимо проводить демографические расчёты – прогнозы на 5, 10, 20 лет вперёд. Покажем, как в таких расчётах применяются показательная функция и логарифмы.

Задача 1. Население города Кемерово от 1 января 2017 года за один год увеличилось с 556920 до 558973 человек. Через сколько лет население города увеличится в 1,5раза?

Решение. Для решения этой задачи применим формулу сложных процентов: Примем население города, которое было, за а=556920, тогда А=558973-это население, которое стало, х-неизвестное.
(ежегодный прирост).
Подставив это значение, получим 556920∙1,5=556920(1+0,4/100) x .

Чтобы решить это показательное уравнение, прологарифмируем его: xlg1,004=lg1,5, откуда x=lg1,5/lg1,004.

Найдя по таблице lg1,5 и lg1,004, получим x=0,18/0,002≈90.
Ответ: примерно через 90 лет население г. Кемерово увеличится в 1,5 раза

Изобразим графически состояние численности населения города Кемерово (диаграмма 1) и ежегодный прирост (график 1) за последние 8 лет.

(Диаграмма 1) (График 1)

Обратим внимание на столбец 2011 года диаграммы 1. Население в этот год составляло 532717. Эти данные нам позднее понадобятся.

Сравним на сколько точно статистические данные совпадают с математическими расчетами на примере следующей задачи:

Задача 2. Какова была численность населения города 7 лет тому назад, если в настоящее время в городе проживает 558973 человек, а ежегодный прирост населения составляет 0.68%? (среднее значение за последние 7 лет)

Решение. Численность населения изменяется по формуле сложных процентов: . В нашей задаче А=558973-население города на данный момент, , x = 7 лет, а- численность населения 7 лет тому назад. Тогда подставив численные значения, получим . Упростим 558973=1,0068 7 , откуда ≈533075.

Ответ: 533075 численность населения города 7 лет тому назад.

Полученное значение и есть количество населения в 2011г. Сравним ответ со статистическими данными, на период 2011 года население составляло 532717 и заметим, что ответы схожи, но имеют небольшое расхождение из-за приблизительного ежегодного прироста.

Логарифмическая спираль в архитектуре

Свойства логарифмической спирали можно использовать и в архитектуре. Узнав об интересном сооружение в Москве - Шуховской башне, мы решили познакомиться поближе с ее архитектором Владимиром Шуховым и обнаружили, что он первым в мире создал гиперболоидные конструкции. Гиперболоидные конструкции – это сетчатые металлические структуры, в основе которых лежит незамкнутая поверхность, образуемая вращением гиперболы вокруг ее оси, тем самым создавая подобие логарифмической спирали в пространстве.

Рассмотрим гиперболоид вращения (рис.14), заметим, что его нижняя часть напоминает нам логарифмическую спираль в пространстве (рис.15).

Также рассмотрим конус, изображенный на рисунке 16a. Площадь его сечения увеличивается сверху вниз по логарифмическому закону. То же самое происходит и в архитектурных сооружениях, чтобы нагрузка от собственной массы была равномерной по всей длине. Данная прямая на плоскости выглядит

как коническая винтовая линия (рис.16б), а если посмотреть на нее сверху, то мы увидим уже знакомую нам логарифмическую спираль (рис.16с).

Рассмотрим одну из работ Владимира Шухова:

1. Шуховская башня в Москве — металлическая радио и телебашня, памятник архитектуры советского конструктивизма, построенная в 1920—1922 годах.

Планируемая высота новой башни из 9 гиперболических секций составляла 350 метров (на 15 метров выше Эйфелевой башни, которая принималась во внимание при создании плана) при расчетной массе в 2200 тонн (Эйфелева весит 7300 тонн), сравнение мы можем видеть на рисунке 17. Однако в условиях Г ражданской войны и нехватки ресурсов проект пришлось пересмотреть: высота была уменьшена до 148,5 метра, а масса составила 240 тонн. Новый проект был одобрен лично Ленин. Конструкция этой башни напоминает логарифмическую спираль в пространстве (рис.18а и 18б)

Но помимо логарифмов широкое распространение имеют логарифмическая и показательная функции.

Логарифмическая и показательная функции

Логарифмическая функция

Функция вида y = log_a х (а > 0, а ≠ 1) называется логарифмической, при a > 1 является возрастающей (1); при 0 1 является возрастающей

Некоторые сведения из истории показательной функции

Первые упоминания о показательной функции были найдены в Древнем Египте в задаче о домах и кошках.

Задача. Было 7 домов, в каждом 7 кошек, каждая кошка съела 7 мышей, каждая мышь съела 7 колосков. Каждый колос может дать 7 мер зерна. Сколько зерен потеряли египтяне?

Ответ: Египтяне недосчитались 16807 зерен.

Решением этой задачи является показательная функция , где - количество зерен, 7 - количество каждого вида участников задачи, а 5 - это количество видов.

Еще одним примером из истории является арабская легенда:

Однажды изобретатель шахматной доски попросил за свое изобретение у арабского царя зерна: за первую клетку он попросил одно зерно, за вторую - два, за третью еще в два раза больше и т.д. Правитель не понял подвоха и даже был удивлен столь незначительной сумме. Он поручил казначею расплатиться с изобретателем. Прошла неделя, а изобретатель до сих пор не получил свою премию. Царь удивился, почему так долго считают выплату, позвал казначея, тот ему показал предварительные расчеты. В итоге, царь должен был заплатить 18 квинтильонов зерен, что превышает собранный урожай за всю историю человечества. Если посчитать массу, то получится 1,2 триллиона тонн зерна, для сравнения масса Земли составляет 5,9 секстильонов тонн.

С течением времени появились первые деньги, а с ними необходимость в расчетах и подсчетах некоторых средств. Появились отрасли связанные с этими задачами, показательная функция также стала важной для подсчета денежных средств. Профессия, которая напрямую связана с показательной функцией, это ростовщичество.

Ростовщичество – это выдача кредитных средств под неоправданно высокий процент, что приводит к извлечению ростовщиком незаконной финансовой выгоды, а заемщика ставит в кабальные условия.

О бращаясь к истории возникновения этого явления, можно обнаружить, что классическое ростовщичество намного старше банковского дела. Встретить описание этого явления можно у греческого поэта Гесиода, жившего в Элладе на два века раньше, чем там появились первые чеканные деньги.

В Средневековье появились банки. С их появлением обнаружилась необходимость узаконить появление процентов, и дробный показатель стал все больше и больше прослеживаться. Его развили математик Штифель, Оресм, Шюке, затем Исаак Ньютон.

П ервым, кто ввел понятие показательной функции в общем виде, стал Го́тфрид Ви́льгельм Ле́йбниц (Рис. 21) — саксонский философ, логик, математик, механик, физик, юрист, историк, дипломат, изобретатель и языковед. Он является основателем и первым президентом Берлинской Академии наук, иностранным членом Французской Академии наук.

Иога́нн Берну́лли (Рис. 22) — швейцарский математик, механик, врач и филолог-классицист, самый знаменитый представитель семейства Бернулли. Один из первых разработчиков математического анализа, после смерти Ньютона — лидер европейских математиков. В 1697 году Иоганн Бернулли ввел термин “Показательной функции”. Однако современное определение показательной функции ввел Леонард Эйлер (Рис. 23), который родился 15 апреля 1707 в городе Базель и умер 7 (18) сентября 1783 в Санкт-Петербурге.

Примеры использования в экономике и производственных расчетах

Показательная функция в банковских расчетах

Примерами использования показательной функции являются банковские расчеты (вложение денег на счет и начисление процентов).

В разных банках существуют разные виды вклада в зависимости от условий.

Вклад (депозит) — сумма средств, которую банк принимает от клиента на определенный или неопределенный срок.

Годовой процент — сумма средств, которую клиент получает от банка за хранение денег у этого банка, ежегодно.

Рассмотрим следующую схему начисления процентов: клиент кладет в банк некую сумму, например, вклад размером 1000 р. и годовым процентом 10% на 10 лет. За первый год клиенту начисляется 10% от 1000 р., тогда сумма к началу второго года хранения денег в банке равна 1100 р., теперь процент будет браться от 1100 р., получается к концу второго года сумма вклада будет равна 1210 р. и так далее. Откуда и получается формула:

Итоговая сумма= вклад * во сколько раз увеличится вклад за го д в степени равной количеству лет

S — итоговая сумма, v — вклад, a — во сколько раз увеличился вклад за год, a = (100 + процент)/100, 100 — вклад в процентах, c —процент, p — количество лет.

Рассмотрим эту формулу, опираясь на данные, приведенные выше:

, таким образом, клиент возьмет из банка 2593 р.

Программа по расчету суммы в конце срока (Рис. 24):

using namespace std; int main()

< setlocale (LC_ALL,"RUS"); float a, c, S, v, p; cout Введитевашвклад ( руб ): " >v; cout Введитегодовойпроцентвклада : " > c; cout Введитесроквклада ( мес ): " > p; a=(100+c)/100; p=p/12; S=v*pow(a,p); cout Вконцесрокавыполучите : " руб ."; return 0;>

Рассмотрим предложения пяти самых популярных банков России по вкладам, возьмем за вклад 50 тысяч рублей и срок равный 12 месяцев (Таблица 1).

МБОУ "СОШ №1 им. Героя Советского Союза

П.В. Масленникова ст. Архонская ".

Работу выполнила:

учащаяся 10"А" класса

1. Историческая справка 2. Логарифмическая спираль в Биологии 3. Логарифм и биология 4. Логарифмическая спираль в Биологии 5. Молекула ДНК 6. Логарифм в ухе 7. Применение логарифмической функции в Биологии 8. Пример применения в Биологии 9. Вывод.

Логарифмическая спираль в Биологии

В математике существует понятие логарифмической спирали. Спираль – это плоская кривая линия многократно обходящая одну из точек на плоскости, эта точка называется полюсом спирали. Полюсом логарифмической спирали является начало координат. Спираль называется логарифмической, потому что уравнение, описывающее эту спираль, содержит логарифмы. Эта спираль имеет бесконечное множество витков, она не проходит через свой полюс. Логарифмическая спираль - единственный тип спирали, не меняющей своей формы при увеличении размеров. Это свойство объясняет, почему логарифмическая спираль так часто встречается в природе.

Логарифм и биология

Особенности логарифмической спирали поражали не только математиков. Её геометрические свойства ,в частности инвариантность (сохранение угла), удивляет и биологов, которые считают именно эту спираль своего роля стандартом биологических объектов самой разной природы. Раковина улитки. Немецкий биолог Румблер в 1910 году выдвинул теорию постоянного краевого угла при построении раковин улиток. Он исходил из того, что материал, из которого строятся раковины, вначале должен быть жидким, и в жидком состоянии попадает на край уже существующей части раковины где, естественно, всегда образуется постоянный краевой угол. Под этим углом жидкость затвердевает, и снова начинается та же игра. Раковина улитки представляет собой логарифмическую спираль.

В подсолнухе семена тоже расположены по дугам, близким к логарифмическим спиралям

Применение логарифмической функции в Биологии

В нашу современную жизнь вторгается математика с ее особым стилем мышления, становящимся сейчас обязательным и для инженера, и для биолога.

В питательной среде бактерия кишечной палочки делится каждую минуту. Понятно, что общее число бактерий за каждую минуту удваивается. Если в начале процесса была одна бактерия, то через х минут их число (N) станет равной 2х , т.е. N(х) = 2х.

В начальный момент времени было 8 бактерий, через 2 ч после помещения бактерий в питательную среду их число возросло до 100. Через сколько времени с момента помещения в питательную среду следует ожидать колонию в 500 бактерий?

q=8, t=2, p=100/8, B=500.

Значит, требуемое время соответствует значению выражения

, то есть примерно через 3 ч. 15 мин

Понятие логарифма широко применяется человеком во многих науках. Логарифмы используются для описания явлений биологами. Процессы размножения микроорганизмов, рост колоний бактерий, радиоактивный распад элементов, изменение скоростей химических реакций и т.п. имеют практическое применение логарифмов и показательной функции.

Цель исследования: Показать, что логарифмы встречаются не только в области математики, но и в других областях. Показать их значение в современном мире.

изучить историю возникновения понятия логарифма.

выяснить, где применяются логарифмы. Рассмотреть практическое применение логарифма.

Объект исследования: логарифмическая функция

Предмет исследования: математическая модель того или иного явления через обращение к логарифмической спирали

Проблема: Практическая значимость логарифмов для окружающего мира.

Гипотеза: Я тоже задумался над этим и решил узнать мнения старшеклассников по этому вопросу. Результаты меня озадачили. 41% десятиклассников и 64% одиннадцатиклассников считают, что логарифмы не нужно изучать.
Так может быть они действительно не нужны?

Меня очень заинтересовала эта проблема. Поэтому цель моего исследования: доказать необходимость изучения логарифмов. Эту работу мы начали проводить группой моих одноклассников.

Планируемый результат: После завершения работы над проектом наше представление о логарифмах расширится, и мы убедимся, что это понятие можно связать с многими областями наук. Понять, как изменилось значение логарифмов, и какую роль они играют в нашей жизни.

История возникновения и развития логарифмов.

Изобретение логарифмов, сократив
работу астронома, продлило ему жизнь.
П.С.Лаплас
Испокон веков люди пытались упростить вычисления: составляли таблицы, вводили приближенные формулы, облегчающие расчеты, пытались заменить сложные операции умножения и деления более простыми – сложением и вычитанием.
Логарифмы также были созданы в 16 веке как средство для упрощения вычислений. В их основе лежит очень простая идея, знакомство с которой приписывается еще Архимеду.
Рассмотрим две прогрессии, арифметическую и геометрическую при b₁ = 2, q = 2 .
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 (*)
2 4 8 16 32 64 128 256 512 1024
Оказывается, эти строки позволяют упрощать вычисления. Действительно: если мы хотим перемножить два числа нижнего ряда, например, 16 и 32 , нам достаточно сложить соответствующие числа верхнего ряда: над числом 16 стоит 4, над числом 32 стоит 5; сложим числа 4 и 5 (будет 9) и опустимся вниз – под 9 стоит 512. Значит, 16 32 = 512. (Аналогично выполняется и деление, только числа первого ряда нужно вычитать).
Но это еще не все. С помощью указанных двух строк (*) действие возведения в степень заменяется умножением, а извлечение корня – делением.
Таким образом, каждый раз, когда мы хотим выполнить действия с числами нижнего ряда, мы выполняем более простые операции с числами верхнего ряда. А что представляют собой числа верхнего ряда? Да ведь это же показатели выписанных в нижнем ряду степеней с основанием 2. Действительно, снизу у нас стоят степени 21, 22, 23, 24 и т. д., а вверху только показатели этих степеней 1, 2, 3, 4 и т.д. Так вот показатели степеней и называются логарифмами.
Идея Архимеда получила развитие не сразу. Пока математикам было достаточно уже имевшихся средств вычислений, они проходили мимо этого удивительного свойства прогрессий. Но в эпоху Возрождения ситуация изменилась. Крупнейшие европейские державы стремились к владычеству на море. Для дальних плаваний, для определения положения морских судов по звездам и по солнцу необходимо было всё более развивать астрономию, а значит, и тригонометрию. И, в частности, понадобились более совершенные тригонометрические таблицы. В связи с нарастающими запросами практики продолжали совершенствоваться астрономические инструменты, увеличивалась точность наблюдений, исследовались планетные движения. Обработка полученных данных требовала колоссальных расчетов, и, следовательно, стали необходимы новые средства упрощения вычислений. Такими средствами в 15 – 16 веках явились в первую очередь логарифмы и десятичные дроби.
Рассмотрим, как развивалась дальше идея логарифмов.
Мы можем предугадать первые шаги по усовершенствованию рассматриваемых строк:
1. Числа верхнего ряда целесообразно продолжить в отрицательную сторону, т.е. ввести понятие о степени с нулевым и отрицательным показателем.
2. Нужно уплотнить числа нижнего ряда, чтобы можно было применить идею об упрощении вычислений вообще к любым числам (для этого, например, можно взять в нижнем ряду вместо степеней с основанием 2 степени с основанием , близким к 1).
3. Необходимо также уплотнить числа верхнего ряда.
Теперь будет интересно узнать, что мы не ошиблись в наших предположениях.

инженера Симона Стевина (1548 – 1620).

Рассмотрим, как выводится формула сложных процентов. Пусть сначала на нашем счету лежит некоторая сумма, которую мы положили в банк под p% годовых.

Сумма лежит в банке целый год, а в конце на неё начисляются проценты – дополнительные деньги, которые банк платит за то, что целый год пользовался суммой S₀. Таким образом, сумма S₀ принесет за год доход в размере p% от неё, т.е.. Если мы деньги не снимем, то весь следующий год на нашем счету будет лежать уже выросшая сумма:
S₁ == S₀ (1+ ).
S₀ –начальная сумма,
S₁ –конечная сумма,
-процентная ставка
В конце второго года на эту сумму также будут начислены проценты. Доход за

второй год составит p% от суммы S1, т.е. . После начисления процентов сумма на вкладе станет равной S₂ S₂ = S₁ (1 + )= S₀ (1 + ) (1 + ) = S₀ (1 + ) 2
2. Аналогично рассуждая, мы придем к выводу, что в конце n –ого года сумма на

вкладе будет равной S_n =S₀ (1+ ) n .

Это и есть формула сложных процентов. Если же теперь выписать в две строки данные о том, какой год лежит сумма и как она вырастает к концу этого периода, то получится арифметическая и геометрическая прогрессии.
Пример. Мы положим на счет в банк 100 рублей под 10% годовых.
Через 1 год сумма будет равна (составит) 100 (1+10/100) = 110 рублей
Через 2 года сумма составит 110 (1+10/100) = 121 рубль
Через три года сумма будет равна 121 (1+10/100) = 133,1 рубля (и т.д.)
1 2 3 …n
110 121 133,1 … 100(1+10/100) n
Из формулы расчета сложного процента можно выразить и количество лет (месяцев). Например сколько потребуется лет, чтобы 50000 руб. нарастились до 1000000 рублей при процентной ставке 40%.
n=log_(1+p/100)(S_n/S₀)
n=log_(1+40/100)(1000000/50000)=8.9лет
Продвинувшись ещё немного в изучении истории логарифма, мы видим, что в

один смысловой блок собираются такие понятия, как арифметическая и геометрическая прогрессии, степень, проценты, формула сложных процентов и логарифмы.

Читайте также: