Логарифмы в астрономии реферат

Обновлено: 05.07.2024

Изобретение логарифмов Ж. Кондорсе для упрощения арифметических операций и их историческое значение. Явление логарифмической спирали и понятие о золотом сечении. Биологические примеры функционирования логарифма в ухе и его психологическая трансформация.

Рубрика	Математика
Вид	реферат
Язык	русский
Дата добавления	20.10.2012
Размер файла	148,6 K

Студенты, аспиранты, молодые ученые, использующие базу знаний в своей учебе и работе, будут вам очень благодарны.

Гениальное изобретение логарифмов, упрощая арифметические операции, облегчает все применения вычисления к реальным предметам и, таким образом, расширяет сферу всех наук, в которых эти численные применения, частные случаи искомой истины являют с одним из способов сравнения с фактами результатов гипотезы или теории и путём этого сравнения позволяют дойти до открытия законов природы. В самом деле, в математике протяженность и усложнение чисто практических вычислений имеют предел, который ни время, ни даже силы не позволяют переходить, и без помощи этих удачных сокращений время отметило бы границы самой науки и предел, который усилия гения не могли бы преодолеть.

Ж. КОНДОРСЕ. ИЗ ИСТОРИИ ЛОГАРИФМОВ

В течение XVI в. резко возрос объём работы, связанный с проведением приближенных вычислений в ходе решения разных задач, и в первую очередь задач астрономии, имеющей непосредственное практическое применение (в частности, при определении положения судов по звёздам и по Солнцу). Наибольшие проблемы возникали, как нетрудно понять, при выполнении операций умножения и деления.

Попытки частичного упрощения этих операций путём сведения их к сложению большого успеха не приносили. Поэтому открытие логарифмов, сводящее умножение и деление чисел к сложению и вычитанию их логарифмов, удлинило, по выражению Лапласа, жизнь вычислителей.

Логарифмы необычайно быстро вошли в практику. Изобретатели логарифмов не ограничились разработкой новой теории. Было создано практическое средство - таблицы логарифмов, - резко повысившее производительность труда вычислителей. А уже через девять лет (1623 г.) английский математик Д. Гунтер изобрёл первую логарифмическую линейку, ставшую рабочим инструментом для многих поколений пока на её место не пришла электронная вычислительная техника.

Самолёт, вылетевший из какой - нибудь точки земного шара на север, через некоторое время окажется над Северным полюсом. Если же он полетит на восток, то, облетев параллель, вернётся в тот же пункт, из которого вылетел. Предположим теперь, что самолёт будет лететь, пересекая все меридианы под одним и тем же углом, отличным от прямого, т. е. держась, всё время одного и того же курса. Когда он облетит земной шар, то попадёт в точку, имеющую ту же долготу, что и точка вылета, но расположенную ближе к Северному полюсу. После следующего облёта он окажется ещё ближе к полюсу и, продолжая лететь указанным образом, будет описывать вокруг полюса сужающуюся спираль.

Уравнение этой спирали r=ae kv ,где r - расстояние от произвольной точки М на спирали до выбранной точки О, v - угол между лучом ОМ и выбранным лучом Ох, a и k -постоянные. Решая его, получу ln e kv = ln r/a , kv = ln r/a,

Так как это уравнение связано с логарифмической функцией, то вычисленную по этой формуле спираль называют логарифмической.

В математике особо распространены три вида спирали:

а) архимедова спираль, б) гиперболическая спираль, в) логарифмическая спираль. Рассмотрю более подробно логарифмическую спираль. Логарифмическую спираль является траекторией точки, которая движется вдоль равномерно вращающейся прямой, удаляясь от полюса со скоростью, пропорциональной пройденному расстоянию. Если выражаться точнее, то в логарифмической спирали углу поворота пропорционально не само расстояние от полюса до точки кривой, а логарифм этого расстояния. Эта спираль пересекает все прямые, проходящие через полюс, под одним и тем же углом.

Точки, делящие стороны прямоугольников в среднем и крайнем отношении, лежат на логарифмической спирали, закручивающейся внутрь. Полюс спирали лежит на пересечении пунктирных диагоналей.

Особенности логарифмической спирали поражали не только математиков. Её геометрические свойства, в частности инвариантность (сохранение угла ), удивляет и биологов, которые считают именно эту спираль своего рода стандартом биологических объектов самой разной природы.

ЛОГАРИФМ И БИОЛОГИЯ

Логарифмическая спираль - единственный тип спирали, не меняющей своей формы при увеличении размеров. Это свойство объясняет, почему логарифмическая спираль так часто встречается в природе.

Живые существа обычно растут, сохраняя общее очертание своей формы. При этом они растут чаще всего во всех направлениях - взрослое существо и выше и толще детёныша. Но раковины морских животных могут расти лишь в одном направлении. Чтобы не слишком вытягиваться в длину, им приходиться скручиваться, причём каждый следующий виток подобен предыдущему. Например, по мере роста моллюска Nautilus раковина его, разделённая внутренними перегородками, увеличивается в своих размерах, закручиваясь по логарифмической спирали. При этом домик его не меняет формы: если центральную часть раковины посмотрим под микроскопом, увидим в точности такую же спираль, какая получилась бы, если бы раковина выросла до размеров галактики, и мы разглядывали бы её с большого расстояния. Очертания, выраженные логарифмической спиралью, имеют не только раковины многих моллюсков, улиток, а также рога таких млекопитающих, как архары, в подсолнухе семечки расположены по дугам, также близким к логарифмической спирали, и т. д. По логарифмической спирали формируется и тело циклона. Можно сказать, что спираль является математическим символом соотношения форм роста. Великий немецкий поэт Иоганн Вольфганг Гёте считал её даже математическим символом жизни и духовного развития.

ЛОГАРИФМ И В УХЕ

Начну с описания уха. Оно по своему устройству напоминает музыкальный инструмент. От ушной раковины идёт наружный слуховой проход, имеющий форму воронки

Схема строения уха:1-наружныйслуховой проход, 2- барабанная перепонка,

3 - плоскость среднего уха, 4 - молоточек, 5 - наковальня, 6 -

Слуховой проход служит резонатором, собственная частота которого близка к 3000гц.

В так называемом среднем ухе помещаются три мелкие косточки - молоточек, наковальня и стремечко. Они преобразуют колебания воздуха в колебания жидкости, находящейся в лабиринте внутреннего уха. Мне даже кажется, первые две косточки это отдельные части фортепиано. Ведь во время игры звук возникает при ударах молоточков по струнам. Далее, рассматривая устройство уха, можно заметить орган, который называется улиткой. Она представляет собой спирально закрученную трубку, образованную из 2,5 витка.

ЗВЁЗДЫ, ШУМ И ЛОГАРИФМЫ

Этот заголовок связывает столь, казалось бы, несоединимые вещи. Шум и звёзды объединяются здесь потому, что громкость шума и яркость звёзд оцениваются одинаковым образом - по логарифмической шкале.

По логарифмической спирали закручена Галактика, которой принадлежит Солнечная система.

Одно из наиболее важных понятий акустики - тон, представляющий собой непосредственное восприятие колебаний, возникающих при звучании струны, человеческого голоса или других источников звука.

Сила звука - это количество звуковой энергии, проходящей через единицу поверхности в единицу времени. Это физическая величина не выражает величины нашего звукового ощущения - громкости. Если будем слушать звуки различных частот, но одинаковой силы, то они покажутся нам отличающимися по громкости. Такое явление объясняется разной чувствительностью нашего уха к звукам различной частоты.

Проведу эксперимент: буду увеличивать силу, какого - нибудь звука в 2, 3, 4 раза и вижу, что моё звуковое ощущение не увеличивается во столько же раз. Оказывается, в 1846 году физиолог Вебер установил зависимость между ощущением и раздражением, вызывающим это ощущение. Им было доказано отношение прироста раздражения к его первоначальной величине всегда остаётся постоянным. Названное отношение можно выразить в процентах.

В дальнейшем (в 1860г.) уже другой учёный - Фехнер подверг закон Вебера математической обработке. По результатам исследования был сформулирован общий психофизический закон Вебера - Фехнера, согласно которому ощущение изменяется пропорционально логарифму раздражения:

S =k lg(J/J 0),

логарифм ухо психологический биологический

где S -ощущение, J 0 - первоначальное раздражение, J - последующее раздражение, k - коэффициент пропорциональности.

Единица измерения децибел используется в звуковой технике.

Связано это с тем, что мы реагируем не на абсолютные, а на относительные изменения уровня какого-либо воздействия, в том числе и звукового.

Если сила звука (интенсивность, I, Вт/м2) изменится в 10 раз, то субъективное ощущение громкости -- всего лишь на одну ступеньку, при 100-кратном увеличении силы звука -- на две (lg100 = 2), при 1000-кратном -- на три (lg1000 = 3). Поэтому увеличение или уменьшение силы звука принято измерять в логарифмических единицах и каждое десятикратное изменение силы звука оценивается единицей, называемой Бел (Б). На практике используется в основном единица, равная десятой части Бела - децибел .

Значение в децибелах равно десяти десятичным логарифмам отношения интенсивностей двух сигналов.

ЛОГАРИФМ И ПСИХОЛОГИЯ

Работая над темой, я раскрыла для себя много интересного, полезного и этим поделилась с Вами.

1. Азевич А.И. Двадцать уроков гармонии. - М.: Интеллектцентр, 1998, - 112с.

2. Брадис В.М. Четырёхзначные математические таблицы. - М.: Интеллектцентр, 1998, - 94с.

3. Берман В.П. Внеклассная работа по математике в училищах. - М.: Интеллектцентр, 1978, - 165с.

4. Воронцов Б.А. Астрономия. - М.: Просвещение, 1987, - 224с.

5. Гарднер Мартин. Математические головоломки и развлечения. - М.: Интеллектцентр, 1971, - 154с.

6. Зенкевич И.Г. Эстетика урока математики. - М.: Просвещение, 1981, - 154с.

7. Колмогоров А.Н. Алгебра и начала анализа. - М.: Просвещение, 1993, - 240с.

8. Лиман М.М. Школьникам о математике и математиках. - М.: Просвещение, 1981, - 130с.

9. Пышкало А.М. Учебно-наглядные пособия по математике. - М.: Просвещение, 1968, - 147с.

10. Угринович Н.Д. Практикум по информатике и информационным технологиям. - М.: Просвещение, 2005, - 165с.

Подобные документы

презентация [687,4 K], добавлен 01.03.2012

Общая терминология и история изобретения логарифма. Характеристики натурального и обычного логарифма, определение дробного числа и мантиссы. Таблицы и свойства натуральных логарифмов. Логарифмическая и экспоненциальная кривая, понятие функции логарифма.

реферат [211,2 K], добавлен 05.12.2011

Понятие логарифма как числа, применение которого позволяет упростить многие сложные операции арифметики. Введение логарифмов математиками Дж. Непером и Иостом Бюрги. Логарифмические свойства и тождества. Различие таблиц натуральных и обычных лагорифмов.

презентация [370,0 K], добавлен 26.11.2012

Краткие биографические данные от Джоне Непере - шотландском математике, изобретателе логарифмов и замечательного вычислительного инструмента - таблицы логарифмов. Математические заслуги Брадиса; его Таблицы. Изобретение первой логарифмической линейки.

презентация [5,3 M], добавлен 30.10.2013

Шотландский барон Джон Непер как первый изобретатель логарифмов. Пропорции Непера для логарифмирования. Применение логарифмов Кеплером в Марбурге в 1624-1625 гг. Таблица положительных, отрицательных степеней числа 2. Гиперболические логарифмы, применение.

доклад [120,5 K], добавлен 24.12.2011

История открытия логарифмов. Определение логарифма. Натуральные, десятичные, двоичные логарифмы и их применение в теории информации и информатике. Логарифмические функции и их графики. Логарифмическая спираль. Риманова поверхность. Свойства функции.

презентация [316,0 K], добавлен 20.02.2011

Характерные особенности логарифмов, их свойства. Методика определения логарифма числа по основанию a. Основные свойства логарифмической функции. Множество всех действительных чисел R. Анализ функций возрастания и убывания на всей области определения.

4 Введение В течение ХVI в. резко возрос объем работы, связанный с проведением приближенных вычислений в ходе решения разных задач, и в первую очередь задач астрономии, имеющей непосредственное практическое применение (при определения положения судов по звездам и по Солнцу). Наибольшие проблемы возникали при выполнения операций умножения и деления. Попытки частичного упрощения этих операций путем сведения их к сложению большого успеха не приносили. Поэтому открытие логарифмов, сводящее умножение и деление чисел к сложению и вычитанию их логарифмов, удлинило по выражению Лапласа, жизнь вычислителей.

5 Логарифмы необычайно быстро вошли в практику. Изобретатели логарифмов не ограничились разработкой новой теории. Было создано практическое средство – таблицы логарифмов, - резко повысившее производительность труда вычислителей. Добавим, что уже в 1623 г., т.е. всего через 9 лет после издания первых таблиц, английским математиком Д. Гантером была изобретена первая логарифмическая линейка, ставшая рабочим инструментом для многих поколений. Первые таблицы логарифмов составлены независимо друг от друга шотландским математиком Дж. Непером ( ) и швейцарцем И. Бюрги ( ). В таблицы Непера вошли значения логарифмов синусов, косинусов и тангенсов для углов от 0 до 900 с шагом в 1 минуту. Бюрги подготовил свои таблицы логарифмов чисел, но вышли в свет они в 1620 г., уже после издания таблиц Непера, и поэтому остались незамечеными.

6 2. Звёзды, шум и логарифмы. Этот заголовок связывает, столь казалось бы, несоедимые вещи. Шум и звёзды объединяются здесь потому, что громкость шума и яркость звёзд оцениваются одинаковым образом: По логарифмической шкале. Астрономы делят звезды по степени яркости на видимые абсолютные звездные величины; Звезды первой величины, второй и третьей и т.п. Последовательность видимых звездных величин, которые воспринимались глазом, представляет собой арифметическую прогрессию. Но физическая их яркость изменяется по иному закону:

9 Пример: Тихий шелест листьев оценивается в 1 бел, громкая разговорная речь – в 6,5 бела, рычание льва – в 8,7 бела. Отсюда следует, что по силе звука разговорная речь превышает шелест листьев в 10 6,5 – 1 = 10 5,5 = раз; львиное рычание сильнее громкой разговорной речи в 10 8,7 – 6,5 = 10 2,2 = 158 раз.

12 Шкала звездных величин сохранилась и уточнена. Блеск звезды 1 т больше звезды в 6 т ровно в 100 раз. Следовательно, разность в 5 звездных величин соответствует различию в блеске ровно в 100 раз. Обозначим через х число, показывающее различие в блеске в одну звездную величину, тогда x 5 = 100. Найдем значение х из этого равенства: 5 lg x = lg 100, отсюда 5 lg x = 2 или lg x = 0,4, тогда х = 2, 512. Если обозначить блеск звезды, звездная величина которой равна m 1, через I 1, а блеск звезды, звездная величина которой равна m 2, через I 2, то L` 1 / L` 2 = 2,512 (m 2 – m 1 )

13 Нулевые и отрицательные звездные величины Светила, блеск которых превосходит блеск звезды 1 т, имеют нулевые и отрицательные звездные величины (0 т, -1 т и т.д.). К ним относятся несколько наиболее ярких звезд и планет, а также конечно, Солнце и Луна. Шкала звездных величин продолжается и в сторону звезд, не видимых невооруженным глазом. Есть звезды 7 т, 8 т и т.д. Для более точной оценке блеска звезд используются дробные звездные величины 2,3 т ; 7,1 т ; 6,2 т ; 14,5 т ; и т.д.

14 Например: Во сколько раз Капелла ярче Денеба? Из таблицы найдем звездную величину Капеллы (m 1 = +0,2 т ) и Денеба (m 2 = +1,3 т ). Задача:Дано:Решение: m 1 = +0,2 т I 1 /I 2 = 2,512 (т2-т1) m 2 = +1,3 т lg I 1 /I 2 = (m 2 -m 1 ) lg 2,512 = 0,4; то для Капеллы и Денеба: I 1 /I 2 - ?Lg I 1 /I 2 = 0,4 * 1,1 = 0,44; I 1 / I 2 = 2,75. Ответ: I 1 /I 2 = 2,75.

16 ОПРЕДЕЛЕНИЕ Логарифмом числа b по основанию а называется показатель степени, в которую нужно возвести основание а, чтобы получить число b.b. a log a b = b

В поисках логарифма

Автор работы награжден дипломом победителя II степени

Текст работы размещён без изображений и формул.
Полная версия работы доступна во вкладке "Файлы работы" в формате PDF

Введение.

На протяжении 16 века быстро возрастало количество приближенных вычислений, прежде всего, в астрономии. Совершенствование инструментов, исследование планетных движений и другие работы потребовали колоссальных, иногда многолетних, расчетов. Астрономам грозила реальная опасность утонуть в невыполненных расчетах.

Через десяток лет после появления логарифмов Непера английский ученый Гунтер изобрел очень популярный прежде счетный прибор – логарифмическую линейку. Она помогала астрономам и инженерам при вычислениях, она позволяла быстро получать ответ с достаточной точностью в три значащие цифры.

Таким образом, потребность в сложных расчётах быстро росла.

Научная значимость данной работы состоит в оптимизации и упорядочивании существующей научно-методологической базы по исследуемой проблеме – еще одним независимым авторским исследованием.

Практическая значимость темы создания логарифмов состоит в анализе проблем, как во времени, так и в пространстве.

С одной стороны, тематика исследования получает интерес в научных кругах, с другой стороны, как было показано, существует недостаточная разработанность и нерешенные вопросы.

Предмет исследования – частные вопросы созданияи применения логарифмов.

Проблема:Логарифмы – прихоть математиков или жизненная необходимость?

Гипотеза:Логарифмы нужны современному человеку.

Существует связь между звездами, шумом, музыкой, природой и логарифмами.

Цель работы – доказать, что логарифмы являются жизненной необходимостью.

Для того чтобы найти ответ на основополагающий вопрос необходимо изучить теорию создания логарифмов и исследовать области применения логарифмов.

Для достижения своей цели, я выдвинула следующие задачи:

Найти, собрать и проанализировать материал по истории возникновения логарифмов?

Проанализировать, где в природе встречаются логарифмы?

Проанализировать, в каких сферах жизнедеятельности человека применяются логарифмы?

Сделать соответствующие выводы по исследовательской работе.

2. Основная часть.

2.1. История логарифма.

В ходе тригонометрических расчётов, Неперу пришла в голову идея: заменить трудоёмкое умножение на простое сложение, сопоставив с помощью специальных таблиц геометрическую и арифметическую прогрессии, при этом геометрическая будет исходной.

К сожалению, все значения таблицы Непера содержали вычислительную ошибку после шестого знака. Однако это не помешало новой методике вычислений получить широчайшую популярность, и составлением логарифмических таблиц занялись многие европейские математики, включая Кеплера.

Непер уже был болен, поэтому не смог усовершенствовать свои таблицы, однако дал Бригсу рекомендации видоизменить определение логарифма, приблизив его к современному. Бригс опубликовал свои таблицы в год смерти Непера (1617). Позже таблицы Бригса дополнил голландский книготорговец и любитель математики Андриан Флакк (1600-1667). Непер и Бригс, хотя пришли к логарифмам раньше всех, опубликовали свои таблицы позже других - в 1620 году.Но и в таблицах Бригса обнаружились ошибки. Первое безошибочное издание на основе таблиц Вега́ появилось только в 1857 году в Берлине (таблицы Бремивера).

В 1620-е годы Эдмунд Уингейт и Уильям Отред изобрели первую логарифмическую линейку, до появления карманных калькуляторов — незаменимый инструмент инженера.

Знаки log и Log были введены в 1624 году И. Кеплером.

На русском языке первые логарифмические таблицы были изданы в 1703 году. Но во всех логарифмических таблицах были допущены ошибки при вычислении. Первые безошибочные таблицы вышли в 1857 году в Берлине в обработке немецкого математика К. Бремикера (1804-1877).

Дальнейшее развитие теории логарифмов связано с более широким применением аналитической геометрии и исчисления бесконечно малых.

С открытием логарифмического ряда изменилась техника вычисления логарифмов: они стали определяться с помощью бесконечных рядов.

Таким образом, прошло 394 года с тех пор, как логарифмы впервые были введены (считая с 1614 г.), прежде чем математики пришли к определению понятия логарифма, которое положено теперь в основу школьного курса.

2.2. Логарифмы в природе.

В ходе исследования были обнародованы следующие факты:

Логарифмическая спираль. В математике существует понятие логарифмической спирали. Спираль – это плоская кривая линия, многократно обходящая одну из точек на плоскости, эта точка называется полюсом спирали. Полюсом логарифмической спирали является начало координат. Спираль называется логарифмической, потому что уравнение, описывающее эту спираль, содержит логарифмы. Эта спираль имеет бесконечное множество витков, она не проходит через свой полюс. Логарифмическую спираль называют равноудаленной спиралью, это связано с тем, что в любой точке логарифмической спирали угол между касательной к ней и радиус – вектором сохраняет постоянное значение.

Полет бабочки. Ночные бабочки, которые пролетают большие расстояния, ориентируясь по параллельным лунным лучам, инстинктивно сохраняют постоянный угол между направлением полета и лучом света. Если они ориентируются на пламя свечи, то инстинкт их подводит, и бабочки попадают в пламя по скручивающейся логарифмической спирали.

2.3. Применение логарифмов в различных

сферах жизнедеятельности человека

Рассмотреть практическое применение логарифмов человеком.

Познакомиться с формулами, описывающими радиоактивный распад, изменение количества людей в стране, формулой зависимости скорости ракеты от ее массы, формулой измерения коэффициента звукоизоляции.

Выяснить, как взаимосвязаны логарифмы, музыка и рояль.

Везде, где есть процессы изменяющиеся во времени, используют логарифмы.

Логарифмы- это математическое понятие, которое применяется во всех отраслях науки: химии, биологии, физике, механике, информатике, электротехнике, географии и многих других. Но самое широкое применение логарифмов нашли в экономике.

Статистика постоянно использует понятие среднего.

Средняя численность населения, средний уровень инфляции, средняя заработная плата и т.д.

Номера клавишей рояля представляют собой логарифмы чисел – колебаний соответствующих звуков (умноженные на 12).

3.Кроссворд по математике - на тему "Логарифмы"

По горизонтали: 4. Исчезающая разновидность учащегося6. Сумма логарифмов с одинаковым основанием равна . логарифмов(одно из свойств логарифма)10. Это логарифм по основанию e, где e — иррациональная константа, равная приблизительно 2,71828182811. Из определения логарифма следует основное логарифмическое ………12. 2 вид формулы логарифмы14. Создатель логарифмов

По вертикали 1. 3 вид формулы логарифма 2. Основание: Они применяются, например, в теории информации, информатике, во многих разделах дискретной математики 3. Логарифмом числа b по основанию а называется показатель степени, в которую нужно возвести а, чтобы получить b 5. Логарифм по основанию 10 6. Вид формулы логарифмы 7. Основание: число Эйлера 8. Логарифм по основанию можно преобразовать в логарифм по другому основанию 9. Необходим в конце каждого уравнения13. Одно из основных понятий математического анализа логарифмы

Ответы:

4.Заключение.

При проведении исследования были использованы следующие методы исследования:

анализ существующей литературы по рассматриваемой проблеме (метод научного анализа).

обобщение и синтез точек зрения, представленных в литературе (метод научного синтеза и обобщения).

моделирование на основе полученных данных авторского видения в раскрытии поставленной проблемы (метод моделирования).

Результаты моего исследования следующие:

Многие природные явления не могли быть изучены без понятия логарифма;

Логарифмы используются для описания природных явлений астрономами, физиками, биологами.

Понятие логарифма широко применяется человеком во многих науках.

Логарифм является инструментом для вычисления радиоактивного распада, изменения количества людей в стране, зависимости скорости ракеты от ее массы, коэффициента звукоизоляции.

Выяснила, что, играя по клавишам современного рояля, музыкант играет, собственно говоря, на логарифмах.

5. Список использованной литературы.

Энциклопедия для детей. Т. 11. Математика. – М.: Аванта+, 1998.

Цель: исследовать в каких областях науки, техники нашли применение логарифмы, логарифмическая функция.

Логарифмы вокруг нас Пустынникова Ирина

С точки зрения вычислительной практики, изобретение логарифмов по возможности можно смело поставить рядом с другими, более древним великим изобретением индусов – нашей десятичной системы нумерации.

Таким образом, потребность в сложных расчётах быстро росла. Теория логарифмов связана с именами целого ряда математиков: Генри Бригс, Эдмунд Уингейт, Уильям Отред, Н. Меркатор, Джон Спейдел, К. Бремикер, Ф. Клейн.

Анализ тематики создание логарифмов достаточно актуален и представляет научный и практический интерес.

Цель: исследовать в каких областях науки, техники нашли применение логарифмы, логарифмическая функция.

Задача: 1. Актуализация практической значимости математических знаний;

2. Развитие нравственных представлений о природе математики, сущности и происхождении математической абстракции.

Проблема: показать практическую значимость логарифмов для окружения.

Основная часть

История логарифма

Логарифмы были изобретены не позднее 1594 года независимо друг от друга шотландским бароном Непером (1550-1617) и через десять лет швейцарским механиком Бюрги (1552-1632). Оба хотели дать новое удобное средство арифметических вычислений, хотя подошли они к этой задаче по-разному. Непер кинематически выразил логарифмическую функцию и, тем самым, вступил в новую область теории функции. Бюрги остался на почве рассмотрения дискретных прогрессий. Впрочем, определение логарифма у обоих не похоже на современное.

В ходе тригонометрических расчётов, Неперу пришла в голову идея: заменить трудоёмкое умножение на простое, сложение, сопоставив с помощью специальных таблиц геометрическую и арифметическую прогрессии, при этом геометрическая будет исходной.

Сочинение было разделено на 2 книги, из которых первая посвящена логарифмам, а вторая — плоской и сферической тригонометрии, причём вторая часть одновременно служит практическим пособием по первой. Более развёрнутое, описание содержалось в другом труде, изданном посмертно его сыном; там же Непер пояснил, как он составлял свои таблицы.

Понятия функции тогда ещё не было, и Непер определил логарифм кинематически, сопоставив равномерное и логарифмически-замедленное движение. В современной записи модель Непера можно изобразить дифференциальным уравнением: dx/x = -dy/M, где M — масштабный множитель, введенный для того, чтобы значение получилось целым числом с нужным количеством знаков (десятичные дроби тогда ещё не нашли широкого применения). Непер взял M = 10000000.

Строго говоря, Непер табулировал не ту функцию, которая сейчас называется логарифмом.

В 1615 году в беседе с профессором математики Грешем Колледжа в Лондоне Генри Бригсом (1561-1631) Непер предложил принять за логарифм единицы нуль, а за логарифм десяти - 100, или, что сводится к тому же, просто 1. Так появились десятичные логарифмы и были напечатаны первые логарифмические таблицы. Непер уже был болен, поэтому не смог усовершенствовать свои таблицы, однако дал Бригсу рекомендации видоизменить определение логарифма, приблизив его к современному. Бригс опубликовал свои таблицы в год смерти Непера (1617).

Позже таблицы Бригса дополнил голландский книготорговец и любитель математики Андриан Флакк (1600-1667). Непер и Бригс, хотя пришли к логарифмам раньше всех, опубликовали свои таблицы позже других - в 1620 году.

Но и в таблицах Бригса обнаружились ошибки. Первое безошибочное издание на основе таблиц Вега́ появилось только в 1857 году в Берлине (таблицы Бремивера).

Знаки log и Log были введены в 1624 году И. Кеплером.

Дальнейшее развитие теории логарифмов связано с более широким применением аналитической геометрии и исчисления бесконечно малых. К тому времени относится установление связи между квадратурой равносторонней гиперболы и натуральным логарифмом.

Логарифмические таблицы

Если вычислительные потребности практической жизни и технического обихода вполне обеспечиваются трех и четырехзначными таблицами то с другой стороны, к услугам теоретического исследователя имеются таблицы и с гораздо большим числом знаков, чем даже 14- значные логарифмы. Вообще говоря, логарифм в большинстве случаев есть число иррациональное и не может быть точно выражен никаким числом цифр; логарифмы большинства чисел, сколько бы знаков ни брать, выражаются лишь приближенно, тем точней, чем больше цифр в их мантиссе. Для научных работ оказывается иногда недостаточной точность 14- значных логарифмов, но среди пятисот всевозможных образов логарифмических таблиц вышедших в свет, со времени их изобретения, исследователь всегда найдет такие, которые его удовлетворяют. Например, 20- значные логарифмы чисел от 2 до1200, изданные во Франции Кале.

Для еще более ограниченной группы чисел имеются таблицы логарифмов с огромным числом десятичных знаков - настоящие логарифмические диковинки о существование которых не подозревают многие математики.

Вот эти логарифмы – исполины все они - не десятичные, а натуральные: (натуральными называются логарифмы, вычисленные не при основании 10, а при основании 2,718…, о котором у вас еще будет речь впереди. 48–значные таблицы Вольфрама для чисел до 10000; 61-значные таблицы Шарпа; 102-значные таблицы Паркхерста.

Счетная линейка

Логарифмическая спираль

Логарифмическая спираль - плоская трансцендентная кривая, уравнение которой в полярных координатах имеет вид p=a φ, a0.

Рога козлов, раковина улитки и семечки в подсолнухе закручены по логарифмической спирали

Применение логарифмов в различных сферах жизнедеятельности человека

Радиоактивный распад. Изменение массы радиоактивного вещества происходит по формуле , где m₀ – где масса вещества в начальный период времени t=0, m – масса вещества в момент времени t, .
T - период полураспада. Это означает, что через время Т после начального момента времени, масса радиоактивного вещества уменьшается вдвое.

Народонаселение. Изменение количества людей в стране на небольшом отрезке времени с хорошей точностью описывается формулой , где N₀ – число людей при t=0, N – число людей в момент t, λ – некоторая константа.

Формула Циолковского. Эта формула, связывающая скорость ракеты V с ее массой m: , где Vr – скорость вылетающих газов, m₀ – стартовая масса ракеты. Скорость истечения газа при сгорании топлива Vr невелика (в настоящее время она меньше или равна 2 км/с). Логарифм растет очень медленно, и для того чтобы достичь космической скорости, необходимо сделать большим отношение , т.е. почти всю стартовую массу отдать под топливо.

Звукоизоляция стен. Коэффициент звукоизоляции стен измеряется по формуле, где p₀ – давление звука до поглощения, p – давление звука, прошедшего через стену, А – некоторая константа, которая в расчетах принимается равной 20 децибелам. Если коэффициент звукоизоляции D равен, например 20 децибел, то это означает, что и p₀ =10p, т.е. стена снижает давление звука в 10 раз. Такую изоляцию имеет деревянная дверь.

Логарифмы в музыке.

Мы даже можем сказать, что номер октавы представляет собой целую часть (характеристику) логарифма числа колебаний этого тона, а номер звука в данной октаве, деленный на 12 – дробную часть (мантиссу) этого логарифма.

Логарифмы в поэзии

Многообразные применения показательной (или её ещё называют, экспоненциальной) функции вдохновили английского поэта Элмера Брила на написание “Оды экспоненте”, отрывок из которой гласит:

« … Ею порождено многое из того,

Как говорили наши

Могущество ее порождений

Заранее обусловлено ее

Собственной красотой и силой,

Ибо они суть физическое воплощение

Абстрактной идеи ее.

Английские моряки любят ее и знают

Две шкалы Гунтера -

Вот чудо изобретательности.

У инженера и астронома не было

Инструмента полезнее, чем она.

Даже изящнее искусства питаются ею.

Разве музыкальная гамма не есть

Набор передовых логарифмов?

И таким образом абстрактно красивое

Стало предком одного из величайших

Логарифмы в психологии

Ощущения, воспринимаемые органами чувств человека, могут вызываться раздражениями, отличающимися друг от друга во много миллионов даже миллиардов раз. Удары молота о скользкую плиту в сто раз громче, чем тихий шелест листьев, а яркость вольтовой дуги в триллионы раз превосходит яркость какой-нибудь слабой звезды, едва видимой на ночном небе. Но никакие физиологические процессы не позволяют дать такого диапазона ощущений.

Логарифмы в живописи

Логарифмические линии в природе замечают не только математики, но и художники, например, этот вопрос чрезвычайно волновал Сальвадора Дали.

“…моей навязчивой идеей, настоящей маниакальной страстью, стала картина Я. Вермера “Кружевница”, репродукция которой висела в отцовском кабинете” Сальвадор Дали

Молекула ДНК

С моей точки зрения, изобретение логарифмов по возможности можно смело поставить рядом с другими, более древним великим изобретением индусов – нашей десятичной системы счисления. Потому что, математика повсюду. Она окружает нас и она есть в каждом предмете, что мы видим или держим в руках. Я не знала, что логарифмы так тесно связаны с нашей жизнью и являются ее неотъемлемой частью. Благодаря этому проекту, я осознала, насколько важна роль логарифмов в жизни.

Результаты исследования следующие:

1.Многие природные явления не могли быть изучены без понятия логарифма;

2.Логарифмы используются для описания природных явлений астрономами, физиками, биологами;

3.Понятие логарифма широко применяется человеком во многих науках;

4.Логарифм является инструментом для вычисления радиоактивного распада, изменения количества людей в стране, зависимости скорости ракеты от ее массы, коэффициента звукоизоляции;

5.Выяснили, что, играя по клавишам современного рояля, музыкант играет, собственно говоря, на логарифмах.

Список использованной литературы:

1.Энциклопедия для детей. Т. 11. Математика. – М.: Аванта+, 1998;

3.Лиман М.М. Школьникам о математике и математиках.- М.:Просвещение,1981;

Читайте также: