Линейные операции над векторами реферат

Обновлено: 02.07.2024

  • Для учеников 1-11 классов и дошкольников
  • Бесплатные сертификаты учителям и участникам

Министерство общего и профессионального образования

Муниципальное общеобразовательное учреждение

Администрация Сысертского городского округа

Реферат по геометрии

Исполнитель: Бесов Владислав

Ученик 9а класса

Руководитель: Годова И.В

г. Сысерть 2008 г.

Глава 1. Векторы. . 4.

1.1. О трактовке понятия вектора…………………………………………………..4

Глава 2. Операции над векторами. 8

2.1. Композиция параллельных переносов. 8

2.2. Сложение и вычитание векторов, умножение вектора на число. 10

2.3 Коллинеарные вектора . 14

2.4.Свойства операции над векторами . 18

2.5. Скалярное произведение двух векторов и его свойства……………. 20

Глава 3 Приложение векторов при доказательстве теорем и решению задач. 21 3.1. Применение векторов при доказательстве теорем . 21

3.2. Применение векторов при решении задач. 24

Одними из фундаментальных понятий современной математики являются вектор и его обобщение — тензор. Эволюция понятия вектора осуществлялась благодаря широкому использованию этого понятия в различных областях математики, механики, а также в технике. Работы К. Веселя, Ж. Аргана и К. Ф. Гаусса по теории комплексных чисел установили связь между арифметическими операциями над комплексными числами и геометрическими опера­циями над векторами в двумерном пространстве — в плоскости.

В середине прошлого столетия в работах В. Гамильтона, Ф. Мё­биуса понятие вектора нашло широкое применение при изучении свойств трехмерного и многомерного пространств.

Конец прошлого и начало текущего столетия ознаменовались широким развитием векторного исчисления и его приложений. Бы­ли созданы векторная алгебра и векторный анализ, теория поля, тензорный анализ, общая теория многомерного векторного прост­ранства. Эти теории были использованы при построении специаль­ной и общей теории относительности, которые играют исключитель­но важную роль в современной физике.

О трактовке понятия вектора

Действительно, понятие вектора тесно связано с принятой сей­час теоретико-множественной трактовкой основных понятий школь­ного курса математики. Например, с таким важнейшим понятием школьного курса геометрии, как понятие перемещения. Кроме того, понятие вектора находит достаточно широкие приложения при рассмотрении различных вопросов школьных курсов математики и физики.

Уже на уроках физики в VIII классе изложение материала ве­дется с широким привлечением векторного аппарата. Понятно, что это заставляет задуматься прежде всего над тем, как наиболее есте­ственно ввести в курс математики восьмилетней школы понятие вектора, как эффективнее применять это понятие при изложении теории и решении задач, как рассматривать основные действия над векторами.

Известно, что существует несколько подходов к введению этого понятия.

В физике при помощи вектора изображаются различные направ­ленные величины: сила, скорость, ускорение и т. п., в силу чего вектор обычно определялся здесь как направленный отрезок. При этом часто такая направленная величина оказывалась существен­но связанной с определенной точкой (точкой ее приложения) или прямой.

В математике же обычно имеют дело с так называемым свободным вектором (вектором, не связанным ни с какой прямой и ни с какой фиксированной точкой).

В традиционных математических курсах вектор также опреде­лялся как направленный отрезок. При этом два вектора считались равными, если они имели одну и ту же длину и направление. Одна­ко такое определение равенства векторов не вполне корректно, так как тем самым отождествляются два хотя и родственные, но различ­ные понятия: равенство и эквивалентность. Между тем равенство математических объектов трактуется сейчас как их совпадение, а эквивалентность – как любое отношение, обладающее свойствами рефлексивности, симметричности и транзитивности.

Анализируя понятие вектора, нетрудно обнаружить, что с гео­метрической точки зрения вектор — это объект, характеризуемый направлением (т. е. некоторым множеством сонаправленных лучей) и длиной.

рефлективности: (А, В) ~ (А, В);

симметричности: если (А, В) ~ (С, D ), то (С, D ) ~

транзитивности: если (А, В) ~ (С, D ) и ( C , D ) ~ ( K , M ), то (А, В) ~ (К, М).

С помощью рассмотренного отношения эквивалентности произ­водится разбиение множества пар точек плоскости на непересека­ющиеся подмножества (классы), элементами которых являются эк­вивалентные пары. Каждое из таких подмножеств можно назвать вектором. Следовательно, один и тот же параллельный перенос Т (вектор) можно задать при помощи бесконечного множества эквива­лентных между собой пар точек (А, В) ~ (А1, В1) ~ (А2, В2) . (рис. 4), т. е. Т = ТАВ = Т А1В1 = Т А2В2 = . .

Так как всякий класс (подмножество) эквивалентных пар определяется любым его представителем — любой его парой, то тем самым всякая пара точек плоскости задает (определяет) некоторый вектор на плоскости. При этом эквивалентные пары определяют один и тот же вектор, а неэквивалентные пары — различные век­торы. Если вектор задается парой (А, В) (А ≠ В), то его обозначают. Направление, определяемое лучом АВ, называют направлением вектора , а расстояние │АВ│ — его длиной. Вектор, длина которого равна единице, называется единичным вектором. Пусть теперь вектор задается парой (В, В), т. е. парой, у которой первая точка совпадает со второй; такой вектор называется ну­левым вектором и обозначается = . Длина нулевого вектора равна нулю, т. е. │ │= │ │= 0, а направление его не опреде­лено. Итак, любой вектор плоскости полностью определяется за­данием одной пары точек А и В, где В = (А). Заметим, что на­правленный отрезок АВ выступает при такой трактовке вектора лишь как удобное наглядное изображение вектора. Любой вектор ≠ 0 имеет бесконечное множество изображений в виде направлен­ных отрезков.

Итак, мы рассмотрели возможность введения понятия вектора как множества пар точек, задающих один и тот же параллельный перенос, т. е. множество всех пар ( X , У), для которых T ( X )= Y , есть вектор. Это множество пар ( X , Y ) иногда называют графиком параллельного переноса.

В современной трактовке принято отождествлять график с самим отображением. Все сказанное и привело к отождествлению в школьном курсе математики параллельного переноса и вектора как синонимов, обозначающих одно и то же понятие.

Определение понятия единичного и нулевого вектора. Рассмотрение коллинеарных векторов. Ознакомление с процессом геометрической проекции вектора на ось. Изучение декартовых прямоугольных координат вектора в пространстве. Анализ формул деления отрезка.

Рубрика Математика
Вид лекция
Язык русский
Дата добавления 07.07.2015
Размер файла 175,5 K

Студенты, аспиранты, молодые ученые, использующие базу знаний в своей учебе и работе, будут вам очень благодарны.

HTML-версии работы пока нет.
Cкачать архив работы можно перейдя по ссылке, которая находятся ниже.

Подобные документы

Схема и разность векторов. Умножение вектора на число. Координаты точки и вектора. Компланарные векторы и прямоугольная система координат. Длина, скалярное произведение, его свойства и угол между векторами. Переместительный и сочетательный законы.

творческая работа [481,5 K], добавлен 23.06.2009

Метод координат как глубокий и мощный аппарат. Основные особенности декартовых координат на прямой, на плоскости и в пространстве. Понятие вектора как направленного отрезка. Рассмотрение координат вектора и важнейших в аналитической геометрии вопросов.

курсовая работа [573,7 K], добавлен 27.08.2012

Изучение свойств геометрических объектов при помощи алгебраических методов. Основные операции над векторами. Умножение вектора на отрицательное число. Скалярное произведение векторов. Нахождение угла между векторами. Нахождение координат вектора.

контрольная работа [56,3 K], добавлен 03.12.2014

Векторы на плоскости и в пространстве. Расстояние между началом и концом. Коллинеарные и нулевые векторы. Условие коллинеарности и перпендикулярности векторов. Определение суммы и разницы векторов. Свойства операций сложения и умножения вектора на число.

презентация [98,6 K], добавлен 21.09.2013

Векторы в трехмерном пространстве. Линейные операции над векторами. Общее понятие про скалярные величины. Проекции векторов, их свойства. Коммутативность скалярного произведения, неравенство Коши-Буняковского. Примеры скалярного произведения векторов.

контрольная работа [605,8 K], добавлен 06.05.2012

Понятия векторной алгебры: нулевой, единичный, противоположный и коллинеарный векторы. Проекция вектора на ось. Векторный базис на плоскости и в пространстве. Декартова прямоугольная система координат. Действия над векторами, заданными координатами.

презентация [217,3 K], добавлен 16.11.2014

Вектор в декартовой системе координат как упорядоченная пара точек (начало вектора и его конец). Линейные операции с векторами. Базис на плоскости и в пространстве. Свойства скалярного произведения. Кривые второго порядка. Каноническое уравнение параболы.

* Данная работа не является научным трудом, не является выпускной квалификационной работой и представляет собой результат обработки, структурирования и форматирования собранной информации, предназначенной для использования в качестве источника материала при самостоятельной подготовки учебных работ.

ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА

ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА - раздел векторного исчисления в котором изучаются простейшие операции над (свободными) векторами. К числу операций относятся линейные операции над векторами: операция сложения векторов и умножения вектора на число.

Суммой a+b векторов a и b называют вектор , проведенный из начала a к концу b , если конец a и начало b совмещены. Операция сложения векторов обладает свойствами:

a + 0=a (наличие нулевого элемента )

a+(-a)=0 (наличие противоположного элемента),

где 0 - нулевой вектор, - a есть вектор, противоположный вектору а . Разностью a-b векторов a и b называют вектор x такой, что x+b=a.

Произведением l x вектора а на число l в случае l № 0 , а № О называют вектор, модуль которого равен | l ||a| и который направлен в ту же сторону, что и вектор a , если l >0, и в противоположную, если l 2 a +cos 2 b +cos 2 g =1

Осью называется прямая с лежащим на ней единичным вектором е-ортом, задающим положительное направление на прямой. Проекцией Пр. е а вектора a на ось называют направленный отрезок на оси, алгебраическое значение которого равно скалярному произведению вектора а на вектор е . Проекции обладают свойствами:

Пр. е a = Пр. е l a (однородность).

Каждая координата вектора в ортонормированном базисе равна проекции этого вектора на ось, определяемую соответствующим вектором базиса.

В пространстве различают правые и левые тройки векторов. Тройка некомпланарных векторов а, b, с называется правой, если наблюдателю из их общего начала обход концов векторов a, b, с в указанном порядке кажется совершающимся по часовой стрелке. В противном случае a,b,c - левая тройка. Правая (левая) тройка векторов располагается так, как могут быть расположены соответственно большой, несогнутый указательный и средний пальцы правой (левой) руки(см. рис). Все правые (или левые) тройки векторов называются одинаково ориентированными.

правило левой руки правило правой руки

Ниже тройку векторов i,j,k следует считать правой .

Пусть на плоскости задано направление положительного вращения (от i к j ). Псевдоскалярным произведением aVb ненулевых векторов a и b называют произведение их модулей на синус угла j положительного вращения от a к k :

Псевдоскалярное произведение нулевых векторов полагают равным нулю. Псевдоскалярное произведение обладает свойствами:

aV (b+c)=aVb+aVc (дистрибутивность относительно сложения векторов),

l (aVb)= l aVb (сочетательность относительно умножения на число),

aVb=0, лишь если а=0 или (и) b=0 или а и b коллинеарны.

Если в ортонормированном базисе векторы а и и имеют координаты 1 ,a 2 > 1 ,b 2 >, то :

Величины, характеризующиеся только числовым значением (масса, объем, плотность, стоимость и другие), называются Скалярными.

Величины, характеризующиеся и числовым значением, и направлением (сила, скорость, момент силы и другие), называются Векторными.

Вектор – это Направленный отрезок, на котором определены операции сравнения сложения и умножения на вещественное число. Векторы обозначаются так: A, , , .
(Рис. 2.1.1)




Модуль (Длина) вектора обозначается так: |A|, b, .

Векторы, лежащие на одной или на параллельных прямых, называются Коллинеарными.

Векторы Равны тогда и только тогда, когда они:

2. одинаково направлены;

3. имеют равные длины.

Вектор можно произвольно переносить параллельно самому себе, помещая его начало в любую точку пространства.

Вектор, длина которого равна нулю, называется Нулевым. Нулевой вектор не имеет определенного направления.

Векторы, лежащие в одной или в параллельных плоскостях, называются Компланарными. (Рис. 2.1.2–а и 2.1.2–б).

Линейные операции над векторами

1. Сложение векторов.

Суммой двух векторов A и B называется вектор C = a + b, начало которого совпадает с началом вектора A, а конец – с концом вектора B при условии, что начало вектора B совпадает с концом вектора A (рис. 3–а). Это правило сложения векторов называется еще “Правилом треугольника”.



Вектор C = a + b можно построить также по “Правилу параллелограмма”: в точке O совместим начала векторов A И B и на этих векторах, как на сторонах, построим параллелограмм. Вектор, совпадающий с диагональю этого параллелограмма с началом в точке O, и является вектором C (рис. 2.1.3–а).

Сумма векторов обладает как Переместительным свойством (рис. 2.1.3–б):

A + B = B + A

Так и Сочетательным (рис. 2.1.4):

(a + b) + c = a + (b + c).


Подобно построению суммы трех векторов можно построить сумму любого конечного числа векторов.

2. Умножение вектора на число

Произведением вектора A на число L называется вектор C = LA, удовлетворяющий следующим условиям:

Читайте также: