Критерии гидродинамического подобия реферат

Обновлено: 05.07.2024

Изучение и расчет движения реальных жидкостей весьма сложен, т.к. на характер движения и протекающие процессы влияет множество факторов. В условиях конкретной задачи влияние одних факторов может быть велико - других пренебрежимо мало. Ответить на вопрос о важности тех или иных сил помогает гидродинамическая теория подобия.

Гидродинамическое подобие несжимаемой жидкости разделено на три составляющих: геометрическое, кинематическое и динамическое подобие.

Геометрическое подобие представляет собой пропорциональность сходственных размеров и равенство соответствующих углов.

Кинематическое подобие означает пропорциональность скоростей в сходственных точках и равенство углов, характеризующих направление этих скоростей.

Динамическое подобие - это пропорциональность сил, действующих на сходственные объемы в кинематически подобных потоках и равенство углов, характеризующих направление этих сил.

В гидравлике на поток жидкости, как правило, действует множество факторов и сил - силы инерции, трения, давления тяжести. Полное подобие систем на практике получить невозможно, поэтому обычно говорят о частичном подобии. при котором соблюдается пропорциональность лишь главных сил.

Условия подобия гидродинамических процессов можно найти из уравнения Новье-Стокса.

Критерии подобия

Критерии, позволяющие оценить влияние тех или иных сил на систему называют критериями подобия.

Важнейшими критериями подобия в гидравлике считаются число Рейнольдса, число Фруда, число Эйлера, число Прандтля, число Пекле.

Наиболее часто в инженерных гидравлических расчетах используется критерий Рейнольдса.

Число (критерий) Рейнольдса отражает отношение сил инерции к силам вязкого трения. В инженерных расчетах число Рейнольдса позволяет определить режим течения жидкости, что в свою очередь непроходимо для расчета гидравлических потерь.

Число Фруда отражает отношение между действующими на элементарный объём силами инерции и некой внешней силой, в поле которой происходит движение частиц жидкости или газа.

Число Пекле является важным критерием подобия для процессов конвективного теплообмена, этот критерий отражает соотношение между конвективными и молекулярными процессами переноса тепла.

Число Прандтдя характеризует влияние физических свойств теплоносителя на теплоотдачу, является одним из важнейших критериев подобия тепловых процессов в жидкостях и газах.

Число Маха

При рассмотрении течения газа важным критерием является число Маха - отношение скорости течения газа U к скорости звука a.

Чем выше число Маха тем в большей степени проявляется сжимаемость среды.

Число Вебера

В тех случаях, когда течение жидкости происходит со свободной поверхности важно число Вебера.

Число Нуссельта

Если течение жидкости сопровождается теплообменом используется число Нуссельта, зависящее от коэффициента теплоотдачи α.

Рассмотрим условия, которые должны быть выполнены для динамического подобия потоков жидкости. Движение жидкости в природе совершается под действием различных сил, которые можно приближенно классифицировать на три группы:

1) внешние силы по отношению к жидкости, например, силы тяжести, инерции, силы, обусловленные перепадом давления;

2) силы, связанные с физическими свойствами самой жидкости, такие, как силы вязкости или силы поверхностного натяжения;

3) результирующие силы типа силы сопротивления воды движению тела или силы воздействия жидкости на гидротехническое сооружение.

Каждая из этих сил выражается через физические величины (размерные коэффициенты), характеризующие природу сил и жидкости. Влияние указанных сил проявляется в неодинаковой степени в различных явлениях. Одни явления протекают под преобладающим действием сил тяжести и сопротивления, другие – сил тяжести, со противления и поверхностного натяжения или только сил тяжести и поверхностного натяжения и т.д.

Условия гидродинамического подобия модели и натуры требуют равенства на модели и в натуре отношений всех сил, под действием которых протекает явление.

Для установления условий (критериев) гидродинамического подобия необходимо рассмотреть дифференциальные уравнения движения, описывающие изучаемое явление. Предполагая, что два потока, обтекающие тело, будут гидродинамически подобны, эти потоки должны принадлежать к одному классу уравнений, т.е. описываться однотипными уравнениями.

Движение вязкой несжимаемой жидкости, которое мы будем рассматривать, записывается системой дифференциальных уравнений Навье – Стокса [85]

где X, Y, Z – проекции вектора напряжения массовых сил на оси координат.

Эти уравнения являются математическим выражением равновесия внешних сил, приложенных к жидкости (например, сил тяжести), сил инерции, сил давления и сил внутреннего трения (сил вязкости).

Левые части уравнений (8.7) представляют собой проекции полных ускорений, которые в развернутом виде определяются следующими выражениями:

Для установившегося движения жидкости частные производные равны нулю.

Подставим в уравнение Навье – Стокса значения полных ускорений

На основе анализа уравнений Навье – Стокса, записанных в форме (8.8), получим основные критерии подобия вязкой несжимаемой жидкости. Поскольку два подобных явления различаются между собой только лишь постоянными множителями для каждой одноименной величины (константами подобия), можно перейти от уравнений справедливых для натурного потока, к уравнениям, относящимся к модельному потоку, умножая каждую величину, входящую в уравнение (8.8) на соответсвующую константу подобия.

Введем следующие обозначения констант подобия: l_u – масштаб скоростей; l_t – масштаб времени; l_q – масштаб массовых сил; l_P – масштаб сил давлений; l_e – масштаб длин и линейный масштаб; l_n – масштаб коэффициента кинематической вязкости; l_r – масштаб плотности.

Эти константы называют масштабом подобия.

Для анализа возьмем одно из уравнений (8.9), например, урав нение движения в проекции на ось OZ. Для натуры имеем

Для того чтобы это уравнение описывало движение модельного потока, умножим уравнение (8.11) на соответствующие масштабы подобия

Для подобных явлений системы уравнений (8.11) и (8.12) должны быть тождественны. Они будут тождественны, если коэффициенты при членах дифференциального уравнения (8.12), составленные из масштабов подобия, будут равны между собой, т.е.

Разделив каждый из членов равенства (8.13) на , получим

Записав каждое из уравнений (8.14) в отдельности и переходя от масштабов подобия к критериям подобия, получим следующие соотношения:

Следовательно, достаточным условием динамического подобия течения вязкой несжимаемой жидкости является выполнение четырех соотношений (8.15) для любых двух соответственных точек.

Каждый из членов равенства (8.15) есть безразмерное число и представляет собой критерий подобия. Более удобно для практических целей пользоваться обратными значениями безразмерных величин, входящих в уравнение (8.15), что, конечно, не меняет смысла этих уравнений. Таким образом, в качестве критериев гидродинамического подобия запишем следующие безразмерные числа:

число Фруда (критерий Фруда)

число Рейнольдса (критерий Рейнольдса)

число Эйлера (критерий Эйлера)

число Струхаля (критерий Струхаля)

Рассмотрим физический смысл введенных чисел. Записанное соотношение (8.13) можно представить в форме определяющих параметров

При переходе к безразмерной форме необходимо это равенство разделить на множитель характеризующий силы инерции, т.е. производим деление сил различной природы на силы инерции. Поэтому безразмерные числа соответственно характеризуют отношения: число Фруда – сил тяжести к силам инерции; число Эйлера – сил давления к силам инерции; число Рейнольдса – сил вязкости к силам инерции.

Число Струхаля характеризует инерционные гидродинамические силы, возникающие при нестационарном движении жидкости.

Перечисленные критерии подобия (условия подобия) зависят от природы сил, действующих на модель и натуру. Так как движение жидкости совершается под совокупным действием различных сил – силы давления, трения (сопротивления), тяжести, инерции, поверхностного натяжения, то для соблюдения динамического подобия необходимо выполнить одновременно подобие всех сил различной природы, т.е. выдержать все критерии подобия.

Каждое из этих равенств выражает условие динамического подобия лишь для определенной категории сил, действующих в жидкости, поэтому каждое равенство в отдельности выражает условие частичного динамического подобия для соответствующих сил.

Практическая и физическая невозможность одновременного выполнения условий полного подобия заставило исследователей искать частные критерии подобия, выражающие условия подобия в случае, когда в качестве преобладающей выступает одна из действующих сил.

При установлении правил моделирования необходимо дать оценку "удельного веса" отдельных категорий сил в изучаемом явлении и моделирование производить по превалирующим силам. Например, при исследовании законов гидравлических сопротивлений трубопроводов главную роль играют силы трения. При исследовании протекания жидкости через водосливы превалирующими силами являются силы тяжести и т.д.

Иногда исследователь вынужден устанавливать "масштабные поправки", т.е. коэффициенты перевода по тому или иному критерию данных лабораторных исследований на натуру.

Во всех перечисленных случаях подобие между моделью и натурой является приближенным, а степень приближения зависит от искусства экспериментатора и подлежит количественной оценке на основе специально выполненных опытов.

Рассмотрим гидродинамическое подобие в случае преобладающего влияния одной из действующих сил.

Критерии гидродинамического подобия и основные правила моделирования

Критерии гидродинамического подобия и основные правила моделирования. Условиями гидродинамического подобия являются равенство типов отношений между моделью и всеми силами (гравитацией, давлением, инерцией, трением, поверхностным натяжением и др.).Благодаря физическим свойствам этих сил совершенное подобие всех сил практически недостижимо и не нужно. Таким образом, критерий подобия устанавливается в особых случаях, когда доминирующей считается одна из действующих сил (доминанта).

Стандарты Фруда. Если действие силы тяжести преобладает, то необходимо выполнить условия, вытекающие из зависимости (10.8） АО-воздух Итак, если числа Фруда одинаковых сечений обоих потоков равны, то геометрически подобные потоки можно считать гидродинамически подобными. Соответствует турбулентному режиму движения в области вторичного сопротивления. Критерии Рейнольдса. При доминирующем действии силы трения, обусловленном сходством с предыдущим, необходимо выполнить условия, вытекающие из зависимости (10.8).

Условия гидродинамического подобия модели и натуры требуют равенства на модели и в натуре отношений всех сил, под действием которых протекает явление. Людмила Фирмаль

Если действие силы инерции является доминирующим в условиях нестационарного движения, то условие должно быть выполнено = 51, (10.28） Здесь 51-это критерий Струхаля, который должен быть равен модели и природе. 51n-100 миллионов долларов. Или 51 = совпадение. (10.29） Это стоит потраченного времени. = Поразить. (Ю. ЗО.） Мах standards. By основное влияние оказывает сжимаемость жидкости (обтекание объекта, где происходит быстрый и сжимаемый поток жидкости), условия ^ Н / СН = ^ м / см = м,(10.31).

Где c-скорость распространения звука в жидкости, а M-отсчет Маха, который должен быть естественным для модели. МН = мм, или М = встретились. (10.32)） Критерий Архимеда. Под действием Архимедовой силы, создаваемой разностью плотностей 2 сред (Р-Р1) (подъем нагретого воздуха), должно выполняться условие. (Р РСР _ 8м ^ м(р РМ д _ Ви рН, в * личку、 (10.33） Здесь Ar-эталон Архимеда, который должен быть равен модели и природе. АГН-ЕОС, или АГ = встретились. (10.34） Стандарты Коши.

Если действие упругой силы является доминирующим(гидроудар в трубе), условие должно быть выполнено. (10.35） Где е-модуль упругости материала. Со является критерием Коши и должна быть равна модели и природе. Сон= сом, или со = Мет. (10.36） Стандарты Лагранжа. Этот критерий помогает установить подобие медленного течения вязких жидкостей, которое можно выразить как произведение нормы Эйлера и Рейнольдса. Ба = EuPe = Встретились. Есть и другие критерии, связанные с конкретным случаем: число прантора, число Ричардсона и так далее.

Одни явления протекают под преобладающим действием сил тяжести и сопротивления, другие – сил тяжести, со противления и поверхностного натяжения или только сил тяжести и поверхностного натяжения и т.д. Людмила Фирмаль

Масштабные коэффициенты для наиболее распространенных критериев подобия приведены в таблице. 10.1. 189. Основные правила моделирования. При выборе масштаба модели учитываются принятые критерии подобия、 Можно наблюдать многие условия, вытекающие из сходных общих законов. Если естественный поток турбулентен, он должен быть турбулентным на модели(по Kem> Kekr). С другой стороны, минимально допустимый масштаб модели. 2.Если естественный поток находится в спокойном состоянии(Pr 1), то он должен находиться в том же состоянии на модели, соответственно.

Соблюдению этого условия следует уделить особое внимание, если масштаб модели смещен. 3. При моделировании этого иногда трудно добиться на практике, но необходимо добиваться геометрического сходства с раффнесс(возможно моделирование с условием H = Shet). 4.Если исследование связано с изучением движения отложений, то отложения на модели движутся подобно естественным. 5.Если кавитация (нарушение непрерывности струи) однородна, то она должна находиться в одном и том же месте на модели. 6.Эффект поверхностного натяжения должен быть относительно небольшим, чтобы он не мешал образованию волн.

Смотрите также:

Возможно эти страницы вам будут полезны:

Образовательный сайт для студентов и школьников

Исследования процессов, протекающих в технологических установках, установление закономерностей их протекания, нахождение зависимостей, необходимых для их анализа и расчета, можно проводить разными методами: теоретическим, экспериментальным, подобия.

Теоретический метод основан на составлении и решении системы дифференциальных уравнений, описывающих процесс. Дифференциальные уравнения описывают целый класс однородных по своей сущности явлений (процессов), поэтому для выделения конкретного явления необходимо ввести определенные ограничения, которые однозначно будут характеризовать данное явление. Эти дополнительные условия называются условиями однозначности. Условия однозначности включают в себя: геометрическую форму и размеры системы, т.е. аппарата, канала и т.д.; физические свойства веществ, участвующих в процессе; начальные условия (начальную температуру, начальную скорость и т.д.); граничные условия, например скорость жидкости у стенок канала, равную нулю.

Однако многие процессы химической технологии так сложны, что удается лишь составить систему дифференциальных уравнений и установить условия однозначности. Решить эти уравнения известными в математике методами не представляется возможным.

Экспериментальный метод позволяет на основе опытных данных получить эмпирические уравнения, описывающие данный процесс. Сложности экспериментального метода заключаются в необходимости проведения большого количества опытов на реальных технологических установках. Это связано с большими затратами средств и времени. Вместе с тем результаты проведенных экспериментов будут справедливы только для тех условий, для которых они получены, и не могут быть с достаточной надежностью перенесены на процессы, аналогичные изученным, но протекающие в других аппаратах.

Метод теории подобия позволяет с достаточной для практики точностью изучать сложные процессы на более простых моделях, обобщать результаты опытов и получать закономерности, справедливые не только для данного процесса, но и для всей группы подобных процессов. При моделировании процессов можно вместо дорогостоящих трудоемких опытов на промышленных установках проводить исследования на моделях значительно меньших размеров, а вместо зачастую опасных и вредных веществ использовать безопасные модельные вещества, опыты проводить в условиях, отличных от производственных. Кроме того, материальную модель можно заменить физической схемой (моделью), отражающей существенные особенности данного процесса. Поэтому в данном учебном пособии наиболее подробно будет рассмотрена теория подобия.

Теория подобия. Виды подобия

Метод обобщенных переменных составляет основу теории подобия. Одним из основных принципов теории подобия является выделение из класса явлений (процессов), описываемых общим законом (процессы движения жидкостей, диффузии, теплопроводности и т.п.), группы подобных явлений.

Подобными называются такие явления, для которых отношения сходственных и характеризующих их величин постоянны.

Различают следующие виды подобия: геометрическое; временное; физических величин; начальных и граничных условий.

Геометрическое подобие соблюдается при равенстве отношений всех сходственных линейных размеров натуры и модели. Например, при изучении движения жидкости в канале длиной L , диаметром D . В модели сходственные размеры равныl и d . Тогда

L/l =D/d= . = соnst= k_l (0)

Безразмерная величина k (а в Дытнерском), называется константой геометрического подобия , или масштабным (переходным) множителем . Константы подобия характеризуют отношение однородных сходственных величин в подобных системах и позволяют перейти от размеров одной системы (модели) к другой (натуре).

Временное подобие предполагает, что сходственные частицы в геометрически подобных системах, двигаясь по геометрически подобным траекториям, проходят геометрически подобные пути за промежутки времени, отношение которых является константой подобия k_х , т.е.

(1)

На рис.1. изображен канал (натура) с размерами L и D и модель с размерами l и d . Некая частица в точке А (натура) находится в момент времени τ_А , в точке В — в момент времени τ_в . В геометрически подобной модели сходственная частица находится в подобной точке а в момент времени τ_а , в точке b— в момент времени τ _b .

Рис. 1. Условия подобия в натуре (a) и в модели (б)

теория подобие переменная обобщенный

При соблюдении геометрического и временного подобия константа подобия скоростей k_υ определяется из соотношений

(2)

Подобие физических величин предполагает, что для двух любых сходственных точек натуры и модели, размещенных подобно в пространстве и во времени, соотношение физических величин (μ,ρи т.д.) является величиной постоянной:

(3)

Подобие начальных и граничных условий заключается в том, что для начальных и граничных условий должно соблюдаться геометрическое, временное и физическое подобие так же, как и для других сходственных точек натуры и модели.

Рассмотренные константы подобия постоянны для различных сходственных точек подобных систем, но могут изменяться в зависимости от соотношения размеров натуры и модели, т. е. если имеется другая модель, подобная натуре, константы подобия будут другими.

Если подобные величины выразить в относительных единицах, т.е. в виде отношений сходственных величин в пределах одной системы (натуры или модели), то получим инварианты подобия:

(4)

Инварианты подобия не зависят от соотношения размеров натуры и модели, т.е. для всех моделей, подобных натуре, они будут одни и те же. Инварианты подобия, представляющие собой отношение однородных величин, называются симплексами, или параметрическими критериями , например отношение L / D - геометрический симплекс.

Инварианты подобия, выраженные отношением разнородных величин, называются критериями подобия. Критерии подобия обозначаются начальными буквами имен ученых, которые внесли большой вклад в развитие данной области знаний.

Критерии подобия безразмерны, их значения для разных точек системы могут быть различными, но для сходственных точек подобных систем они одинаковые и не зависят от относительных размеров натуры и модели.

Критерии подобия имеют физический смысл, являясь мерами соотношения между какими-то двумя эффектами, силами и т.п., оказывающими влияние на протекание данного процесса.

Критерии подобия могут быть получены для любого процесса, если известны уравнения, описывающие этот процесс.

Основные положения теории подобия (теоремы подобия)

Основные положения теории подобия заключены в теоремах подобия, которые лежат в основе практического применения теории подобия.

Первая теорема подобия( теорема Ньютон-Бертрана): подобные явления характеризуются численно равными критериями подобия .

Теорема была сформулирована Ньютоном. Она устанавливает, что единственным количественным условием подобия процессов является равенство критериев подобия натуры и модели.

Отсюда очевидно, что отношение критериев одной системы (натуры) к критериям другой подобной ей системы (модели) всегда равно 1. Например,

Если отношение констант подобия равно 1, оно носит название индикатора подобия и указывает на равенство критериев подобия.

Следовательно, у подобных явлений индикаторы подобия равны 1.

Первая теорема подобия указывает, какие величины следует измерять при проведении опытов, результаты которых требуется обобщить: надо измерять те величины, которые входят в критерии подобия.

Вторая теорема подобия (теорема Бэкингем-Федермана): решение любого дифференциального уравнения, связывающего между собой переменные, влияющие на процесс, может быть представлено в виде зависимости между критериями К подобия. Такие уравнения называются уравнениями обобщенных переменных , или критериальными уравнениями , например

Обычно критериальное уравнение записывается в виде зависимости определяемого критерия подобия от определяющих критериев подобия:

где А, т, п — эмпирические показатели.

Определяемым критерием является тот критерий, в который входит определяемая величина. Критерии, в которые входят величины, определяющие ход процесса (v ,μ,ρ, d _э и т.д.), называются определяющими .

Если какой-либо эффект в исследуемом процессе мало влияет на его протекание, то критерии подобия, характеризующие интенсивность данного эффекта, могут не учитываться. В этом случае процесс по отношению к этому эффекту и к критерию подобия становится автомодельным , т.е. независимым. В соответствии с этой теоремой результаты эксперимента, проведенного на модели, можно представлять в виде критериальных уравнений.

Третья теорема подобия (теорема Киринчен-Гухмана): явления подобны, если их определяющие критерии равны.

Следствием равенства определяющих критериев подобия является равенство и определяемых критериев для натуры и модели, поэтому полученная на модели в результате опытов критериальная зависимость будет справедлива для всех подобных процессов, в том числе и для протекающих в промышленной установке. При этом следует учитывать, что полученные уравнения надежно можно использовать только в тех интервалах изменения переменных, которые были использованы при проведении опытов.

Таким образом, для исследования технологических процессов методом подобия необходимо:

1. выбрать дифференциальное уравнение и условия однозначности, описывающие данный процесс; затем путем преобразования найти критерии подобия;

2. опытным путем с помощью моделей установить зависимость между критериями подобия; полученное обобщенное уравнение будет справедливым для всех подобных процессов в пределах изменения определяющих критериев подобия.

Преобразование дифференциальных уравнений методом теории подобия проводится в следующем порядке:

1. каждый из членов дифференциального уравнения умножается на соответствующие константы подобия к_τ , к_v , к_l ит.д.;

2. полученные коэффициенты перед членами уравнения для соблюдения тождественности приравниваются;

3. в полученных индикаторах подобия константы подобия заменяются соответствующими отношениями величин, и полученные комплексы являются критериями подобия.

В табл. 1 приведены основные критерии гидродинамического подобия, которые будут равны для сходственных точек натуры и модели, если они подобны.

Таблица 1 - Основные критерии гидродинамического подобия

υ - скорость, м/с;

l - определяющий размер, м;

ρ - плотность, кг/м 3 ;

μ - динамическая вязкость, Па-с;

ν - кинематическая вязкость, м 2 /с;

g - ускорение свободного падения, м/с 2 ;

Таким образом, дифференциальное уравнение Навье - Стокса, описывающее движение вязкой жидкости, может быть представлено в виде критериального уравнения:

f (Rе, Но, Fr, Еu) = 0 (8)

Уравнение (8) является обобщенным критериальным уравнением гидродинамики. Все критерии уравнения (8), кроме критерия Ей, являются определяющими, так как они составлены из величин, входящих в условия однозначности. Критерий Эйлера, в который входит величина ∆р, являющаяся целью расчета, будет определяемым критерием.

Еu = f (Rе, Но, Fr) или

Еu = AНо с Rе т Fr п , (9)

где А,c,т,п- эмпирические показатели.

В ряде случаев уравнение (19) дополняют геометрическим симплексом l / d :

Еu = AНо с Rе т Fr п (l / d ) b , (10)

где b- эмпирический показатель.

При установившемся движении критерий Но исключается из критериального уравнения:

Еu = ARе т Fr п (l / d ) b . (11)

В случае, если скорость движения жидкости не определена, в расчеты вводят производные или модифицированные критерии подобия, составленные из основных критериев. В этих критериях подобия неизвестная величина υ заменяется другими величинами, которые сравнительно легко определяются экспериментально или аналитически.

Возьмем отношение критериев Rе и Fr:

(12)

Полученный безразмерный комплекс величин называется критерием Галилея. Если умножить этот критерий на отношение ( ρ ₁ - ρ ₂ )/ ρ ₂ , то получается новый критерий подобия — критерий Архимеда

(13)

где ρ ₁ , ρ ₂ — плотности жидкости в разных точках, кг/м 3 .

Читайте также: