Корреляционный анализ в исследованиях из экономики реферат

Обновлено: 05.07.2024

Корреляционный анализ – это проверка гипотез о связях между переменными с использованием коэффициентов корреляции. Коэффициент корреляции – двумерная описательная статистика, количественная мера взаимосвязи (совместной изменчивости) двух переменных. Таким образом, корреляционный анализ это совокупность методов обнаружения корреляционной зависимости между случайными величинами или признаками.

Содержание работы

Файлы: 1 файл

referat_po_kompam.docx

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РФ

Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования

ВОЛГОГРАДСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ

Тема: Корреляционный анализ

Введение………………………………………………………… ……….…3
Реферативная справка……………………………………………………. 5
Отбор факторов для корреляционного анализа……………………..…. 9
Постановка задачи………………………………………………………. 11
Пример……………………………………………………………… …..…12
Выводы……………………………………………………………… ….…19
Список использованной литературы………………………………….…20

Статистические методы применяются при обработке материалов психологических исследований для того, чтобы извлечь из тех количественных данных, которые получены в экспериментах, при опросе и наблюдениях, возможно больше полезной информации. Одним самых из распространенных методов статистики является корреляционный анализ.

Термин "корреляция" впервые применил французский палеонтолог Ж. Кювье, который вывел "закон корреляции частей и органов животных" (этот закон позволяет восстанавливать по найденным частям тела облик всего животного). В статистику указанный термин ввел английский биолог и статистик Ф. Гальтон (не просто связь – relation, а "как бы связь " – corelation).

1) построение корреляционного поля и составление корреляционной таблицы;

2) вычисление выборочных коэффициентов корреляции и корреляционных отношений;

3) проверка статистической гипотезы значимости связи.

Основное назначение корреляционного анализа – выявление корреляционной связи между двумя или более изучаемыми переменными. Корреляционная связь это совместное согласованное изменение двух изучаемых характеристик. Данная изменчивость обладает тремя основными характеристиками: формой, направлением и силой.

Корреляционный анализ - совокупность основанных на математической теории корреляции методов обнаружения корреляционной зависимости между двумя случайными признаками или факторами. Корреляционный анализ экспериментальных данных заключает в себе следующие основные практические приёмы: 1) построение корреляционного поля и составление корреляционной таблицы; 2) вычисление выборочных коэффициентов корреляции или корреляционного отношения; 3) проверка статистической гипотезы значимости связи. Дальнейшее исследование заключается в установлении конкретного вида зависимости между величинами. Зависимость между тремя и большим числом случайных признаков или факторов изучается методами многомерного корреляционного анализа. (вычисление частных и множественных коэффициентов корреляции и корреляционных отношений).

Корреляционное поле и корреляционная таблица являются вспомогательными средствами при анализе выборочных данных. При нанесении на координатную плоскость выборочных точек получают корреляционное поле. По характеру расположения точек поля можно составить предварительное мнение о форме зависимости случайных величин (например, о том, что одна величина в среднем возрастает или убывает при возрастании другой). Для численной обработки результаты обычно группируют и представляют в форме корреляционной таблицы. В каждой клетке корреляционной таблицы приводятся численности гц; тех пар (х, у), компоненты которых попадают в соответствующие интервалы группировки по каждой переменной.

Предполагая длины интервалов группировки (по каждому из переменных) равными между собой, выбирают центры xi (соответственно yj) этих интервалов и числа nij в качестве основы для расчётов.

Коэффициент корреляции и корреляционное отношение дают более точную информацию о характере и силе связи, чем картина корреляционного поля. Выборочный коэффициента корреляции определяют по формуле:

При большом числе независимых наблюдений, подчиняющихся одному и тому же распределению, и при надлежащем выборе интервалов группировки коэффициент ρ̂ близок к истинному коэффициенту корреляции ρ. Поэтому использование ρ̂ как меры связи имеет четко определённый смысл для тех распределений, для которых естественной мерой зависимости служит ρ (т. е. для нормальных или близких к ним распределений). Во всех др. случаях в качестве характеристики силы связи рекомендуется использовать корреляционное отношение η, интерпретация которого не зависит от вида исследуемой зависимости.

Коэффициенты корреляции является общепринятой в математической статистике характеристикой связи между двумя случайными величинами. Коэффициент корреляции - показатель степени взаимозависимости, статистической связи двух переменных; изменяется в пределах от -1 до +1. Значение коэффициента корреляции 0 указывает на возможное отсутствие зависимости, значение +1 свидетельствует о согласованности переменных.

Различают следующие коэффициенты корреляции:

- дихотомический - показатель связи признаков (переменных) измеряемых по дихотомическим шкалам наименований;

- Пирсона (Pearson product-moment correlation) - коэффициент корреляции, используемый для континуальных переменных;

- ранговой корреляции Спирмена (Spearmen's rank-order correlation) - коэффициент корреляции для переменных, измеренных в порядковых (ранговых) шкалах;

- точечно-бисериальной корреляции (point-biserial correlation) - коэффициент корреляции, применяемый в случае анализа отношения переменных, одна из которых измерена в континуальной шкале, а другая - в строго дихотомической шкале наименований;

- j - коэффициент корреляции, используемый в случае, если обе переменные измерены в дихотомической шкале наименований.

- тетрахорический ( четырехпольный) (tetrachoric) - коэффициент корреляции, используемый в случае, если обе переменные измерены в континуальных шкалах[4].

Линейная связь между переменными Xi и Xj оценивается коэффициентом корреляции:

где Xi и Xj – исследуемые переменные; mXi и mXj – математические ожидания переменных; σX и σX – дисперсии переменных.

Выборочный коэффициент корреляции определяют по формуле:

или по преобразованной формуле:

где i =1, 2, ., n, j = 1, 2, ., m, u = 1, 2, ., N; N – число опытов(объем выборки); xi, xj – оценки математических ожиданий; SXi, SXj – оценки среднеквадратических отклонений.

Только при совместной нормальной распределенности исследуемых случайных величин Xi и Xj коэффициент корреляции имеет определенный смысл связи между переменными. В противном случае коэффициент корреляции может только косвенно характеризовать эту связь[5].

Применение корреляционного анализа позволяет решить следующие задачи:

2) установить относительную степень зависимости результативного показателя от каждого фактора.

Исследование корреляционных зависимостей имеет огромное значение в АХД. Это проявляется в том, что значительно углубляется факторный анализ, устанавливаются место и роль каждого фактора в формировании уровня исследуемых показателей, углубляются знания об изучаемых явлениях, определяются закономерности их развития и как итог — точнее обосновываются планы и управленческие решения, более объективно оцениваются итоги деятельности предприятий и более полно определяются внутрихозяйственные резервы.

Отбор факторов для корреляционного анализа

Отбор факторов для корреляционного анализа — очень важный момент: от того, насколько правильно отобраны факторы, зависят конечные результаты анализа. Главная роль при отборе факторов принадлежит теории, а также практическому опыту анализа. При этом необходимо придерживаться следующих правил.

1. В первую очередь следует учитывать причинно-следственные связи между показателями, ибо только они раскрывают сущность изучаемых явлений. Анализ же таких факторов, которые находятся только в математических соотношениях с результативным показателем, не имеет практического смысла.

2. При создании многофакторной корреляционной модели необходимо отбирать самые значимые факторы, которые оказывают решаюшее воздействие на результативный показатель, так как охватить все условия и обстоятельства практически невозможно. Факторы, которые имеют критерий надежности по Стьюденту меньше табличного, не рекомендуется принимать в расчет.

3. В корреляционную модель линейного типа не рекомендуется включать факторы, связь которых с результативным показателем имеет криволинейный характер.

4. Нельзя включать в корреляционную модель взаимосвязанные факторы. Если парный коэффициент корреляции между двумя факторами больше 0,85, то по правилам корреляционного анализа один из них необходимо исключить, иначе это приведет к искажению результатов анализа.

5. Не рекомендуется включать в корреляционную модель факторы, связь которых с результативным показателем носит функциональный характер.

Большую помощь при отборе факторов для корреляционной модели оказывают аналитические группировки, способ сравнения параллельных и динамических рядов, линейные графики. С их помощью можно определить наличие, направление и форму зависимости между изучаемыми показателями. Отбор факторов можно производить также в процессе решения задачи корреляционного анализа на основе оценки их значимости по критерию Стьюдента.

Учитывая перечисленные требования и используя названные способы отбора факторов, для многофакторной корреляционной модели уровня рентабельности (Y) подобраны следующие факторы, оказывающие наиболее существенное влияние на ее уровень:

x1 - материалоотдача, руб.;

x2 - фондоотдача, коп.;

x3 - производительность труда (среднегодовая выработка продукции на одного работника), млн руб.;

x4 - продолжительность оборота оборотных средств предприятия, дни;

x5 - удельный вес продукции высшей категории качества, %.

Поскольку корреляционная связь достаточно полно проявляется только в массе наблюдений, объем выборки данных должен быть достаточно большим, так как только в массе наблюдений сглаживается влияние других факторов. Чем большая совокупность объектов исследуется, тем точнее результаты анализа.

Имеется матрица наблюдений вида(пример 1 ,2)

Необходимо определить оценки коэффициентов корреляции для всех или только для заданных пар параметров и оценить их значимость. Незначимые оценки приравниваются к нулю.

Выборка имеет достаточный объем. Понятие достаточного объема зависит от целей анализа, требуемой точности и надежности оценки коэффициентов корреляции, от количества факторов. Минимально допустимым считается объем, когда количество наблюдений не менее чем в 5–6 раз превосходит количество факторов;
выборки по каждому фактору являются однородными. Это допущение обеспечивает несмещенную оценку средних величин;
матрица наблюдений не содержит пропусков.

Если необходима проверка значимости оценки коэффициента корреляции, то требуется соблюдение дополнительного условия – распределение вариант должно подчиняться нормальному закону.

Исследование объективно существующих связей между явлениями - важнейшая задача общей теории статистики. В процессе статистического исследования зависимостей вскрываются причинно-следственные отношения между явлениями, что позволяет выявлять факторы (признаки), оказывающие существенное влияние на вариацию изучаемых явлений и процессов.
Причинно-следственные отношения - это связь явлений и процессов, при которой изменение одного из них - причины - ведет к изменению другого - следствия.

Прикрепленные файлы: 1 файл

курсовая по статистике.docx

Причинно-следственные отношения - это связь явлений и процессов, при которой изменение одного из них - причины - ведет к изменению другого - следствия.

Причина - это совокупность условий, обстоятельств, действие которых приводит к появлению следствия. Если между явлениями действительно существуют причинно-следственные отношения, то эти условия должны обязательно реализовываться вместе с действием причин. Причинные связи носят всеобщий и многообразный характер, и для обнаружения причинно-следственных связей необходимо отбирать отдельные явления и изучать их изолированно.

Особое значение при исследовании причинно-следственных связей имеет выявление временной последовательности: причина всегда должна предшествовать следствию, однако не каждое предшествующее событие следует считать причиной, а последующее - следствием.

В реальной социально-экономической действительности причину и следствие необходимо рассматривать как смежные явления, появление которых обусловлено комплексом сопутствующих более простых причин и следствий. Между сложными группами причин и следствий возможны многозначные связи, в которых за одной причиной будет следовать то одно, то другое действие или одно действие будет иметь несколько различных причин. Чтобы установить однозначнуюпричинную связь между явлениями или предсказать возможныеследствияконкретной причины, необходима полная абстракция от всех прочих явлений в исследуемой временной или пространственной среде. Теоретически такая абстракция воспроизводится. Приемы абстракции часто применяются при изучении взаимосвязей между двумя признаками (парная корреляция). Но чем сложнее изучаемые явления, тем труднее выявить причинно-следственные связи между ними. Взаимное переплетение различных внутренних и внешних факторов неизбежно приводит к некоторым ошибкам в определении причины и следствия.

Сущность и назначение корреляционного метода изучения взаимосвязей между явлениями
1. Сущность корреляционного метода
Особенностью причинно-следственных связей в социально-экономических явлениях является их транзитивность, т.е. причина (X)и следствие (У) связаны соотношением , а не непосредственно.

Однако промежуточные факторы, как правило, при анализе опускаются.

Так, например, при использовании показателей международной методологии расчетов фактором валовой прибыли (У) считается валовое накопление основных и оборотных фондов (X), но при этом допускаются такие факторы, как валовой выпуск (Х/), оплата труда (X") и т. д. Правильно вскрытые причинно-следственные связи позволяют установить силу воздействия отдельных факторов на результаты хозяйственной деятельности.

Социально-экономические явления представляют собой результат одновременного воздействия большого числа причин. При изучении социально-экономических явлений необходимо выявлять главные, основные причины.

Этапы статистического изучения:
- осуществляем качественный анализ изучаемого явления методами экономической теории, социологии, конкретной экономики.
- строим модель связи на основе методов статистики: группировок, средних величин, таблиц и т. д.
- интерпретируем результаты; анализ вновь связан с качественными особенностями изучаемого явления.
В статистике разработано множество методов изучения связей, выбор которых зависит от целей исследования и поставленных задач. Связи между признаками и явлениями классифицируются по ряду оснований. Признаки по значению для изучения взаимосвязи делятся на два класса: факторные( признаки, обуславливающие изменения других, связанных с ними признаков) и результативные (признаки, изменяющиеся под действием факторных признаков). Связи между явлениями и их признаками классифицируются по степени тесноты связи, направлению и аналитическому выражению.

В статистике различают функциональную связь и стохастическую зависимость. Связь, при которой определенному значению факторного признака соответствует единственное значение результативного признака, называется функциональной. Функциональная связь проявляется во всех случаях наблюдения и для каждой конкретной единицы исследуемой совокупности.

Стохастическойназывается зависимость, при которой причинная зависимость проявляется не в каждом отдельном случае, а в общем, среднем при большом числе наблюдений. Частным случаем стохастической является корреляционная связь, при которой изменение среднего значения результативного признака обусловлено изменением факторных признаков.

По направлению выделяют связь прямую и обратную. При прямой связи с увеличением или уменьшением значений факторного признака происходит увеличение или уменьшение значений результативного. Так, например, рост производительности труда способствует увеличению уровня рентабельности производства. В случае обратной связи значения результативного признака изменяются под воздействием факторного, но в противоположном направлении по сравнению с изменением факторного признака. Так, с увеличением уровня фондоотдачи снижается себестоимость единицы производимой продукции.

По аналитическому выражению выделяют связи прямолинейные (или просто линейные) и нелинейные:
- линейная связь - статистическая связь между явлениями может быть приближенно выражена уравнением прямой линии;
- нелинейная, или криволинейная связь - статистическая связь между явлениями может быть приближенно выражена какой-либо кривой линией (парабола, гипербола, степенная, показательная, экспоненциальная и т. д.).
В статистике не всегда требуются количественные оценки связи, часто важно определить лишь ее направление и характер, выявить форму воздействия одних факторов на другие. Для выявления наличия связи, ее характера и направления в статистике используются методы приведения параллельных данных; аналитических группировок; графический, корреляционный, регрессионный.

Метод приведения параллельных данных основан на сопоставлении двух или нескольких рядов статистических величин. Такое

сопоставление позволяет установить наличие связи и получить представление о ее характере. Сравним изменения двух величин xи y. С

увеличением величины x величина y также возрастает. Поэтому связь между ними прямая, и описать ее можно или уравнением прямой, или уравнением параболы второго порядка.

Обработка статистических данных уже давно применяется в самых разнообразных видах человеческой деятельности. Вообще говоря, трудно назвать ту сферу, в которой она бы не использовалась. Но, пожалуй, ни в одной области знаний и практической деятельности обработка статистических данных не играет такой исключительно большой роли, как в экономике, имеющей дело с обработкой и анализом огромных массивов информации о социально-экономических явлениях и процессах. Всесторонний и глубокий анализ этой информации, так называемых статистических данных, предполагает использование различных специальных методов, важное место среди которых занимает корреляционный и регрессионный анализы обработки статистических данных, поэтому тема моей курсовой работы очень актуальна.

В экономических исследованиях часто решают задачу выявления факторов, определяющих уровень и динамику экономического процесса. Такая задача чаще всего решается методами корреляционного и регрессионного анализа. Для достоверного отображения объективно существующих в экономике процессов необходимо выявить существенные взаимосвязи и не только выявить, но и дать им количественную оценку. Этот подход требует вскрытия причинных зависимостей. Под причинной зависимостью понимается такая связь между процессами, когда изменение одного из них является следствием изменения другого.

Основными задачами корреляционного анализа являются оценка силы связи и проверка статистических гипотез о наличии силе корреляционной связи. Не все факторы, влияющие на экономические процессы, являются случайными величинами, поэтому при анализе экономических явлений обычно рассматриваются связи между случайными и неслучайными величинами. Такие связи называются регрессионными, а метод математической статистики, их изучающий, называется регрессионным анализом.

Использование возможностей современной вычислительной техники, оснащенной пакетами программ машинной обработки статистической информации на ЭВМ, делает практически осуществимым оперативное решение моей задачи изучения связи между размером среднегодовой стоимости основных производственных фондов и выпуском продукции в расчетной части курсовой работы.

При машинной обработке исходной информации на ЭВМ, оснащенных пакетами стандартных программ ведения анализов, вычисление параметров применяемых математических функций является быстро выполняемой счетной операцией.

Для полного усвоения корреляционно-регрессионного анализа в экономических исследованиях в аналитической части работы будет приведено еще одно решение задачи.

Данная работа посвящена изучению возможности обработки статистических данных методами корреляционного и регрессионного анализа с использованием пакета прикладных программ Microsoft Excel.

Взаимосвязанные признаки и графики связи

Марксистко-ленинская философия учит, что существует всеобщая связь явлений, представляющая собой результат универсального взаимодействия всех предметов и явлений.

При рассмотрении влияния одних признаков явлений на другие из цепи признаков, характеризующих данное явление, выделяются признаки факторные и результативные. Выделение признаков производится прежде всего при помощи логического анализа. Например, производительность труда рабочих зависит от многих факторов, в том числе и от стажа работы этих рабочих. Производительность труда выступает здесь как результативный признак, а стаж работы называется функцией, факторный - аргументом.

Наиболее простым методом оценки связи двух или нескольких признаков является метод группировки, при котором факторные признаки являются основанием группировки.

Статистическую связь между двумя признаками можно изобразить графически. Для этой цели в математике результативный признак принято обозначать через , факторный признак – через . Имея численные значения обоих признаков, можно каждую пару чисел, относящуюся к определенной единице совокупности, графически представить на плоскости, образуемой системой прямоугольных координат, в виде точки. Согласно правилам математики по оси абсцисс откладываются значения факторного признака, а по оси ординат – результативного. Соединив полученные точки прямыми линиями, в итоге получаем ломаную, которую называют ломаной регрессии. Число точек ломаной регрессии зависит от числа единиц, по которым даны значения обоих признаков.

График связи можно применить лишь при иллюстрации зависимости между двумя признаками, т. е., как говорят, при парной корреляции. При графическом изображении связи между несколькими взаимосвязанными признаками используется метод графов. Метод графов не позволяет судить о форме связи между признаками, а дает возможность графически представить, какие из факторов влияют на результативный признак, а также взаимосвязи факторных признаков. Граф представляет собой точки(вершины), соединенные линиями(ребрами).

Виды связей между признаками

В статистике взаимосвязь явлений изучается методом корреляции. Основоположниками теории корреляции считаются английские биометрики Ф. Гальтон (1822-1911 гг.) и К. Пирсон (1857-1936 гг.).

Всеобщая связь явлений составляет внутреннее структурное единство всех элементов и свойств в каждой целостной системе. Всеобщая связь явлений имеет бесконечное разнообразие проявлений. Связи могут быть существенными и несущественными, прямыми и косвенными, функциональными и статистическими. Всеобщая связь явлений тесно связана с причинностью, однако причина и следствие, как таковые, могут рассматриваться лишь вне универсальной связи одних явлений с другими.

Связь называется функциональной, если изменение одних явлений вызывает вполне определенное изменение других. Такие связи проявляются в виде закона, который обладает точной количественной определенностью и может быть, в принципе, выражен в форме уравнения. Так, площадь круга зависит от квадрата его радиуса. Площадь круга в этом случае является функцией радиуса круга (аргумента). Таким образом, при функциональных связях факторный признак полностью определяет величину результативного признака.

В массовых явлениях общественной жизни функциональные связи встречаются реже. Эти явления отличаются сложностью и многообразием существующих и проявляющихся между ними взаимосвязей. Стохастической называется связь между случайными величинами. Эта связь проявляется в том, что изменение одной величины вызывает изменение распределения другой, связанной с ней случайной величиной. Частным случаем стохастических связей являются статистические.

Итак, связи, возникающие при большом числе наблюдений и проявляющиеся в том, что изменение среднего значения одного признака приводит в общем и в целом к изменению среднего значения другого признака, называются связями статистическими. Статистические связи подразделяются на связи корреляционные и регрессионные. Величины называются корреляционно связанными, если изменение математического ожидания одной из них изменяет математическое ожидание другой, при этом оба взаимосвязанных признака должны выражаться случайными величинами. Регрессионные связи выражают зависимость между случайными и неслучайными величинами. Результативными признаками здесь являются случайные величины, а факторными – неслучайные величины.

Уравнение, отображающее статистическую связь между признаками, называется уравнением регрессии. Если уравнение регрессии связывает лишь два признака, то оно называется уравнением парной регрессии или уравнением регрессии одного фактора. Если уравнение связи отражает зависимость результативного признака от двух или более факторных признаков, оно называется уравнением множественной регрессии.

При определении вида уравнения парной регрессии используют, главным образом, графическое изображение статистической связи. Полученная ломаная регрессии дает исследователю возможность определить, какую функцию надо применить для отображения связи.

Геометрически уравнение регрессии видоизменяется при парной регрессии, как прямая или кривая линия, при множественной регрессии - как гиперповерхность (в линейной связи – гиперплоскость) в (n+1)-мерном пространстве, вокруг которой рассеяны фактические данные.

Прямая связь, при которой результативный признак изменяется по арифметической прогрессии, а факторный – более быстро требует применения параболической или показательной регрессии. Уравнение множественной регрессии часто выражают прямой, зависящей от многих переменных, или степенной функцией.

Определить уравнение регрессии означает найти его параметры. При этом обычно применяют правило наименьших квадратов, согласно которому сумма квадратов отклонений фактических значений результативного признака () от его значений, найденных по уравнению регрессии ( или , или и т. д.) должна быть наименьшей:

Это выражение после дифференцирования превращается в систему нормальных уравнений, решение которой позволяет определить параметры уравнения регрессии. Всегда число нормальных уравнений на одно больше числа входящих в уравнение регрессии независимых переменных.

Доказано, что уравнение регрессии отражает связь между признаками более точно, если оно построено на основании достаточно большого числа наблюдений для однородной совокупности экономических явлений. Поскольку оно выражает приближенную связь, его часто называют моделью связи между явлениями.

Линейная регрессия одного фактора

Уравнение линейной регрессии одного фактора записывается в виде уравнения прямой: +, где - факторный признак; - результативный признак; и - параметры уравнения. Чтобы определить параметры пользуются методом наименьших квадратов и находят минимум функций S= Σ ( - -). В этой функции за переменные принимаются последовательно значения и . Экстремум функции двух переменных определяется, если приравнять частные производные по этим переменным нулю.

После определения частных производных функции по и , приравнивания их нулю, и небольших преобразований получим систему нормальных уравнений:

Решение которой и позволяет определить величины параметров и , а следовательно и уравнение регрессии.

Параметры уравнения линейной регрессии одного фактора можно находить и по формулам:

Ясно, что практически приемлемым является наименее трудоемкий вариант расчета. В уравнении прямой параметр экономического смысла не имеет. Параметр является коэффициентом регрессии и показывает изменение результативного признака при изменении факторного признака на единицу.

Кроме линейной функции связи в экономическом анализе часто применяются степенная, гиперболическая и параболическая функции.

Расчет параметров степенной функции

Если значения факторного признака расположены в порядке геометрической прогрессии и соответствующие значения результативного признака также образуют геометрическую прогрессию, то связь между признаками может быть представлена степенной функцией вида

Для определения параметров степенной функции методом наименьших квадратов необходимо привести ее к линейному виду путем логарифмирования:

Система нормальных уравнений имеет вид:

Параметры можно определить, решая систему нормальных уравнений или по формулам:

Расчет параметров уравнения гиперболы

Если результативный признак с увеличением факторного признака возрастает (или убывает) не бесконечно, а стремится к конечному пределу, то для анализа такого признака применяется уравнение гиперболы вида

Для определения параметров этого уравнения используется система нормальных уравнений

Чтобы определить параметры уравнения гиперболы методом наименьших квадратов, необходимо привести его к линейному виду. Для этого произведем замену переменных =, получим следующую систему нормальных уравнений:

Параметры уравнения гиперболы можно вычислить по формулам

Параболическая регрессия одного фактора

Связь одного фактора, при которой результативный признак увеличивается быстрее, чем факторный, отображается уравнением параболы второго порядка: . Для определения параметров параболы по методу наименьших квадратов находят минимум функции .

При этом получают следующую систему нормальных уравнений:

Первое уравнение почти полностью воспроизводит само уравнение параболы, второе уравнение старше первого на , третье - старше первого на .

Парная таблица с большим числом наблюдений часто становится мало обозримой, и по ней неудобно вести расчеты. Поэтому для табличного изображения парной связи, решения уравнения регрессии и определения показателей тесноты связи используют корреляционную (двумерную) таблицу. В корреляционной таблице можно отобразить только парную связь, т. е. связь результативного признака с одним фактором. Она позволяет найти уравнение регрессии и вычислить линейный коэффициент корреляции. Само уравнение регрессии может иметь линейную, параболическую, гиперболическую, показательную и др. формы. При нахождении уравнения регрессии и линейного коэффициента по корреляционной таблице не теряется информация о связи, обусловленная усреднением данных. В корреляционной таблице связь между признаками выступает более рельефно, чем при рассмотрении средних значений факторного и результативного признаков. Однако, если обеспечивается возможность счета по каждой паре взаимосвязанных данных, необходимо ею воспользоваться и прибегать к корреляционной таблице лишь в отдельных случаях – при группировке данных.

Для составления корреляционной таблицы парной связи материал предварительно группируется по обоим признакам. Затем строится таблица, в которой по строкам откладываются группы одного (например, результативного) признака, а по столбцам размещаются группы другого (теперь факторного) признака. В клетках этой таблицы отмечается число единиц, имеющих определенную величину того и другого признаков. Итоги по строкам () покажут число единиц в каждой группе результативного признака (если он размещен в строках). Итоги по колонкам () покажут распределение факторного признака. В клетке, в которой итоги по строке сходятся с итогами по колонке, получаем число наблюдений: .

совокупности, распределенной по многомерному нормальному з акону.

Основная задача корреляционного анализа (являющаяся основной и в

регрессионном анализе) состоит в оценке уравнения регрессии.

Корреляция – частный случай статистической связи, состоящий в том, что

разным значениям одной переменной соответствуют различные средние

значения другой. С изменением значения признака х закономерным образом

изменяется среднее значение признака у, в то время как в каждом отдельном

случае значение признака у (с различными вероятностями) может принимать

Статистическая связь м ежду двумя признаками (переменными

величинами) предполагает, ч то каждый из них имеет случайную вариацию

индивидуальных значений относительно средней велич ины. Если же такую

вариацию имеет только один из признаков, а значения другого являются

жестко детерминированными, то говорят лишь о регрессии.

Корреляционная связь м ежду признаками может возникнуть разными

Например, признак х — балл оценки плодородия почв, признак у —

 Второй путь — сопряженность, возникающая при наличии общей

например, корреляция между уровнями производительности труда

рабочих и уровнем оплаты 1 ч труда (тарифной ставкой). С одной стороны,

уровень зарплаты — следствие производительности труда: чем она в ыше,

тем выше и оплата. Но, с другой стороны, установленные тарифные ставки

и расценки играют стимулирующую роль: при правильной системе оплаты

они выступают в качестве фактора, от которого зависит производительность

труда. В такой системе признаков допустимы обе постановки задачи;

каждый признак может выступать в роли нез ависимой переменной х и в

Условия применения и ограничения корреляционно-регрессионного

первым условием возможности изучения корреляционной связи является

Какое именно число явлений достаточно для анализа корреляционной и

вообще статистической связи, зависит от цели анализа, требуемой точности и

Читайте также: