Комплексные числа в электротехнике реферат

Обновлено: 28.06.2024

Показать значение и роль комплексного числа для современной науки и техники.

Вложение	Размер
znachimost_kompleksnogo_chisla.docx	183.18 КБ

Предварительный просмотр:

Всероссийский конкурс проектно-исследовательских работ учащихся

Государственное автономное образовательное учреждение среднего профессионального образования Ленинградской области

Полный адрес: 187110 Ленинградская область г.Кириши проспект Победы д.1

Автор : Рубцов Дмитрий Павлович,

1 курс группа 44

Научный руководитель : Петрова Ольга Ивановна,

2014-2015 учебный год

1.1. История возникновения чисел 3-4стр.

1.2. Открытие комплексных чисел 4-5

1.3. Действия с комплексными числами. 5-6

1.4. Запись комплексного числа различными формами. 6-7

1.5. Решение квадратного уравнения с отрицательным дискриминантом

2.2. Решение простейшей задачи по электротехнике 10-11

2.3. Закон Ома в комплексной форме 12

4. Заключение. 13

5. Список литературы.

Цели работы : Выяснить историю появления различных чисел,

Изучить определение комплексного числа, показать их значимость в современной науке , выявить их практическое применение

Показать использование комплексных чисел в электротехнике

Показать значение и роль комплексного числа для современной науки и техники.

Задачи проекта:1) Изучить свойства комплексных чисел

2) Выяснить историю появления комплексного числа

3). Рассмотреть применение комплексных чисел , выявить важность их в современном мире

4) Найти информацию по заданной теме, обобщить результаты.

Гипотеза: Важно ли применение комплексных чисел в различных отраслях современной науки и их практическое значение ?

Тип проекта : кратковременный

Продукт проекта : результаты данного проекта могут быть использованы для повышения образовательного уровня обучающихся по математике и электротехнике. для объяснения темы комплексных чисел, расчета синусоидального тока. Результаты проекта могут быть использованы для подготовки к уроку , к зачету

Сколько тебе лет? Сколько у тебя друзей? Чтобы все подсчитать , нужно знать числа . А как же считали древние люди, которые не знали цифр ?

Ноги и пальцы были основными орудиями счета , особенно когда люди начали обмениваться друг с другом предметами своего труда. Так, например, желая обменять сделанное им копье с каменным наконечником на пять шкурок для одежды, человек клал на землю свою руку и показывал, что против каждого пальца его руки нужно положить шкурку. Одна пятерня означала 5, две- 10. Когда рук не хватало, в ход шли и ноги. Две руки и одна нога - 15, две руки и две ноги - 20.

Индийская система нумерации и вычислений, которая сложилась примерно к VI веку нашей эры, оказалась такой удобной и удачной, что ею сейчас пользуются во всем мире. Европейцы познакомились с ней в X - XIII веках через арабов, которые первыми узнали этот способ записи чисел, усвоили и привезли в Европу, поэтому эти новые цифры в Европе стали называть арабскими. Самый простой и удобный счетный прибор, работающий в десятичной системе счисления, был всегда у человека всегда под рукой - это его 10 пальцев.

Славянские народы для обозначения больших чисел использовали новые специальные названия. Например, число 10000 называли словом "тьма". Это же слово обозначало и бесконечность (то, что нельзя пересчитать). Позже число 10000 стали называть так же, как и мы сейчас - "десять тысяч", а словом "тьма" стали называть уже тысячу тысяч, то есть миллион. Число "тьма тем", то есть миллион миллионов, называлось "легион", число "легион легионов" называли "леодр", а "леодр леодров" называли "вороном".

И на заре цивилизации числа возникли так как этого требовала сама жизнь Общество развивалось, развивалось и число

В современном мире , я так думал , что о числах все известно , но узнал о том, что существуют комплексные числа. Зная их, можно найти корень из отрицательного числа, я был сильно удивлен и изменил свое мнение о том, что развитие чисел прекратилось.

Комплексные числа , с которыми я познакомился, используются не только при решении уравнений, но в электротехнике , теории чисел, авиации. Мне стало очень интересно узнать об этих числах.

Итальянский ученый Джордж Кардано в 1545 г. предложил ввести числа новой природы., он называл такие величины “ чисто отрицательными ” и даже “ софистически отрицательными ”, считал их ненужными и старался их не употреблять.

Но уже в 1572 году вышла книга другого итальянского ученого Р. Бомбелли, в которой были указаны первые правила сложения и вычитания таких чисел, даже указывались извлечения кубических корней.

Название “ мнимые числа ” предложил в 1637 году французский математик и философ Рене Декарт, а Л. Эйлер самый известный математик 18 века предложил использовать первую букву французского слова imaginaire (мнимый) для обозначения числа (мнимой единицы). вошел во всеобщее Термин “ комплексные числа ” так же был введен Гауссом в 1831 году. Слово комплекс (от латинского complexus ) означает связь, сочетание, совокупность понятий, предметов, явлений и т. д. образующих единое целое.

Сумма действительного и мнимого чисел и называется комплексным числом . Это определение впервые предложил немецкий математик и астроном Гаусс в 1831-ом году.

На рубеже 18 и 19 веков было указано Весселем (Дания) и Арганом (Франция) геометрическое изображение комплексных чисел. Но на работы Весселя и Аргана не обратили внимания, и лишь в 1831г., когда тот же способ был развит великим математиком Гауссом, он стал всеобщим достоянием.

Кардано Бомбелли Декарт

Муавр Гаусс Эйлер

3. Комплексные числа и их свойства

Комплексными числами называются выражения вида z = a + ib, где a и b – любые действительные числа, а i – мнимая единица, основное свойство которой i 2 = -1 . Множество комплексных чисел обозначается С. Комплексные числа должны рассматриваться не в отрыве от действительных, а совместно с ними. Поэтому множество действительных чисел R входят во множество С , и всякое действительное число обозначается как z = a 0i. Пример: запись 3+0i то же, что и 3; запись -4+0i значит то же, что -4. А числа вида z = 0 +ib называют чисто мнимыми и обозначаются i b. Они получаются из комплексных чисел при a = 0.

z=a+bi - алгебраическая форма комплексного числа z.

1) . Два комплексных числа z=a+bi, z=c+di условимся считать равными тогда и только тогда, когда в отдельности равны их действительные и мнимые части.

2). Суммой комплексных чисел z 1 =a+bi, z 2 =c+di называют комплексное число z= (a+c)+ (b+d)i.

3). Разностью комплексных чисел a+bi, z 2 =c+di называют комплексное числo z= (a-c)+ (b-d)i .

4). Произведением комплексных чисел z 1 =a+bi, z 2 =c+di называют комплексное число z=(ac-bd)+(ad+bc)i.

Замечание: на практике нет нужды пользоваться формулой произведения. Можно перемножать данные числа как двучлены, а потом учитывать, что

5. Два комплексных числа называются сопряженными, если они отличаются друг от друга только знаками перед мнимой частью.

25+3i и 25-3i – сопряженные комплексные числа

6). Чтобы выполнить деление, произведем дополнительное действие:

умножим делимое и делитель на комплексное число, сопряженное делителю

Геометрическое изображение комплексных чисел

Все действительные числа можно изобразить на числовой прямой линии :

Значит, на "числовой прямой" не остаётся места для комплексных чисел.

Но комплексные числа можно изобразить на плоскости. Для этого мы выбираем на плоскости прямоугольную систему координат с одним и тем же масштабом на обеих осях (рис. 1). Комплексное число a + bi мы изображаем точкой М, у которой абсцисса х равна абсциссе а комплексного, а ордината у равна ординате b комплексного числа.

Комплексное число на плоскости

Модулем комплексного числа z = a +ib называется длина вектора, соответствующего этому числу; |z| = r = .

Аргументом комплексного числа Z 0 называется величина угла между положительным направлением действительной оси и вектором Z (r). ; Аrg z = ϕ + 2πκ;

Если Cos ϕ = а / = а / r; Sin ϕ = b / = b / r;

то воспользовавшись связью a = rcos , b = rsin , получим тригонометрическую форму записи числа: z = r(cos + i sin )

Представить в тригонометрической форме комплексные числа:

Т.к. четверть первая, то φ=arctg =arctg = 30 0

Z 1 = *(cos30 0 +isin30 0 )

Решение квадратного уравнения, имеющего отрицательный дискриминант.

Решить уравнение × 2 -6x+13=0

D=b 2 -4ac=(-6) 2 -4 ⋅ 1 ⋅ 13=36-52=-16

Таким образом, получаем, что если D

6.Комплексные числа в электротехнике.

· Показательная форма : — получается путем применения формулы Эйлера к тригонометрической форме

Рассмотрим простейшую задачу для электротехники : необходимо сложить токи различной величины

Составим цепь переменного тока из двух параллельных ветвей, состоящих из двух сопротивлений. Нам известно : амплитуда, частота и начальная фаза токов, которая равная нулю. ,

Рисунок 1. Токи в параллельных ветвях цепи переменного тока

По одному из главных законов электротехники, а именно по I-му закону Кирхгофа (Алгебраическая сумма токов в узле равна нулю ) , отсюда , графически это можно определить так:

Рисунок 2. Сложение синусоидального тока

Теперь рассмотрим эту задачу с применением комплексных чисел, мы уже знаем, что такое комплексное число и при этом переводим в комплексное число заданные уравнения синусоидальных токов.

В результате получим :

Решение небольшое , а результаты такие же.

Проверяем это на векторной диаграмме:

Рисунок 3. Векторная диаграмма

На этом простейшем примере хорошо показано как комплексные числа упростили решение. Сейчас же ни одна задача в электротехнике не решается без них. Мнимые числа - необходимая составляющая электротехники.

7.Закон Ома в комплексной форме.

Под законом Ома в комплексной форме понимают:

Комплексное сопротивление участка цепи представляет собой комплексное число, вещественная часть которого соответствует величине активного сопротивления, а коэффициент при мнимой части – реактивному сопротивлению.

По виду записи комплексного сопротивления можно судить о характере участка цепи:

R + j X — активно-индуктивное сопротивление;
R – j X — активно-емкостное.

Моя проектная работа показывает то, что понятие комплексного числа значительно расширяет их применение, о решении различных задач как алгебраического, так и геометрического содержания, о решении алгебраических уравнений любой степени

В настоящее время стала бурно развиваться одна из важнейших ветвей математического анализа - теория функции комплексного переменного

Методы этой теории функции комплексной переменной используется при построении фракталов . Фракталы находят применение, например, в компьютерном дизайне, в алгоритмах сжатия информации, используются при анализе и классификации сигналов сложной формы. Но это еще одна исследовательская работа.

Большое значение комплексных чисел в математике и её приложениях широко известно. Их изучение имеет самостоятельный интерес. Алгебру комплексных чисел можно успешно использовать в элементарной геометрии, тригонометрии, теории геометрических преобразований, а также в электротехнике и различных задачах с механическим и физическим содержанием.

Метод комплексных чисел позволяет решать планиметрические задачи по готовым формулам Выбор этих формул диктуется условиями задачи и ее требованием. С помощью комплексных чисел исследуется течение воды, полет самолетов и ракет. Применяются они при вычерчивании географических карт, используются для изучения явлений в атомах и атомных ядрах

4. Основы электротехники Касаткин А.С.Учебное пособие для технических училищ. Москва. Высшая школа ., 1986

Теория комплексных чисел исторически вышла из потребностей математики, но в дальнейшем нашла широкое применение в технических дисциплинах. Разные формы записи комплексных чисел дают возможность решать задачи в зависимости от поставленных условий. Переход от одной формы к другой позволяет осуществлять формула Эйлера, связывающая тригонометрические формулы и экспоненту. Введение комплексных чисел позволяет более продуктивно и достаточно компактно решать задачи электротехники, выполняя действия с помощью формул или векторов. Метод комплексных амплитуд, с помощью которого описываются гармонические колебания в линейных электрических цепях, позволяет осуществить переход от реальных гармонических токов и напряжений к комплексным амплитудам, что, по сути, приводит к изучению реальных процессов в цепях с помощью комплексных чисел.

3. Гулай Т.А., Гринько А.Д., Пантелова Е.М. Математическая модель расчета в электрической цепи с несинусоидальными токами // Международный студенческий научный вестник. – 2017. – № 4–4. – С. 514–517.

5. Журавлёв И.В., Рыбалкин Н.А., Попова С.В. Применение средств математики для определения скорости катка ступенчатого блока // Международный студенческий научный вестник. – 2015. – № 3–4. – С. 463–465.

6. Математические модели и методы обработки измерительных сигналов емкостных преобразователей на постоянном токе / М.А. Мастепаненко, И.Н. Воротников, С.В. Аникуев, И.К. Шарипов. – Ставрополь, 2015.

7. Моделирование электрических временных параметров активатора импульсного электрического поля / В.И. Хайновский, Г.П. Стародубцева, Е.И. Рубцова, О.С. Копылова, П.В. Никитин, С.И. Любая // Вестник АПК Ставрополья. – 2016. – № 2 (22). – С. 39–44.

8. Попова С.В., Смирнова Н.Б. Влияние развивающих функций математических задач на эффективное обучение студентов вуза // Вестник АПК Ставрополья. – 2015. – № 1 (17). – С. 213–217.

9. Попова С.В., Шкабура А.С. Применение математического аппарата в профессии электроэнергетика / Аграрная наука Северо-Кавказскому федеральному округу: сборник научных трудов по материалам 81-й Ежегодной научно-практической конференции / Ответственный за выпуск Т.А. Башкатова, 2016. – С. 214–218.

10. Смирнова Н.Б., Попова С.В., Мамаев И.И. О прикладной ориентации курса математики в высшей школе // Учетно-аналитические аспекты и перспективы развития инновационной экономики: Международная научно-практическая конференция, 2010. – С. 270–272.

В математике чрезвычайно обширно используется решение задач с помощью комплексных чисел. Однако, что такое комплексные числа и как они нашли себя в электротехнике [4]?

Для начала рассмотрим формулу Эйлера. Это серьёзная и важная формула, которая объединяет тригонометрические функции с экспонентой – с функцией, которая не входит в состав периодических функций, но очень часто используется в электротехнике [1].

Формула Эйлера считается базовой формулой при вычислении комплексных напряжений токов в электротехнике [2 ].

Известно, что свойства большинства математических функций выводят на множестве вещественных чисел, если они на этом множестве существуют. Но, например, уравнение

решения в области вещественных чисел не имеет.

Для того чтобы обеспечить решение таких уравнений, было введено понятие комплексного числа, включающего в себя не только вещественную, но и мнимую часть, которая содержит мнимую единицу, по определению равную

Если ввести допущение, что такое число существует, то всё равно очень много математических функций при невыполнении не выводят за множество комплексных чисел, а продолжают рассматривать на множестве вещественных чисел. При этом остаётся немало задач, особенно прикладного характера, решение которых нужно производить с помощью комплексных чисел [5, 6, 8].

Комплексным числом Z в общем случае считают сумму пары чисел – вещественного числа x и произведения yi, где i – есть мнимая часть:

Преимуществом комплексных чисел является то, что, практически, все математические операции над комплексными числами не выходят за множество комплексных чисел, то есть результат действия над комплексными числами можно выразить в виде комплексного числа.

Этим активно пользуются при расчётах в электротехнике. В математике для символического изображения мнимой единицы используют обозначение i, но в электротехнике же так принято обозначать ток, поэтому это обозначение заменяют на j, физический смысл же от этого не меняется:

Вернёмся, применив эту формулу к тригонометрическим функциям, а именно к .

Учтём, что любая функция f(x) при определённых условиях представима в виде степенного ряда, то есть сводится к виду

При разложении функции в ряд Маклорена получим:

Также распишем ряд Маклорена для функции :

Точно так разложим на ряд Маклорена функцию и получим:

Предположим, что х принадлежит множеству комплексных чисел и . Для того, чтобы получить формулу Эйлера разобьём этот ряд на два ряда по чётным и нечётным степеням k:

далее в первом и втором слагаемом путём элементарных преобразований вынесем за скобку и получим:

Учитывая то, что , то получим следующее:

Собственно говоря, мы получили формулу Эйлера, устанавливающую зависимость между экспонентой и тригонометрическими функциями и имеющую вид:

Эта формула существенно помогает упростить математические выражения в комплексной области. Так при описании электромагнитных процессов в цепях переменного тока приходится вычислять много непростых интегралов, что приводит к громоздкому решению. Оказалось, что выполнение поставленных задач упрощается при введении комплексных чисел [3, 7].

Комплексные числа можно представлять в разных формах записи – алгебраической, тригонометрической или показательной – в зависимости от постановки задачи, исходных данных и требуемых результатов, но благодаря формуле Эйлера легко переходить от одной формы записи к другой. Например, переменный ток в цепи можно записать по-разному:

– алгебраическая форма;

= – тригонометрическая форма;

= – показательная форма.

При сложении токов в цепях с начальной фазой, равной нулю, сложностей не возникает. Но при сложении токов с разными начальными фазами простая, на первый взгляд, задача приводит к громоздким тригонометрическим вычислениям. Тогда как, используя переход к комплексным числам, эта же задача решается в несколько строк [9, 10].

Если решать задачи электротехники с помощью векторов, то опять же удобно перейти к комплексной записи токов или напряжений и выполнять построения на комплексной плоскости, где горизонтальная ось – ось вещественной части комплексного числа, а вертикальная – ось мнимой части этого же числа.

Комплексные числа также применяются для описания гармонических колебаний в линейных электрических цепях, при этом переход от реальных гармонических токов и напряжений к комплексным амплитудам выражает суть метода комплексных амплитуд, который является моделью исследуемых процессов, где на первое место выдвигаются амплитуды, а время и частоты отодвигаются на задний план. Переход к комплексным значениям позволяет компактно описать один объект сразу двумя величинами.

По сути, переход от реальных гармонических колебаний к комплексным амплитудам есть построение модели с помощью комплексных чисел, которые в этой модели носят названия – комплексный ток, комплексное напряжение, комплексная ЭДС.

Применение комплексных чисел позволяет:

– использовать законы, формулы и методы расчётов, применяющиеся в цепях постоянного тока, для расчёта цепей переменного тока;

– упростить некоторые вычисления, заменив графическое решение с использованием векторов на алгебраическое решение;

Господа, в сегодняшней статье я хотел бы вам немного рассказать про комплексные числа и сигналы. Данная статья будет в основном теоретической. Ее задача – подготовить некоторый фундамент для возможности понимания дальнейших статей. Просто когда речь заходит про фазу или, допустим, про поведение конденсатора в цепи переменного тока, так сразу и начинаю лезть все эти комплексности. А про фазу все-таки хочется поговорить, штука важная. Нет, эта статья ни в коем случае не будет кратким курсом ТФКП, мы рассмотрим только лишь очень узкую область из этой вне всякого сомнения интересной и обширной темы. Итак, поехали!

Но прежде чем начать говорить непосредственно про комплексные числа, я бы хотел еще рассказать про такую любопытную штуку, как тригонометрический круг. Господа, вот мы с вами уже на протяжении аж трех ( раз , два , три ) статей говорим про синусоидальный ток. Но как вообще формируется функция синуса? Да и косинуса тоже? Можно по-разному ответить на этот вопрос, но в контексте данной статьи я выбрал следующее объяснение. Взгляните, пожалуйста, на рисунок 1. На нем изображен так называемый тригонометрический круг.

Рисунок 1 – Тригонометрический круг

Там много всего намалевано, поэтому давайте разбираться постепенно что там есть что. Во-первых, там есть, собственно, некоторая окружность, центр которой совпадает с центром системы координат с осями Х и Y. Радиус этой окружности равен единице. Просто единице, без всяких вольт, ампер и прочего. Далее из центра этой окружности проведены два радиус-вектора ОА и ОЕ. Очевидно, длина этих векторов равна единице, потому что у нас окружность единичного радиуса. Угол между вектором ОА и осью Х равен φ₁, угол между вектором ОЕ и осью Х равен φ₂

А теперь самое интересное, господа. Давайте рассмотрим, чему равны проекции этих векторов на оси Х и Y. Проекция вектора ОА на ось Х – это отрезок ОВ, а на ось Y – это отрезок ОС. И все вместе (сам вектор ОА и его проекции ОВ и ОС) образует прямоугольный треугольник ОАВ. По правилам работы с прямоугольным треугольником мы можем найти его стороны ОВ и ОС, то есть проекции радиус вектора ОА на оси Х и Y:

Абсолютно аналогично можно найти соотношения для вектора OE:

Если не понятно почему так, советую погуглить про соотношения сторон в прямоугольном треугольнике. Ну а мы для себя сейчас выносим один немаловажный вывод – проекция единичного вектора на ось Х равна косинусу угла между вектором и осью Х, а проекция на ось Y – синусу этого угла.

А теперь давайте начнем вращать радиус-вектор против часовой стрелки с некоторой частотой. Ну, так, чтобы он своим концом вычерчивал окружность. И, как вы уже, вероятно, догадались, при таком вращении проекция вектора на ось Х будет вырисовывать функцию косинуса, а проекция на ось Y – функцию синуса. То есть, если этот наш радиус-вектор делает за секунду, например, 50 оборотов (то есть вращается с частотой 50 Гц), то это значит, что его проекция на ось Х формирует функцию

а его проекция на ось Y – вырисовывает функцию

Довольно интересный факт на мой взгляд. И вообще тригонометрический круг – любопытная штука. Рекомендую познакомиться с ним поближе, погуглив на эту тему. Он позволяет многое лучше понять. Мы же сейчас рассмотрели только немногие из фич, которые нам будут нужны. Сейчас давайте пока временно оставим этот факт и поговорим непосредственно про комплексные числа.

Итак, господа, комплексное число – это выражение вида

a – это действительная часть комплексного числа z.

b – это мнимая часть комплексного числа z.

На самом деле в серьезных книжках по математике комплексное число определяют несколько по-другому, однако нас вполне устроит и такой вариант.

По-научному – это алгебраическая форма записи комплексного числа. Есть еще и другие, с ними познакомимся чуть позже.

а и b – это обычные числа, к которым мы с вами все привыкли. Например, 42, 18, -94, 100500, 1.87 ну и так далее. То есть абсолютно любые. Например, могут иметь место вот такие записи

А число j – это так называемая мнимая единица. Часто ее обозначают не j, а i, но i – это обычно ток в электротехнике, поэтому мы будем использовать буковку j. Что это такое? Формально, это можно записать так

Немного не понятно, как это может быть корень из отрицательного числа . Все мы с детства привыкли, что под корнем у нас только лишь положительные числа. Но математики ввели вот такую вот абстракцию, которая позволяет извлечь корень и из отрицательных чисел. И, как ни странно, подобная абстракция неплохо помогает описывать вполне себе реальные, а вовсе никакие не абстрактные процессы в электротехнике.

То есть мы видим, что комплексное число само по себе как бы просто состоит из двух самых обычных чисел. Да, перед втором стоит некоторое мифическое j, но сути дела это не меняет.

Давайте теперь познакомимся с графическим представление комплексных чисел.

Господа, взгляните на рисунок 2. Там как раз-таки это представление и изображено.

Рисунок 2 – Комплексная плоскость

Итак, в чем здесь, собственно, фишка? А фишка в том, что мы берем и рисуем систему координат. В ней мы ось Х обзываем Re, а ось Y – Im. Re – это ось действительных чисел, а Im – это ось мнимых чисел. Теперь на оси Re мы откладываем величину a, а на оси Im – величину b нашего комплексного числа z. В итоге мы получаем точку на комплексной плоскости с координатами (а, b). И теперь можно провести радиус вектор из начала координат в эту точку. Собственно, этот вектор и можно считать комплексным числом.

Давайте лучше углубимся в другое. А именно в то, как еще можно представить комплексные числа. Только что мы пришли к выводу, что комплексное число – по сути это вектор. А вектор можно характеризовать длинной и углом наклона, например, к оси Х. Действительно, эти два параметра полностью определяют любой вектор при условии, что у нас двумерное пространство, само собой. Для объема или какого-нибудь многомерного пространства (ужас какой) это не верно, а для двумерного – это так. Давайте теперь выразим сказанное математически. Итак, давайте теперь исходить из того, что нам известна длина вектора (обзовем ее |z|) и угол φ₁.

Что мы можем найти, исходя из этих знаний? Да вообще говоря, довольно много. По сути нам известна гипотенуза прямоугольного треугольника и один из его углов, то есть, согласно каким-то там теоремам геометрии, прямоугольный треугольник полностью определен. Поэтому давайте найдем его катеты а и b:

А теперь, господа, можно сделать небольшой финт ушами? Помните алгебраическую запись комплексного числа? Ну, вот эту

Давайте-ка подставим сюда a и b, представленные через синусы с косинусами. Получим

Мы получили интересное выражение. Выражение вида

называется тригонометрической формой записи комплексного числа. Она хороша, если нам известна длина нашего вектора |z| и угол его наклона φ₁. Когда речь пойдет об электротехнике, длина вектора внезапно превратится в амлитуду сиганала, а угол наклона – в фазу сигнала. Кстати, обратите внимание, что тригонометрическая форма записи комплексного числа чем-то близка к тригонометрическому кругу, который мы нарисовали в начале статьи. Но к этому сходству мы вернемся чуть позже.

Господа, теперь нам осталось познакомиться с последней формой записи комплексного числа – показательной. Для этого необходимо знать так называемую формулу Эйлера. С вашего позволения я не буду затрагивать вывод этой формулы и рассматривать, откуда она взялась. Это немного выходит за рамки статьи и, к тому же, есть много источников, где, вне всякого сомнения, вам расскажут про вывод этой формулы гораздо более профессионально, чем это смогу сделать я. Мы же просто приведем готовый результат. Итак, формула Эйлера имеет вид

где е – это экспонента или, как ее еще называют, показательная функция. Для математиков это некоторый предел при стремлении чего-то там к бесконечности, а если по-простому – обычное число

Да, просто две целых и семь десятых .

А теперь сравните формулу Эйлера и тригонометрической записью комплексного числа. Не замечаете интереснейшего сходства? Скрестив эти два выражения, можно получить как раз-таки показательную форму записи комплексного числа:

Как ни странно, эта мудреная запись используется в электротехнике не так уж и редко.

Итак, мы познакомились с основными вариантами записи комплексных числе. Теперь давайте постепенно продвигаться к нашей любимой электротехнике. Запишем закон изменения косинусоидального напряжения.

Мы уже записывали этот закон неоднократно, например, в самой первой статье , посвященной переменному току. Правда, там был синус, а здесь косинус, но это абсолютно ничего не меняет по сути, просто тут косинус немного удобнее для объяснения.

А сейчас внимание, господа. Очень хитрая последовательность действий.

Во-первых, никто нам не мешает рассмотреть косинус, который стоит в этом выражении, на тригонометрическом круге, который мы чертили на рисунке 1 в самом начале статьи. А что? Почему нет? Будем представлять себе, что некоторый вектор Á_m, равный амплитуде нашего косинусоидального напряжения, вращается в прямоугольной системе координат с круговой частотой ω. И тогда в силу выше изложенных обстоятельств его проекция на оси Х будет вырисовывать как раз наш закон v(t). Вроде бы никакого подвоха пока нет.

Смотрим дальше. На оси Х проекция рисует нашу функцию времени, а ось Y пока что вообще не при делах. А что б она просто так не простаивала – давайте-ка считать, что это не просто абы какая ось Y, а ось мнимых чисел. То есть мы сейчас вводим то самое комплексное пространство. В этом пространстве при вращении вектора Á_m (вектора обычно обозначаются буквой с точкой или стрелочкой сверху) в то время как его проекция на оси Х рисует косинус, на оси Y у нас будет рисоваться функция синуса. Вся фишка в том, что мы сейчас как бы скрещиваем тригонометрический круг с комплексной плоскостью. И в результате получаем что-то типа того, что показано на рисунке 3 (картинка кликабельна).

Рисунок 3 – Представление напряжения на комплексной плоскости

Что мы на нем видим? Собственно, то, о чем только что говорили. Вектор, равный по длине амплитуде нашего напряжения, вращается в системе координат, на оси Х (которая Re) вырисовывается закон косинуса (он полностью совпадает нашим сигналом v(t)). А на оси Y (которая Im) вырисовывается закон синуса. Итого на основе вышесказанного наш исходный сигнал

мы можем представить в тригонометрической форме вот так

или в показательной форме вот так

Давайте представим теперь, что у нас не косинусоидальный сигнал, а синусоидальный. К нему мы как-то больше привыкли. То есть, пусть напряжение изменяется вот по такому закону

мы можем записать комплексное представление в тригонометрической форме вот так

или в показательной форме вот так

Выходит, что комплексное представление для случая синусоидального и косинусоидального сигнала имеет один и тот же вид. Кстати, это довольно очевидно, если вспомнить, что при вращении вектора по окружности и синус и косинус вырисовываются одновременно на разных осях. А само комплексное число описывает именно этот вращающийся вектор и, таким образом, содержит в себе инфу как про ось Х, так и про ось Y.

Давайте теперь пойдем от обратного и представим, что у нас есть запись некоторого комплексного сигнала в виде

Или, например, в таком виде

Как понять – что он описывает: синус или косинус? Ответ – да никак. Он описывает и то, и то одновременно. И если мы имеем косинусоидальный сигнал, то мы должны взять действительную часть этого комплексного сигнала, а если синусоидальный – мнимую. То есть для случая косинуса это выглядит как-то так:

А для случая синуса это выглядит вот так

Здесь Re() и Im() – функции взятия действительной или мнимой части комплексного числа. Кстати, они определены во многих математических САПРах и их можно прям вот в таком виде использовать. То есть передавать им комплексное число, а на выходе получать дейтсвительную или мнимую часть.

Возможно, вы спросите: а зачем так все усложнять? Какая с этого выгода? В чем профит? Профит, безусловно, есть, но о нем мы поговорим чуть позже, в следующих статьях. На сегодня пока все, господа. Спсибо что прочитали и пока!

Вступайте в нашу группу Вконтакте

Вопросы и предложения админу: This email address is being protected from spambots. You need JavaScript enabled to view it.

Пример готового реферата по предмету: Высшая математика

Введение …………………………………………………………………………. 3

Общее введение комплексных чисел в теории электрических цепей ……….. 4

Сопротивление и проводимость ………………………………………………… 8

Выдержка из текста

Только с XIX века, после выхода в свет работ Карла Фридриха Гаусса (1777-1855), комплексные числа прижились в науке.Комплексные числа – мощный инструмент для решения задач, связанных с электрическими цепями. Применение комплексных чисел дает возможность использовать законы, формулы и методы расчетов, применяющиеся в цепях постоянного тока, для расчета цепей переменного тока, упростить некоторые расчеты, заменив графическое решение с использованием векторов алгебраическим решением, рассчитывать сложные цепи, которые другим путем решить нельзя, упростить расчеты цепей постоянного и переменного токов.

Источник напряжения — идеализированный элемент электрической цепи, напряжение на зажимах которого не зависит от протекающего через него тока. Внутреннее сопротивление идеального источника напряжения равно нулю.

В своем докладе студент должен четко сформулировать поставленную перед ним задачу, произвести сравнительную оценку наиболее известных методов расчета нелинейных электрических целей и обосновать оригинальность решений, принятых в ходе выполнения курсовой работы, а также анализировать особенности функционирования электрической цепи по полученным результатам расчета.

Изначально идея о необходимости расширения представления действительного числа появилась в итоге формального решения квадратных и кубических уравнений, в которых в формулах для корней уравнения под знаком корня стояло негативное число. В будущем возникшая теория функций комплексного переменного обнаружила использование для решения многих задач во всех областях математики и физики.

PAСЧЕТ ЦЕПИ СИНУСОИДАЛЬНОГО ТОКА КОМПЛЕКСНЫМТребуется для заданной схемы в соответствии с вариантом задания произвести расчет цепи в следующем объеме: Построить графики величин, перечисленных в п.4.

Любая электрическая цепь состоит из активных и пассивных элементов. Активным называется элемент, содержащий в своей структуре источник электрической энергии.

выполнить расчет токов в ветвях электрической цепи методом, указанным в варианте задания, с проверкой правильности расчетов посредством баланса мощностей и оценкой их точности; определить режимы работы источников, имеющихся в заданной электрической цепи; рассчитать показания ваттметра, включенного в одну из ветвей электрической цепи;

Систему уравнений по законам Кирхгофа в интегрально-дифференциальном виде;Показание ваттметра в ветви 2,1;Векторную диаграмму токов и напряжений в ветви 2,1.

Список источников информации

2. Шмидт Н. М. Приложение комплексных чисел в электротехнике // Молодой ученый. — 2012. — № 2. — С. 320– 323.

Читайте также: