Комплексная форма ряда фурье реферат
Обновлено: 07.07.2024
Из подобных простейших периодических функций могут быть составлены и более сложные. Наперед ясно, что составляющие синусоидальные величины должны быть разныхчастот, ибо, как легко убедиться, сложение синусоидальных величин одной и той же частоты не дает ничего нового, ибо приводит опять к синусоидальной величине, притом той же частоты. Наоборот, если сложить несколько величин вида
которые, если не считать постоянной, имеют частоты
кратные наименьшей из них, «о, и периоды
то получится периодическая функция (с периодом Т), но уже существенноотличная от величин типа (2).
Для примера мы воспроизводим здесь сложение трех синусоидальных величин:
причем А0, A1, α1 А2 α2. суть постоянные, имеющие особые значения для каждой такой функции, а частота ω дается формулой (1).
Геометрически это означает, что график периодической функции получается путем наложения ряда синусоид. Если же истолковать каждую синусоидальную величину механически как представляющую гармоническое колебательное движение, то можно также сказать, что здесь сложное колебание, характеризуемоефункцией φ(t), разлагается на отдельные гармонические колебания. В связи с этим отдельные синусоидальные величины, входящие в состав разложения (3), называют гармоническими составляющими функции φ(t) или просто ее гармониками (первой, второй и т. д.). Самый же процесс разложения периодической функции на гармоники носит название гармонического анализа.
Если за независимую переменную выбрать
тополучится функция от x:
тоже периодическая, но со стандартным периодом 2тс. Разложение же (3) примет вид
Развернув члены этого ряда по формуле для синуса суммы и положив
мы придем к окончательной форме тригонометрического разложения:
в которой мы всегда и будем его рассматривать*. Здесь функция от угла х, имеющая период 2π, оказывается разложенной по косинусам и синусам углов, кратных х.
Мыпришли к разложению функции в тригонометрический ряд, отправляясь от периодических, колебательных явлений и связанных с ними величин. Важно отметить, однако, уже сейчас, что подобные разложения часто оказываются полезными и при исследовании функций, заданных лишь в определенном конечном промежутке и вовсе не порожденных никакими колебательными явлениями.
* Данная работа не является научным трудом, не является выпускной квалификационной работой и представляет собой результат обработки, структурирования и форматирования собранной информации, предназначенной для использования в качестве источника материала при самостоятельной подготовки учебных работ.
РЯДЫ И ИНТЕГРАЛ ФУРЬЕ
Функция f(x), определенная на всей числовой оси называется периодической, если существует такое число . Число Т называется периодом функции.
Отметим некоторые с в о й с т в а этой функции:
1) Сумма, разность, произведение и частное периодических функций периода Т есть периодическая функция периода Т.
2) Если функция f(x) период Т , то функция f(ax) имеет период (1)
,то это разложение единственное и коэффициенты определяются по формулам:
] и этот отрезок можно разбить на конечное число частей, в каждом из которых f(x) монотонна, то ряд Фурье относительно функции сходится к f(x) в точках непрерывности и к среднеарифметическому односторонних пределов в точках разрыва рода (Функция удовлетворяющая этим условиям называется кусочно-монотонной).
ТЕОРЕМА 2. Если f(x) периодическая функция с периодом ] вместе со своей производной непрерывна или имеет конечное число точек разрыва первого рода, то ряд Фурье функции f(x) в точках разрыва к среднему арифметическому односторонних пределов (Функция удовлетворяющая этой теореме называется кусочно-гладкой).
Ряды Фурье для четных и нечетных функций
Пусть f(x) - четная функция с периодом 2L , удовлетворяющая условию f(-x) = f(x) .
Тогда для коэффициентов ее ряда Фурье находим формулы:
Пусть теперь f(x) - нечетная функция с периодом 2L, удовлетворяющая условию f(-x) = - f(x).
Тогда для коэффициентов ее ряда Фурье находим формулы:
Таким образом, в ряде Фурье для нечетной функции отсутствует свободный член и члены с косинусами, и ряд Фурье для нечетной функции с периодом 2L выглядит так:
Система называется ортогональной и нормированной (ортонормированной) на отрезке [a,b],
если выполняется условие
Если ортогональная система функций на отрезке [a,b] ортонормированная, то в этом случаи
При сделанных выше допущениях можно показать, что функция u(x,t) , характеризующая положение струны в каждый момент времени t, удовлетворяет уравнению
Сначала будем искать решения уравнения (1), удовлетворяющие граничным условиям(2). Нетрудно увидеть, что u(x,t)0 является решением уравнения (1), удовлетворяющие граничным условиям(2). Будем искать решения, не равные тождественно 0, представимые в виде произведения u(x,t)=X(x)T(t), (4) , где , .
Подстановка выражения (4) в уравнение (1) дает:
Используя это условие X(0)=0, X(l)=0, докажем, что и ,что невозможно , так как мы рассматриваем решения, не обращающиеся тождественно в нуль.
Учитывая это, можно записать:
произвольные постоянные, которые попытаемся определить таким образом, чтобы ряд удовлетворял уравнению (1), граничным условиям (2) и начальным условиям (3).
Итак, подчиним функцию u(x,t) начальным условиям, т. е. подберем
Эти равенства являются соответственно разложениями функций на отрезки [0, l] в ряд Фурье по синусам. ( Это значит что коэффициенты будут вычисляться как для нечетной функций). Таким образом, решение о колебании струны с заданным граничными и начальными условиями дается формулой
, а также свойство интегралов по симметричному относительно точки x=0 интервалу от четных функций, из равенства (2) получаем:
где a(u) определяется равенством (3).
Рассуждая аналогично, получим, для нечетной функции f(x) :
и, следовательно, интеграл Фурье нечетной функции имеет вид:
где b(u) определяется равенством (4).
Комплексная форма интеграла Фурье
.( f(x+T)=f(x) ) Функция имеет на промежутке -точки разрыва.
Производная также непрерывна везде, кроме конечного числа точек разрыва первого рода. Вывод: функция удовлетворяет условию разложения в ряд Фурье.
1) F(x) - кусочно-непрерывна на интервале принимает значения равные 0 , и дополнительно надо рассмотреть случай когда n=1.
Читайте также: