Комбинированные задачи по математике реферат

Обновлено: 05.07.2024

Функция "чтения" служит для ознакомления с работой. Разметка, таблицы и картинки документа могут отображаться неверно или не в полном объёме!

Реферат на тему:

средней школы №53

Глухов Михаил Александрович

г. Набережные Челны

Размещенияи сочетаниябез повторений______________________________

Из истории комбинаторики

Комбинаторика занимается различного вида соединениями, которые можно образовать из элементов конечного множества. Некоторые элементы комбинаторики были известны в Индии еще во II в. до н. э. Нидийцы умели вычислять числа, которые сейчас называют "сочетания". В XII в. Бхаскара вычислял некоторые виды сочетаний и перестановок. Предполагают, что индийские ученые изучали соединения в связи с применением их в поэтике, науке о структуре стиха и поэтических произведениях. Например, в связи с подсчетом возможных сочетаний ударных (долгих) и безударных (кратких) слогов стопы из n слогов. Как научная дисциплина, комбинаторика сформировалась в XVII в. В книге "Теория и практика арифметики" (1656 г.) французский автор А. Также посвящает сочетаниям и перестановкам целую главу.Б. Паскаль в "Трактате об арифметическом треугольнике" и в "Трактате о числовых порядках" (1665 г.) изложил учение о биномиальных коэффициентах. П. Ферма знал о связях математических квадратов и фигурных чисел с теорией соединений. Термин "комбинаторика" стал употребляться после опубликования Лейбницем в 1665 г. работы "Рассуждение о комбинаторном искусстве", в которой впервые дано научное обоснование теории сочетаний и перестановок. Изучением размещений впервые занимался Я. Бернулли во второй части своей книги "Ars conjectandi" (искусство предугадывания) в 1713 г. Современная символика сочетаний была предложена разными авторами учебных руководств только в

дубль два.docx

Введение.

Современное развитие российского общества поставило перед школой задачу воспитания личности, которая могла бы самостоятельно и критически мыслить, сопоставлять и анализировать факты, находить различные варианты решения возникающих проблем, выбирать из них оптимальные, учитывая различные условия и конкретные ситуации.

В связи с этим модернизация общеобразовательной школы на современном этапе ее развития предполагает ориентацию образования не только на усвоение обучающимися определенной суммы знаний, но и на развитие его личности, его познавательных и созидательных возможностей. В свете этих тенденций изменяется приоритет математического образования, которое на современном этапе рассматривается как процесс становления личности человека посредством овладения им основами математических знаний.

Развивающее обучение математике предполагает органическое слияние обучения и развития, при котором обучение выступает не самоцелью, а условием развития детей. При подобном обучении дети самостоятельно добывают знания и способы действия, перестраивают ранее полученные способы решения задач, открывают новые способы.

К сожалению, в большинстве случаев педагогу приходится сталкиваться со скованностью детского мышления, стремлением мыслить по готовым стереотипам. Дети воспроизводят только однозначный способ решения мыслительной задачи, не видят возможности нескольких вариантов решения, не умеют изменять неэффективные способы. Психологи связывают такие особенности интеллектуальной деятельности с результатами использования готовых шаблонов для решения различных типов задач. Развивающий эффект подобного обучения оказывается ничтожным.

Актуальность темы исследования определяется важностью комбинаторных способов рассуждения в общей структуре научного мышления в рамках школьного обучения. Между тем в современном обществе требования к уровню комбинаторно-вероятностного мышления учащихся существенно повышаются. Таким образом, проблема встает с особой остротой применительно к усвоению детьми такого сложного класса понятий, как понятия математической комбинаторики.

Таким образом, явно недостаточная изученность комбинаторного мышления, знание которого необходимо для организации эффективного обучения математике, диктуют как теоретическую, так и практическую актуальность данной проблематики.

Объектом исследования стало интеллектуальное развитие учащихся начального звена школы.

В качестве предмета исследования выступило становление комбинаторного мышления у детей младшего школьного возраста и подростков.

Целью данного исследования стало определение, формирования понятий комбинаторного мышления программы обучения учащихся начального звена.

Для этого мы поставим себе такие задачи:

Познакомиться с комбинаторикой.
Выяснить какие формирования нужны для решения задач.
Какие методы используют для решения комбинаторных задач.
Познакомиться с методикой обучения решения комбинаторных задач.

Что такое комбинаторика?

Область математики, в которой изучаются вопросы о том, сколько различных комбинаций, подчинённых тем или иным условиям, можно составить из заданных объектов называется комбинаторикой.
Комбинаторика возникла в XVI веке. Вопросы, касающиеся азартных игр, явились движущей силой в ее развитии. Комбинаторика является разделом дискретной математики, ориентированным на решение задач выбора и расположения элементов некоторого множества в соответствии с заданными правилами и ограничениями. Каждое такое правило определяет способ построения некоторой комбинаторной конфигурации, поэтому комбинаторный анализ (комбинаторика) занимается изучением свойств комбинаторных конфигураций, условиями их существования, алгоритмами построения и оптимизацией этих алгоритмов. Этот раздел математики тесно связан с рядом других разделов дискретной математики: теорией вероятностей, теорией графов, теорией чисел, теорией групп и т. д.Комбинаторика, пройдя многовековой путь развития, обретя собственные методы исследования, с одной стороны, широко используется при решении задач алгебры, геометрии, анализа, с другой стороны, сама использует геометрические, аналитические и алгебраические методы исследования.

Сейчас комбинаторные методы применяются как в самой математике, так и вне её – теория кодирования, планирование эксперимента, топология, конечная алгебра, математическая логика, теория игр, кристаллография, биология, статистическая физика, экономика и т.д.
В школьном курсе комбинаторика преподается в совокупности с теорией вероятностей и статистикой. В течение последних десятилетий элементы теории вероятностей и комбинаторики то вводились разделом в курс математики общеобразовательной школы, то исключались вообще. Внимание, которое уделяется этому учебному предмету во всем мире, позволяет предположить, что концепция его введения является актуальной.
В настоящее время никто не подвергает сомнению необходимость включения вероятностно-статистической линии в школьный курс математики. О необходимости изучения в школе элементов комбинаторики, теории вероятностей и статистики речь идет очень давно. Ведь именно изучение и осмысление комбинаторики, теории вероятностей и статистических проблем особенно нужно в нашем перенасыщенном информацией мире.

Но внедрение вероятностно-статистической линии в школьный курс столкнулось с некоторыми трудностями, в первую очередь, это методическая неподготовленность учителей и отсутствие единой методики и школьных учебников.

В большинстве учебников комбинаторные формулы рассматривается лишь как средство для подсчета вероятности, это сказывается на содержании этого материала в учебниках, и места его изучения. Но комбинаторика ставит и другие цели: в первую очередь – это развитие мышления, и использование комбинаторных знаний для решения задач прикладного характера.

Формирование у младших школьников умения решать

задачи комбинаторного характера.

Математику любят в основном те ученики, которые умеют решать задачи. Научив детей владеть умением решать задачи, мы окажем существенное влияние на их интерес к предмету, на развитие мышления и речи.

В последнее время всё настойчивее звучит требование усилить развивающие возможности начального курса математики. В традиционной системе эту проблему пытались решить включением от случая к случаю заданий нестандартного характера. В качестве такого материала выступает использование элементов комбинаторики. Задачи комбинаторного характера по - прежнему классифицируются, как задачи повышенной трудности, они не связаны с усвоением основных вопросов курса и не согласованы с логикой построения его содержания. В связи с этим комбинаторные задачи включаются в учебный процесс эпизодически, бессистемно, что в значительной мере снижает их развивающие и дидактические возможности.

Возникает необходимость включение задач комбинаторного характера в процесс обучения в определённой системе и с постепенным нарастанием сложности, предоставление учащимся максимальной самостоятельности в поиске способов решения задачи.

Таким образом, комбинаторные задачи в развивающем курсе начальной математики возможно и целесообразно использовать как средство усвоения программного содержания, не перегружая учащихся дополнительной информацией, связанной с введением в содержание курса основных понятий.

1) Сколько раз среди чисел от 1 до 100 встречается цифра 0? Цифра 1?

2) Записали подряд все трёхзначные числа. Сколько всего цифр записано в

3) Чтобы открыть сейф, нужно отгадать код. Известно, что код – трёхзначное число, записанное тремя из цифр 1, 2, 3, 4, и это число больше, чем 400. Сколько чисел нужно проверить, чтобы определить код?

4) В соревнованиях участвуют 8 футбольных команд. По правилам после каждой игры проигравшая команда выбывает. На который по счёту день определиться чемпион?

5) Саша выше Коли, но ниже Пети, а Петя ниже Толи. Кто выше всех? Учителя их идентифицировали как нестандартные задачи, поэтому могли по своему усмотрению включать либо не включать их в урок. Теперь ситуация изменилась. Так, в Федеральном государственном образовательном стандарте начального общего образования к предметным результатам освоения основной образовательной программы НОО по математике названо умение действовать в соответствии с алгоритмами, строить простейшие алгоритмы, исследовать, работать с таблицами, схемами, графиками, диаграммами, цепочками, совокупностями, представлять, анализировать и интерпретировать данные, т.е. решать простейшие комбинаторные задачи. Новое содержание, требование к уровню подготовки учащихся предполагают более тщательное осмысление методики преподавания этих разделов математики.

Это обусловлено требованиями времени, наличием большого числа вероятностных ситуаций в жизни, проблем выбора, оценки степени шансов на успех, интересами учащихся.

На факультативных занятиях я знакомлю учащихся с наиболее часто встречающимися методами перебора, показываю, что перебор должен быть логически упорядочен по какому – либо признаку (условию) , пусть даже по самому простому: по возрастанию, по алфавиту, слева направо или справаналево, сверху вниз или снизу вверх и т.д.

Рассмотрим типы задач каждого раздела и их решение.

Шарики в мешочке.

Можно научить детей качественно оценивать шансы наступления случайного события. Фактически в примерах, используемых для формирования этих понятий, речь идёт о применении классической вероятности. Но прийти к сознательному применению формулы классической вероятности младшие школьники смогут после продолжительного экспериментирования с пуговицами, шарами, бусинками и т.п. Спустя некоторое время учащиеся начальной школы смогут решать подобные задачи, не прибегая к эксперименту. Фактически с проведения экспериментов начинается изучение статистики. Целью изучения элементов статистики в начальной школе является формирование умений проводить не сложные опросы, наблюдения с целью сбора (получения) количественной информации и её оформления в виде таблиц.

В качестве примера второклассникам предлагаю задание:«Узнай у своих одноклассников (у учащихся начальной школы), какой вид спорта им нравится больше всего, и заполни таблицу (каждый может назвать только один вид спорта). вид спорта футбол хоккей гимнастика другие виды число уч - ся 6 5 3 2

- Расскажи, какой вид спорта нравится твоим одноклассникам больше всего; меньше всего.

В начальной школе комбинаторные задачи решаются перебором возможных вариантов, осуществляемых путём предметной деятельности с конкретными вещами. Первые комбинаторные задачи должны давать возможность выполнять практические действия, которые потом будут перенесены в план умственных действий. С этой целью я предлагала первоклассникам задания в виде игр.

Реферат на тему:

средней школы №53

Глухов Михаил Александрович

г. Набережные Челны

Размещенияи сочетаниябез повторений______________________________

Из истории комбинаторики

курсовая .doc

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РФ

КРАЕВОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ ДАЛЬНЕВОСТОЧНЫЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ГУМАНИТАРНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

КУРСОВАЯ РАБОТА ПО ГЕОМЕТРИИ

Выполнила: студентка 3-го курса

ОЗО ИМФИТ ДВГГУ

Козлова Ирина Анатольевна

Руководитель: Кармакова Тамара Сергеевна

Глава 1. Нестандартные задачи и их характеристики………………………………………… ….5

1.6 Задачи на переливание………………………………………………… …………. 11

Глава 2. Образовательные функции нестандартных задач……………………………………..15

2.1 Роль нестандартных задач в формировании логического мышления……………. 15

2.2 Приёмы решения нестандартных задач………………………….…………………..16

Глава 3. Нестандартные задачи для самостоятельного решения……………………………….23

Глава 4. Тексты нестандартных задач……………………………………………………………29

4.2 Задачи для самостоятельной работы…………………………………………………

Нестандартные задачи – это такие, для которых в курсе математики не имеется общих правил и положений, определяющих точную программу их решения. Не следует путать их с задачами повышенной сложности. Условия задач повышенной сложности таковы, что позволяют ученикам довольно легко выделить тот математический аппарат, который нужен для решения задачи по математике. Учитель контролирует процесс закрепления знаний, предусмотренных программой обучения решением задач этого типа. А вот нестандартная задача предполагает наличие исследовательского характера. Однако если решение задачи по математике для одного учащегося является нестандартным, поскольку он незнаком с методами решения задач данного вида, то для другого – решение задачи происходит стандартным образом, так как он уже решал такие задачи и не одну. Одна и та же задача по математике в 5 классе нестандартна, а в 6 классе она является обычной, и даже не повышенной сложности.

Итак, если решение задачи учащийся не знает, на какой теоретический материал ему опираться, он тоже не знает, то в этом случае задачу по математике можно назвать нестандартной на данный период времени.

Каковы же методы обучения решению задач по математике, которые мы считаем на данный момент нестандартными? Универсального рецепта, к сожалению, никто не придумал, учитывая уникальность данных задач. Некоторые учителя, что называется, натаскивают в шаблонных упражнениях. Происходит это следующим образом: учитель показывает способ решения, а затем ученик повторяет это при решении задач многократно. При этом убивается интерес учащихся к математике, что, по меньшей мере, печально.

ученик расплатиться за покупку стоимостью 19 р., если у него только трехрублевые купюры, а у продавца – десятирублевые?

Также действенен метод подбора вспомогательных задач. Это средство обучения решению задач говорит об определенном уровне достижения в решении задач. Обычно в таких случаях думающий ученик пытается самостоятельно, без помощи учителя находить вспомогательные задачи или упрощать и видоизменять условия данных задач.

Умение решать нестандартные задачи приобретается практикой. Не зря говорят, что математике нельзя научиться, глядя, как это делает сосед. Самостоятельная работа и помощь учителя – вот залог плодотворной учебы.

Целью курсовой является изучение возможностей использования нестандартных задач на уроках математики с целью развития логического мышления учащихся.

Задачи: 1)классифицировать нестандартные задачи.

2)показать место нестандартных задач в школьном курсе математики для формирования логического мышления учащихся.

3)создать подборку текстов для самостоятельно решения.

Всё выше сказанное обосновывает актуальность разработки темы данной курсовой работы.

Комбинаторика – раздел математики, который изучает задачи выбора и расположения элементов из некоторого основного множества в соответствии с заданными правилами. Формулы и принципы комбинаторики используются в теории вероятностей для подсчета вероятности случайных событий и, соответственно, получения законов распределения случайных величин. Это, в свою очередь, позволяет исследовать закономерности массовых случайных явлений, что является весьма важным для правильного понимания статистических закономерностей, проявляющихся в природе и технике.

Правила сложения и умножения в комбинаторике

Правило суммы. Если два действия А и В взаимно исключают друг друга, причем действие А можно выполнить m способами, а В – n способами, то выполнить одно любое из этих действий (либо А, либо В) можно n + m способами.

Пример 1.

В классе учится 16 мальчиков и 10 девочек. Сколькими способами можно назначить одного дежурного?

Дежурным можно назначить либо мальчика, либо девочку, т.е. дежурным может быть любой из 16 мальчиков, либо любая из 10 девочек.

По правилу суммы получаем, что одного дежурного можно назначить 16+10=26 способами.

Правило произведения. Пусть требуется выполнить последовательно k действий. Если первое действие можно выполнить n₁ способами, второе действие n₂ способами, третье – n₃ способами и так до k-го действия, которое можно выполнить n_k способами, то все k действий вместе могут быть выполнены:

Пример 2.

В классе учится 16 мальчиков и 10 девочек. Сколькими способами можно назначить двух дежурных?

Первым дежурным можно назначить либо мальчика, либо девочку. Т.к. в классе учится 16 мальчиков и 10 девочек, то назначить первого дежурного можно 16+10=26 способами.

После того, как мы выбрали первого дежурного, второго мы можем выбрать из оставшихся 25 человек, т.е. 25-ю способами.

По теореме умножения двое дежурных могут быть выбраны 26*25=650 способами.

Сочетания без повторений. Сочетания с повторениями

Классической задачей комбинаторики является задача о числе сочетаний без повторений, содержание которой можно выразить вопросом: сколькими способами можно выбрать m из n различных предметов ?

Пример 3.

Необходимо выбрать в подарок 4 из 10 имеющихся различных книг. Сколькими способами можно это сделать?

Нам из 10 книг нужно выбрать 4, причем порядок выбора не имеет значения. Таким образом, нужно найти число сочетаний из 10 элементов по 4:

Рассмотрим задачу о числе сочетаний с повторениями: имеется по r одинаковых предметов каждого из n различных типов; сколькими способами можно выбрать m () из этих (n*r) предметов?

Пример 4.

В кондитерском магазине продавались 4 сорта пирожных: наполеоны, эклеры, песочные и слоеные. Сколькими способами можно купить 7 пирожных?

Т.к. среди 7 пирожных могут быть пирожные одного сорта, то число способов, которыми можно купить 7 пирожных, определяется числом сочетаний с повторениями из 7 по 4.

Размещения без повторений. Размещения с повторениями

Классической задачей комбинаторики является задача о числе размещений без повторений, содержание которой можно выразить вопросом: сколькими способами можно выбрать и разместить по m различным местам m из n различных предметов?

Пример 5.

В некоторой газете 12 страниц. Необходимо на страницах этой газеты поместить четыре фотографии. Сколькими способами можно это сделать, если ни одна страница газеты не должна содержать более одной фотографии?

В данной задаче мы не просто выбираем фотографии, а размещаем их на определенных страницах газеты, причем каждая страница газеты должна содержать не более одной фотографии. Таким образом, задача сводится к классической задаче об определении числа размещений без повторений из 12 элементов по 4 элемента:

Таким образом, 4 фотографии на 12 страницах можно расположить 11880 способами.

Также классической задачей комбинаторики является задача о числе размещений с повторениями, содержание которой можно выразить вопросом: сколькими способами можно выбрать и разместить по m различным местам m из n предметов, среди которых есть одинаковые?

Пример 6.

У мальчика остались от набора для настольной игры штампы с цифрами 1, 3 и 7. Он решил с помощью этих штампов нанести на все книги пятизначные номера– составить каталог. Сколько различных пятизначных номеров может составить мальчик?

Можно считать, что опыт состоит в 5-кратном выборе с возращением одной из 3 цифр (1, 3, 7). Таким образом, число пятизначных номеров определяется числом размещений с повторениями из 3 элементов по 5:

Перестановки без повторений. Перестановки с повторениями

Классической задачей комбинаторики является задача о числе перестановок без повторения, содержание которой можно выразить вопросом: сколькими способами можно разместить n различных предметов на n различных местах?

Пример 7.

Для случая, когда среди выбираемых n элементов есть одинаковые (выборка с возвращением), задачу о числе перестановок с повторениями можно выразить вопросом: сколькими способами можно переставить n предметов, расположенных на n различных местах, если среди n предметов имеются k различных типов (k

Пример 8.

Читайте также:

Комбинированные задачи по математике реферат

Похожие работы

Вложенные файлы: 1 файл

дубль два.docx

Введение.

Похожие работы

Содержание

Прикрепленные файлы: 1 файл

курсовая .doc