История возникновения интегралов реферат

Обновлено: 18.05.2024

Обозначение

Первым символ для обозначения интегрирования придумал Ньютон. Он применял для этого небольшой квадрат. Однако данное обозначение не получило серьезного распространения. Сегодняшнее обозначение неопределенного интеграла было придумано в 1675 году Лейбницем:

Что касается обозначения определённого интеграла, где указаны пределы интегрирования, то его в 1819 году предложил Жан Батист Фурье.

Виды интегралов

Первообразная функции f(x) — функция F(x), производная которой при любом значении х равняется f(x). Добавляя постоянную к первообразной определенной функции, снова можно получить первообразную этой же функции. Соответственно, имея единственную первообразную F(x) функции f(x), можно получить единое выражение всех первообразных данной функции в виде F(x) + С. Подобное выражение первообразных принято называть неопределённым интегралом функции f(x):

Одно из главных правил интегрального исчисления определяет, что любая непрерывная функция f(x) имеет неопределённый интеграл.

Что касается определённого интеграл от функции f(x) с верхним пределом b и нижним пределом а, то он определяется в качестве разности:

где F(x) является первообразной функции f(x).

Определённый интеграл можно выразить посредством любой первообразной F(x). Верным является и обратное. Первообразную F(x) можно записать в следующем виде:

В этой формуле а – это произвольная константа. Таким образом, интеграл можно записать в виде:

История возникновения интеграла

Если углубиться в историю, то можно утверждать, что интегрирование зародилось в древнем Египте, приблизительно в 1800 году до нашей эры. Первой известной методикой вычисления интегралов считается способ исчерпывания Евдокса. Он предпринимал попытки найти объёмы и площади фигур, разрывая их на несколько частей, для которых уже известны площадь или объём. Через некоторое время данная методика была развита Архимедом. Он применял ее для вычислений площадей парабол и примерного расчёта площади круга. Подобные методы независимо разрабатывались в Китае в 3 столетии нашей эры Лю Хуэйем. Он использовал их с целью определения площади круга.

Следующий внушительный прогресс в исчислении интегралов произошел только в XVI веке. В работах с методом неделимых Кавальери, а также в научных трудах Ферма, были заложены основы сегодняшнего интегрального исчисления.

Последующие шаги были сделаны в середине XVII столетия Торричелли и Барроу, которые предоставили первые намеки на взаимосвязь между дифференцированием и интегрированием.

Зачем и кому нужны интегралы?

Ученые стремятся любые физические явления выражать в виде математических формул. Когда в руках есть определенная формула, то в дальнейшем уже можно с ее помощью посчитать все, что необходимо. А интеграл является одним из главных инструментов работы с любыми функциями.

К примеру, имея формулу круга, можно посредством интеграла вычислить его площадь. Если есть формула шара, то можно вычислить его объем. Посредством интегрирования можно найти работу, энергию, массу, давление, электрический заряд и прочие важные величины.

Имеется несколько типов интегралов: неопределенный и определенный интегралы, интеграл Римана и Римана-Стилтьеса, интеграл Лебега и Лебега-Стилтьеса, интеграл Даниэля. По области интегрирования интегралы подразделяются на кратные, криволинейные и поверхностные интегралы.

Историческая справка

Интегрирование берет свое начало ещё в древнем Египте примерно с 1800 года до н. э., о чем свидетельствует Московский математический папирус (или математический папирус Голенищева). Первым известным методом для расчёта интегралов является метод для исследования площади или объёма криволинейных фигур - метод исчерпывания Евдокса (Евдокс Книдский (ок. 408 г. до н.э. - ок. 355 г. до н.э.) - древнегреческий математик, механик и астроном), который был предложен примерно в 370 до н. э. Суть этого метода заключается в следующем: фигура, площадь или объем которой пытались найти, разбивалась на бесконечное множество частей, для которых площадь или объём уже известны. Этот метод получил свое дальнейшее развитие в работах древнегреческого математика, физика и инженера Архимеда (287 до н.э. - 212 до н.э.) для расчёта площадей парабол и приближенного расчёта площади круга. Аналогичные методы были разработаны в Китае в третьем веке нашей эры китайским математиком Лю Хуэйем (ок. 220 - ок. 280), который с их помощью находил площадь круга. Для нахождения объёма шара этот метод использовали китайский математик, астроном, механик, писатель Цзу Чунчжи (429 - 500) вместе со своим сыном, также математиком и астрономом, правителем области и государственным казначеем, Цзу Гэном.

Далее большой шаг вперед в развитии интегрального исчисления был предпринят в 11 веке в Ираке арабским ученым-универсалом, математиком, механиком, физиком и астрономом Абу Али аль-Хасан ибн аль-Хасан ибн аль-Хайсам аль-Басри (965-1039) (или Ибн ал-Хайсамом, в Европе известном как Alhazen), который в своей работе "Об измерении параболического тела" приводит формулы для суммы последовательных квадратов, кубов и четвёртых степеней, и ряд других формул для сумм рядов. С помощью этих формул он проводит вычисление, равносильное вычислению определённого интеграла:

Используя математическую индукцию, он смог обобщить свои результаты для интегралов от многочленов до четвёртой степени. Таким образом, он был близок к поиску общей формулы для интегралов от полиномов не выше четвёртой степени.

Следующий значительный толчок в исчислении интегралов состоялся лишь в 16 веке в работах итальянского математика Бонавентура Франческо Кавальери (1598 - 1647), в которых описывался предложенный им метод неделимых, а также в работах французского математика Пьера де Ферма (1601 - 1665). Этими учеными были заложены основы современного интегрального исчисления. Дальнейшее развитие связано с деятельностью английского математика, физика и богослова Исаака Барроу (1630 - 1677) и итальянского математика и физика, ученика Галилея Эванджелиста Торричелли (1608 - 1647), которые представили первые намеки на связь между интегрированием и дифференцированием.

За время становления интегрального исчисления менялось и обозначение интеграла. Английский физик, механик, математик и астроном Исаак Ньютон (1643 - 1727) использовал, правда не во всех своих работах, в качестве символа интегрирования значок квадрата перед обозначением функции или вокруг него, а также вертикальную черту над функцией, но эти обозначения не получили широкого распространения. Современное обозначение неопределённого интеграла было введено немецким философом, логиком, математиком, механиком, физиком, юристом, историком, дипломатом, изобретателем и языковедом Готфридом Вильгельмом Лейбницем (1646 - 1716) в 1675 году. Он образовал символ интеграла из буквы "длинная s" (от первой буквы слова Summa - сумма) Современное обозначение определённого интеграла, с указанием пределов интегрирования, было впервые предложено французским математиком и физиком Жаном Батистом Жозефом Фурье (1768 - 1830) в 1819-20 годах. Сам термин "интеграл" придумал швейцарский математик Якоб Бернулли (1654 - 1705) в 1690 году.

Применение интегралов на практике

Основной задачей дифференциального исчисления является определение для заданной функции $F(x)$ ее производной $F^<\prime>(x)=f(x)$ или ее дифференциала $F^<\prime>(x) d x=f(x) d x$ . Обратная задача, состоящая в определении функции $F(x)$ по ее известным производной $f(x)$ или дифференциалу $f(x) d x$, представляет собой основную задачу интегрального исчисления.

* Данная работа не является научным трудом, не является выпускной квалификационной работой и представляет собой результат обработки, структурирования и форматирования собранной информации, предназначенной для использования в качестве источника материала при самостоятельной подготовки учебных работ.

Учебно-воспитательный комплекс 1861

Ученица: Холодная Анна

Понятие интеграл непосредственно связано с интегральным исчислением – разделом математики, занимающимся изучением интегралов, их свойств и методов вычисления. Вместе с дифференциальным исчислением интегральное исчисление составляет основу математического анализа.

Истоки интегрального исчисления относятся к античному периоду развития математики и берут начало от метода исчерпывания, разработанного математиками Древней Греции.

Метод исчерпывания это набор правил для вычисления площадей и объёмов, разработка которых приписывается Евдоксу Книдскому. Дальнейшее развитие метод получил в работах Евклида, а особым искусством и разнообразием применения метода исчерпывания славился Архимед.

Типичная схема доказательств методом исчерпывания выглядела следующим образом. Для определения величины A строилась некоторая последовательность величин С₁, С₂, …, С_n, … такая, что

где N - целая часть, а a₁, a₂, . a_n, . могут принимать одно из значений 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. По аналогии с таким представлением чисел Ньютон предположил, что любая функция от x, например , а по степеням x:

действуют на функции, “перерабатывая” их в другие, точно вычисляемые функции. Лейбниц разрабатывает особую алгебру действий с этими операторами. Он доказывает, что обычное число а можно выносить за знак оператора:

Одинаковые операторы можно выносить за скобку:

т. е. произведение есть “единица”, не меняющая функцию.

Однако, в подходе Ньютона-Лейбница крылось серьёзное противоречие.

Лейбниц и его последователи - братья Бернулли, Лопиталь и другие - трактовали дифференциалы как бесконечно малые разности обычных конечных величин, как тогда говорили - “реальных” величин “низшей” математики. Поэтому они обращались с теми и другими одинаково и в исчислении применяли к первым те же приемы, которые справедливы при действиях со вторыми. Вместе с тем выяснилось, что таким образом трактуемым бесконечно малым присуще свойство, противоречащее одному основному свойству основных конечных величин: если А — конечная величина, а — бесконечно малая, то, чтобы результат исчисления получался совершенно точным, оказалось необходимым проводить вычисления в предположении, что А+=А.

Дифференциальное исчисление, значение которого для развития науки и техники было вне сомнений, оказалось в парадоксальном положении: чтобы его методами получить точный результат, надо было исходить из ошибочного утверждения.

Ньютон пытался обосновать дифференциальное исчисление на законах механики и понятии предела. Но ему не удалось освободить свое исчисление флюксий от недостатков, присущих дифференциальному исчислению Лейбница. В практике вычисления Ньютон, как и Лейбниц, применял принцип отбрасывания бесконечно малых.

Такая непоследовательность позволила назвать дифференциальное исчисление Лейбница–Ньютона мистическим. Этим в первую очередь подчеркивалось, что Лейбниц и Ньютон вводили в дифференциальное исчисление бесконечно малые величины метафизически, сразу полагая их существующими, без выяснения их возникновения и развития и без анализа природы их специфических свойств.

Попытки построить анализ бесконечно малых и теорию рядов в полном соответствии с основными понятиями и истинами “низшей” математики с самого начала к успешным результатам не привели. Поэтому Лейбниц и его последователи пытались оправдать принципы анализа бесконечно малых путем сравнения бесконечно малой с песчинкой, которой можно пренебречь при вычислении высоты горы, посредством ссылок на вероятность и т. п.

Другая попытка была предпринята в конце XVIII века. Известный немецкий математик Вессель предложил оставить анализ бесконечно малых в анализе в качестве “полезных вспомогательных функций”. Однако, такая трактовка широкого распространения не получила - математики знали механическое и геометрическое истолкование dx и dy.

Примерно с последней четверти XVIII века область приложений математического анализа начинает значительно перекрывать границы его обычного приложения в механике и геометрии. Ещё быстрее развертывается этот процесс в первой четверти XIX века.

Математики пытались сначала решать новые задачи методами, разработанными классиками XVIII века - Эйлером, Даламбером, Лагранжем и другими. Однако, вскоре выяснилось, что методы классиков недостаточны, что надо развивать новые, более общие и сильные методы. Выяснилось также, что недостаточность методов классиков нередко связана с узостью трактовки основных понятий, с “изгоняемым” понятием о бесконечно малом, с “исключениями”, которые раньше оставались в тени.

Поясним сказанное одним примером.

Ньютон и Лейбниц разработали две трактовки понятия обычного определенного интеграла.

Ньютон трактовал определенный интеграл как разность соответствующих значений первообразной функции:

Разработка приемов вычисления двойных и тройных интегралов показала, что вычислять эти интегралы так, как вычисляли обычный определенный интеграл - при помощи неопределенного, очень трудно или даже невозможно. Поэтому математики вынуждены были сохранять концепцию Ньютона только на словах, а на деле, при решении задач точных наук, стали на путь Лейбница. Они вычисляли соответствующие интегральные суммы (в прямоугольных, цилиндрических и сферических координатах) и находили их пределы.

Короче говоря, разработка способов вычисления новых видов определенного интеграла показала, что обыкновенный, двойной и т. д. определенный интегралы должны быть обоснованы сами по себе независимо от понятия неопределенного интеграла. Но каждое слагаемое любой интегральной суммы является бесконечно малой величиной. Тем самым не только ставился вопрос о легализации ранее “изгоняемого” понятия бесконечно малого, но и о раскрытии его реального содержания и о соответствующем его использовании. Как уже указывалось, чтобы всё это сделать надо было преодолеть - обобщить, развить традиционное (Эйлерово) толкование функции и понятия предела.

В связи с этим возник вопрос о существовании пределов интегральных сумм, слагаемые которых были бы бесконечно малыми. В первой четверти XIX века понятие бесконечно малой оказалось необходимым и для изучения и сопоставления свойств непрерывных и разрывных функций. Получение основополагающих результатов связано здесь с именем Коши. “Между многими понятиями, - указывал Коши, - тесно связанными со свойствами бесконечно малых, следует поместить понятие о непрерывности и прерывности функций”. Тут же Коши дает истолкование непрерывности функции, которое более чем ясно подтверждает ясность этого его утверждения.

Новая постановка задач обоснования математического анализа ясно показывала, что дело не только в признании и применении бесконечно малых - это делали и раньше! - но прежде всего в научном истолковании их содержания и обоснованном на этом использовании их в алгоритмах математического анализа. Однако, чтобы это сделать надо было преодолеть господствовавшее в XVIII веке узкое толкование понятия предела, разработать общую теорию пределов.

Изучение разрывных функций и сопоставление их с функциями непрерывными заставило признать то, что ранее считалось невозможным: что предел, к которому стремиться последовательность значений функции, при стремлении аргумента в некоторой точке может оказаться отличным от значения функции в этой точке. Значит, предел не всегда является “последним” значением переменной, но во всех случаях предел есть число, к которому переменная приближается неограниченно. Следовательно, dx и dy не необходимо нули или “мистически” актуально бесконечно малые; бесконечно малая - это переменная, имеющая пределом нуль, причем факт этот с противоречиями и парадоксами не связан.

Коши преодолел и вторую ограничительную тенденцию в принятой до него трактовке понятия предела. Он признал, что переменная может приближаться к своему пределу не только монотонно, но и колеблясь, порой принимая значения, равные её пределу. Это обстоятельство придало теории Коши необходимую общность и исключительную гибкость. Мы до сих пор следуем пути, намеченному Огюстеном Луи Коши, с теми усовершенствованиями, которые были внесены во второй половине XIX века К. Вейерштрассом.

Работы Коши и Вейерштрасса завершили создание классического математического анализа, Тем самым подведя итог многовекового развития интегрального исчисления.

Большакова А. А. Три кризиса в развитии математики. Дипломная работа; Астрахань: АГПИ, 1996.

Детская энциклопедия для среднего и старшего возраста. Т.2; М.: Просвещение, 1965.

Математическая энциклопедия. Ред. Виноградова. Т.2; М.: Сов. Энциклопедия, 1979.

Содержание

Введение…………………………………………………………………….….3
Глава I .История развития интегрального исчисления……………………. 5
§1.1. Геометрический смысл неопределенного интеграла………………….6
§1.2. Неопределенный интеграл……………………………………………. 7
§1.3. Символьный метод, операторы………………………………………….7
Глава II. Ньютон и Лейбниц ………………………………………………….8
§2.1. Рождения противоречий………………………………………………. 9
§2.2. Эйлер. Понятие об интегральной сумме……………………………. 10
Глава III. Проблема двойных и тройных интегралов………………………12
§3.1. Исследование методов двойных и тройных интегралов……………..12
§3.2. Основополагающий результат Коши………………………………….13
§1.3. Роль интегрального исчисления в будущей профессии юриста…….14
Заключение………………………………………………………………. 16
Список использованной литературы……………………………………..18
Приложения………………………………………………………………….19

Прикрепленные файлы: 1 файл

проект.Интегралы.docx

Глава I .История развития интегрального исчисления……………………. 5

§1.1. Геометрический смысл неопределенного интеграла………………….6

§1.2. Неопределенный интеграл……………………………………………. 7

§1.3. Символьный метод, операторы………………………………………….7

Глава II. Ньютон и Лейбниц ………………………………………………….8

§2.1. Рождения противоречий……………………………………………… . 9

§2.2. Эйлер. Понятие об интегральной сумме……………………………. 10

Глава III. Проблема двойных и тройных интегралов………………………12

§3.1. Исследование методов двойных и тройных интегралов…… ………..12

§3.2. Основополагающий результат Коши………………………………….13

§1.3. Роль интегрального исчисления в будущей профессии юриста……. 14

Список использованной литературы……………………………………..18

Интегральное исчисление, вместе с исчислением дифференциальным, составляет основу математического анализа. Интегральным исчислением называют раздел математики, занимающийся изучением интегралов, их свойств и методов вычисления.
Метод исчерпывания - начало интегрального исчисления.
Интегральное исчисление появилось во времена античного периода развития математической науки и началось с метода исчерпывания, который был разработан математиками Древней Греции, и представлял собой набор правил, разработанных Евдоксом Книдским. В начале своего построения Евдокс дал аксиоматику для сравнения величин. Все однородные величины сравнимы между собой, и для них определены две операции: отделение части и соединение (взятие кратного). По этим правилам, по которым вычисляли площадей и объёмы. Далее метод получил своё развитие в работах Евклида. Особым искусством и разнообразием применения метода исчерпывания прославился Архимед.
Рассмотрим типичную схему доказательств, используемую в методе исчерпывания. Она выглядела следующим образом. Для того, чтобы определить величину A строилась некоторая последовательность величин C 1 , C 2 , …, C n , … такая, что.Предполагалось также известным такое B , что для любого целого N можно найти достаточно большое n , удовлетворяющее условию:
Где величина d – константа. В результате трудоёмких вычислений, из последнего выражения удавалось получить следующее:
Таким образом, видим, что рассматриваемый метод был основан на аппроксимации рассматриваемых объектов ступенчатыми фигурами или телами, составленными из простейших фигур или пространственных тел (прямоугольников, параллелепипедов, цилиндров и т.п., обозначенных последовательностью А 1 , А 2 , …, А n , …). Таким образом метод исчерпывания можно представить как античный интегральный метод. Определение основных понятий и принципов интегрального исчисления.

Известно, что кризис и упадок древнего мира привёл к забвению многих ценных научных достижений. Не повезло и методу исчерпывания - о нём вспомнили лишь в XVII веке. Дальнейшее его развитие связано с такими известными в математике именами, как Исаак Ньютон, Готфрид Лейбниц, Леонард Эйлер и ряда других выдающихся учёных. Они положили основу современного математического анализа.
Все возрастающие запросы практики и других наук в конце XVII и в XVIII веке побудили ученых максимально расширить область и методы исследований математики. На первое место выдвинулись понятия бесконечности, движения, функциональной зависимости. Они стали основой новых методов математики.
Глава I. История развития интегрального исчисление

Основанные на идеях, сформулированных в начале XVII веке великим математиком и астрономом Иоганном Кеплером, в конце XVII века были разработаны основные понятия и теория интегрального и дифференциального исчислений, связь операций дифференцирования и интегрирования, а также их применение к решению прикладных задач.

Известна следующая забавная история. В ноябре 1613 года королевский математик и астролог австрийского двора И. Кеплер праздновал свадьбу. Для подготовки к ней ему нужно было приобрести несколько бочек виноградного вина. При их покупке Кеплер был удивлен тем, как продавец определял вместимость бочки, производя одно единственное действие - измеряя расстояние от наливного отверстия до самой дальней от него точки днища. Такое измерение совершенно не учитывало форму бочки! Кеплер сразу увлёкся этой интереснейшей математической задачей - по нескольким измерениям вычислить вместимость бочки. Размышляя над ней, Кеплер вывел формулы не только для объёма бочек, но и для объёма самых различных тел: лимона, яблока, айвы и даже турецкой чалмы. Кеплеру для каждого из изучаемых тел создавал новые, нередко очень хитроумные методы, что оказалось крайне неудобно. Позднее именно попытка найти общие, простые методы решения подобных задач и привела к возникновению современного интегрального счисления. Но это уже была заслуга совсем другого математика.

Не найти другого учёного, исследования которого оказали бы столь сильное влияние на историю мировой науки и культуры, как Исаак Ньютон. Известный математик и историк науки Б. Л. Ван-дер-Варден в своей книге “Пробуждающаяся наука” написал: “Каждый естествоиспытатель, безусловно, согласится, что механика Ньютона есть основа современной физики. Каждый астроном знает, что современная астрономия начинается с Кеплера и Ньютона. И каждый математик знает, что самим значительным наиболее важным для физики отделом современной математики является анализ, в основе которого лежат дифференциальное и интегральное исчисления Ньютона. Следовательно, труды Ньютона являются основой огромной части точных наук нашего времени”. И не только наук: “Математика и техника влияют даже на нашу духовную жизнь, и настолько. Что мы редко можем представить это себе полностью. Вслед за необычайным взлётом, которое пережило и XVII веке естествознание, последовал неизбежно

Из биографии Исаака Ньютона известно, что он родился в 1643 году, посещал сначала сельскую школу, а в двенадцать лет его отправили учиться в ближайший город. Директор школы обратил внимание на способного мальчика и настоял, чтобы мать Ньютона отправила сына учиться в Кембриджский университет. Ньютона приняли университет как бедного студента, обязанного прислуживать бакалаврам, магистрам и студентам старших курсов.

Жизнь связала Ньютона с молодым блестящим учёным Исааком Барроу, который занимал тогда Кафедру математики в Кембридже. Он заинтересовался талантливым молодым человеком и скоро стал не только учителем, но и другом Ньютона, а спустя несколько лет уступил своему великому ученику кафедру математики. К этому времени Ньютон получил уже степени бакалавра и магистра. В 1665-1667 годах Ньютон начал работать над созданием математического аппарата, с помощью которого можно было бы исследовать и выражать законы физики. Ньютон первый построил дифференциальное и интегральное исчисления, он назвал его методом флюксий. Это дало возможность решать самые разнообразные, математические и физические, задачи. До Ньютона многие функции определяли только геометрически, и к ним невозможно было применять алгебру или новое исчисление флюксий. Ньютон нашел новый общий метод аналитического представления функции - он ввел в математику и начал систематически применять бесконечные ряды.

Такое представление функции с помощью ряда очень удобно. С помощью рядов, как писал Ньютон, “удается преодолеть трудности, в другом виде представляющиеся почти неодолимыми”.
К аналогичным идеям, одновременно с Ньютоном, пришёл другой выдающийся учёный - Готфрид Вильгельм Лейбниц.

Познакомимся с его биографией. Лейбниц родился в Германии в г. Лейпциге в 1646 г. Любознательный мальчик уже 6 лет вел интересные беседы по истории со своим отцом, профессором Лейпцигского университета. К 12 годам он изучил латинский язык и увлёкся древнегреческим. Особенно его интересовали древние философы, и он любил подолгу размышлять о философских теориях Аристотеля, Демокрита. В 15 лет Лейбниц поступил в Лейпцигский университет, где старательно изучал право и философию. Он очень много читал, его любимыми книгами были книги Р. Декарта, Г. Галилея, II. Кеплера и Д. Кампанеллы. Колоссальные знания но математике Лейбниц приобрел, как ни странно, самоучкой. Через три года, окончив университет, Лейбниц, обиженный отказом ученого совета университета присвоить ему, степень доктора прав покинул Лейпциг. Отказ объяснили тем, что Лейбниц был. слишком молод!
Так для молодого учёного началась жизнь, полная напряженного труда и далёких бесконечных путешествий. Нетрудно представить, как неудобно было путешествовать в неуклюжих каретах по тряским дорогам Европы тех времен. Лейбниц старался никогда не терять время даром. Много удачных мыслей родилось в его талантливой голове именно во время этих продолжительных поездок.
Лейбниц обладал исключительной способностью быстро понимать в задачу и решать ее наиболее общим способом. Размышляя над философскими и математическими вопросами, он убедился, что самым надежным средством искать и находить истину в науке может стать математика. Всю свою сознательную жизнь он стремился выразить законы мышления, человеческую способность думать в виде математического исчисления. Для этого необходимо, учил Лейбниц, уметь обозначать любые понятия или идеи определенными символами, комбинируя их в особые формулы, и сводить правила мышления к правилам в вычислениях, но этим символическим формулам. Лейбниц стремился избавить наши рассуждения от любой неопределенности и возможности ошибиться самому или вводить в заблуждение других, заменяя общие слова четко определенными символами.

Лейбниц мечтал, что если вдруг между людьми возникнут разногласия, то решаться они будут не в длинных и утомительных спорах, а так, как решаются задачи или доказываются теоремы. Спорщики возьмут в руки перья и, сказав: “Начнем вычислять” - примутся за расчеты.
Лейбниц одновременно с Ньютоном, как уже отмечалось, и независимо от него открыл основные принципы дифференциального и интегрального исчислений.

Теория приобрела силу только после того, как Лейбницем было доказано, что дифференцирование и интегрирование - взаимно обратные операции. Об этом свойстве хорошо знал и Ньютон, но только Лейбниц увидел здесь ту замечательную возможность, которую открывает применение символического метода.
Так любой человек, изучив небольшое число правил действия с символами, обозначающими операции дифференцирования и интегрирования, становится обладателем мощного математического метода.

§1.1. Геометрический смысл неопределённого интеграла.

Пусть задан неопределённый интеграл F(х) + С для функции f(х) в некотором интервале. При фиксированном значении С = С₁ получим конкретную функцию у₁ = F(х) + С₁, для которой можно построить график; его называют интегральной кривой. Изменив значение С и положив С = С₂, получим другую первообразную функцию С соответствующей новой интегральной кривой.

Аналогично можно построить график любой первообразной функции. Следовательно, выражение у = F(х) + С можно рассматривать как уравнение семейства интегральных кривых неопределённого интеграла F(х) + С. Величина С является параметром этого семейства – каждому конкретному значению С соответствует единственная интегральная кривая в семействе. Интегральную кривую, соответствующую значению параметра С₂, можно получить из интегральной кривой, соответствующей значению параметра С₁, параллельным сдвигом в направлении оси Оу на величину /С₂ – С₁/. На рис. 3 изображён неопределённый интеграл х 2 + С от функции f(х) = 2х, то есть, семейства парабол.

Функция F(x) называется первообразной функцией для функции f(x) на множестве XН R, если в каждой точке этого множества F'(x) = f(x).

Например, функция F(x) = x 2 /2 является первообразной для функции f(x) = x, так как (x 2 /2)' = x. Очевидно, что если F(x) - первообразная функция для функции f(x) на множестве X, то функция F(x)+C, где C - некоторая постоянная, также является первообразной для функции f(x), xО X, так как (F(x)+C)' = F'(x) = f(x). Геометрически это означает, что если найдена одна кривая y = F(x), являющаяся первообразной, то, сдвигая ее вдоль оси ординат, мы снова получим кривые, удовлетворяющие условию (F(x)+C)' = f(x).

Метод подстановки

Замена переменной интегрирования является одним из эффективных методов сведения интеграла к табличному. Этот прием интегрирования называется методом подстановки.

функция x = f (t) определена и дифференцируема на некотором множестве T, а X - множество значений этой функции, на котором определена f(x). Тогда, если функция f(x) имеет первообразную на X, то на T справедлива следующая формула

Доказательство. Пусть F(x) – первообразная для f(x) на X, то есть F' (x) = f(x). Используя правило дифференцирования сложной функции, получим

∫ f(f (t))f'(t)dt=F(f(t))+C. Так как ∫ f(x)dx = F(x)+C

Интегрирование по частям :

Пусть u = f(x) и v = g(x) - функции, имеющие непрерывные производные. Тогда, по правилу дифференцирования произведения,

d(uv)= udv + vdu или udv = d(uv) -vdu.Для выражения d(uv) первообразной, очевидно, будет uv, поэтому имеет место формула:

Эта формула выражает правило интегрирования по частям. Оно приводит интегрирование выражения udv=uv'dx к интегрированию выражения vdu=vu'dx.

Пусть, например, требуется найти x cosx dx. Положим u = x, dv = cos x dx, так что du=dx, v=sinx. Тогда

∫ x cos x dx = ∫ x d(sin x) = x sin x - ∫ sin x dx = x sin x + cos x + C.Правило интегрирования по частям имеет более ограниченную область применения, чем замена переменной. Но есть целые классы интегралов, например,

∫ x k ln m x dx, ∫x k sin bx dx, ∫ x k cos bx dx, ∫x k e ax dx

и другие, которые вычисляются именно с помощью интегрирования по частям.

∫(х-4)*sin3xdx│u=x-4,du=dx dv-sin3xdxv=∫sin3xdx=- cos3x│-cos3x+∫cos3xdx=-xcos3x= +sin3x+C

Найти ∫ arctg x dx.

Решение. Обозначим u=arctg x, dv=dx. Тогда du = dx/(x 2 +1), v=x, откуда ∫ arctg x dx = x arctg x - ∫ x dx/(x 2 +1) = x arctg x + 1/2 ln(x 2 +1) +C; так как
∫x dx/(x 2 +1) = 1/2 ∫ d(x 2 +1)/(x 2 +1) = 1/2 ln(x 2 +1) +C.

Вычислить ∫ e x sin x dx.

Решение. Обозначим u = e x , dv = sin x dx, тогда du = e x dx, v = ∫ sin x dx= - cos x → ∫ e x sin x dx = - e x cos x + ∫ e x cos x dx. Интеграл ∫ e x cos x dx также интегрируем по частям: u = e x , dv = cos x dx Þ du=e x dx, v=sin x. Имеем:
∫ e x cos x dx = e x sin x - ∫ e x sin x dx. Получили соотношение ∫ e x sin x dx = - e x cos x + e x sin x - ∫ e x sin x dx, откуда 2 ∫ e x sin x dx = - e x cos x + e x sin x + С.

§1.2. Символьный метод, операторы

В наше время такие символы операций называют операторами. Операторы дифференцирования d() и интегрирования действуют на функции, “перерабатывая” их в другие, точно вычисляемые функции. Лейбниц разрабатывает особую алгебру действий с этими операторами. Он доказывает, что обычное число, а можно выносить за знак оператора. Одинаковые операторы можно выносить за скобку.
Сокращенно все перечисленные свойства можно выразить соотношением: где a и b - числа.
Однако в подходе Ньютона-Лейбница крылось серьёзное противоречие.
Операторы, которые обладают таким свойством. называются линейными. Теория линейных операторов, которую с таким успехом начал развивать, Лейбниц,. в современной математике является хорошо разработанной и полезной в приложениях теорией.
Многократное применение операторов можно принимать как степень оператора, например, для d( ) :
То, что основные операторы математического анализа являются взаимно обратными Лейбниц подчёркивал своей символикой, утверждая, что в d(x) и также взаимно обратны, как степени и корни в обычном исчислении. Употребляя так же обозначение, аналогичное обозначению a -1 числа, обратного a , причём произведение a Ч a -1 =1. Обозначая операторы или наоборот:
и понимая под их произведением последовательное их применение, имеем, т. е. произведение есть “единица”, не меняющая функцию.

Читайте также: