История развития векторной алгебры реферат
Обновлено: 05.07.2024
- Для учеников 1-11 классов и дошкольников
- Бесплатные сертификаты учителям и участникам
Министерство общего и профессионального образования
Муниципальное общеобразовательное учреждение
Администрация Сысертского городского округа
Реферат по геометрии
Исполнитель: Бесов Владислав
Ученик 9а класса
Руководитель: Годова И.В
г. Сысерть 2008 г.
Глава 1. Векторы. . 4.
1.1. О трактовке понятия вектора…………………………………………………..4
Глава 2. Операции над векторами. 8
2.1. Композиция параллельных переносов. 8
2.2. Сложение и вычитание векторов, умножение вектора на число. 10
2.3 Коллинеарные вектора . 14
2.4.Свойства операции над векторами . 18
2.5. Скалярное произведение двух векторов и его свойства……………. 20
Глава 3 Приложение векторов при доказательстве теорем и решению задач. 21 3.1. Применение векторов при доказательстве теорем . 21
3.2. Применение векторов при решении задач. 24
Одними из фундаментальных понятий современной математики являются вектор и его обобщение — тензор. Эволюция понятия вектора осуществлялась благодаря широкому использованию этого понятия в различных областях математики, механики, а также в технике. Работы К. Веселя, Ж. Аргана и К. Ф. Гаусса по теории комплексных чисел установили связь между арифметическими операциями над комплексными числами и геометрическими операциями над векторами в двумерном пространстве — в плоскости.
В середине прошлого столетия в работах В. Гамильтона, Ф. Мёбиуса понятие вектора нашло широкое применение при изучении свойств трехмерного и многомерного пространств.
Конец прошлого и начало текущего столетия ознаменовались широким развитием векторного исчисления и его приложений. Были созданы векторная алгебра и векторный анализ, теория поля, тензорный анализ, общая теория многомерного векторного пространства. Эти теории были использованы при построении специальной и общей теории относительности, которые играют исключительно важную роль в современной физике.
О трактовке понятия вектора
Действительно, понятие вектора тесно связано с принятой сейчас теоретико-множественной трактовкой основных понятий школьного курса математики. Например, с таким важнейшим понятием школьного курса геометрии, как понятие перемещения. Кроме того, понятие вектора находит достаточно широкие приложения при рассмотрении различных вопросов школьных курсов математики и физики.
Уже на уроках физики в VIII классе изложение материала ведется с широким привлечением векторного аппарата. Понятно, что это заставляет задуматься прежде всего над тем, как наиболее естественно ввести в курс математики восьмилетней школы понятие вектора, как эффективнее применять это понятие при изложении теории и решении задач, как рассматривать основные действия над векторами.
Известно, что существует несколько подходов к введению этого понятия.
В физике при помощи вектора изображаются различные направленные величины: сила, скорость, ускорение и т. п., в силу чего вектор обычно определялся здесь как направленный отрезок. При этом часто такая направленная величина оказывалась существенно связанной с определенной точкой (точкой ее приложения) или прямой.
В математике же обычно имеют дело с так называемым свободным вектором (вектором, не связанным ни с какой прямой и ни с какой фиксированной точкой).
В традиционных математических курсах вектор также определялся как направленный отрезок. При этом два вектора считались равными, если они имели одну и ту же длину и направление. Однако такое определение равенства векторов не вполне корректно, так как тем самым отождествляются два хотя и родственные, но различные понятия: равенство и эквивалентность. Между тем равенство математических объектов трактуется сейчас как их совпадение, а эквивалентность – как любое отношение, обладающее свойствами рефлексивности, симметричности и транзитивности.
Анализируя понятие вектора, нетрудно обнаружить, что с геометрической точки зрения вектор — это объект, характеризуемый направлением (т. е. некоторым множеством сонаправленных лучей) и длиной.
рефлективности: (А, В) ~ (А, В);
симметричности: если (А, В) ~ (С, D ), то (С, D ) ~
транзитивности: если (А, В) ~ (С, D ) и ( C , D ) ~ ( K , M ), то (А, В) ~ (К, М).
С помощью рассмотренного отношения эквивалентности производится разбиение множества пар точек плоскости на непересекающиеся подмножества (классы), элементами которых являются эквивалентные пары. Каждое из таких подмножеств можно назвать вектором. Следовательно, один и тот же параллельный перенос Т (вектор) можно задать при помощи бесконечного множества эквивалентных между собой пар точек (А, В) ~ (А1, В1) ~ (А2, В2) . (рис. 4), т. е. Т = ТАВ = Т А1В1 = Т А2В2 = . .
Так как всякий класс (подмножество) эквивалентных пар определяется любым его представителем — любой его парой, то тем самым всякая пара точек плоскости задает (определяет) некоторый вектор на плоскости. При этом эквивалентные пары определяют один и тот же вектор, а неэквивалентные пары — различные векторы. Если вектор задается парой (А, В) (А ≠ В), то его обозначают. Направление, определяемое лучом АВ, называют направлением вектора , а расстояние │АВ│ — его длиной. Вектор, длина которого равна единице, называется единичным вектором. Пусть теперь вектор задается парой (В, В), т. е. парой, у которой первая точка совпадает со второй; такой вектор называется нулевым вектором и обозначается = . Длина нулевого вектора равна нулю, т. е. │ │= │ │= 0, а направление его не определено. Итак, любой вектор плоскости полностью определяется заданием одной пары точек А и В, где В = (А). Заметим, что направленный отрезок АВ выступает при такой трактовке вектора лишь как удобное наглядное изображение вектора. Любой вектор ≠ 0 имеет бесконечное множество изображений в виде направленных отрезков.
Итак, мы рассмотрели возможность введения понятия вектора как множества пар точек, задающих один и тот же параллельный перенос, т. е. множество всех пар ( X , У), для которых T ( X )= Y , есть вектор. Это множество пар ( X , Y ) иногда называют графиком параллельного переноса.
В современной трактовке принято отождествлять график с самим отображением. Все сказанное и привело к отождествлению в школьном курсе математики параллельного переноса и вектора как синонимов, обозначающих одно и то же понятие.
* Данная работа не является научным трудом, не является выпускной квалификационной работой и представляет собой результат обработки, структурирования и форматирования собранной информации, предназначенной для использования в качестве источника материала при самостоятельной подготовки учебных работ.
ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА
ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА - раздел векторного исчисления в котором изучаются простейшие операции над (свободными) векторами. К числу операций относятся линейные операции над векторами: операция сложения векторов и умножения вектора на число.
Суммой a+b векторов a и b называют вектор , проведенный из начала a к концу b , если конец a и начало b совмещены. Операция сложения векторов обладает свойствами:
a + 0=a (наличие нулевого элемента )
a+(-a)=0 (наличие противоположного элемента),
где 0 - нулевой вектор, - a есть вектор, противоположный вектору а . Разностью a-b векторов a и b называют вектор x такой, что x+b=a.
Произведением l x вектора а на число l в случае l № 0 , а № О называют вектор, модуль которого равен | l ||a| и который направлен в ту же сторону, что и вектор a , если l >0, и в противоположную, если l 2 a +cos 2 b +cos 2 g =1
Осью называется прямая с лежащим на ней единичным вектором е-ортом, задающим положительное направление на прямой. Проекцией Пр. е а вектора a на ось называют направленный отрезок на оси, алгебраическое значение которого равно скалярному произведению вектора а на вектор е . Проекции обладают свойствами:
Пр. е a = Пр. е l a (однородность).
Каждая координата вектора в ортонормированном базисе равна проекции этого вектора на ось, определяемую соответствующим вектором базиса.
В пространстве различают правые и левые тройки векторов. Тройка некомпланарных векторов а, b, с называется правой, если наблюдателю из их общего начала обход концов векторов a, b, с в указанном порядке кажется совершающимся по часовой стрелке. В противном случае a,b,c - левая тройка. Правая (левая) тройка векторов располагается так, как могут быть расположены соответственно большой, несогнутый указательный и средний пальцы правой (левой) руки(см. рис). Все правые (или левые) тройки векторов называются одинаково ориентированными.
правило левой руки правило правой руки
Ниже тройку векторов i,j,k следует считать правой .
Пусть на плоскости задано направление положительного вращения (от i к j ). Псевдоскалярным произведением aVb ненулевых векторов a и b называют произведение их модулей на синус угла j положительного вращения от a к k :
Псевдоскалярное произведение нулевых векторов полагают равным нулю. Псевдоскалярное произведение обладает свойствами:
aV (b+c)=aVb+aVc (дистрибутивность относительно сложения векторов),
l (aVb)= l aVb (сочетательность относительно умножения на число),
aVb=0, лишь если а=0 или (и) b=0 или а и b коллинеарны.
Если в ортонормированном базисе векторы а и и имеют координаты 1 ,a 2 > 1 ,b 2 >, то :
Читайте также: