Готовый реферат по геометрии

Обновлено: 05.07.2024

Область прикладной математики, называемая геометрическим моделированием (компьютерная геометрия, Computer Aided Geometrie Design, CAGD), активно развивается с середины 20-го века, В этой области изучаются способы построения кривых, поверхностей и тел, а также компьютерная реализация различных операций, производимых с ними. Геометрическому моделированию посвящены несколько книг и монографий. Поверхность в геометрическом моделировании определяется вектор-функцией от двух параметров, заданных на прямоугольной или треугольной области.

Взаимное пересечение многогранников

01 Ноября 2012, реферат

Для построения линии пересечения таких поверхностей (ломаной линии) необходимо найти точки пересечения ребер одного многогранника с гранями второго, а затем наоборот – ребер второго с гранями первого, т.е. нужно многократно решить задачу на пересечение прямой с плоскостью. Полученные точки будут являться вершинами ломаной линии.
Следует помнить, что точки линии пересечения всегда будут находиться в пределах площади наложения проекций поверхностей

Геометрические задания и задачи в начальной школе

28 Марта 2012, задача

Ознакомление младших школьников с геометрическими понятиями производится в ходе выполнения практических упражнений и эта работа ведётся в течении четырёх лет. Основные задачи изучения геометрического материала в 1-4 классах заключаются в том, чтобы создать у детей четкие и правильные геометрические образы, развить пространственные представления, вооружить их навыками черчения и измерения, имеющими большое жизненно – практическое значение, и тем самым подготовить учеников к успешному изучению систематического курса геометрии.
Формирование геометрических представлений является важным разделом умственного воспитания, политехнического образования, имеют широкое значение во всей познавательной деятельности человека. Пространственные представления носят синтетический характер, включая форму, положение, величину, направление и другие пространственные отношения и связи.

Задача на нахождение углов параллелограмма

04 Ноября 2011, задача

Задача на нахождение углов параллелограмма. Дан параллелограмм, в котором проведена диагональ. И даны два угла при этой диагонали. Требуется найти все углы параллелограмма.

Золотое сечение

11 Декабря 2012, реферат

Правильные многоугольники привлекали внимание древнегреческих учёных ещё задолго да Архимеда. Пифагорейцы, выбравшие эмблемой своего союза пентаграмму - пятиконечную звезду, придавали очень большое значение задаче о делении окружности на равные части, то есть о построении правильного вписанного многоугольника. Альбрехт Дюрер (1471-1527гг), ставший олицетворением Возрождения в Германии приводит теоретически точный способ построения правильного пятиугольника, заимствованный из великого сочинения Птолемея "Альмагест".

И. С. Козлова, Ю. В. Щербакова Начертательная геометрия. Конспект лекций

24 Октября 2011, курс лекций

Начертательной геометрией называют науку, которая является теоретическим фундаментом черчения. В данной науке изучаются способы изображения на плоскости различных тел и их элементов. Эти изображения позволяют однозначно определить форму и размеры изделия и изготовить его. При работе с чертежами выполняются два вида работ: подготовка чертежей и их чтение.
Чтение чертежа заключается в воспроизведении в уме реальной формы объекта и некоторых его частей с использованием при этом чертежа.
Начертательная геометрия основывается на методе проекций.

Измерения и измерительные средства

25 Ноября 2011, контрольная работа

В системах автоматического управления технологическими процессами современных производств используются разнообразные приборы для получения информации о значениях управляемых технологических параметрах, а также для ее преобразования. Поэтому для специалистов в области автоматизации технологических процессов важно научиться ориентироваться в многообразии существующих измерительных и преобразовательных технических средств, чтобы осуществить при необходимости их правильный выбор и использование.

Инверсия на плоскости

10 Мая 2013, курсовая работа

Цель работы – познакомится с понятием инверсии на плоскости, изучить свойства инверсии, рассмотреть связь инверсии и гомотетии, научиться строить образы фигур при инверсии и применять эти знания при решении задач на построение и на доказательство.
Поэтому в процессе выполнения курсовой работы необходимо было решить следующие задачи:
1. Изучить определения, основные свойства инверсии на плоскости.
2. Рассмотреть формулы аналитического выражения инверсии на плоскости.

Инженерная и компьютерная графика.Теория построения чертежей

23 Ноября 2011, методичка

Излагаются основные вопросы теории построения чертежей. Приведены основные методы построения проекций точки, прямых, плоскостей, гранных поверхностей вращения. В отдельной лекции даны способы построения стандартных аксонометрических проекций.

Исследование кривых и поверхностей второго порядка

26 Декабря 2011, курсовая работа

Контрольная работа по "Аналитическая геометрия"

11 Января 2012, контрольная работа

Даны координаты вершин треугольника АВС. Найти:
а) уравнение стороны АВ
б) уравнение высоты СН
в) уравнение медианы АМ
г) координаты точки N пересечения медианы АМ и высоты СН
д) угол образованной высотой СН и медианой АМ
е) уравнение прямой, проходящей через вершину С параллельно стороне АВ.
А(-1;2), В(8;-4), С(-3;6).
и прочие задачи

Контрольная работа по "Геометрии"

20 Мая 2013, контрольная работа

№27543 Найдите площадь треугольника, изображенного на клетчатой бумаге с размером клетки 1 см х 1 см (см. рис.). Ответ дайте в квадратных сантиметрах.
№27545 Найдите площадь треугольника, изображенного на клетчатой бумаге с размером клетки 1 см х 1 см (см. рис.). Ответ дайте в квадратных сантиметрах.
№27547 Найдите площадь треугольника, изображенного на клетчатой бумаге с размером клетки 1 см х 1 см (см. рис.). Ответ дайте в квадратных сантиметрах.

Кривые и поверхности второго порядка

20 Января 2012, реферат

Исследовав каноническое уравнение гиперболического параболоида, отметим следующее:
1. Оси O'Z и O'X являются осями симметрии поверхности. Центра симметрии у поверхности нет.
2. Рассекая поверхность горизонтальными плоскостями Y = h, в сечениях получаем:
h > - гиперболы с действительными осями, параллельными оси O'Z
h = - две пересекающиеся прямые
h

Аксиоматический метод появился в Древней Греции, а сейчас применяется во всех теоретических науках, прежде всего в математике.
Аксиоматический метод построения научной теории заключается в следующем : выделяются основные понятия, формулируются аксиомы теории, а все остальные утверждения выводятся логическим путём, опираясь на них.

Актуальные теоремы в геометрии

17 Декабря 2011, творческая работа

Презентация по дисциплине "Геометрия" на тему "актуальные теоремы в геометрии"

Архитектура

22 Декабря 2011, курсовая работа

Древнеримский архитектор Витрувий считал, что архитектура это совокупность трех составляющих – пользы, прочности и красоты. Эта формула остается современной и сегодня. Гармоничное сочетание функционального, конструктивного и эстетического факторов дает в результате не просто здание, а произведение архитектуры, отражающее особенности своей эпохи. Являясь продуктом синтеза искусства и техники, архитектура во все времена была отражением экономической ситуации в обществе, чутко реагировала на социальный заказ и достижения технического прогресса. Появление тех или иных типов архитектурных сооружений всегда определялось общественным укладом и национальными особенностями страны, системой религиозных верований и народными традициями.

Аффинные преобразования

20 Декабря 2012, реферат

Определение 1. Аффинным преобразованием f: Ап+Ап n-мерного аффинного пространства Аn называется такое преобразование этого пространства, при котором каждая точка с координатами (x1, . . . , xn) в некоторой системе аффинных координат переходит в точку с численно равными координатами в некоторой, вообще говоря, другой системе аффинных координат. Возьмем в аффинном пространстве An какой-нибудь вектор u=M0M1.

Векторы

25 Апреля 2012, творческая работа

Понятие вектора
Отрезок, для которого указано, какая его граничная точка является началом, а какая - концом, называется направленным отрезком или вектором

Взаимное пересечение многогранников

27 Декабря 2011, реферат

Построение линии взаимного пересечения многогранных поверхностей можно производить двумя способами, комбинируя их между собой или выбирая из них тот, который в зависимости от условий задания дает более простые построения. Эти способы следующие:
1.Определяют точки, в которых ребра одной из многогранных поверхностей пересекают грани другой и ребра второй пересекают грани первой (задача на пересечение прямой с плоскостью)

Геометрические свойства равнобедренных треугольников

27 Ноября 2011, статья

Предлагаемая статья, как следует из названия, посвящена изучению свойств равнобедренных треугольников, а также установлению взаимосвязей между данными треугольниками. Необходимость исследований назрела, в первую очередь, из-за частого применения в архитектуре равнобедренных треугольников как геометрических моделей отдельных фрагментов зданий и сооружений, а во-вторых, пополнения базы знаний в области элементарной геометрии.

Геометрические характеристики плоских сечений

25 Января 2011, задача

Определить момент инерции относительно горизонтальной центральной оси плоского сечения
Определить момент инерции относительно горизонтальной центральной осиплоского сечения.

Геометрия зрения, иллюзии. Морис Эшер

19 Декабря 2011, реферат

Цель работы: объяснить зрительные иллюзии с точки зрения геометрии, увидеть и обосновать математическое начало в творчестве Мориса Эшера; углубить понимание природы зрения и восприятия в целом, в том числе иллюзорном.
Задачи исследования:
1. изучить теоретический материал по данной теме;
2. изучить и систематизировать картины Мориса Эшера;
3. найти примеры использования оптических иллюзий.

Геометрия кисти Леонардо

12 Декабря 2011, практическая работа

Геометрия возникла очень давно, это одна из самых древних наук. Геометрия (греческое, от ge — земля и metrein — измерять)— наука о пространстве, точнее — наука о формах, размерах и границах тех частей пространства, которые в нем занимают вещественные тела. Таково классическое определение геометрии, или, вернее, таково действительное значение классической геометрии.

Геометрия Лобачевского

15 Апреля 2013, курсовая работа

Данная работа показывает сходство и различия двух геометрий на примере доказательства одного из постулатов Евклида и продолжение этих понятий в геометрии Лобачевского с учетом достижений науки на тот момент.
Любая теория современной науки считается верной, пока не создана следующая. Это своеобразная аксиома развития науки. Этот факт многократно подтверждался.
Физика Ньютона переросла в релятивисткую, а та - в квантовую. Теория флогистона стала химией. Такова судьба всех наук. Участь эта не обошла геометрию. Традиционная геометрия Евклида переросла в геометрии. Лобачевского. Именно этому разделу науки посвящена эта работа.

Геометрия туралы ұғым

17 Февраля 2012, реферат

Геометрия (гр. geometrіa, geo — Жер және metrio — өлшеймін) — математиканың кеңістік пішіндері мен қатынастарды, сондай-ақ, оларға ұқсас басқа да пішіндерді зерттейтін саласы. Фигуралар кеңістік пішіндері болып есептеледі. Геометрия тұрғысынан сызық — “сым” емес, шар — “домалақ дене” емес, олардың барлығы да — кеңістіктік пішіндер. Ал кеңістіктік қатынастар — фигуралардың мөлшері мен орналасуын анықтайды. “Тең”, “параллель”, тағыда басқа сөздер де кеңістіктік қатынастарды сипаттайды.

Геометриялық үлестіру

17 Апреля 2012, курсовая работа

Қазіргі уақытта ықтималдықтар теориясы барлық жаратылыстану, экономикалық және техникалық ғылымдар ғана емес, тіпті математикадан алшақ деп саналатын тіл ғылымына, педагогика мен психологияға, сондай-ақ социологияға, археологияға еніп, ортақ тіл табысып, ішкі құрылыс заңдарын ашатын пәрменді құралға айналып келеді кеңейтіліп, анықтала түседі де, формальданады. Оқиға ұғымы ықтималдылықтың . Ықтималдықтар теориясының бірінші негізгі ұғымы- оқиға бірте-бірте классикалық анықтамасында бастапқы ұғым болып, формальды логикалық тұрғыдан анықталмайтын жиын ұғымы ретінде түсіндірілсе, аксиоматикалық тұрғыдан оған анықтама берілді.

Дифференциация

22 Марта 2012, лекция

Дифференциа́ция (различие) — выделение частного из общей совокупности по некоторым признакам.
Иррациональные - это вещ число, кот не явл рац, то есть кот не может быть представ в виде дроби , где — целое число, —нат число

Задача по геометрии

12 Октября 2011, задача

В данную окружность вписать правильный пятнадцатиугольник.

Задачи на окружность

18 Ноября 2010, задача

Задачи на окружность

Зеркальная симметрия в пространстве

11 Ноября 2011, доклад

Рассмотрим произвольную плоскость α в пространстве и такое отображение пространства на себя, при котором каждая точка M этой плоскости остается на месте, а точка , не принадлежащая α, переходит в такую точку M1, что плоскость α перпендикулярна отрезку MM1 и проходит через его середину. Это отображение называется симметрией пространства относительно плоскости .

Золотое сечение

07 Октября 2011, реферат

Человек различает окружающие его предметы по форме. Интерес к форме какого-либо предмета может быть продиктован жизненной необходимостью, а может быть вызван красотой формы. Форма, в основе построения которой лежат сочетание симметрии и золотого сечения, способствует наилучшему зрительному восприятию и появлению ощущения красоты и гармонии. Целое всегда состоит из частей, части разной величины находятся в определенном отношении друг к другу и к целому. Принцип золотого сечения – высшее проявление структурного и функционального совершенства целого и его частей в искусстве, науке, технике и природе.

История возникновения геометрии

17 Января 2012, реферат

Геометрия возникла в результате практической деятельности людей: нужно было сооружать жилища, храмы, проводить дороги, оросительные каналы, устанавливать границы земельных участков и определять их размеры. Важную роль играли и эстетические потребности людей: желание украсить свои жилища и одежду, рисовать картины окружающей жизни.

История возникновения координат на плоскости

18 Апреля 2013, реферат

История возникновения координат и системы координат начинается очень давно, первоначально идея метода координат возникла ещё в древнем мире в связи с потребностями астрономии, географии, живописи. Древнегреческого ученого Анаксимандра Милетского (ок. 610-546 до н. э.) считают составителем первой географической карты. Он четко описывал широту и долготу места, используя прямоугольные проекции.
Более чем за 100 лет до н.э греческий ученый Гиппарх предложил опоясать на карте земной шар параллелями и меридианами и ввести теперь хорошо известные географические координаты: широту и долготу и обозначить их числами.

История геометрии

30 Января 2011, реферат

История развития геометрии

18 Марта 2011, реферат

Геометрия возникла очень давно, это одна из самых древних наук. Геометрия (греческое, от geо — земля и metrein — измерять)— наука о пространстве, точнее — наука о формах, размерах и границах тех частей пространства, которые в нем занимают вещественные тела. Таково классическое определение геометрии, или, вернее, таково действительное значение классической геометрии. Однако современная геометрия во многих своих дисциплинах выходит далеко за пределы этого определения.

Касательные к эллипсу, гиперболе, параболе. Диаметры линии второго порядка

06 Мая 2012, курсовая работа

Доказательство. Достаточно рассмотреть случай, когда точка касания лежит в первой или второй четверти координатной плоскости:
Уравнение эллипса в верхней полуплоскости имеет вид:
(2)
Воспользуемся уравнением касательной к графику функции y=f(x) в точке :
(3)

Квадрики в трехмерном пространстве и их классификация

01 Декабря 2011, курсовая работа

Трехмерное пространство — геометрическая модель материального мира, в котором мы находимся. Это пространство называется трёхмерным, так оно имеет три измерения — высоту, ширину и длину, то есть трёхмерное пространство описывается тремя единичными ортогональными векторами.

Конспект лекций по начертельной геометрии

30 Марта 2012, лекция

18 Января 2011, аттестационная работа

I Конус. II Сечение конуса. III Площадь поверхности конуса. IV Объем конуса. V Усеченный конус.. VI Площадь поверхности усеченного конуса.

Концепция геометрии цивилизаций

23 Февраля 2011, научная работа

Кривые 2-го порядка как траектория движения планет

13 Мая 2013, курсовая работа

Цель работы: проанализировать законы Кеплера и, используя их, вывести уравнение траектории движения планет.
Объект изучения: законы И.Кеплера о движении небесных тел

Кривые линии и поверхности

18 Ноября 2011, реферат

Линии занимают особое положение в начертательной геометрии. Используя линии, можно создать наглядные модели многих процессов и проследить их течение во времени. Линии позволяют установить и исследовать функциональную зависимость между различными величинами. С помощью линий удаётся решать многие научные и инженерные задачи, решение которых аналитическим путём часто приводит к использованию чрезвычайно громоздкого математического аппарата.

Кривые линии и поверхности

30 Апреля 2012, реферат

Цель – показать необходимость изучения этой науки (геометрии), которая дает возможность понять, а также рассмотреть значение геометрических законов и закономерностей, их практическое применение при проектировании и постройке сооружений.

Фигура – это произвольное множество точек на плоскости. Точка, прямая, отрезок, луч, треугольник, круг, квадрат и так далее – всё это примеры геометрических фигур.
Основными геометрическими фигурами на плоскости являются точка и прямая. Этим фигурам в геометрии не даётся определений. Неопределяемыми геометрическими фигурами на плоскости являются точка и прямая. Точки принято обозначать прописными латинскими буквами: А, В, С, D …. Прямые обозначаются строчными латинскими буквами: а, b, с, d ….

1.Основные геометрические понятия.

Основные геометрические понятия возникли еще в доисторические времена. Наблюдая за формами растений и животных, гор и извилинами рек, за особенностями ландшафта и далекими планетами, человек заимствовал у природы ее правильные формы, размеры и свойства. Материальные потребности побуждали человека строить жилища, изготавливать орудия труда и охоты, лепить из глины посуду и прочее. Все это постепенно способствовало тому, что человек пришел к осознанию основных геометрических понятий. Одним из первых достижений абстрактного мышления древнего человека стало понимание прямой линии.

Прямая не проходит через точку, если точка не принадлежит ей.

Пряма́я — одно из фундаментальных понятий геометрии.
При систематическом изложении геометрии прямая линия обычно принимается за одно из исходных понятий, которое лишь косвенным образом определяется аксиомами геометрии (евклидовой).Если основой построения геометрии служит понятие расстояния между двумя точками пространства, то прямую линию можно определить как линию, путь вдоль которой равен расстоянию между двумя точками. Аналитически прямая задаётся уравнением (в трёхмерном пространстве — системой уравнений) первой степени.

К основным свойствам прямой относятся:

Черед две различные точки проходит одна единственная прямая. Следовательно две прямые не могут иметь более одной общей точки.

Две разные прямые, имеющие общую точку, пересекаются в ней. В связи с тем, что две точки определяют прямую, проходящую через них, прямую обозначают сочетанием букв, к примеру, прямая АВ, прямая PQ.

Точка М, лежащая на прямой а, разбивает её на две части. Каждая из которых называется полупрямой или лучом. Точка М служит началом каждого их этих лучей. Две точки М и N разбивают прямую на три части: два луча МР и NQ и отрезок MN.

Прямая разбивает плоскость на 2 части. Часть плоскости лежащая по одну сторону от этой прямой, называется полуплоскостью.

Если прямые не имеют общих точек, говорят, что они параллельны.

Если две прямые имеют одну общую точку, говорят, что они пересекаются в этой точке.

Две прямые в трёхмерном евклидовом пространстве скрещиваются, если не существует плоскости, их содержащей. Иначе говоря, две прямые в пространстве, не имеющие общих точек, и не являющиеся параллельными.

2. Параллелограмм.

Параллелограмм (др.-греч. παραλληλόγραμμον от παράλληλος — параллельный и γραμμή — черта, линия) — это четырёхугольник, у которого противоположные стороны попарно параллельны, то есть лежат на параллельных прямых.

Частными случаями параллелограмма являются прямоугольник, квадрат и ромб.

Признаки параллелограмма:
Четырёхугольник является параллелограммом, если выполняется одно из следующих условий:
1. Если в четырёхугольнике противоположные стороны попарно равны, то четырёхугольник - параллелограмм
2. Если в четырёхугольнике диагонали пересекаются и точкой пересечения делятся пополам, то этот четырёхугольник - параллелограмм
3. Если в четырёхугольнике две стороны равны и параллельны, то этот четырёхугольник - параллелограмм

Параллелограмм, у которого все углы прямые, называется прямоугольником.
Теорема. Если в параллелограмме диагонали равны, то он является прямоугольником.
Параллелограмм, у которого все стороны равны, называется ромбом.
Теорема. Если в параллелограмме диагонали перпендикулярны, то он является ромбом.

Отрезок, соединяющий середины боковых сторон, называется средней линией трапеции. Расстояние между основаниями называется высотой трапеции.

Средняя линия трапеции параллельна основаниям и равна их полусумме.

Отрезок, соединяющий середины диагоналей, равен полуразности оснований.

В трапецию можно вписать окружность, если сумма оснований трапеции равна сумме её боковых сторон.

Трапеция, у которой боковые стороны равны, называется равнобокой или равнобедренной.
Свойства равнобедренной трапеции.

Прямая, проходящая через середины оснований, перпендикулярна основаниям и является осью симметрии трапеции.

В равнобедренной трапеции углы при любом основании равны.

В равнобедренной трапеции длины диагоналей равны.

Если трапецию можно вписать в окружность, то она равнобедренная.

Около равнобедренной трапеции можно описать окружность.

Если в равнобедренной трапеции диагонали перпендикулярны, то высота равна полусумме оснований.

Трапеция, имеющая прямые углы при боковой стороне, называется прямоугольной.

4.Окружность.

Окружность – это плоская замкнутая линия, все точки которой находятся на одинаковом расстоянии от некоторой точки (точки О), которая называется центром окружности.
(Окружность — геометрическая фигура, состоящая из всех точек, расположенных на заданном расстоянии от данной точки.)
Круг – это часть плоскости, ограниченная окружностью. Точка О также называется центром круга. Расстояние от точки окружности до её центра, а также отрезок, соединяющий центр окружности с её точкой, называется радиусом окружности/круга.

Хорда - греческое - струна, стягивающая что-то
Диаметр - "измерение через"
Углы могут встречаться во все более возрастающем количестве, приобретать, соответственно, все больший разворот – пока не исчезнут окончательно и плоскость не станет кругом. Это очень простой и одновременно очень сложный случай, о котором мне хотелось бы поговорить подробно. Здесь необходимо отметить, что как простота, так и сложность обусловлены отсутствием углов. Круг прост, поскольку давление его границ, в сравнении с прямоугольными формами, нивелировано – различия здесь не так велики. Он сложен, поскольку верх неощутимо перетекает в левое и правое, а левое и правое – в низ.

В Древней Греции круг и окружность считались венцом совершенства. Действительно, в каждой своей точке окружность устроена одинаковым образом, что позволяет ей двигаться самой по себе. Это свойство окружности сделало возможным возникновение колеса, поскольку ось и втулка колеса должны все время быть в соприкосновении. В школе изучается много полезных свойств окружности. Одной из самых красивых теорем является следующая: проведем через заданную точку прямую, пересекающую заданную окружность, тогда произведение расстояний от этой точки до точек пересечения окружности с прямой не зависит от того, как именно была проведена прямая. Этой теореме около двух тысяч лет. Эта фигура получается, если провести дуги окружностей с центрами в вершинах равностороннего треугольника, соединяющие две другие вершины. Если провести к этой фигуре две параллельные касательные, то расстояние между ними будет равно длине стороны исходного равностороннего треугольника, так что такие катки ничем не хуже круглых. В дальнейшем были придуманы и другие фигуры, способные выполнять роль катков.

У каждого треугольника имеется, и притом единственная, окружность девяти точек. Это окружность, проходящая через следующие три тройки точек, положение которых определено для треугольника : основания его высот D1 D2 и D3, основания его медиан D4, D5 и D6 середины D7, D8 и D9 отрезков прямых от точки пересечения его высот Н до его вершин. Эта окружность, найденная в XVIII в. великим ученым Л. Эйлером (поэтому ее часто также называют окружностью Эйлера), была заново открыта в следующем столетии учителем провинциальной гимназии в Германии. Звали этого учителя Карл Фейербах (он был родным братом известного философа Людвига Фейербаха). Дополнительно К. Фейербах выяснил, что окружность девяти точек имеет еще четыре точки, тесно связанные с геометрией любого данного треугольника. Это -точки ее касания с четырьмя окружностями специального вида. Одна из этих окружностей вписанная, остальные три - вневписанные. Они вписаны в углы треугольника и касаются внешним образом его сторон. Точки касания этих окружностей с окружностью девяти точек D10, D11, D12 и D13 называются точками Фейербаха. Таким образом, окружность девяти точек является в действительности окружностью тринадцати точек. Окружность эту очень легко построить, если знать два ее свойства. Во-первых, центр окружности девяти точек лежит в середине отрезка, соединяющего центр описанной около треугольника окружности с точкой Н- его ортоцентром (точка пересечения его высот). Во-вторых, ее радиус для данного треугольника равен половине радиуса описанной около него окружности.

5.Треугольник.

Треуго́льник (в евклидовом пространстве) — это геометрическая фигура, образованная тремя отрезками, которые соединяют три не лежащие на одной прямой точки. Три точки, образующие треугольник, называются вершинами треугольника, а отрезки — сторонами треугольника.
Стороны треугольника образуют в вершинах треугольника три угла. Другими словами, треугольник — это многоугольник, у которого имеется ровно три угла.

Вершины — три точки А, В и С. Стороны — отрезки АВ, ВС и СА.
Углы — ∟ ВАС, ∟ СВА и ∟ АСВ.
Периметр треугольника — сумма длин трех сторон треугольника.

Медиана треугольника (m)— отрезок, соединяющий вершину треугольника с серединой противоположной стороны. Биссектриса треугольника (b) — отрезок биссектрисы угла треугольника, соединяющий вершину треугольника с точкой противоположной стороны. Высота треугольника (h)— перпендикуляр, проведенный из вершины треугольника к прямой, содержащей противоположную сторону.

В любом треугольнике медианы пересекаются в одной точке, биссектрисы пересекаются в одной точке, высоты или их продолжения также пересекаются в одной точке.

Теорема. Сумма углов треугольника 180°. Каждая сторона треугольника меньше суммы двух других сторон.

1) против большей стороны лежит больший угол.

2) против большего угла лежит большая сторона.

В прямоугольном треугольнике гипотенуза больше катета

Классификация треугольников по углам. В треугольнике может быть только один тупой угол. В треугольнике может быть только один прямой угол. По сторонам.
Треугольник называется равнобедренным, если две его стороны равны.
Равные стороны называются боковыми сторонами, а третья сторона — основанием равнобедренного треугольника.

5.1. Теоремы треугольника.

В равнобедренном треугольнике углы при основании равны.
Теорема

В равнобедренном треугольнике биссектриса, проведенная к основанию, является медианой и высотой.

Равносторонний треугольник — все стороны и углы равны.

Если два треугольника равны, то элементы (т. е. стороны и углы) одного треугольника соответственно равны элементам другого треугольника.
В равных треугольниках против соответственно равных сторон лежат равные углы.

5.2.Признаки треугольника.

ПЕРВЫЙ ПРИЗНАК РАВЕНСТВА ТРЕУГОЛЬНИКОВ
Теорема:
Если две стороны и угол между ними одного треугольника соответственно равны двум сторонам и углу между ними другого треугольника, то такие треугольники равны.

ВТОРОЙ ПРИЗНАК РАВЕНСТВА ТРЕУГОЛЬНИКОВ
Теорема. Если сторона и два прилежащих угла одного треугольника соответственно равны стороне и двум прилежащим углам другого треугольника, то такие треугольники равны.

ТРЕТИЙ ПРИЗНАК РАВЕНСТВА ТРЕУГОЛЬНИКОВ
Теорема. Если три стороны одного треугольника соответственно равны трем сторонам другого треугольника, то такие треугольники равны.

5.3.Прямоугольный треугольник.

СВОЙСТВА ПРЯМОУГОЛЬНЫХ ТРЕУГОЛЬНИКОВ

• Сумма двух острых углов прямоугольного треугольника равна 90°.
• Катет прямоугольного треугольника, лежащий против угла в 30°, равен половине гипотенузы.
• Если катет прямоугольного треугольника равен половине гипотенузы, то угол, лежащий против этого катета, равен 30°.

ПРИЗНАКИ РАВЕНСТВА ПРЯМОУГОЛЬНЫХ ТРЕУГОЛЬНИКОВ
Если катет и прилежащий к нему острый угол одного прямоугольного треугольника соответственно равны катету и прилежащему к нему острому углу другого, то такие треугольники равны.

Если катеты одного прямоугольного треугольника соответственно равны катетам другого, то такие треугольники равны.

Если гипотенуза и острый угол одного прямоугольного треугольника соответственно равны гипотенузе и острому углу другого, то такие треугольники равны.

Если гипотенуза и катет одного прямоугольного треугольника соответственно равны гипотенузе и катету.

5.4. История изучения треугольника.

6.Многоугольник.

Многоугольник — фигура, составленная из отрезков так, что смежные отрезки не лежат на одной прямой, а несмежные отрезки не имеют общих точек.
Точки А, В, С, D, Е… — вершины многоугольника. Отрезки АВ, ВС, CD, DE, ЕА,… - стороны многоугольника.
Периметр многоугольника (гречечкое пери - вокруг, около) — сумма длин всех сторон.
Многоугольник с n вершинами называется n-угольником; он имеет n сторон.
Две вершины многоугольника, принадлежащие одной стороне, называются соседними.
Диагональ многоугольника (греческое dia - через, gonia - угол, т.е. проходящая через углы) — отрезок, соединяющий любые две несоседние вершины.
Любой многоугольник разделяет плоскость на две части, одна из которых называется внутренней, а другая — внешней областью многоугольника. Фигуру, состоящую из сторон многоугольника и его внутренней области, также называют многоугольником.

Многоугольник называется выпуклым:

1) если он лежит по одну сторону от каждой прямой, проходящей через две его соседние вершины

2) если вместе с любыми своими 2 точками он содержит и соединяющий их отрезок.

Сумма углов выпуклого п-угольника равна (n- 2) 180°.

Многоугольником может называться замкнутая ломаная с самопресечениями и правильные звёздчатые многоугольники.

Площадь многоугольника — это величина той части плоскости, которую занимает многоугольник.

1) равные многоугольники имеют равные площади;

2) если многоугольник составлен из нескольких многоугольников, то его площадь равна сумме площадей этих многоугольников;
3) площадь квадрата равна квадрату его стороны.

7. Многранники. Виды многранников

В современном мире нас окружает множество построек состоящих из сложных геометрических фигур, большинство из которых являются многогранниками. Примеров тому очень много, достаточно посмотреть по сторонам и мы заметим что здания, в которых мы живём, магазины, в которые ходим, школы и детские сады и т.д. представлены в виде многогранников.

Призма – это многогранник, две грани которой ABCDE и abcde ( основания призмы ) – равные многоугольники с соответственно параллельными сторонами, а остальные грани ( AabB, BbcC и т.д. ) - параллелограммы, плоскости которых параллельны прямой ( Aa, или Bb, или Cc и т.д. По основанию:

-Небоскрёб Flat Iron (Утюг) на пересечении Бродвея и Пятого Авеню. Построен в 1902 году. 21 этаж, 87 метров

-Пентагон — здание Министерства обороны США в форме пятиугольника. Находится в штате Вирджиния недалеко от Вашингтона.

-Наклонная призма – боковое ребро наклонено к основанию под углом отличны от 90є.

Прямая призма – боковое ребро расположено перпендикулярно к основанию.

7.2. Параллелепипед

Параллелепипед - призма, в основании которой находится параллелограмм.

Наклонный, Прямой, Прямоугольный – это прямой параллелепипед,

в основании которого прямоугольник.

Куб – это прямой параллелепипед,

все грани которого квадраты

7.3. Пирамида

Пирамида – это многогранник, одна из граней которого – произвольный n-угольник, а остальные “n” граней – треугольники, имеющие общую вершину.

-Университетский волейбольно-баскетбольный стадион в Калифорнии

В основании - Квадрат

-Торговый центр в Турции

Цилиндр – это тело, ограниченное частью замкнутой цилиндрической поверхности и частью двух плоскостей, параллельных между собой

Водонапорная башня в Минске, Нефтехранилища, Небоскреб в США

Конус - это геометрическое тело, ограниченное частью конической поверхности, расположенной по одну сторону от вершины и частью пересекающей её плоскости.

Как самостоятельные сооружения конусы в строительстве не используются. Практически всегда они составляют какую-то часть здания, например крыши и архитектурные украшающие детали.

Также в строительстве используют конические сваи.

7.6. Сфера и шар.

Сфера – это множество всех точек пространства, находящихся на положительном расстоянии R от данной точки О, называемой центром сферы.

Шар – это множество всех точек пространства, расстояние которых от данной точки не превосходит заданного положительного числа R. Шар получается при вращении полукруга относительно диаметра.

Шаровой слой – это часть шара, заключенная между двумя параллельными плоскостями.

Шаровой сегмент – это часть шара, отсекаемая от него плоскостью.

ТРК Вояж, г. Санкт-Петербург, Здание в Париже (Франция)

Здание Национального Конгресса в США

Итак, при постройке, как современных зданий, так и зданий прошлых веков необходимы знания геометрии. Архитектурное формообразование с помощью геометрических построений сохраняется во всех случаях. Эта проблема стояла перед архитекторами прошлых веков, не исчезла она и сегодня.

7.7. Двойной квадрат

Два квадрата, сложенные вместе, образуют двойной квадрат. Сложив два двойных квадрата, получим квадрат, повторяющий своими очертаниями исходный квадрат. Это простое аддитивное свойство квадрата широко использовалось в архитектуре эпохи Возрождения.

7.8. Восьмиугольные звезды.

Использование восьмиугольных звезд в архитектурных конструкциях не вызывает никаких сомнений. Автором этого проекта является Леонардо да Винчи.

Золото́е сече́ние (золотая пропорция, деление в крайнем и среднем отношении) — деление непрерывной величины на две части в таком отношении, при котором меньшая часть так относится к большей, как большая ко всей величине.

Работы о начертательной геометрии будут полезны при подготовке к докладу и профильному экзамену. Информация дополнена расчетами и примерами.

Каталог готовых рефератов

Выберите предмет

Четко определите цель работы в рамках заданной темы.
Исходя из цели, определите в общих чертах содержание будущего реферата, составив предварительный план.
Составьте список литературы или других источников, соответствующих теме реферата.
Изучая литературу (другие источники), отмечайте все, что войдет в работу.
Составьте окончательный подробный план, указывая для каждого пункта источник, из которого будет взят материал.
Во вступлении реферата раскройте значимость его темы, укажите цель реферата.
Раскройте все пункты плана, используя конкретные факты, примеры, цитаты из первоисточников.
Сделайте промежуточные выводы по каждой смысловой части работы.
Выразите собственное аргументированное мнение по теме реферата (факультативный пункт).
В подстрочных сносках укажите источники цитат, фактов.
Сделайте обобщающий вывод.
Перечитайте реферат, проверьте логичность деления текста на абзацы; если нужно, удалите повторы информации; убедитесь в том, что тема раскрыта, а цель работы достигнута.

Обзорный реферат (или сводный) – это обобщающая характеристика нескольких первоисточников, касающихся определенной темы.
Реферат-экстракт – составляется из наиболее важных в смысловом отношении фраз, взятых из анализируемого текста. Отобранные и в случае необходимости отредактированные предложения должны точно передавать общее содержание первоисточника. Чаще всего используется в информационных службах и библиотеках при составлении каталогов.

Любое использование материалов сайта допускается исключительно с согласия редакции при установке активной ссылки на первоисточник. Информация, представленная на сайте, получена из открытых и общедоступных материалов. Ее достоверность подлежит проверке у первоисточника. Редакция не несет ответственности за какие-либо действия, либо за возможный ущерб (как материальный, так и моральный), полученный в результате прочтения материалов. Пользователь сайта принимает решения самостоятельно и несет за них полную ответственность.

Читайте также: