Геометрия на сфере реферат

Обновлено: 05.07.2024

Содержание работы

Введение
Сферическая геометрия
Происхождение сферической геометрии…………………
2. Основные понятия сферической геометрии…………….
3. Сферические треугольники …………………………………
Заключение……………………………………………………..
Список литературы………………………………

Файлы: 1 файл

Курсовая Кривошеев С.).docx

Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования

Кафедра высшей математики и методики обучения математике

Сферическая геометрия. Треугольники на сфере.

Выполнил: студент 4 курса

Введение

Сферическая геометрия

Происхождение сферической геометрии…………………

2. Основные понятия сферической геометрии…………….

3. Сферические треугольники …………………………………

Список литературы………………………………… …………

Данная работа содержит исторические аспекты возникновения и развития, основные понятия и теоремы сферической геометрии ,в отношении треугольника на сфере.

Основная цель, которая поставлена в данной работой, может быть сформулирована следующим образом:

Изучить предмет сферической геометрии, что она представляет в общем смысле .

1. Происхождение сферической геометрии

Первой по времени геометрией, отличной от евклидовой, была сферическая геометрия, или сферика, как её называли древние. Сферика возникла позже, чем евклидова геометрия плоскости и пространства. Основными стимулами для возникновения геометрии плоскости и пространства была необходимость измерения площадей полей и других плоских фигур и вместимости сосудов и амбаров различной формы, т.е. объёмов различных тел. Основным стимулом для возникновения сферики было изучение звёздного неба.

2 . Основные понятия сферической геометрии.

2.1. Сфера, большая и малая окружности.

Сферой называется геометрическое место точек пространства, расположенных на данном расстоянии от данной точки, называемой её центром.

Отрезок, соединяющий центр сферы с какой-либо его точкой, называется радиусом сферы. Отрезок, соединяющий де точки сферы и проходящий, кроме того, через его центр, называется диаметром. Из определения следует, что все радиусы равны и что диаметр равен удвоенному радиусу. Плоскость, проходящая через центр сферы, называется диаметральной плоскостью.

Пусть S-некоторая сфера с центром O радиуса R. Возьмём плоскость a , удалённую от точки O на расстояние, меньшее R. Тогда пересечения плоскости a и сферы S есть окружность. Радиус r этой окружности является катетом прямоугольного треугольника (рис.1), гипотенуза которого – радиус R, а второй катет – перпендикуляр h, опущенный из центра сферы на плоскость. Поэтому в силу теоремы Пифагора r =

Эта формула показывает, что величина r принимает максимальное значение r=R при h=0, то есть является диаметральной плоскостью. В этом случае окружность на сфере и называется большой окружностью. В геометрии на сфере большие окружности играют роль прямых на плоскости. При h>0 мы имеем r

Так как через всякие три точки пространства, не лежащие на одной прямой, проходит единственная плоскость, то через всякие две точки сферы, не являющиеся диаметрально противоположными проходит единственная диаметральная плоскость. Поэтому через всякие две точки сферы, не являющиеся диаметрально противоположными, проходит единственная большая окружность (рис.2). Этот факт вполне аналогичен тому, что на плоскости через всякие две точки проходит единственная прямая. Через две диаметрально противоположные точки сферы, напротив, можно провести бесконечное множество больших окружностей (рис.3). Так как всякие две диаметральные плоскости сферы пересекаются по её диаметру, то всякие две большие окружности пересекаются в двух диаметрально противоположных точках сферы (рис.4). Здесь мы наблюдаем отличие сферической геометрии от плоской геометрии, в которой две прямые пересекаются не более чем в одной точке.

Так как плоскость делит пространство на две области, то большая окружность делит сферу на две области (рис.2); эти области называются полусферами, а сама окружность – краем этих полусфер. Далее, так как две пересекающееся плоскости делят пространство на четыре области, то две большие окружности делят сферу на четыре области (рис.4). Наконец, так как три плоскости, пересекающиеся в одной точке, делят пространство на восемь областей, то три большие окружности, не пересекающиеся в одной точке, делят сферу на восемь областей (на рис.5 изображены восемь областей ABC, ABC ¢ , AB ¢ C, A ¢ BC, AB ¢ C ¢ , A ¢ BC ¢ , A ¢ B ¢ C, A ¢ B ¢ C ¢ , на которые делят сферу большие окружности AB, AC и BC, причём точки A ¢ ,B ¢ ,C ¢ диаметрально противоположны точкам A,B,C и, следовательно, области ABC и A ¢ B ¢ C ¢ , ABC ¢ и A ¢ B ¢ C, AB ¢ C и A ¢ BC ¢ , A ¢ BC и AB ¢ C ¢ попарно диаметрально противоположны).

Если первые два из этих свойств аналогичны свойствам прямых на плоскости, которая делится на две области прямой и на четыре области двумя пересекающимися прямыми, то третье из указанных свойств не вполне аналогично соответствующему свойству прямых на плоскости, так как три попарно пересекающиеся прямые, не проходящие все три через одну точку, делят плоскость не на восемь, а на семь частей (рис.6).

2.2. Расстояние между точками.

Возьмём две точки A,B Î S и рассмотрим большую окружность Q, проходящую через эти точки (рис.7). Окружность Q является объединением двух своих дуг È AMB и È ANB с концами в точках A и B. Длина той из двух дуг, которая не больше полуокружности, называется сферическим расстоянием между точкам A и B и обозначается через d(A,B). Следовательно, для любых дух точек сферы S имеем d(A,B)≤ p r.

Пусть È AMB Ì Q меньше полуокружности, и, значит, d(A,B) – длина этой дуги. Обозначим через a величину центрального угла AOB, опирающегося на дугу AMB, и через r (A,B) длину отрезка AB. Как известно,

Из треугольника AOB (рис.7) находим:

Из формул (1),(2) следует:

2.3. Полюс и поляра.

Всякой большой окружности соответствует две диаметрально противоположные точки сферы, высекаемые из неё диаметром, перпендикулярным к плоскости большой окружности (рис.8). Эти две точки называются полюсами большой окружности; в частности, полюсами экватора Земли являются её географические полюсы – Северный и Южный. Очевидно, что каждым двум диаметрально противоположным точкам А и В на сфере соответствует единственная большая окружность, для которой точки А и В являются полюсами; эта большая окружность называется полярой пары диаметрально противоположных точек А и В. Каждая точка поляры называется полярно сопряжённой с каждым из её полюсов; иначе говоря, точки P,Q сферы являются попарно сопряжёнными, если радиусы OP и ОQ перпендикулярны (О – центр сферы). Понятно, что все точки поляры удалены от своего полюса на расстояние, равное (или квадранту).

2.4. Угол на сфере.

Углом между двумя пересекающимися линиями в пространстве называется угол между касательными к этим линиям в точке их пересечения. Частным случаем общего понятия угла между двумя линиями является угол между двумя большими окружностями на сфере. На рис. 9 изображён угол BAC между большими окружностями АВ и АС на сфере и измеряющий этот угол XAY между касательными AX и AY к этим большим окружностям.

Если мы проведём большую окружность, являющуюся полярой вершины А угла на сфере и пересекающую стороны этого угла в точках В и С, то лучи ОВ и ОС соответственно параллельны лучам AX и AY, касательным к сторонам угла (рис. 9). Поэтому длина угла большой окружности ВС равна произведению Ð ВАС на радиус сферы, т.е. угол на сфере равен длине дуги большой окружности между точками сторон угла, полярно сопряжёнными с вершиной угла, делённой на радиус сферы.

Так как оба угла ВАС и ВА'С, образованные двумя полуокружностями при их различных концах, равны одному и тому же углу ВОС, то эти углы равны между собой и величина каждого из них называется углом между двумя большими полуокружностями. Две большие окружности определяют четыре угла между двумя полуокружностями, попарно равные друг другу. Те из этих углов, обе стороны которых являются продолжениями сторон другого угла, равны и называются вертикальными углами (рис.10, а); те из этих углов, которые имеют одну общую сторону, составляют в сумме развёрнутый угол и называются смежными углами (рис. 10, б).

Сферика как первая геометрия, отличная от евклидовой. История возникновения сферической геометрии, первые теоремы и античные математические сочинения. Основные понятия сферической геометрии, свойства сферического треугольника и его тригонометрия.

Рубрика	Математика
Вид	реферат
Язык	русский
Дата добавления	01.10.2014
Размер файла	1,4 M

Студенты, аспиранты, молодые ученые, использующие базу знаний в своей учебе и работе, будут вам очень благодарны.

Геометрия сферического треугольника

1. Историческая справка

сферический геометрия теорема треугольник тригонометрия

Первой геометрией, отличной от евклидовой, была сферическая геометрия, или сферика, как её называли древние. Сферика возникла позже евклидовой геометрии при решении задач практического характера. Основным стимулом для возникновения сферики было изучение звёздного неба. Выводы этой геометрии были необходимы путешественникам и мореплавателям, которые ориентировались по звёздам.

Основные теоремы сферической тригонометрии были открыты учеными средневекового Востока. Соотношения, выражаемые теоремой косинусов, были установлены сирийским математиком и астрономом IX века ал-Баттани. Сферическая теорема синусов была открыта почти одновременно среднеазиатскими математиками и астрономами X века Ибн Ираком из Хорезма, Абу-л-Вафой из Хорасана и ал-Ходжанди из Ходжента. В XIII веке азербайджанский математик Насир-ад-дином ат - Туси дал первое полное изложение всей системы сферической тригонометрии [7]. Французский математик Альберт Жирар (1595-1632) первым выразил площади сферического треугольника и многоугольника через их угловые избытки.

2. Основные понятия сферической геометрии

Сферой называется множество точек пространства, расположенных на данном расстоянии от данной точки, называемой её центром. Плоскость, проходящая через центр сферы, называется диаметральной плоскостью. Диаметральная плоскость пересекает сферу по большой окружности (рис.1). Любая плоскость, которая не проходит через центр сферы, пересекает сферу по малой окружности (рис.2).

Так как через любые три точки пространства, не лежащие на одной прямой, проходит плоскость и притом единственная, то через любые две точки сферы А, В, не являющиеся диаметрально противоположными и центр сферы, точку О, проходит единственная диаметральная плоскость. Следовательно, через любые две точки сферы проходит единственная большая окружность (рис.3). Через две диаметрально противоположные точки сферы можно провести бесконечное множество больших окружностей (рис.4). Любые две большие окружности пересекаются в двух диаметрально противоположных точках сферы [1].

Между геометрией на сфере и геометрией на плоскости имеются существенные различия. Роль прямых на сфере отводится большим окружностям. Мы знаем, что через каждые две точки плоскости проходит единственная прямая линия; другими словами, никакие две прямые не могут пересечься в двух точках. Но, в отличие от плоскости, две сферические прямые обязательно пересекаются в двух диаметрально противоположных точках. Таким образом, в сферической геометрии просто не существует понятия параллельности. Это обстоятельство резко отличает сферическую геометрию от евклидовой. Еще одно отличие - сферическая прямая, т.е. большая окружность, замкнута, т.к. двигаясь по ней в одном и том же направлении, мы вернемся в исходную точку.

Большая окружность делит сферу на две области; эти области называются полусферами. Так как две пересекающееся плоскости делят пространство на четыре части, то две большие окружности делят сферу на четыре области (рис.5). Так как три плоскости, пересекающиеся в одной точке, делят пространство на восемь областей, то три большие окружности, не пересекающиеся в одной точке, делят сферу на восемь областей: (ABC, ABC, ABC, ABC, ABC, ABC, ABC, ABC), те, на которые делят сферу большие окружности AB, AC и BC, причём точки A,B,C диаметрально противоположны точкам A,B,C (рис.6) .

3. Сферический отрезок

Если две точки сферы А и В не являются диаметрально противоположными, то существует единственная плоскость, проходящая через центр сферы и эти две точки. Линия пересечения этой плоскости со сферой есть большая окружность. Точки А и В разбивают большую окружность на две части. Меньшая из двух дуг этой окружности, соединяющая точки А и В, является сферическим отрезком (рис.7).

Сферический отрезок обладает следующим свойством:

Сферический отрезок, соединяющий две точки на сфере, короче любой другой линии на сфере, соединяющий эти две точки (рис.8).

Длина сферического отрезка АВ равна радианной мере центрального угла AOB (рис.9). Таким образом, в сферической геометрии длины отрезков измеряются не в см, мм, а в радианах. Это ещё одно из отличий геометрии на сфере от евклидовой геометрии на плоскости.

4. Сферический многоугольник

Сферическим многоугольником называется часть сферы, ограниченная дугами больших окружностей, меньшими полуокружности.

В отличие от плоскости, где треугольник является многоугольником с наименьшим числом сторон, на сфере имеются многоугольники с двумя сторонами называемые двуугольниками [9].

Сферический двуугольник - фигура, образованная двумя полуокружностями больших окружностей сферы (рис.10). Вершины сферического двуугольника являются диаметрально противоположнымы точками сферы. Углы на сфере определяются следующим образом: Угол между плоскостями двух больших кругов называется двугранным углом. Он равен углу при вершине двуугольника, т.е. углу между сферическими отрезками (рис.11).

5. Сферический треугольник

Среди всех сферических многоугольников наибольший интерес представляет сферический треугольник. Сферический треугольник -- геометрическая фигура на поверхности сферы, образованная пересечением трёх больших окружностей (рис.12).

Или по-другому: сферическим треугольником называется фигура, образованная тремя дугами окружностей больших кругов, попарно соединяющих три точки [2].

Три больших окружности, пересекаясь попарно в двух точках, образуют на сфере восемь сферических треугольников (рис.13). Зная элементы (стороны и углы) одного из них можно определить элементы всех остальных, поэтому рассматривают соотношение между элементами одного из них, того, у которого все стороны меньше половины большой окружности (треугольник АВС).

Как и в планиметрии, в сферической геометрии существуют определенные соотношения между сторонами и углами треугольников.

Следующие свойства сферического треугольника аналогичны свойствам плоского треугольника:

а) в каждом сферическом треугольнике против большего угла лежит большая сторона;

б) сумма любых двух сторон больше третьей стороны.

в) однако, признаков равенства треугольников на сфере 4, а не 3. Добавляется четвёртый признак по равенству трёх углов. Подобных треугольников на сфере не существует.

Вот ещё удивление сферической геометрии: треугольник на сфере может иметь сразу три прямых угла, если, например, он ограничен двумя перпендикулярными меридианами и экватором.

6. Площадь сферического треугольника

Будем называть площадью сферической фигуры, по аналогии с площадью плоской фигуры, действительное число, удовлетворяющее следующим четырём требованиям:

1. площадь сферической фигуры является положительным числом, (свойство позитивности);

2. площадь сферической фигуры не изменяется при движении (свойство инвариантности);

3. если сферическая фигура разбита на части, то площадь данной фигуры равна сумме площадей её частей (свойство аддитивности);

4. площадь всей сферы радиуса R равна 4R 2 (свойство нормировки) [5].

Для нахождения площади сферического треугольника используется теорема о площади двуугольника (рис.14).

Теорема: площадь двуугольника, углы, при вершинах которого равны , определяется формулой:

Три больших окружности, пересекаясь попарно в двух точках, образуют на сфере шесть двуугольников с вершинами в точках А, В, С (рис.13).

Например, окружности, проходящие через точки С, В и через точки С, А определяют два двуугольника с углами С. Вершин три, таким образом, получается шесть двуугольников, два с углом А, два - с углом В и два - с углом С.

Треугольник АВС равен диаметрально противоположному треугольнику А'В'С'. Треугольник АВС входит в двуугольник с верщиной А, с вершиной В и с вершиной С, т.е. повторяется трижды. Треугольник А'В'С' также повторяется трижды. Остальные точки сферы входят только в один двуугольник. Поэтому сумма площадей шести двуугольников равна площади S всей сферы плюс учетверённая площадь S() треугольника АВС, т.е. 2S(A)+2S(B)+2S(C)=S+4S().

Так как площади двуугольников

S(A)=2r 2 A, S(B)=2r 2 B, S(C)=2r 2 C,

то мы получим 4r 2 (A+B+C)=4r 2 +4S(), т.е. S()=r 2 (A+B+C)-r 2

Эта формула впервые была опубликована французом А.Жираром в 1629г.

Так как величины S() и r 2 положительны, то величина А+В+С- также положительна, откуда следует, что А+В+С,

т.е. сумма углов сферического треугольника больше 180 градусов. Величина А+В+С- называется угловым или сферическим избытком данного сферического треугольника. Разность (сигма) - величина положительная.

Таким образом, площадь сферического треугольника равна произведению его углового избытка на квадрат радиуса сферы.

Сумма всех сторон сферического треугольника всегда меньше .

Сумма углов сферического треугольника А+В+С всегда меньше и больше .

7. Тригонометрия сферического треугольника

Сферическая тригонометрия - математическая дисциплина, изучающая зависимости между углами и сторонами сферических треугольников.

Формулы сферической тригонометрии применяются для решения различных геодезических и астрономических задач.

Пусть А, В, С - углы и а, b, с - противолежащие им стороны сферического треугольника ABC. Углы и стороны сферического треугольника связаны следующими основными формулами сферической тригонометрии:

cos а = cos b cos с + sin b sin с cos А,

cos A = - cos B cos С + sin B sin С cos a,

sin a cos B = cos b sin c - sin b cos с cos А,

sin А cos b = cos B sin C + sin B cos С cos a.

В этих формулах стороны а, b, с измеряются соответствующими центральными углами, длины этих сторон равны соответственно aR, bR, cR, где R -- радиус сферы. Меняя обозначения углов (и сторон) по правилу круговой перестановки: А ® В ® С ® А (а ® b ® с ® а), можно написать другие формулы сферической тригонометрии, аналогичные указанным.

Формулы сферической тригонометрии позволяют по любым трём элементам сферического треугольника определить три остальные (решить треугольник). Заметим, что в школьном курсе планиметрии решаются аналогичные задачи.

8. Практическое применение геометрии сферического треугольника

В астрономии: 1.С помощью формулы площади сферического треугольника можно вычислить радиусы планет: R 2 = S () / (А+В+С-). Радиус является внутренней характеристикой планеты, поэтому определяется довольно сложно. Гораздо легче определить площадь конкретного планетарного сферического треугольника и измерить его углы. 2.Если расстояния до небесных объектов неизвестны, то в астрономии располагают их на поверхности сферы с центром в точке, где находится наблюдатель. Такая сфера называется небесной сферой. Радиус небесной сферы произволен, обычно его считают равным единице. С использованием небесной сферы в рамках космического проекта HIPPARCOS, осуществленного в 90-х годах XX века, измерили параллаксы (или расстояния) до 120 000 звезд, находящихся на расстоянии до 1 килопарсека (кпк) от Солнца. Несмотря на то, что объем, в котором расположены эти звезды, составляет очень малую часть от объема нашей Галактики, измерение расстояний является важнейшим результатом проекта, потому что оказалось возможным построить трехмерную картину ближайшей окрестности Солнца.

Применение в мореплавании. С помощью теоремы косинусов для сферического треугольника, определеляют расстояние между двумя точками земной поверхности.

Задача. Мореплаватель Америго Веспуччи проплыл 1800 миль в одном направлении из точки А к точке В, повернул на 60 градусов и проплыл в новом направлении еще 2700 миль, оказался в точке С. Требуется найти расстояние между точками А и С (по поверхности земного шара) (рис 15).

Решение: 1 морская миля равна 1 углов ой минуте на земном меридиане, 1 морская миля в 360*60 раз короче большой окружности земного шара, т.е. длина земного экватора равна 21600м.миль. 2 R =21600мил ь , R =21600/2 =10800/

Обозначим через a, b и с длины дуг ВС, АС и АВ соответственно,

-- внутренний угол при вершине В сферического треугольника АВС.

где R -- радиус земного шара, выраженный в морских милях. По теореме косинусов для сферического треугольника

По таблицам или с помощью калькулятора находим, что

Следовательно, длина дуги

АС = b= R·0.90662 = 3437.4·0.906623116.7 миль.

Ответ: 3117 морских миль 5772 км.

Сферическая геометрия нужна не только астрономам, штурманам морских кораблей, самолетов, космических кораблей, которые по звездам определяют свои координаты, но и строителям шахт, метрополитенов, тоннелей, а также при геодезических съемках больших поверхностях Земли.

Применение в краеведении. А теперь я расскажу о своих собственных исследованиях.

С помощью формул сферической тригонометрии можно расчитать дальность перелёта на зимовку птиц курского края.

Визитной карточкой курского края являются соловьи.

Соловей считается одним из самых красивых певцов, пение соловья знают и любят многие. Считается, что самые лучшие певцы - "курские" соловьи. Поют только самцы, и главная роль песни - "обозначение" территории и привлечение самки. Соловей весит всего 20-30 грамм, питается преимущественно насекомыми, а также пауками и многоножками, то есть соловей относится к типичным "защитникам леса"!

Задача

Соловьи - перелётные птицы. Зимует соловей в Африке, главным образом южнее экватора (не севернее юга Эфиопии). Какое расстояние преодолевает соловей во время перелёта на зимовку?

Решение: Кратчайшее расстояние между двумя точками земной поверхности (если принять Землю за сферу) определяется формулой:

cos(d)= sin(ц_А)·sin(ц_B) + cos(ц_А)·cos(ц_B)·cos(л_А ? л_B),

где ц_А, ц_B - координаты широты, л_А , л_B - координаты долготы данных пунктов (рис.16), d - расстояние между пунктами, измеряемое в радианах длиной дуги большого круга земного шара. Расстояние между пунктами, измеряемое в километрах, определяется по формуле: L =d·R, где R=6371км-средний радиус земного шара.

Зная географические координаты г. Курска и координаты Эфиопии, можно вычислить длину перелёта наших курских соловьёв в тёплые страны.

Координаты г. Курска: 51°43?00? с. ш. 36°11?00? в. д.

Координаты Эфиопии: 8°18?00? с. ш. 39°07?00? в. д.

cos(d)= sin(51°43?)·sin(8°18?) + cos(51°43?)·cos(8°18?)·cos(36°11? ?39°07?)0,7850·0,1444+0,6196·0,9895·0,99870,1134+0,6123=0,7257

d = arccos (0,7257)0,7592 радиан

По этому алгоритму можно рассчитать длину пути, преодолеваемого перелётными птицами два раза в год.

Если у вас возникли сложности с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой - мы готовы помочь.

Глава 1. Общие понятия сферической геометрии 3

Глава 2. Сферическая геометрия на E n +1 .

2.1. Элементы сферической геометрии. 8

2.2. Сферическая тригонометрия. 11

2.3 Группа изометрии. 14

Глава 3. Геометрия на сфере с точки зрения дифференциальной 16

Глава 4. Элементы геометрии на небесной сфере 23

Список литературы. 28
Введение.

Огромное впечатление, произведенное на умы математиков открытием Лобачевского, Бойяи и Гаусса, быть может, было бы несколько менее сильным, если бы люди заметили, что еще задолго до Лобачевского они фактически уже владели содержательной геометрической схемой, отличной от традиционной геометрии Евклида, т. е. уже знали одну из неевклидовых геометрий. Однако твердое убеждение всех ученых в универсальности системы Евклида не позволило им оценить по достоинству тот запас знаний, которым они располагали. Именно поэтому первым примером геометрической системы, отличной от классической геометрии Евклида, считается обычно неевклидова геометрия Лобачевского. Значительно же более простая схема, по существу разработанная с большими деталями за много веков до Лобачевского, связывается обычно с именем гениального немецкого математика Бернхарда Римана, впервые обратившего внимание на родство этой схемы с классической геометрией Евклида и неевклидовой геометрией Лобачевского.

По аналогии с плоскостью в пространстве Евклида имеется только два типа поверхностей, которые могут без деформации передвигаться сами по себе, так, чтобы каждая точка поверхности совмещалась с любой другой ее точкой и притом, чтобы направление любой касательной к поверхности в первой точке совместилось с направлением любой касательной во второй точке. Такими поверхностями являются плоскости и сферы.

Геометрия на сфере имеет сходства с геометрией на плоскости. Поэтому теоремы и аксиомы плоскости аналогичны теоремам и аксиомам сферы.

Глава 1. Общие понятия сферической геометрии.
Сферическая геометрия – математическая дисциплина, изучающая геометрические образы, находящиеся на сфере, подобно тому как планиметрия изучает геометрические образы, находящиеся на плоскости.

Всякая плоскость, пересекающая сферу, дает в сечении некоторую окружность; если секущая плоскость проходит через центр О сферы, то в сечении получается большая окружность. Через каждые две точки А и В на сфере, кроме случая диаметрально противоположных точек, можно провести единственную большую окружность. Большая окружность сферы являются ее геодезическими линиями и поэтому в сферической геометрии играют роль, аналогичную роли прямых в планиметрии. Роль окружностей в сферической геометрии играют так называемые малые окружности , т. е. сечения сферы плоскостями, не проходящими через ее центр.

Ясно, что любую окружность можно в сферической геометрии определить как множество точек, удаленных от фиксированной точки Q на постоянное расстояние ρ; точка Q называется при этом полюсом окружности, а расстояние ρ - ее радиусом. У каждой окружности на сфере имеются два полюса Q₁, Q₂ (рис 2)(являющихся диаметрально противоположными точками сферы, и соответственно этому два радиуса ρ₁,ρ_2. Если эти радиусы различны, то имеем малую окружность, если же они совпадают (и равны πr/2), то - большую окружность.

Большие и малые окружности сферы аналогичны прямым и окружностям на плоскости еще и в том отношении, что существуют движения сферы (повороты, Рис.3), переводящие их в себя. Из этого ясно, что большие и малые окружности являются "однородными" линиями, т. е. во всех своих точках они устроены совершенно одинаково.

Под расстоянием между двумя точками на сфере понимается длина меньшей из двух дуг большой окружности, соединяющей эти точки, то есть дугу А m В(рис.1) большого круга, измеряют соответствующим пропорциональным ей центральным углом АОВ. Это определение следует видоизменить лишь для случая диаметрально противоположных точек A и A₁ сферы; для них существует бесконечно много соединяющих их дуг больших окружностей, и все они имеют одну и ту же длину πr (где r - радиус сферы), которую и принимаем за расстояние между A и A₁.

При пересечении двух больших кругов на сфере образуются четыре сферических двуугольника (рис.4). Сферический двуугольник – это фигура новая, раннее не встречающаяся. Она определяется заданием своего угла. Площадь сферического двуугольника определяется по формуле

рис 4. где R – радиус сферы, А – угол двуугольника, выраженный в радианах.

Роль треугольников и многоугольников в сферической геометрии играют сферические треугольники и многоугольники, образованные дугами больших окружностей (Рис. 5).
Рис 5

Три больших окружности, не пересекающихся в одной паре диаметрально противоположных точек, образуют на сфере восемь сферических треугольников(рис.6); зная элементы (углы и стороны) одного из них, легко определить элементы всех остальных. Поэтому обычно рассматривают соотношения между элементами лишь одного треугольника, притом того, все стороны которого меньше половины большого круга (такие треугольники называются эйлеровыми треугольниками).

Стороны a
,
b
,
c сферического треугольника измеряются плоскими углами трехгранного угла ОАВС (рис.7), углы А, В, С треугольника – двугранными углами того же трехгранного угла. Свойства сферических треугольников во многом отличаются от свойств треугольников на плоскости (прямолинейных треугольников). Так, к известным трем случаям равенства прямолинейных треугольников для треугольников на сфере добавляется еще четвертый: два треугольника равны, если равны их соответствующие углы (на сфере не существует подобных треугольников).

Равными треугольниками считаются те, которые могут быть совмещены после передвижения по сфере. Равные сферические треугольники имеют равные элементы и одинаковую ориентацию. Треугольники, имеющие равные элементы и различную ориентацию, называются симметричными; таковы, например, треугольники АС’С и ВСС’ на рис.8.

Во всяком сферическом треугольнике каждая сторона меньше суммы и больше разности двух других; сумма всех сторон всегда меньше 2π. Сумма углов сферического треугольника всегда меньше 3π и больше π. Разность

где S – сумма углов сферического треугольника, называется сферическим избытком. Площадь сферического треугольника определяется по формуле

где R – радиус сферы.

Заметим также следующее, что расстояние OM от начала координат O до произвольной точки M с координатами x, y, z определяется соотношением

OM 2 = x 2 + y 2 + z 2 . (1.5)

В самом деле, обозначив через N основание перпендикуляра, опущенного из точки M на горизонтальную плоскость, получим, в силу теоремы Пифагора, OM 2 = OP 2 + z 2 , а OP 2 = x 2 + y 2 , откуда и следует, что OM 2 = x 2 + y 2 + z 2 . Если радиус нашей сферы равен r, то, в силу соотношения (1.5), координаты всех точек сферы удовлетворяют условию

x 2 + y 2 + z 2 = r 2 . (1.6)

Расстояние M₁M₂ между двумя произвольными точками M₁(x₁, y₁, z₁) и M₂(x₂, y₂, z₂) пространства определяется по общей формуле

(частным случаем которой является формула (1.5)), а угол φ между двумя отрезками OM₁ и OM₂, исходящими из точки O, - по формуле

Расстояние же ω между этими точками, измеренное по большой окружности сферы, в соответствии с соглашениями, принятыми в сферической геометрии, равно углу φ между отрезками OM₁ и OM₂, умноженному на радиус r сферы; поэтому, согласно соотношениям (1.6) и (1.8), это расстояние вычисляется по формуле

Глава 2. Сферическая геометрия на
E n
+1
.

2.1 Элементы Сферической геометрии.

E n +1 - n -мерное евклидово пространство, с ортонормированным репером 1 , e ₂ , . e_n ₊₁ >. Гиперсферой пространства E n +1 называется геометрическое место точек этого пространства, отстоящие от данной точки, называемой центром, на одно и то же расстояние, называемым радиусом.

Очевидно, что гиперсфера с центром в точке М₀( x ₀ 1 , x ₀ 2 , . x ₀ n +1 ) радиуса R , удовлетворяет уравнению:

( x 1 - x ₀ 1 , x 2 - x ₀ 2 , . x n +1 - x ₀ n +1 )= R 2 (2.1.1)

В частности, когда М₀=0:

( x 1 ) 2 +( x 2 ) 2 + ..+( x n +1 ) 2 = R 2 (2.1.2)

Сфера, задаваемая (2.1.2), представляет собой поверхность уровня гладкой функции F ( x 1 , x 2 , . x n +1 )= ( x 1 ) 2 +( x 2 ) 2 + ..+( x n +1 ) 2 - R 2 . Откуда следует, что S n является гладкой гиперповерхностью в E n +1 .

Среди всех кривых на гиперсфере особую роль играют гиодезические кривые.Теперь докажем следующий факт:

Большие окружности сферы являются ее гиодезическими линиями. Для этого определим неравенство треугольника (2.1.3) на сфере

И как известно, кривая = AB : (2.1.3)

И выражая из (2.1.3) t через cos , получим:

Взяв cos от левой и правой части последнего соотношения, получим:

Здесь - скалярное произведение векторов a , b .

Таким образом или

Взяв cos и приведя, получим:

Возведем в квадрат и приведем подобные, после этого получим определитель Грамма

То есть неравенство треугольника выполняется

Теперь перейдем к геодезической линии: Из того что произвольную кривую можно отождествить с некоторой ломаной, например, M ₀ M ₁ …. M_n получаем: M ₀ M ₁ + M ₁ M ₂ M ₀ M ₂

Таким образом показали, что большие окружности на сфере являются геодезическими линиями.
Большими m -сферами гиперсферы S n называются ее сечения ( m +1)-плоскостями, проходящими через ее центр.

Из того, что большие окружности сфер являются геодезическими линиями этих сфер, следует, что прямые линии пространства S n являются геодезическими линиями этого пространства, откуда вытекает, что m
-плоскости пространства S n являются вполне геодезическими
m
-поверхностями этого пространства (т.е. такими m -поверхностями, всякая геодезическая линия которых является геодезической линией пространства).

2.2
Сферическая тригонометрия.

Сферическим треугольником гиперсферы S n называется фигура, состоящая из трех точек этой гиперсферы и трех отрезков, попарно соеденяющей эти точки. Здесь под отрезками понимаем меньшую из двух дуг большой окружности, проходящей через эти точки.

Через точки сферического треугольника и центр S n можно провести единственную 3-плоскость, пересекающую S n по большой S 2 . Поскольку S 2 S n представляет собой геодезическую поверхность, то получаем, что данный сферический треугольник целиком расположен на ней. Поэтому, при рассмотрении сферического треугольника на S n можно всегда считать его расположенным на S 2 .

Пусть ABC – c ферический треугольник на S 2 , - радиус векторы вершин. Обозначим дуги , соответственно через с, b , а.

Углом между дугами понимают угол между их касательными векторами. Обозначим - угол между дугами и , - угол между и , - между

Теорема косинусов:

Доказательство:

Угол очевидно равен углу между плоскостями (ОА B ) и ( OAC ), который в свою очередь равен углу между их векторами нормали [ , ] и [ , ]. Следовательно

Пусть ABC – сферический треугольник на S 2 . Для большой окружности проходящей через точки B и C , обозначим через точку A ’ один из полюсов этой окружности, который расположен ближе к точке A . Также вводим точки B ’и C ’.

Сферический треугольник A ’ B ’ C ’ называется полярным к сферическому треугольнику ABC . Обозначим A ’ B ’ C ’=( ABC )’, , , - радиус векторы точек A ’, B ’, C ’ соответственно, которые характеризуются следующими условиями:

( )=( )=0 и ( )>0
Ясно, что полярный к полярному треугольнику совпадает с исходным треугольником.

Докажем следующую теорему:

Стороны
a
’,
b
’,
c
’ полярного треугольника
A
’
B
’
C
’ связаны с углами , , треугольника
ABC
следующим образом:

Пусть векторы , , образуют правый базис. Тогда

Теперь сформулируем и докажем двойственную теорему косинусов:
(2.2.4)

Запишем для полярного треугольника A ’ B ’ C ’ теорему косинусов

С учетом формул (2.2.3), получим (2.2.4).

Теорема синусов

2.3 Группа изометрии.

S n – гиперсфера в E n +1 , заданные уравнением:

Расстояние между точками X и Y гиперсферы S n представляет собой длину из меньших дуг большой окружности, соединяющей эти точки.

Обозначим через -неориентированный угол между векторами и . Тогда = R (2.3.1)

Обозначим через d ( x , y ) – расстояние между точками X и Y в евклидовом смысле. Тогда из треугольника OXY . Отсюда

Теперь приступим к нахождению группы изометрии гиперсферы S n . Под изометрией сферы S n понимается преобразование сферы, сохраняя расстояние между любыми двумя точками. В связи с чем, докажем следующую теорему:

Группа изометрии
Is
(
S
2
) сферы
S
2
изоморфна группе вращений евклидового пространства
E
3
.

Имеем 2 репера R < O , A , B , C >– старый репер

В силу основной теоремы о движении в пространстве существует единственное движение f пространства такое, что f : R R ’, при котором

Покажем, что g ( M )= f ( M )

Пусть g ( M )= M ’ и f ( M )= M ”. Имеем также

Имеем и следующее равенство OM ’= OM ”.

Пусть M ’=( x ’, y ’, z ’) и M ”=( x ”, y ”, z ”). Тогда

Последовательно 1-2, 2-3,3-4, получим:

Другими словами, показали, что g ( M )= f ( M ). А это означает, что группа изометрии Is ( S 2 ) сферы S 2 индуцирует группу вращений евклидового пространства E 3 .

( ) Пусть f – вращение пространства с инвариантной точкой О, то есть f : E 3 E 3 .

Покажем, что сужение f : S 2 S 2 .

Точка М S 2 и f ( M )= M ’. Тогда [ OM ] [ OM ’], где OM = OM ’= R , то есть М’ S 2 .

Пусть A, B S 2 . Тогда f(A)=A’

Длины дуг равны, так как равны вектора и в евклидовом смысле.

Таким образом, группа вращений евклидового пространства E 3 индуцирует группу изометрии Is ( S 2 ) сферы S 2 .

Глава 3. Сферическая геометрия с точки зрения дифференциальной геометрии.

Положение каждой точки на сфере вполне определяется заданием двух чисел: эти числа (координаты) можно определить, например, следующим образом. Фиксируются (рис.9) некоторый большой круг QQ ’ (экватор), одна из двух точек пересечения диаметра РР’ сферы, перпендикулярного к плоскости экватора, с

Рис 9. поверхностью сферы, например Р (полюс), и один из больших полукругов РАР’ , выходящих из полюса (нулевой меридиан). Большие полукруги сферы, выходящие из Р, называются меридианами, малые ее круги, параллельные экватору, - параллелями. В качестве одной из координат точки М на сфере принимается угол θ= РОМ – полярное расстояние, в качестве второй – угол ϕ = AON между нулевым меридианом и меридианом, проходящим через точку М, - долгота, отсчитывается против часовой стрелки. Таким образом связь с прямоугольными декартовыми координатами устанавливается следующими формулами:

Цель работы: выявить основные элементы сферической геометрии и описать важнейшие положения данной области научного знания.

1. Охарактеризовать специфику сферической геометрии как области математики.

2.Определить основные понятия сферической геометрии.

3.Описать важнейшие положения сферической геометрии.

4. Рассмотреть особенности фигур, расположенных на сфере.

Вложение	Размер
issledovatelskaya_rabota.docx	953.14 КБ

Предварительный просмотр:

МБОУ ДОД Дворец творчества детей и молодежи города Ростова-на-Дону

Донская академия наук юных исследователей им. Ю.А. Жданова

Наименование секции: математика

Аскандарова Залина, 11класс

Дуванская Татьяна Ивановна,

учитель математики первой квалификационной категории.

1.Основные понятия сферической геометрии…………………..4-7

3.Сферическая теорема синусов…………………………………11-12

4.Сферическая теорема косинусов………………………………13-15

5.Решение сферических треугольников…………………………16-18

6. Прим еры решения задач………………………………… . 19 -2 1

Список литературы ………………………………………. 23

В настоящее время, существуют различные науки, в основе которых лежит сферическая геометрия. Например, значительный раздел математической картографии — картометрия, которая позволяет по данным карты измерять расстояния, углы и площади на реальной поверхности Земли.

Гипотеза: элементы сферы выражаются формулами отличными от формул евклидовой геометрии.

Цель работы — выявить основные элементы сферической геометрии и описать важнейшие положения данной области научного знания.

В своей работе я изложила основные понятия сферической геометрии, рассмотрела важнейшие закономерности в этой области знания.

Структура работы обусловлена целью исследования. Работа состоит из двух частей: в первой приводится общая теория о сфере, понятие сферического треугольника, сферические теоремы синусов и косинусов, двойственная теорема косинусов

Во второй части работы я рассмотрела решения задач на применение рассмотренных теорем, а также задачи практического характера.

Теоретический материал представлен в форме доступной для понимания учащимися старших классов, подобраны и решены задачи по сферической геометрии.

1.Основные понятия сферической геометрии

Сфера, большая и малая окружности

Сферой называется геометрическое место точек пространства, расположенных на данном расстоянии от данной точки, называемой её центром.

Отрезок, соединяющий центр сферы с какой-либо его точкой, называется радиусом сферы.

Отрезок, соединяющий две точки сферы и проходящий, кроме того, через его центр, называется диаметром . Из определения следует, что все радиусы равны и что диаметр равен удвоенному радиусу.

Плоскость, проходящая через центр сферы, называется диаметральной плоскостью .

В этом случае окружность на сфере и называется большой окружностью . В геометрии на сфере большие окружности играют роль прямых на плоскости.

Так как через всякие три точки пространства, не лежащие на одной прямой, проходит единственная плоскость, то через всякие две точки сферы, не являющиеся диаметрально противоположными, проходит единственная большая окружность (рис.1). Этот факт вполне аналогичен тому, что на плоскости через всякие две точки проходит единственная прямая. Через две диаметрально противоположные точки сферы, напротив, можно провести бесконечное множество больших окружностей (рис.2).

Так как всякие две диаметральные плоскости сферы пересекаются по её диаметру, то всякие две большие окружности пересекаются в двух диаметрально противоположных точках сферы (рис.4). Здесь наблюдается отличие сферической геометрии от плоской геометрии, в которой две прямые пересекаются не более чем в одной точке.

-Так как плоскость делит пространство на две области, то большая окружность делит сферу на две области ; эти области называются полусферами , а сама окружность – краем этих полусфер.

- Так как две пересекающееся плоскости делят пространство на четыре области, то две большие окружности делят сферу на четыре области (рис.3).

-Так как три плоскости, пересекающиеся в одной точке, делят пространство на восемь областей, то три большие окружности, не пересекающиеся в одной точке, делят сферу на восемь областей (на рис.4)

Сферический отрезок, соединяющий две точки на сфере- кратчайшая из двух дуг большой окружности (АВ), пр о ходящей через две не диаметрально противоположные точки A и В сферы.

Если две точки сферы А и В не являются диаметрально противоположными, то существует единственная плоскость, проходящая через центр сферы и эти две точки. Линия пересечения этой плоскости со сферой есть большая окружность, а меньшую из двух дуг этой окружности, соединяющий точки А и В, является единственным сферическим отрезком, соединяющим точки А и В.

Если точки А и В диаметрально противоположны на сфере, существует бесконечное число больших окружностей, проходящих через эти две точки, причем эти две точки делят каждую такую большую окружность на две полуокружности, которые являются сферическими отрезками, соединяющими точки А и В (рис.6).

Рис.6

Сферический отрезок обладает замечательным минимальным свойством (как и отрезок на плоскости).

Теорема (минимальное свойство сферического отрезка).

Сферический отрезок, соединяющий две точки на сфере, короче любой другой линии на сфере, соединяющий эти две точки (рис.7).

Величина внутреннего угла при вершине В сферического многоугольника, образованного дугами АВ и ВС на сфере, определяется как угол между двумя лучами, которые выходят из точки В и касаются дуг АВ и ВС в точке В. Поскольку эти лучи перпендикулярны радиусу ОВ, то угол при вершине В равен двугранному углу между плоскостями ОАВ и ОВС. Понятно, что два угла сферического двуугольника всегда равны (рис.8).

Многоугольники на сфере

Сферическим многоугольником называется часть сферы, ограниченная дугами больших окружностей, меньшими полуокружности, концами которых служат точки пересечения этих больших окружностей, взятых в последовательном порядке.

Сферический многоугольник называется выпуклым , если он расположен по одну сторону от каждого из больших кругов, частью которых служат его стороны; в противном случае он называется вогнутым .

В случае, когда многоугольник выпуклый каждый большой круг, частью которого служит сторона многоугольника, делит сферу на две полусферы, из которых одна содержит весь многоугольник; общая область R всех таких полусфер, содержащих данный многоугольник, и будет внутренней областью многоугольника (рис 9, 10).

Сферический двуугольник -фигура,образованная двумя полуокружностями больших кругов сферы, исходящими из диаметрально противоположных точек

В отличие от плоскости, где треугольник является многоугольником с наименьшим числом сторон, на сфере имеются многоугольники с числом сторон меньше трех- двуугольники. Двуугольником является часть сферы, ограниченная двумя половинами больших окружностей с общими концами; эти общие концы, называемые вершинами двуугольника, являются диаметрально противоположными точками сферы.

2. Сферический треугольник.

Сферическим треугольником называется фигура, состоящая из трех точек сферы и трех отрезков, попарно соединяющей эти точки. Здесь под отрезками понимаем меньшую из двух дуг большой окружности, проходящей через эти точки.

Пусть ABC – сферический треугольник, - радиус векторы вершин.(рис.12) Обозначим дуги , соответственно через с, b, а.

Три больших окружности, пересекаясь попарно в двух точках, образуют на сфере восемь сферических треугольников. Зная элементы (стороны и углы) одного из них

можно определить элементы всех остальных, поэтому рассматривают соотношение между элементами одного из них, того, у которого все стороны меньше половины большой окружности.(рис.13)

Многие свойства сферического треугольника (а оно одновременно являются и свойствами трехгранных углов) почти полностью повторяют свойства обычного треугольника, среди них- неравенство треугольника или, например, три признака равенства треугольника. Все планиметрические следствия упомянутых теорем вместе с их доказательствами остаются справедливыми на сфере.

Сумма углов всякого сферического треугольника всегда больше 180 . Разность (измеряется в радианах) – величина положительная и называется сферическим избытком данного сферического треугольника.

Равнобедренные сферические треугольники

Сферический треугольник называется равнобедренным , если две его стороны равны.

Всякий сферический треугольник, наложимый на треугольник, ему симметричный, - равнобедренный.

Действительно, в силу того, что оба треугольника имеют противоположное расположение, невозможно наложить один треугольник на другой так, чтобы совпадали соответственные вершины, т.е. вершины, находящиеся первоначально на концах одного диаметра; если бы среди сторон треугольника не было равных между собой, то такое наложение было бы невозможно и ни каким другим образом.

Обратно, всякий равнобедренный сферический треугольник наложим на треугольник, ему симметричный.

Если треугольник А'В'С' симметричен треугольнику АВС и если АВ равно АС, то два треугольника АВС и А'С'В', имеющие (при выбранном порядке вершин каждого из них) одно и тоже расположение, равны по второму признаку равенства.

Теорема. В равнобедренном сферическом треугольнике углы, противолежащие равным сторонам, равны.

Действительно, при совмещении треугольника АВС (АВ=АС) с симметричным ему треугольником А'С'В' угол, совпадающий с углом В', есть угол С'; таким образом, оба эти угла равны, и тоже самое имеет место и для углов С и В'.

Обратно, всякий сферический треугольник, два угла которого равны, равнобедренный.

Действительно, если АВС сферический треугольник, в котором Ð В= Ð С и треугольник А'В'С' – треугольник, ему симметричный, то треугольники АВС и А'С'В', имеющие одинаковое расположение равны по первому признаку равенства, и, следовательно, АВ=А'С'=АС.

Площадь сферического треугольника

площадь сферической фигуры является положительным числом , (свойство позитивности),
площадь сферической фигуры не изменяется при движении (свойство инвариантности),
если сферическая фигура разложена на две сферические фигуры, то площадь данной фигуры равна сумме площадей двух фигур, на которые она разложена (свойство аддитивности),
Площадь всей сферы радиуса R равна 4 p R 2 (свойство нормировки).

3.Сферическая теорема синусов

Теорема. Синусы сторон сферического треугольника относятся как синусы противолежащих углов.

Пусть длины сторон сферического треугольника (рис. 14) равны а, b, с, а противолежащие им углы этого треугольника равны А, В, С соответственно, r- радиус сферы, тогда

Доказательство: В сферическом треугольнике ABC проведем в ы соту СН — дугу большой окружности, перпендикулярную бол ь шой окружности АВ (рис. 15). Длине высоты |СН| s отвечает величина угла СОH: если , то |CH| s =Rφ. Это наводит на следующее построение для соответствующего трехгранного угла ОАВС. Возьмем на ребре ОС произвольную точку C 1 и проведем из нее перпендикуляры С 1 А 1 к (ОA), С 1 В 1 к (ОB) и С 1 Н 1 к плоскости ОАВ (рис. 16); мы опять рассматриваем случай острых углов α, β, . По теореме о трех перпендик у лярах (H 1 A 1 ) (OA), (H 1 B 1 ) (OB), поэтому углы C 1 A 1 H 1 и C 1 B 1 H 1 будут линейными углами соответствующих двугранных углов: . Из прямоугольных треугольников OA 1 C 1 и С 1 Н 1 А 1 , обозначив |OC 1 |=z, находим:

Аналогично из прямоугольных треугольников ОВ 1 С 1 и C 1 H 1 B 1

Приравнивая правые части равенств (1.1) и (1.2), получим:

Точно так же доказывается, что

Получающиеся в итоге формулы

и составляют содержание теоремы синусов для сферических треугольников или трехгранных углов.

5.Сферическая теорема косинусов:

Доказательство проведём с помощью проекций. На рисунке показан сферический треугольник ABC на сфере радиуса R с центром в точке O . BP — перпендикуляр к плоскости большого круга, проходящего через сторону b , BM — перпендикуляр к OC , BN — перпендикуляр к OA . По утверждению, обратному теореме о трёх перпендикулярах , PM — перпендикуляр к OC , PN — перпендикуляр к OA . Заметим, что угол PMB равен π - C,кроме того, ON = Rcosc и OM = R cos a. Далее, проецируем ломаную OMPN на прямую, содержащую ON .

Подставляем три последних выражения и указанное выше выражение ON = R cos c в первое выражение и получаем:

Теоремы косинусов для двух других сторон, то есть теорему для cos a и теорему для cos b, получаем аналогично, их также можно получить сразу из формулы для стороны c при помощи круговой перестановки букв:

Теоремы косинусов для сферического треугольника со сторонами a , b , c и углами A , B , C имеют следующий вид:

Эти две теоремы двойственны по отношению друг к другу, поскольку углы и стороны всякого сферического треугольника дополняются до развёрнутого угла сторонами и углами соответствующего полярного треугольника.

Если угол C — прямой, первая теорема косинусов переходит в сферическую теорему Пифагора :

Теперь сформулируем и докажем двойственную теорему косинусов :

Запишем для полярного треугольника A’B’C’ теорему косинусов

С учетом формул (1.6), получим (1.7).

Длины сторон а, b, сферического треугольника ABC св я заны с соответствующими плоскими углами α, β, γ трехгранного

угла ОАВС формулами

поэтому рассматриваемый случай (а, b, с много меньше, чем R) отвечает тому, что α 0, β 0, γ 0. Вспомним, что при малых φ зн а чение sinφ приближенно равно φ:

Отсюда можно вывести аналогичную приближенную формулу для соsφ при малых φ:

Подставляя соответствующие приближения в формулы син у сов и косинусов (формулы (6) и (3)), получим приближенные формулы для малых сферических треугольников:

(отбросила в предпоследнем соотношении слагаемое четве р той степени , поскольку оно мало по сравнению со слагаемыми второй степени — ). Подставляя в полученные формулы , действительно получаются обычные теоремы синусов и косинусов.

5.Решение сферических треугольников

1. Д аны три стороны сферического треугольника . Найти углы треугольника.

Решение: по формуле, выражающей теорему косинусов, находим

и аналогично находим со s В и соs С.

2. Д аны две стороны сферического треугольника и угол между ними, например стороны b , с и угол А . Найти остальные элементы треугольника. Решение: сторону а найдем из теоремы косинусов. Зная все три стороны сфер и ческого треугольника, найдем его остальные углы, как указано выше.

3. Д аны две стороны сферического треугольника и угол, лежащий против одной из них, например стороны а, b и угол A . . Найти остальные элементы треугольника.

Решение: по теореме синусов находим

Заметим, что эта формула даёт для В два значения, дополня ю щих друг друга до p ; это соответствует тому, что в общем случае два сферических треугольника с двумя соответственно равными ст о ронами и равными углами, лежащими против одной из этих сторон, не обязательно равны, а возможен случай, когда углы этих треугол ь ников, лежащих против другой стороны, дополняют друг друга до p .

Для определения стороны с и угла С проведём через вершину С дугу большой окружности АВ . Если эти большие окружности пересекаются в точке D, то рассмотрим прямоугольные сферические треугольники АС D и ВСD ( рис. 19 ). В этих треугольниках известны гипотенузы b и а и углы при вершинах А и В. Второй катет каждого из этих треугольников определяется по первым формулам тангенсов, а угол при вершине С определится по формуле котангенсов.

Сторона с и угол C сферического треугольника АВС являются суммами найденных сторон или углов прямоугольных треугольников, если точка D лежит на стороне АВ, и раз ностям и этих сторон или углов, если точка D лежит на продолжении стороны АВ. Именно, если оба угла A, В в исходном треугольнике АВС являются острыми или оба тупыми, то перпендикулярная к АВ окружность, проходящая через точку C, п е ресекает окружность АВ в двух точках, одна из которых лежит на дуге АВ; эту точку и следует принять за D в рассматриваемом случае. Таким образом, углы при вершинах А и В в прямоугольных треугольниках АСD и ВСD со в падают с углами А и В исходного треугольника АВС, а сторона с и угол С треугольника АВС являются суммами найденных нами сторон или углов прямоугольных треугольников АСD и ВСD. Если же в треугольнике АВС один из углов A , В острый, а второй—т у пой, то перпендикулярная к АВ окружность, проходящая через точку С , пересекает окружность АВ в двух точках, ни одна из которых не л е жит на дуге АВ. В этом случае за D можно пр и нять

Любую из этих т о чек, например ту, кот о рая лежит на продолжении стороны АВ за точку В ( рис. 20 ).

Таким образом, угол при вершине А в ∆ АСD равен углу А треугольника АВС, а угол при вершине В в ∆ ВСD равен p — В. При этом сторона с и угол С треугольника АВС являются разностями сторон АD, ВD или углов при вершине С треугольников АСD и ВСD. Наконец, если один из углов A , В (например, А) прямой, то треугольник АВС прямоугольный, и для нахождения стороны с и угла С можно в атом случае воспользоваться формулами , .

4. Д аны три угла сферического треугольника . . Найти остальные элементы треугольника.

Решение: по фо р муле двойственной теоремы косинусов находим

и аналогично находим и .

5. Д аны два угла сферического треугольника и сторона между ними, например сторона а и углы B и C . . Найти остальные элементы треугольника.

Решение: угол А найдем п о формуле двойственной теоремы косинусов. Зная все три угла сферического треугольника, найдем его остальные стороны, как указано выше.

6. Д аны два угла сферического треугольника и сторона, лежащая против одно го из них, например углы А и В и сторона а . . Найти остальные элементы треугольника.

Решение: по теореме синусов находим

Заметим, что эта формула дает для b два значения, дополняю щих друг друга до p r ; это соответствует тому, что в общем сл у чае два сферических треугольника с двумя соответственно равными углами и равными сторонами, лежащими против одного из этих углов, не обязательно равны, а возможен случай, когда стороны этих тр е угольников, лежащие против другого угла, дополняют друг друга до p r . Сторону с и угол С по углам А, В и ст о ронам а, b найдем, как указано выше.

Читайте также: