Геометрия и искусство реферат

Обновлено: 07.07.2024

Переплетение искусства графики и математической теории симметрии в той форме, а которой оно представлено Морицом Эшером, явление уникальное. В его графике оказались заложенными глубокие принципы симметрии, которые были известны лишь кристаллографам. Оказалось, что многие работы Эшера могут быть проанализированы математическими методами. Симметрия - не единственная отличительная черта графики Эшера. Вторая, не менее важная черта, – это глубокие по своим математическим и физиологическим корням исследования принципов перспективы.

Вложенные файлы: 1 файл

геометрия и искусство.doc

Выполнил: Суслов Сергей

Творчество ряда всемирно известных художников, таких как Леонардо да Винчи, Дюрер, Дали, Эшер, проникнуто математикой и тесно связано с геометрическими построениями. Об этом можно судить по геометрической правильности изображения пространства и подчеркнутой соразмерности фигур и предметов в их работах.

Их интерес к геометрии был намного глубже, чем этого требовали профессиональные запросы мыслящего художника своего времени. С помощью числовых отношений и геометрических построений они cтремились добиться совершенства в художественном изображении.

Одним из ранних свидетельств причастности художников к области геометрии является набросок Леонардо да Винчи изобретённой им машины для вычерчивания парабол.

Всемирно известный художник Альбрехт Дюрер относился к геометрии как творчески работающий ученый, а полученные им результаты вошли в историю науки. Многие произведения Дюрера, просчитаны и уравновешены, подчинены строгим математическим отношениям.

Искусство с давних времён использовало геометрические образы, но и геометрия не может обойтись без изобразительного искусства. Примером тому – творчество профессора, заведующего кафедрой дифференциальной геометрии и приложений механико-математического факультета Московского государственного университета Фоменко Анатолия Тимофеевича. Он создаёт графические образы для иллюстрации решения геометрических задач.

Конечно, геометрия времен Платона и современная геометрия отличаются друг от друга, но только в том смысле, что они – ступени, одна ниже, другая выше, одного и того же процесса познания действительности путем все большего отвлечения от конкретного содержания реальных объектов. Но как бы ни меняла свой лик эта древнейшая из наук, на какую бы высоту абстрагирования она ни поднималась, своими корнями она всегда была связана с познающей и преобразующей деятельностью Человека. Поэтому идеи, касающиеся работ художников-математиков связаны с ней неразрывно.

. геометрия родилась для удовлетворения потребностей практики. Об этом сказано почти во всех учебниках. С другой стороны, геометрия, как и поэзия, живопись, скульптура, музыка, есть потребность человека в духовности, в познании и красоте. Истина, по-видимому, где-то между ними.

Возникновение геометрии уходит вглубь тысячелетий и связано, прежде всего, с развитием ремёсел, культуры, искусств, с трудовой деятельностью человека и наблюдением окружающего мира.

Геометрия – наука, изучающая форму, размеры и взаимное расположение фигур. Геометрическая фигура – мысленный образ предмета, учитывающий только его форму и размер.

Проблема состоит в том, что многие школьники предмет геометрии считают трудным и не интересным, их мнении отражается на результатах обучения.

Актуальность работы заключается в возможности получения интересной информации о геометрии.

Теоретическая значимость нашей работы заключается в том, что многие одноклассники и не только, возможно обратят внимание на наше исследование. Практическая значимость работы состоит в том, что она может быть использована школьниками для повышения математической грамотности при изучении предмета геометрии.

Цель: показать геометрию с интересной и увлекательной стороны.

Задачи: 1. Проанализировать специальную литературу по данной теме; 2.Расширить рамки школьного курса геометрии;

3.Углубление и расширение знаний, полученных на уроках;

4.Показать связь геометрии с искусством.

Объект исследования– эстетический потенциал математики.

Предмет исследования - эстетический потенциал в геометрии

При выполнении работы были использованы следующие приемы и методы: опрос (анкетирование), анализ (статистическая обработка данных), работа с источниками информации, исследование.

Гипотеза: Найденная нами информация, заинтересует наших одноклассников и возможно они будут более углубленно изучать геометрию, что повысит их результативность обучения.

Мы провели анкетирование среди 7-х классов нашей школы. В опросе приняли участие 37 человек. Результаты опроса представлены в виде таблицы:

Не нравится геометрия

Считают, что геометрия нужна в жизни

Считают, что геометрия не нужна в жизни

Считают, что геометрия связана с искусством

Считают, что геометрия не связана с искусством

Хотели бы получать хорошие оценки по геометрии

Хотели бы изучать геометрию на примере изобразительного искусства

Проведя статистическую обработку данных, мы сделали вывод, что учащимся не нравится предмет геометрия, но они хотят получать хорошие оценки по геометрии. Желают изучать геометрию на примере изобразительного искусства.

Основная часть: Глава 1. Из истории геометрии

Своеобразие геометрии, выделяющее ее из других разделов математики, да и всех областей науки вообще, заключается в неразрывном, органическом соединении живого воображения со строгой логикой. В своей сущности и основе геометрия и есть пространственное воображение, пронизанное и организованное строгой логикой. В ней всегда присутствуют эти два неразрывно связанных элемента: наглядная картина и точная формулировка, строгий логический вывод. Геометрия соединяет в себе эти противоположности, они в ней взаимно проникают, организуют и направляют друг друга. Стоит лишь вспомнить классические творения архитектуры, начиная с древнейших пирамид, как сразу становится очевидным, что геометрия в некотором смысле относится к искусству. Искусство лучше всего воспринимать непосредственно.

(рис. 1)

Согласно современным взглядам, математика и изобразительное искусство очень удаленные друг от друга дисциплины, первая - аналитическая, вторая - эмоциональная. Математика не играет очевидной роли в большинстве работ современного искусства, и, фактически, многие художники редко или вообще никогда не используют даже перспективу. Однако есть много художников, у которых математика находится в центре внимания. Одним из них является Леонардо да Винчи. На искусство он смотрел не только глазами художника-творца, но и инженера, естествоиспытателя, математика, провозглашая, что достоверности нет в науках там, где нельзя приложить, ни одной из математических наук, и в том, что не имеет связи с математикой.

Глава 2. Симметрия – царица архитектурного совершенства.

О, симметрия! Гимн тебе пою!
Тебя повсюду в мире узнаю.
Ты в Эйфелевой башне, в малой мошке,
Ты в елочке, что у лесной дорожки.
С тобою в дружбе и тюльпан, и роза,
И снежный рой – творение мороза!

Слово симметрия произошло от греч.слова symmetria–соразмерность.

Симметрия воспринимается человеком как проявление закономерности, а значит внутреннего порядка. Внешне этот внутренний порядок воспринимается как красота.

Симметричные объекты обладают высокой степенью целесообразности –ведь симметричные предметы обладают большей устойчивостью и равной функциональностью в разных направлениях. Все это привело человека к мысли, что чтобы сооружение было красивым оно должно быть симметричным. Симметрия широко встречается в объектах живой и неживой природы.

На явление симметрии в живой природе обратили внимание еще пифагорейцы в связи с развитием ими учения о гармонии. Установлено, что в природе наиболее распространены два вида симметрии -"зеркальная" и "лучевая". "Зеркальной" симметрией обладает бабочка, листок или жук. К формам с лучевой симметрией относятся гриб, ромашка, сосновое дерево.

Принцип "симметрии" широко используется в искусстве. Бордюры, используемые в архитектурных и скульптурных произведениях, орнаменты, используемы в прикладном искусстве, - все это примеры использования симметрии. Художники разных эпох использовали симметричное построение картины. Симметричными были многие древние мозаики. Живописцы эпохи Возрождения часто строили свои композиции по законам симметрии. Такое построение позволяет достигнуть впечатления покоя, величественности, особой торжественности и значимости событий. Симметрия в искусстве основана на реальной действительности, изобилующей симметрично устроенными формами. Симметричные композиции - статичные (устойчивые), левая и правая половины уравновешены.

Глава 3. Геометрия в архитектуре

Архитектура (греч. "architecton" - "мастер, строитель") - монументальный вид искусства, целью которого является создание сооружений и зданий, необходимых для жизни и деятельности человечества, отвечая утилитарным и духовным потребностям людей.

Архитектурные сооружения, созданные человеком, в большей своей части симметричны. Они приятны для глаза, их люди считают красивыми. Асимметричное в целом сооружение может являть собой гармоничную композицию из симметричных элементов. Примером может служить собор Василия Блаженного на Красной площади в Москве. Нельзя не восхищаться этой причудливой композицией из десяти различных храмов. Каждый храм геометрически симметричен, однако собор как целое не обладает ни каким видом симметрии.

«Прошли века, но роль геометрии не изменилась.

Глава 4. Орнамент

Искусство орнамента содержит в неявном виде наиболее древнюю часть известной нам высшей математики. /Г.Вейль/

Орнаментом называется узор, построенный чередованием в определенном порядке или, как говорят, ритме каких-нибудь рисунков или линий ( лат. "ornamentum", -"украшение").

Орнамент как самостоятельное художественное произведение не существует, но иногда он может стать основой формообразования изделия. Орнамент всегда связан с формой, масштабом, материалом изделия, его практическим назначением и художественно-образным смыслом. В орнаменте всегда отражается характер и особенности культуры народа, создавшего его, а также эпоха, и которую он возник.

Орнамент имеет следующие особенности:

1. Состоит обычно из повторяющихся элементов - мотивов, которые являются основой орнамента. Определенное сочетание мотивов создает художественный образ.

2. Орнамент может быть повторяющимся (раппортным) , замкнутым (в круге, в квадрате), многоцветным (полихромным) и одноцветным (монохромным), выполнен на поверхности предмета выпукло, рельефно или, наоборот, углублен.

По мотивам, используемым в орнаменте, его делят на:

- Геометрический орнамент состоит из точек, линий (прямых, ломаных, зигзагообразных, сетчато-пересекающихся), и фигур (кругов, ромбов, многогранников, звезд, крестов, спиралей и др).

- Растительный орнамент составляется из стилизованных листьев, цветов, плодов, веток и т.п.

- Зооморфный орнамент включает стилизованные изображения реальных и/или фантастических животных (иногда подобный орнамент называют "звериным" стилем).

- Антропоморфный орнамент в качестве мотивов использует мужские и женские стилизованные фигуры или отдельные части тела человека.

Орнаменты с давних времён использовались людьми для украшения одежды, посуды, жилищ и храмов.

Большое место орнамент занял в народном художественном ремесле. На практике бордюры встречаются в разных видах. Это может быть настенная роспись, украшающая стены зданий, галереи, лестничные переходы. Это может быть чугунное литье, используемое в оградах парков, решетках мостов и набережных. Это могут быть гипсовые барельефы или керамика.

В орнаменте запечатлено эстетическое осмысление деятельности человека, творчески преобразующей, упорядочивающей природу. В орнаменте, особенно в народном творчестве, где он имеет самое широкое распространение, запечатлелось фольклорно-поэтическое отношение к миру. Каждая эпоха, каждый стиль, каждая последовательно выявившаяся национальная культура вырабатывали свою систему орнамента. Особенного развития достигает в искусстве Востока и доколумбовой Америки, в азиатских культурах древности и средних веков, в европейском средневековье.

«Геометрия владеет двумя сокровищами: одно из них - это теорема Пифагора, а другое - деление отрезка в среднем и крайнем отношении … Первое можно сравнить с мерой золота; второе же больше напоминает драгоценный камень”. Иоганн Кеплер.

«Золотое сечение” – это такое деление целого на две неравные части, при котором целое так относится к большей части, как большая к меньшей.

Такое обозначение принято в честь древнегреческого скульптора Фидия, жившего в V веке до н. э. Итак “золотое сечение” – это иррациональное число, оно приблизительно равно 1,618.

Золотое сечение отрезка AB можно построить следующим образом: в точке B восстанавливается перпендикуляр к AB, откладывают на нѐм отрезок BC, равный половине AB, на отрезке AC откладывают отрезок AN, равный AC − CB, и наконец, на отрезке AB откладывают отрезок AM, равный AN.(рис. 2)

(рис.2)

Это древнее сооружение с его гармоничными пропорциями дарит нам такое же эстетическое наслаждение, как и нашим предкам. Многие искусствоведы, стремившиеся раскрыть секрет того могучего эмоционального воздействия, которое это здание оказывает на зрителя, искали и находили в соотношениях его частей золотую пропорцию. Он имеет 8 колонн по коротким сторонам и 17 по длинным, выступы сделаны целиком из квадратов пентилейского мрамора. Благородство материала, из которого построен храм, позволило ограничить применение обычной в греческой архитектуре раскраски, она только подчеркивает детали и образует цветной фон (синий и красный) для скульптуры.

Известный русский архитектор М. Казаков в своем творчестве широко использовал “золотое сечение”. Его талант был многогранным, но в большей степени он раскрылся в многочисленных осуществленных проектах жилых домов и усадеб. Например, “золотое сечение” можно обнаружить в архитектуре здания сената в Кремле. По проекту М. Казакова в Москве была построена Голицынская больница, которая в настоящее время называется Первой клинической больницей имени Н.И. Пирогова.

Еще один архитектурный шедевр Москвы – дом Пашкова – является одним из наиболее совершенных произведений архитектуры В. Баженова.

Удивительно то, что и человек в соотношении отдельных частей тела и расстояний между ними, подчиняется законам "золотого сечения".

Немецкий учёный Альберт Дюрер доказал, что рост человека делится в золотых пропорциях линией, проходящей через пупок и линией, проходящей через кончики средних пальцев опущенных рук.

Его труды продолжил Цейзинг. Он выяснил, что пропорции мужского тела колеблются в пределах 13 : 8 = 1, 625.

А пропорции женского тела в среднем находятся в соотношении 8 : 5 = 1,6.

Пропорции "золотого сечения" проявляются в отношении длины плеча, предплечья, кисти и пальцев и т. д.

Глава 7. Наши исследования:

Вопрос о предпосылках прекрасного, о роли математики в искусстве волновал еще древних греков, причем свой интерес они унаследовали от предшествующих цивилизаций. В наше время геометрия – необходимый элемент общего образования и культуры, представляет большой исторический интерес, имеет серьезное практическое применение.

Общеизвестно, что геометрия родилась для удовлетворения потребностей практики, в результате практической деятельности людей: нужно было сооружать жилища, храмы, проводить дороги, оросительные каналы, устанавливать границы земельных участков и определять их размеры. Важную роль играли и эстетические потребности людей: желание украсить свои жилища и одежду, рисовать картины окружающей жизни.

С другой стороны, геометрия, как и поэзия, живопись, скульптура, музыка, есть потребность человека в духовности, в познании и красоте. Истина, по-видимому, где-то между ними.

Судя по сохранившимся отрывкам древнеегипетских сочинений, геометрия развивалась не только из измерений Земли, но также из измерений объемов и площадей при земляных и строительных работах. Геометрия в первоначальном значении есть наука о фигурах, взаимном расположении и размерах частей, а также о преобразованиях фигур.

Стоит лишь вспомнить классические творения архитектуры, начиная с древнейших пирамид, как сразу становится очевидным, что геометрия в некотором смысле относится к искусству. Искусство лучше всего воспринимать непосредственно. Тому способствуют гравюры М. К. Эшера, они образуют своего рода художественно-геометрический фильм, дающий зрителю редкую возможность увидеть геометрическое начало во многих явлениях природы и красоту — в чисто геометрических конструкциях и построениях.

Гравюра М. К. Эшера

пронизанное и организованное строгой логикой, в ней всегда присутствуют эти два неразрывно связанных элемента: наглядная картина и точная формулировка, строгий логический вывод. Там, где нет одной из этих сторон, нет и подлинной геометрии.

Наглядность, воображение принадлежат больше искусству, строгая логика — привилегия науки. Геометрия соединяет в себе эти противоположности, они в ней взаимно проникают, организуют и направляют друг друга.

Что внесла геометрия в человеческую культуру? Она сыграла значительную роль в упорядочении человеческого мышления. Это лучший способ развития интеллектуальных и творческих способностей. Можно отметить значение геометрии для естествознания, для понимания того, как устроен мир. Геометрия нужна и в практической жизни: каждый человек должен иметь простейшие представления о геометрических фигурах. Геометрия играет важную роль во многих профессиях.

. геометрия родилась для удовлетворения потребностей практики. Почти в каждом учебнике сказано нечто такое… А вот другое суждение: геометрия (как и поэзия, живопись, скульптура, музыка), есть порождение потребности человека в духовности, в познании и красоте. Истина, по-видимому, где-то посередине.
/ В.М. Тихомиров /

Геометрия в искусстве

Своеобразие геометрии, выделяющее ее из других разделов математики, да и всех областей науки вообще, заключается в неразрывном, органическом соединении живого воображения со строгой логикой. В своей сущности и основе геометрия и есть пространственное воображение, пронизанное и организованное строгой логикой. В ней всегда присутствуют эти два неразрывно связанных элемента: наглядная картина и точная формулировка, строгий логический вывод. Геометрия соединяет в себе эти противоположности, они в ней взаимно проникают, организуют и направляют друг друга.

Стоит лишь вспомнить классические творения архитектуры, начиная с древнейших пирамид, как сразу становится очевидным, что геометрия в некотором смысле относится к искусству. Искусство лучше всего воспринимать непосредственно. Тому способствуют гравюры М. К. Эшера , они образуют своего рода художественно-геометрический фильм, дающий зрителю редкую возможность увидеть геометрическое начало во многих явлениях природы и красоту — в чисто геометрических конструкциях и построениях .

Линейная перспектива

Перспектива как наука возникла в глубокой древности в связи с необходимостью изображать на плоскости предметы в трехмерном пространстве и развивалась в двух направлениях: в области науки (строительстве, технике) и в живописи. История свидетельствует, что египетские пирамиды и храмы, величайшие сооружения Древней Греции и Рима были построены по изображениям - прототипам современных чертежей. Начала геометрии, и в частности перспективы, можно встретить в трудах древнегреческих и римских ученых. Известный древнегреческий ученый и математик Евклид, живший за 300 лет до нашей эры, в своих сочинениях в разделе "Оптика" сформулировал впервые правила наблюдательной перспективы, а также вывел законы отражения лучей от плоских, вогнутых и выпуклых зеркал.

Способы построения перспективных изображений были изложены в трактате "Десять книг об архитектуре" древнегреческого ученого и архитектора Витрувия (конец I в. до н. э.).

Закономерностями построения изображений окружающей действительности, близкой к зрительному восприятию, занимались и художники.

Линейная прямая перспектива - вид перспективы, рассчитанный на фиксированную точку зрения и предполагающий единую точку схода на линии горизонта (предметы уменьшаются пропорционально по мере удаления их от переднего плана).

Построение перспективных изображений на наклонных плоскостях применяют в монументальной живописи — росписи на наклонных фризах внутри помещения дворцовых сооружений и соборов. На наклонной картине в станковой живописи строят перспективные изображения высоких зданий с близкого расстояния или архитектурных объектов городского пейзажа с высоты птичьего полета. Построение перспективных изображений на горизонтальной плоскости применяют при росписи потолков (плафонов).

Симметрия и асимметрия

Еще одним фундаментальным понятием науки, которое наряду с понятием "гармонии" имеет отношение практически ко всем структурам природы, науки и искусства, является "симметрия".
Симметрия широко встречается в объектах живой и неживой природы. Например, симметрия в химии отражается в геометрической конфигурации молекул. Понятие "симметрии" является центральным при исследовании кристаллов. При этом симметрия внешних форм кристаллов определяется симметрией его атомного строения, которая обуславливает и симметрию физических свойств кристалла.

Особенно широко понятие "симметрии" применительно к физическим законам используется в современной физике.

На явление симметрии в живой природе обратили внимание еще пифагорейцы в связи с развитием ими учения о гармонии. Установлено, что в природе наиболее распространены два вида симметрии - "зеркальная" и "лучевая" (или "радиальная") симметрии. "Зеркальной" симметрией обладает бабочка, листок или жук и часто такой вид симметрии называется "симметрией листка" или "билатеральной симметрией". К формам с лучевой симметрией относятся гриб, ромашка, сосновое дерево и часто такой вид симметрии называется "ромашко-грибной" симметрией.

Принцип "симметрии" широко используется в искусстве. Бордюры, используемые в архитектурных и скульптурных произведениях, орнаменты, используемы в прикладном искусстве, - все это примеры использования симметрии.Художники разных эпох использовали симметричное построение картины. Симметричными были многие древние мозаики. Живописцы эпохи Возрождения часто строили свои композиции по законам симметрии. Такое построение позволяет достигнуть впечатления покоя, величественности, особой торжественности и значимости событий . Симметрия в искусстве основана на реальной действительности, изобилующей симметрично устроенными формами. Например, симметрично устроены фигура человека, бабочка, снежинка и многое другое. Симметричные композиции - статичные (устойчивые), левая и правая половины уравновешены.

Иоганн Кеплер говорил, что геометрия владеет двумя сокровищами: теоремой Пифагора и "Золотым сечением".

Золотое сечение – это такое пропорциональное деление отрезка на неравные части, при котором весь отрезок так относится к большей части, как сама большая часть относится к меньшей; или другими словами, меньший отрезок так относится к большему, как больший ко всему a : b= b : c или с : b= b : а.
Древнейшим литературным памятником, в котором встречается "Золотое сечение", являются "Начала" Евклида (3 в. до н. э.). Известно, что о золотом сечении знали Пифагор и его ученики (6 в. до н. э.). Как следствие многочисленных применений золотого сечения как в геометрии, так и в искусстве в эпоху Возрождения появилась книга "Божественная пропорция", а сам термин был введен Леонардо да Винчи в 15 веке. Пропорция золотого сечения лежит в основе многих творений Фидия, Тициана, Рафаэля и других.

В эпоху Возрождения золотое сечение было очень популярно среди художников, скульпторов и архитекторов. В большинстве живописных пейзажей линия горизонта делит полотно по высоте в отношении золотой пропорции, а при выборе размеров картин старались, чтобы отношение ширины к высоте тоже равнялось золотой пропорции.

Математика в архитектуре

Читайте также: