Геометрическое определение вероятности реферат

Обновлено: 02.07.2024

Для определенности рассмотрим покрытие плоскости прямоугольниками со сторонами , . Легко подсчитать, что площадь полосы между основным прямоугольником со сторонами, параллельными сторонам основного на расстоянии от каждой из его сторон и целиком расположенного внутри основного, равна . Легко понять, что центр монеты, попав внутрь малого прямоугольника, не только не пересечет, но даже не коснется сторон основного. Значит, вероятность того, что монета пересечет по меньшей мере одну из сторон основного прямоугольника равна .

Вторая задача, сформулированная Бюффоном, состоит в следующем: плоскость разграфлена равноотстоящими параллельными прямыми. На плоскость наудачу бросается игла. Один игрок утверждает, что игла пересечет одну из параллельных прямых, другой, что не пересечет. Определить вероятность выигрыша каждого из игроков. Менее известна задача об игре, когда игла бросается на плоскость, разграфленную на квадраты. В решении этой задачи Бюффон допустил ошибку, позднее исправленную Лапласом.

Серьезный шаг в развитии геометрических вероятностей связан с именами Ламе (1795–1870), Барбье, Д. Сильвестра (1814–1897), М. Крофтона, которые не просто поставили новые задачи, но и привлекли к их решению понятие меры множества. На базе их рассмотрений позднее возникла новая ветвь геометрии, получившая название интегральная геометрия.

Сильвестр первый после Бюффона расширил тематику задач на геометрические вероятности. Им была предложена задача о четырех точках или задача Сильвестра: четыре точки взяты наудачу внутри выпуклой области. Чему равна вероятность того, что, взяв эти точки в качестве вершин, можно составить выпуклый четырехугольник?

Сильвестр отчетливо понимал, что при вычислении геометрических вероятностей приходится брать отношение площадей или объемов тех областей, которые благоприятствуют событию и в которых помещаются всевозможные события. Фактически так поступали и раньше. Но при этом произносили другие слова, которые или не имели определенного смысла или же не соответствовали производимым действиям. Сравнив результаты вычислений для различных областей, Сильвестр предложил найти те области, для которых вероятность получения выпуклого четырехугольника достигает максимума или минимума. Первые результаты принадлежат Крофтону. Он доказал, что минимум достигается для круга. Там же он высказал предположение, что минимум достигается и для эллипса. Это предложение было доказано лишь В. Блашке (1923). Дельтейль показал, что максимальная вероятность формирования выпуклого четырехугольника достигается для треугольной области. Несомненно, что в 19 веке на развитие проблематики геометрических вероятностей особое влияние оказал Крофтон. Он начал изучать пересечение случайными прямыми заданных выпуклых контуров.

В 20 веке интерес к геометрическим вероятностям не ослабел, а вырос, поскольку, помимо чисто математического интереса, они приобрели серьезное прикладное значение в физике, биологии, медицине, инженерном деле и т.д.

Множество всех задач, возникающих при изучении случайных событий, к сожалению, не сводится только к рассмотренным выше определениям вероятности. Геометрическое определение вероятности применяется в тех случаях, когда множество всех исходов (возможных и благоприятных) бесконечно и эти исходы определяются одним или несколькими числовыми параметрами. РЕШЕНИЕ. Испытание состоит в случайном выборе… Читать ещё >

теория вероятностей и математическая статистика

Геометрическое определение вероятности ( реферат , курсовая , диплом , контрольная )

Геометрической вероятностью события, А называется отношение меры области, благоприятствующей появлению события А, к мере всей области:

Рассмотрим несколько примеров подсчета геометрических вероятностей.

ПРИМЕР 15. Предположим, что на отрезок длиной L действительной прямой наугад бросается точка, которую обозначим? Какова вероятность того, что она отклонится не дальше чем на расстояние / от середины указанного отрезка (см. рис.)?

ПРИМЕР 16. Найти вероятность того, что сумма двух случайно выбранных чисел из промежутка [-1, 1] больше нуля, а их произведение отрицательно.

РЕШЕНИЕ. Чтобы ответить на поставленный вопрос, построим следующую модель. Координаты первого числа отложим на отрезке [-1, 1] оси абсцисс, а другое число отложим на отрезке [-1, 1] оси ординат. Множество всех возможных значений двух чисел лежит в квадрате (см. рис.). Множество чисел, произведение которых отрицательно, а сумма положительная, расположено во втором и четвертом квадранте выше прямой = —х (см. рис.).

Таким образом, интересующая нас вероятность равна отношению площади фигуры (заштрихована) к площади квадрата:

ПРИМЕР 17. Из промежутка [0; 2] наудачу выбраны два числа х и у. Найти вероятность того, что эти числа удовлетворяют неравенству:

РЕШЕНИЕ. Испытание состоит в случайном выборе из промежутка [0; 2] пары чисел х и у. Будем интерпретировать это как выбор наудачу точки М (х, у) из множества всех точек квадрата со стороной, равной двум. Построим фигуру, представляющую все точки квадрата, удовлетворяющие неравенству (I), которое для простоты представим эквивалентной системой:

Очевидно, что событие произойдет тогда и только тогда, когда точ ка попадет в заштрихованную область. Тогда по формуле искомая веро ятность равна:

Пример готового реферата по предмету: Материаловедение

Содержание

1.Введение. Цели и задачи работы 3

2.Определения вероятности. Историческая справка 4

3.Понятие геометрической вероятности 7

4.Решение задач с использованием геометрической вероятности 10

5.Примеры практического применения 15

6. Заключение 17

Выдержка из текста

1.Введение. Цели и задачи работы

Определение вероятности на основе частотного подхода является принципиально важным моментом в концепции всего данного курса. Остальные определения (классическое, геометрическое) становятся в этом случае уже не определениями как таковыми, а лишь способами вычисления вероятности в определенных типах случайных экспериментов.

Для школьного курса такой подход нам кажется наиболее правильным с методической и даже методологической точек зрения. Вероятность выступает как универсальная количественная мера возможности осуществления случайных событий, а все частные формулы для ее подсчета служат лишь для вычисления этой меры в определенном круге ситуаций.

Цель работы – изучить понятие и особенности геометрической вероятности.

Задачи: изучить понятие вероятности, ее определение, изучение на уроках математики, особенности решения задач с геометрической вероятностью.

Список использованной литературы

1. Виленкин Н. Я. Комбинаторика. – М.: Наука, 1969.

2. Гмурман В. Е. Руководство по решению задач по теории вероятностей и математической статистике. – М.: Высшая школа, 1975.

3. Гмурман В. Е. Теория вероятностей и математическая статистика. – М.: Высшая школа, 1977.

4. Гнеденко Б. В. Курс теории вероятностей. – М.: Наука, 1988.

5. Змеева Е. Е., Гришпон И. Э. Элементы комбинаторики, теории вероятностей, статистики. – Томск: ТОИПКРО, 2005.

6. Бунимович Е.А., Булычев В.А., Калманович В.В. Вероятность и статистика в школьном курсе математики. Методическое пособие для учителя. – М., 2008. – 139 с.

Собрала для вас похожие темы рефератов, посмотрите, почитайте:

Введение

Теория вероятности — это отрасль математики, в которой исследуются законы случайных явлений: Случайные события, случайные переменные, их свойства и операции над ними.

Появление теории вероятностей как науки относится к средневековью и к первым попыткам математического анализа азартных игр (орлы, кости, рулетка). Первоначально его базовые понятия не имели строго математической формы, их можно было трактовать как некие эмпирические факты, как свойства реальных событий, и они формулировались в визуальных представлениях. Яков Бернулли внес важный вклад в теорию вероятности: он предоставил доказательства закона больших чисел в простейшем случае независимых тестов. В первой половине 19 века теория вероятности начала применяться для анализа ошибок наблюдения; Лаплас и Пуассон доказали первые предельные теоремы. Во второй половине XIX века основной вклад в это дело внесли русские ученые П. Л. Чебышев, А. А. Марков и А. М. Ляпунов. В то время был доказан закон больших чисел, центральная предельная теорема и теория цепей Маркова. Современный тип теории вероятностей был выигран на основе аксиоматизации, предложенной Колмогоровым Андреем Николаевичем. В результате теория вероятностей приняла строгую математическую форму и в конечном итоге стала восприниматься как один из разделов математики.

Теория вероятности возникла как наука из убеждения, что массовые случайные события основываются на детерминистических законах. Теория вероятности исследует эти законы.

Тест представляет собой выполнение определенного набора условий, которые могут быть воспроизведены неограниченное количество раз. В этом случае набор условий включает случайные факторы, реализация которых приводит к неоднозначности результата теста для каждого теста.

Достоверный (всегда результат теста).

Невозможно (никогда не бывает).

Столь же вероятно (та же вероятность возникновения), менее вероятно и более вероятно.

Случайность (может произойти или не произойти в результате теста).

Например: Когда кубик брошен, невозможное событие — кубик стоит на краю, случайное событие — падение с любого края, случайность — кубик стоит на прямой кромке.

Определенный результат теста называется элементарным событием.

В результате проверки происходят только элементарные события.

Сочетание всех возможных, различных, специфических результатов испытаний называется элементарным пространством событий.

Набор элементарных событий — это пространство элементарных событий.

Сложное событие — это произвольное подмножество пространства элементарных событий.

Сложное тестовое событие возникает тогда и только тогда, когда тест приводит к элементарному событию, принадлежащему сложному событию.

Таким образом, если в результате теста может произойти только одно элементарное событие, то все сложные события, составляющие эти элементарные события, происходят.

Например: Тест — это бросок кубиков.

Введите следующие описания:

Р — случайное событие;
Рик — событие, заслуживающее доверия;
U — невозможное событие.

Классическое определение вероятности

Если пространство элементарных событий состоит из их конечного числа, то все элементарные события равны, т.е. ни одно из них не может быть предпочтительным перед тестом, поэтому их можно считать равными.

Если элементарные события равны и, следовательно, равны, то вероятность наступления произвольного события равна доле, числитель которой равен количеству элементарных событий, содержащихся в спецификации, и знаменателем которой является общее количество элементарных событий. Такое определение вероятности впервые дано в работах французского математика Лапласа и считается классическим.

Вероятное событие находится между нулем и единицей.

2o P(E)=1 Вероятность надежного события равна единице.

3o P(U)=0 Вероятность невозможного события равна нулю.

Рассмотрим случайный эксперимент, который может закончиться одним из возможных исходов, все из которых одинаково вероятны.

Бросаются сразу три монеты.

Определите вероятность этого:

3 орла выпадут;
2 орла и 1 хвост выпадут
две балки и выпал орел
Три батончика выпадают.

Частота наступления события

Пространство элементарных событий должно естественным образом состоять из m элементарных событий. В этом случае в качестве возможных результатов тестирования рассматриваются многие подмножества пространства элементарных событий и невозможное событие V.

Назовем систему этих событий F. Возьмем случайное событие A F. Выполним серию тестов в количестве n, где n — это количество тестов в каждом из которых произошло событие A.

Частота наступления события A в n экспериментах — это отношение числа наступлений этого события к общему числу проведенных экспериментов.

Разрешите результат теста для случая А. Подводя итог, можно сказать, что в этом тесте произошло событие Аи. Так как все события несовместимы парами, это означает, что никакое другое событие Aj (i j ) не может произойти в этом тесте.

С помощью теории вероятности описываются только те те тесты, для которых сделано следующее предположение: Для каждого события А частота, с которой это событие происходит в бесконечной серии тестов, имеет один и тот же предел, который называется вероятностью наступления события А.

Поэтому, когда мы рассматриваем вероятность возникновения произвольного события, то понимаем это число следующим образом: Это частота возникновения события в бесконечной (достаточно длинной) серии тестов.

К сожалению, попытка определить вероятность как предел частоты не увенчалась успехом, а количество тестов нацелилось на бесконечность. Хотя американский ученый Мизес создал теорию вероятности на основе этого определения, она не была принята из-за большого количества внутренних логических противоречий.

В повседневной жизни мы часто сталкиваемся с проблемами, для которых есть не одно, а несколько различных решений. Для принятия правильных решений очень важно не пропустить ни одного из них. Для этого необходимо просмотреть все возможные варианты или, по крайней мере, рассчитать их количество. Такие задачи называются комбинаторными.

Но прежде чем мы обратимся к задаче, мы должны познакомиться с комбинаторными элементами.

Однако существует единый подход к решению разнообразных комбинаторных задач путем создания специальных правил. Внешне эта схема напоминает дерево, отсюда и название — дерево возможных вариантов. Если дерево построено правильно, то ни один из возможных вариантов решения не теряется.

Рассмотрим это в качестве примера для следующей задачи: Сколько двухзначных чисел я могу сформировать из цифр 1, 4 и 7?

Может существовать огороженная территория G, в которой находится территория g. Точка А спонтанно расположена в области G. Эта точка может войти в область g. В этом случае вероятность того, что точка A войдет в область g, определяется по формуле.

Вероятности, определяемые измерениями, называются геометрическими.

Существует целый ряд задач, где, как говорят математики, определение вероятности случайного события может быть подведено по-разному по геометрическим соображениям.

Операции по событиям

С-событие называется суммой A+B, если оно состоит из всех элементарных событий, которые содержатся как в A, так и в B

В этом случае, если элементарное событие происходит как в A, так и в B, то оно происходит один раз в C. В результате теста возникает событие С, когда событие происходит либо в A, либо в B. Сумма любого количества событий состоит из всех элементарных событий, содержащихся в одном из Ай, i=1, …, m.

Событие С называется растением А и В, если оно состоит из всех элементарных событий, которые содержатся как в А, так и в В. Работа с любым количеством событий — это событие, состоящее из элементарных событий, которые содержатся во всех Ai, i=1, …, m.

Различие событий A-B называется событием C, которое состоит из всех элементарных событий, входящих в A, но не входящих в B.

Событие называется противоположным событию A, если оно соответствует двум характеристикам.

События A и B называются несовместимыми, если они никогда не могут произойти в результате одного и того же теста и если они не имеют одинаковых элементарных событий.

События A и B считаются независимыми, если вероятность наступления одного события не зависит от наступления другого.

Заключение

Теория вероятности применялась не только в математике, но и в таких науках, как физика и статистика.

Список литературы

Образовательный сайт для студентов и школьников

Читайте также: