Геометрические места точек реферат

Обновлено: 04.07.2024

геометрии и его применение

Аббасова Алмара Алиса кызы,

диссертант Института проблем образования Азербайджанской Республики,

старший преподаватель кафедры методики преподавания биологии Азербайджанского государственного педагогического университета.

Non standart contructive geometric tasks and their didactical functions (VII-IX forms)

The following problems were analyzed in the given thesis:

- non-standart constructive geometric tasks and their didactical functions;

- or construction of figures on given elements;

- tasks on arranged figures on the limited surface;

- tasks on arranged figures applying less amount of means of drafting.

Изучение геометрии в общеобразовательной школе, по сравнению с другими учебными предметами естественного цикла, пока не находится на должном уровне. Это можно объяснить двумя факторами:

1. Учебно-методическое содержание учебников геометрии еще не находится на уровне совершенства.

2. Научно-методическая подготовка и внедрение в учебный процесс компьютерной технологии пока не полностью отвечает современным требованиям жизни, предъявляемые к школе.

Однако, продолжается поиск приемлемого содержания школьного курса геометрии, а также новых форм и методов его преподавания.

Это понятие имеет важное значение не только в обучении, но и на практике на производстве. Так, знания по данному понятию применяются в техники безопасности на заводах, фабриках и в других промышленных учреждениях. Например, при постановке защитных сеток определения расстояния между станками и линиями станков, размещения проходов в цехе и т.п. Такой научный подход в промышленных предприятиях уменьшает количество производственных несчастных случаев.

Как показывает опыт работы в школе, у старшеклассников и часто у абитуриентов обнаруживается низкий уровень пространственных представлений. Они испытывают затруднения при установлении отношений между геометрическими фигурами на плоскости и в пространстве, при решении геометрических задач, когда исходной позицией является знание определения или свойства той или иной геометрической фигуры.

1) ученик при поиске решения приводит в систему заранее известные знания и их применяет;

2) в результате решения ученик получает фигуру с новыми свойствами.

Значит, каждая такая задача является носителем определения и свойства искомого геометрического понятия.

Мы на основе личного опыта в школе и опыта работ учителей Г. Баку (шк. 160, 7, 145, 6) попытались определить преемлемую систему задач на геометрическое место точек, решения которых содействуют лучшему изучению геометрии в 7-9 классах.

К первой группе относятся задачи на определение формы и постраение неосновных множеств точек (кроме пяти основных).

К второй группе относятся задачи с применением геометрического места точек для геометрических построений.

В курсе геометрии 7-9 классов преимущественное место занимают задачи первой группы.

К основным задачам относятся следующие:

1. Геометрическое место точек, удаленных на расстояние от данной точки.

2. Геометрическое место точек, удаленных на равное расстояние от двух данных точек.

3. Геометрическое место точек, равноудаленных от сторон угла.

4. Геометрическое место точек, удаленных на расстояние от данной прямой.

5. Геометрическое место точек, из которых данный отрезок виден под данным углом.

Первая задача – это косвенное определение окружности.

Вторая задача – это свойство серединного перпендикуляра к отрезку.

Третье задача – это свойство биссектринсы данного угла.

Четвертая задача – это свойство двух параллельных прямых.

Пятая задача относится к свойством равных вписанных углов.

Комментируя данные задачи, учитель может подвести детей к очень интересным заключениям. Например, первая задача означает, что существует на плоскости единственная окружность с данным радпусом и с заданным центром. В пространстве таких окружностей бесконечно.

Рассмотрим задачу предложенной по теме «Взаимное расположение двух окружностей (7 класс):

В данной задаче два требования. Решение таких задач для семиклассников требует дополнительного объяснения, каждое требование – отдельная задача:

1) находим геометрическое место точек, находящихся на расстоянии от данной точки А;

2) находим геометрическое место точек, находящихся на расстоянии от данной точки В.

Искомые геометрические места точек – есть пересечение построенных окружностей. Если окружности не имеют общих точек, то задача не имеет решение. Рассмотренную задачу целесообразно было бы сформировать следующим образом: «Найти геометрическое место точек, находящиеся на расстоянии от данной точки А и на расстоянии от данной точки В.

Эту задачу можно выразить в следующем виде:

На основе непосредственного построения ученики приходят к выводу, что искомое геометрическое место точек есть прямая, перпендикулярная к отрезку АВ в его середине.

Решение этой задачи опирается на следующий факт: перпендикуляр опущенный из центра окружности на хорду, делит ее пополам – что изучается после теоремы о серединном перпендикуляре.

- ученики знакомятся с косвенными определениями геометрических понятий;

- закрепляется пройденный материал;

- одно и то же понятие наблюдается в различных ситуациях;

- по найденному геометрическому месту точек определяется форма геометрической фигуры;

- при решении задач ученики знакомятся с очень важными предложениями, которые является теоремами – что выводится из решения.

2. Марданов М.Дж. и др. Геометрия 8, Баку, 2008 .

3. Марданов М.Дж. и др. Геометрия 9, Баку, 2008 .

5. З.А.Сконец, В.А.Жаров, Задачи и теоремы по геометрии, М., Учпедгиз, 1962 .

Легко представить себе поверхность как границу тела: плоская поверхность стола, сферическая поверхность мяча, цилиндрическая поверхность трубы. Но такое представление не полно. Возьмем тонкую замкнутую проволоку изогнутой формы и опустим её в мыльную пену. Если мы осторожно извлечем её из пены, то увидим, что просвет в проволочном "кольце" затянут тончайшей мыльной пленкой. Правильно представлять себе поверхность именно как тонкую пленку (но лишенную всякой толщины).

Важнейшая и простейшая поверхность - плоскость. Прямая m, лежащая в плоскости, разбивает её на две части - полуплоскости; точки этой прямой и только они являются общими точками обеих полуплоскостей. Если А - точка одной полуплоскости, а В - другой, то отрезок АВ пересекает границу m полуплоскостей в некоторой точке С, лежащей между А и В.

Плоскости задаются тремя точками и обозначаются часто так: плоскость АВС или PQR и т.д. Иногда бывает проще обозначать плоскость одной буквой греческого алфавита: a, b, g, d.

Под фигурой обычно понимают некоторое сочетание определенным образом расположенных в одной плоскости (а иногда и в пространстве) элементов: точек, прямых, лучей, отрезков (иногда и плоскостей).

Под телом понимают обычно часть пространства, ограниченную какой-либо замкнутой поверхностью. Так, конус - тело, ограниченное канонической поверхностью с боков и плоским круглым основанием снизу. Куб - тело, ограниченное шестью квадратными гранями, и т.д. Курс геометрии традиционно подразделяется на планиметрию и стереометрию; в планиметрии рассматриваются свойства различных фигур (треугольников, многоугольников, окружностей), лежащих в плоскости. В стереометрии изучаются свойства пространственных фигур и тел.

1. Определение геометрического места точек

Геометрическое место точек – это множество всех точек, удовлетворяющих определённым заданным условиям.

Пример 1. Срединный перпендикуляр любого отрезка есть геометрическое место точек (т.е. множество всех точек), равноудалённых от концов этого отрезка. Пусть PO AB и AO = OB:

Тогда, расстояния от любой точки P, лежащей на срединном перпендикуляре PO, до концов A и B отрезка AB одинаковы и равны d. Таким образом, каждая точка срединного перпендикуляра отрезка обладает следующим свойством: она равноудалена от концов отрезка.

Пример 2. Окружность - это геометрическое место точек (т.е. множество всех точек), равноудалённых от её центра (одна из этих точек – А).

Тогда отрезок, соединяющий центр окружности с какой-либо её точкой, называется радиусом и обозначается r или R. Часть плоскости, ограниченная окружностью, называется кругом. Часть окружности AmB, называется дугой. Прямая PQ, проходящая через точки M и N окружности, называется секущей, а её отрезок MN, лежащий внутри окружности - хордой. Хорда, проходящая через центр круга например, BC называется диаметром и обозначается d или D. Диаметр – это наибольшая хорда, равная двум радиусам (d = 2r). Предположим, дана точка А (7; 3; 5); эта запись означает, что точка А определяется координатами х = 7, у = 3, z = 5. Если масштаб для построения чертежа задан или выбран, то откладывают на оси х от некоторой точки О отрезок ОАХ, равный 7 единицам, и на перпендикуляре к этой оси, проведенном из точки Ах, отрезки АХА' = 3 ед. и АХА" = 5 ед. Получаем проекции А' и А". Для построения достаточно взять только ось х. Принимая оси проекций за оси координат, можно найти координаты точки по данным ее проекциям. Например, отрезок ОАХ - выражает абсциссу точки А, отрезок АХА' - ее ординату, отрезок АХА" - аппликату. Если задается лишь абсцисса, то этому соответствует плоскость, параллельная плоскости, определяемой осями у и z. Действительно, такая плоскость является геометрическим местом точек, у которых абсциссы равны заданной величине. Если задаются две координаты, то этим определяется прямая, параллельная соответствующей координатной оси.

Например, имея заданными абсциссу и ординату, получаем прямую, параллельную оси z (это прямая АВ). Она является линией пересечения двух плоскостей _ и _, где _ - геометрическое место точек с равными ординатами. Прямая АВ служит геометрическим местом точек, у которых равны между собой абсциссы и равны между собой ординаты. Если задаются все три координаты, то этим определяется точка. Точка К, полученная в пересечении трех плоскостей, из которых _ есть геометрическое место точек по заданной абсциссе, _ - по заданной ординате и _ - по заданной аппликате. Точка может находиться в любом из восьми октантов. Следовательно, нужно знать не только расстояние данной точки от той или иной плоскости координат, но и направление, по которому надо это расстояние отложить; для этого координаты точек выражают относительными числами.

2. Сущность метода геометрических мест

Сущность метода геометрических мест, используемого при решении задач, состоит в следующем. Пусть, решая задачу, нам надо найти точку X, удовлетворяющую двум условиям. Геометрическое место точек, удовлетворяющих первому условию, есть некоторая фигура F₁ , а геометрическое место точек, удовлетворяющих второму условию, есть некоторая фигура F₂ . Искомая точка X принадлежит F₁ и F₂ т. е. является их точкой пересечения. Если эти геометрические места простые (скажем, состоят из прямых и окружностей), то мы можем их построить и найти интересующую нас точку X.

Ломаной А₁ А₂ А₃ …A_n называется фигура, которая состоит из точек А₁ , А_2, …, A_n и соединяющих их отрезков А₁ A₂ , A₂ A₃ , …, A_n-1 , A_n . ТочкиА₁ , А_2, …, А_n называются вершинами ломаной, а отрезки A₁ A₂ , A₂ A_3, …, A_n-1 , A_n – звеньями ломаной. Ломаная называется простой, если она не имеет самопересечений (рис. 1).

А₁ A₂ A₃ A₄ – простая ломаная из трёх звеньев.

Ломаная называется замкнутой, если у неё концы совпадают. Простая замкнутая ломаная называется многоугольником, если её соседние звенья не лежат на одной прямой. Вершины ломаной называются вершинами многоугольника, а звенья ломаной – сторонами многоугольника. Отрезки, соединяющие не соседние вершины многоугольника, называются диагоналями. Многоугольник с n-вершинами, а значит, и с n-сторонами называется n-угольником.

Плоским многоугольником и многоугольной областью называется конечная часть плоскости, ограниченная многоугольником.

Многоугольник называется выпуклым, если он лежит в одной полуплоскости относительно любой прямой, содержащей его сторону (рис. 2). Многоугольник называется невыпуклым, если он оказывается лежащим по обе стороны прямой, содержащей любую его сторону (рис. 3).

Выпуклый многоугольник называют правильным, если у него все стороны равны, и все углы равны.

Многоугольник называется вписанным в окружность, если все его вершины лежат на некоторой окружности. Многоугольник называется описанным около окружности, если все его стороны касаются некоторой окружности.

Геометрия часто применяется на практике. Её надо знать и рабочему, и инженеру, и архитектору, и художнику. Одним словом, геометрию надо знать всем.

Планиметрия – это раздел геометрии, в котором изучаются фигуры на плоскости.

Фигура – это произвольное множество точек на плоскости. Точка, прямая, отрезок, луч, треугольник, круг, квадрат и так далее – всё это примеры геометрических фигур.

Основными геометрическими фигурами на плоскости являются точка и прямая. Этим фигурам в геометрии не даётся определений.

Остальным геометрическим фигурам и другим понятиям даются определения. Определение – это предложение, в котором разъясняется смысл и содержание того или иного понятия. При этом разъяснение состоит в том, что оно сводится к ранее определённым понятиям.

Существует несколько подходов к построению курса планиметрии (и геометрии в целом): аксиоматический, аналитический, векторный, групповой.

Аксиоматическая теория строится следующим образом:

1) даются неопределяемые понятия (в нашем случае это точка и прямая);

3) даётся система аксиом – то есть утверждений, принимаемых без доказательства;

4) на основе аксиом и законов математической логики доказываются теоремы.

Аксиом, как правило, немного, а вот теорем – бесконечное множество. К аксиомам планиметрии можно отнести следующие:

1. Какова бы ни была прямая, существуют точки, принадлежащие этой прямой, и точки, не принадлежащие ей.

Через любые две точки можно провести прямую, и только одну.

2. Из трёх точек на данной прямой одна и только одна лежит между двумя другими.

3. Каждый отрезок имеет определённую длину, большую нуля. Длина отрезка равна сумме длин его частей, на которые он разбивается любой его точкой.

4. Прямая разбивает плоскость на две полуплоскости.

5. Каждый угол имеет определённую градусную меру, большую нуля. Развёрнутый угол равен 180°. Градусная мера угла равна сумме градусных мер углов, на которые он разбивается любым лучом, проходящим между его сторонами.

6. На любом луче от его начальной точки можно отложить отрезок заданной длины, и только один.

7. От любого луча в заданную полуплоскость можно отложить угол с заданной градусной мерой, меньшей 180°, и только один.

8. Каков бы ни был треугольник, существует равный ему треугольник в заданном расположении относительно данного луча.

9. Через точку, не лежащую на данной прямой, можно провести не более одной прямой, параллельной данной.

3. Основные геометрические места точек на плоскости

Геометрическим местом точек плоскости, равноудалённых от сторон угла, будет биссектриса данного угла (рис. 4). АК = AT, где А – любая точка на биссектрисе.

Геометрическим местом точек, равноудалённых от двух данных точек, будет прямая, перпендикулярная к отрезку, соединяющему эти точки, и проходящая через его середину (рис. 5). MA = MB, где М – произвольная точка на серединном перпендикуляре отрезка АВ.

Геометрическим местом точек плоскости, равноудалённых от заданной точки, будет окружность с центром в этой точке (рис. 6). Точка О равноудалена от точек окружности.

Местоположение центра окружности, описанной около треугольника.

Центр окружности, описанной около треугольника, является точкой пересечения перпендикуляров к сторонам треугольника, проведённых через середины этих сторон (рис. 7). А, В, С – вершины треугольника, лежащие на окружности.

АМ = МВ и АК = КС.

Точки М и К – основания перпендикуляров к сторонам АВ и АС соответственно.

Местоположение центра окружности, вписанной в треугольник.

Центр окружности, вписанной в треугольник, является точкой пересечения его биссектрис (рис. 8). В ⊿ABC отрезки AT и СК являются биссектрисами.

4. Примеры задач на геометрические места точек

1. Два колеса радиусов r₁ и r₂ катаются по прямой l. Найдите множество точек пересечения M их общих внутренних касательных.

Решение :Пусть O₁ и O₂ — центры колес радиусов r₁ и r₂ соответственно. Если M — точка пересечения внутренних касательных, то O₁ M: O₂ M = r₁ : r₂ . Из этого условия легко получить, что расстояние от точки M до прямой l равно 2r₁ r₂ /(r₁ + r₂ ). Поэтому все точки пересечения общих внутренних касательных лежат на прямой, параллельной прямой l и отстоящей от нее на расстояние 2r₁ r₂ /(r₁ + r₂ ).

2. Найдите геометрическое место центров окружностей, проходящих через две данные точки.

Решение : Пусть окружность с центром O проходит через данные точки A и B. Поскольку OA = OB (как радиусы одной окружности), точка O лежит на серединном перпендикуляре к отрезку AB. Обратно, каждая точка O, лежащая на серединном перпендикуляре к AB, равноудалена от точек A и B. Значит, точка O — центр окружности, проходящей через точки A и B.

3. Стороны AB и CD четырехугольника ABCD площади S не параллельны. Найдите ГМТ X, лежащих внутри четырехугольника, для которых S_ABX + S_CDX = S/2.

Решение: Пусть O — точка пересечения прямых AB и CD. Отложим на лучах OA и OD отрезки OK и OL, равные AB и CD соответственно. Тогда S_ABX + S_CDX = S_KOX + S_LOX ±S_KXL . Следовательно, площадь треугольника KXL постоянна, т. е. точка X лежит на прямой, параллельной KL.

4. На плоскости даны точки A и B. Найдите ГМТ M, для которых разность квадратов длин отрезков AM и BM постоянна.

Решение : Введем систему координат, выбрав точку A в качестве начала координат и направив ось Ox по лучу AB. Пусть точка M имеет координаты (x, y). Тогда AM 2 = x 2 + y 2 и BM 2 = (x - a) 2 + y 2 , где a = AB. Поэтому AM 2 - BM 2 = 2ax - a 2 . Эта величина равна k для точек M с координатами ((a 2 + k)/2a, y); все такие точки лежат на прямой, перпендикулярной AB.

5. Дан прямоугольник ABCD. Найдите ГМТ X, для которых AX + BX = CX + DX.

Решение: Пусть l — прямая, проходящая через середины сторон BC и AD. Предположим, что точка X не лежит на прямой l, например что точки A и X лежат по одну сторону от прямой l. Тогда AX 2 = XA . XB = XO 2 - R 2 , где O и R — центр и радиус окружности S. Поэтому XO 2 - XM 2 = R 2 , а значит, точки X лежат на перпендикуляре к прямой OM.

8. Даны две непересекающиеся окружности. Найдите геометрическое место точек центров окружностей, делящих пополам данные окружности (т. е. пересекающих их в диаметрально противоположных точках).

Решение: Пусть O₁ и O₂ — центры данных окружностей, R₁ и R₂ — их радиусы. Окружность радиуса r с центром X пересекает первую окружность в диаметрально противоположных точках тогда и только тогда, когда r 2 = XO₁ 2 + R₁ 2 , поэтому искомое ГМТ состоит из таких точек X, что XO₁ 2 + R₁ 2 = XO₂ 2 + R₂ 2 , все такие точки X лежат на прямой, перпендикулярной O₁ O₂ .

9. Внутри окружности взята точка A. Найдите геометрическое место точек пересечения касательных к окружности, проведенных через концы всевозможных хорд, содержащих точку A.

Решение: Пусть O — центр окружности, R — ее радиус, M — точка пересечения касательных, проведенных через концы хорды, содержащей точку A, P — середина этой хорды. Тогда OP * OM = R 2 и OP = OA cos f, где f = AOP. Поэтому AM 2 = OM 2 + OA 2 - 2OM * OA cos f = OM 2 + OA 2 - 2R 2 , а значит, величина OM 2 - AM 2 = 2R 2 - OA 2 постоянна. Следовательно, все точки M лежат на прямой, перпендикулярной OA.

10. Найдите геометрическое место точек M, лежащих внутри ромба ABCD и обладающих тем свойством, что AMD + BMC = 180 o .

Решение: Пусть N — такая точка, что вектора MN= DA. Тогда NAM = DMA и NBM = BMC, поэтому четырехугольник AMBN вписанный. Диагонали вписанного четырехугольника AMBN равны, поэтому AM| BN или BM| AN. В первом случае AMD = MAN = AMB, а во втором случае BMC = MBN = BMA. Если AMB = AMD, то AMB + BMC = 180 o и точка M лежит на диагонали AC, а если BMA = BMC, то точка M лежит на диагонали BD. Ясно также, что если точка M лежит на одной из диагоналей, то AMD + BMC = 180 o .

11. а) Дан параллелограмм ABCD. Докажите, что величина AX 2 + CX 2 - BX 2 - DX 2 не зависит от выбора точки X.

б) Четырехугольник ABCD не является параллелограммом. Докажите, что все точки X, удовлетворяющие соотношению AX 2 + CX 2 = BX 2 + DX 2 , лежат на одной прямой, перпендикулярной отрезку, соединяющему середины диагоналей.

Решение: Пусть P и Q — середины диагоналей AC и BD. Тогда AX 2 + CX 2 = 2PX 2 + AC 2 /2 и BX 2 + DX 2 = 2QX 2 + BD 2 /2, поэтому в задаче б) искомое ГМТ состоит из таких точек X, что PX 2 - QX 2 = (BD 2 - AC 2 )/4, а в задаче a) P = Q, поэтому рассматриваемая величина равна (BD 2 - AC 2 )/2.

1. Погорелов А.В. Геометрия: Учебник для 7-9 классов общеобразовательных учреждений. – М.: Просвещение, 2000, с. 61.

2. Савин А.П. Метод геометрических мест /Факультативный курс по математике: Учебное пособие для 7-9 классов средней школы. Сост. И.Л. Никольская. – М.: Просвещение, 1991, с. 74.

3. Смирнова И.М., Смирнов В.А. Геометрия: Учебник для 7-9 классов общеобразовательных учреждений. – М.: Мнемозина, 2005, с. 84.

4. Шарыгин И.Ф. Геометрия. 7-9 классы: Учебник для общеобразовательных учебных заведений. – М.: Дрофа, 1997, с. 76.

ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ ПРОЕКТ ПО ГЕОМЕТРИИ "Геометрическое место точек в задачах на построение" Выполнили :ученики 7 класса Кочанов Николай, Непрокин Андрей. Руководитель: учитель математики Трунина Татьяна Николаевна

Цель проекта : расширение знаний о применении геометрических мест точек в геометрии. Актуальность данной работы определяется тем, что геометрическое место точек - это геометрические понятия, знания которых имеют огромное значение для решения задач, в том числе и заданий единого государственного экзамена. Данное исследование, которое выходит за рамки нашей школьной программы, поможет мне найти новые подходы к решению геометрических задач. Объект исследования : Геометрические места точек. Предмет исследования : применение геометрических мест точек в задачах на построение. Исследовательский метод определяется как самостоятельное решение проблемы с применением наблюдения, рассуждения, доказательства и анализ фактов в ходе решения геометрических задач.

При построении фигур в геометрии принимают такие правила: 1) все построения выполняются только с помощью циркуля и линейки без делений; 2) с помощью линейки можно провести произвольную прямую через заданную точку, а также через заданные две точки А и В провести прямую АВ; 3) с помощью циркуля можно построить окружность с заданным центром и радиусом, равным заданному отрезку .

Решить задачу на построение - это значит провести анализ будущей фигуры, т.е. решить задачу с конца; - составить план (алгоритм) построения фигуры; - реализовать план, выполним построение; - доказать, что полученная фигура является искомой; - исследовать количество решений данной задачи.

Этапы решения задач на построение 1.Анализ заключается в отыскании такой связи между элементами искомой фигуры и данными задачи, которая помогла бы построить искомую фигуру. 2.Построение - последовательность главных операций, которые необходимо выполнить для построения искомой фигуры. 3.Доказательство , что построенная фигура удовлетворяет всем имеющимся в задаче условиям. 4.Исследование полученного решения должно установить количество удовлетворяющих условию задачи фигур

Задача 1. Постройте угол, равный данному, одна из сторон которого является данным лучом. Решение. Анализ: Дан угол А и луч ОК . Надо построить угол, равный углу А , одной из сторон которого является луч ОК . Проведём окружность произвольного радиуса r с центром в точке А . Точки пересечения этой окружности со сторонами угла А обозначим В и С . Тогда АВ = АС = r . Построение: Проведём окружность радиуса r с центром в точке О . Она пресекает луч ОК в точке М . Затем проведём окружность с центром в точке М и радиусом ВС. Пусть Е и F ─ точки пересечения окружностей с центрами О и М . Проведём лучи ОЕ и О F . Доказательство : Покажем, что каждый из углов ЕОМ и FOM ─ искомый. Докажем, например, что ∠ EOM = ∠ BAC . Рассмотрим треугольники ABC и OEM Имеем: AB = OE = r = AC = OM . Кроме того, по построению EM = BC . Следовательно, треугольники ABC и OEM равны по третьему признаку равенства треугольников. Отсюда ∠ EOM = ∠ BAC . Аналогично можно показать, что ∠ BAC = ∠ FOM . Исследование: Мы построили два угла EOM и FOM удовлетворяющие условию задачи. Эти углы равны. В таких случаях считают, что задача на построение имеет одно решение.

Задача 2. Постройте серединный перпендикуляр данного отрезка . Решение. Анализ: Пусть AB ─ данный отрезок. Надо построить перпендикуляр, проходящий через середину отрезка. Построение: Проведём две окружности с центрами A и B и радиусом AB . Точки пересечения этих окружностей обозначим M и N . Проведём прямую MN . Доказательство : Из построения следует, что MA = MB = AB и NA = NB = AB . Следовательно, точки M и N принадлежат серединному перпендикуляру отрезка AB . Прямая MN и является серединным перпендикуляром отрезка AB . Исследование: Поскольку прямая MN пересекает отрезок AB в его середине, точке О , то тем самым решена задача.

Задача 3 . Постройте биссектрису данного угла. Решение . Построение: Пусть A ─ данный угол. Проведём окружность произвольного радиуса с центром в точке A . Эта окружность пересекает стороны угла в точках M и N . Тем же радиусом проведём окружности с центрами M и N . Эти окружности пересекаются в точках A и K . Проведём луч АК. Доказательство: Докажем, что луч АК ─ искомая биссектриса. Действительно, треугольники AMK и ANK равны по трём сторонам. Следовательно,  MAK =  NAK .

Задача 4. Построить равнобедренный треугольник по углу при основании и высоте, опущенной на основание Решение . Анализ. Предположим, что задача решена, и построен равнобедренный треугольник АВС , АВ = ВС , в котором угол ВАС =a и высота BD = отрезку h . В равнобедренном треугольнике высота BD , проведенная к основанию, является медианой, поэтому AD = DC . Значит, сначала необходимо построить прямоугольный треугольник ABD . Для этого строим угол А , равный углу a , затем нужно найти точку В, лежащую на одной из сторон угла на расстоянии h от другой стороны. Точку В можно получить как пересечение стороны угла и прямой , параллельной другой стороне и проходящей от нее на расстоянии h .

Построение : Проводим прямую l , выбираем точку А , на луче AN откладываем угол 1, равный данному углу a . Через точку А проводим прямую, перпендикулярную прямой AN , и на построенной прямой откладываем отрезок АМ = h . Через точку М проводим прямую, параллельную прямой AN , точку ее пересечения со стороной угла обозначаем В. Из точки В опускаем перпендикуляр BD на прямую AN и откладываем DC = DA . Соединяем В и С . Доказательство : Треугольник АВС - искомый, т.к. он удовлетворяет всем условиям задачи. Действительно, по построению МВ || AD , поэтому 1 = 2; по построению АМ AD , МВ || AD , следовательно, АМ МВ . В прямоугольных треугольниках ABD и ВАМ общая гипотенуза АВ и равные углы 1 и 2, эти треугольники равны, значит BD = AM , т.е. BD = h . Далее, по построению DC = DA , поэтому ABD = СВD (по двум катетам), откуда следует, что С = А = a и BD = h . Исследование : В равнобедренном треугольнике угол при основании острый, поэтому построение возможно, если заданный угол острый. Построение единственно, т.к. точка В находится единственным образом. Задача имеет только одно решение.

Бесплатно скачать реферат "Геометрия места точек на плоскости" в полном объеме

Поиск рефератов по алфавиту

2. Реферат: Геометрическая прогрессия
Геометрическая прогрессия играет большую и важную роль не только в школьном курсе алгебры, но и (как я мог убедится) в дальнейшем обучении в высших учебных заведениях. Важность это.

3. Реферат: Геометрические векторы
В математике, физике, теоретической механике приходится иметь дело с величинами двух типов: одни имеют чисто числовой характер; другие же имеют не только числовую характеристику, н.

4. Реферат: Геометрические виды одежды
Геометрический вид -- свойство формы, определяемое соотношением ее размеров по трем координатам пространства. Кроме того, геометрический вид характеризуется прямолинейностью и крив.

5. Реферат: Геометрические построения на местности
Знание геометрии и умение применять эти знания на практике полезно в любой профессии. Традиционно построения на местности производят геодезисты для съемки плана земельного участка .

6. Реферат: Геометрические построения на плоскости
Раздел геометрии, в котором изучаются геометрические построения, называется конструктивной геометрией. Основным понятием конструктивной геометрии является понятие построить геомет.

7. Реферат: Геометрические свойства равнобедренных треугольников
Возможность выхода на теорию стереометрической взаимосвязи между геометрическими фигурами, в частности, правильных четырехугольных пирамид; Объяснение с помощью свойств равнобедр.

8. Реферат: Геометричне креслення
Спряження ліній. Окреслення багатьох деталей в електроніці мають плавні спряження; тому під час виконання креслень таких деталей дуже часто доводиться плавно сполучати прямі лінії .

9. Реферат: Геометрия в пространстве
В своей деятельности человеку повсюду приходится сталкиваться с необходимостью изучать форму, размеры, взаимное расположение пространственных фигур. Подобные задачи решают и астрон.

12. Реферат: Геометрія та архітектура
У нашій курсовій роботі ми показали необхідність вивчення цієї науки (геометрії), яка дає можливість глибше зрозуміти такий напрям в архітектурі, як давньоруське зодчество та розгл.

13. Реферат: Геометрія, з давніх часів до сьогодення
Геометрія завжди мала численні практичні застосування. Основними її споживачами були землеміри, реміс-ники, будівельники, художники. Землемірам потрібні були правила вимірювання ді.

14. Реферат: Геоморфологическое строение Крыма
На месте равнинного Крыма в палеозойскую эру находился подвижный прогибающийся участок земной коры, в котором накаливались известняки и другие осадочные породы, вулканы извергали л.

16. Реферат: Геополітика та геостратегія України
Географічне положення України у ХХІ ст. з вкрай невигідного (впродовж багатьох сотень років) поступово змінюється на середньо- і дуже вигідне. В умовах історичної і геостратегічної.

17. Реферат: Геополітика України:США та Євроатлантична спільнота - Україна - Російська Федерація
З проголошенням незалежності процеси інтеграції України в європейські структури значно посилилися, але якщо пустити їх на самоплив, то можна очікувати і надмірної експансії з боку .

18. Реферат: Геополітичне положення України
Структура матеріального виробництва України формувалася під впливом переважання тісних господарських зв'язків з Росією. 70% їх замикалось однобічно на Росію. З цим було пов'язано т.

20. Реферат: Георгіївська церква на „Козацьких Могилах" під Берестечком
Георгіївська церква - головна споруда меморіалу „Козацькі могили" в селі Пляшевій - можливо, найсамобутніший витвір архітектурного модерну в Україні. Задум побудувати пам'ятник коз.

21. Реферат: Георгій Чичерін
Його сильною стороною була прекрасна освіта і знання іноземних мов, а слабою - "нестача командирства". Але глава радянського уряду В.І. Ленін його дуже цінував і нерідко брав під з.

Читайте также: