Функция и плотность распределения случайной величины реферат

Обновлено: 05.07.2024

Другими словами, сначала нормализуются величины, а и h (40), а затем вычисляется либо определяется по таблице (прил. 1) от них функция Лапласа. Часто приходится вычислять вероятность того, что значение случайной величины X попадает в интервал (т -1, т + /) (рис. 7). Рис. 6а. Графики функции распределения Г (х) и плотности вероятности /(х): т-1, a=l (/l (x), /П (х)); т-25, a=2(/2(x), F2(x… Читать ещё >

статистические методы контроля качества и обработка экспериментальных данных

Законы распределения непрерывной случайной величины ( реферат , курсовая , диплом , контрольная )

Во многих практических задачах приходится сталкиваться с определенными законами распределения непрерывных случайных величин. Часто встречаются законы равномерного, нормального, показательного распределения вероятностей.

Равномерный закон распределения

Встречаются случайные величины, о которых заранее известно, что они могут принять какое-либо значение в строго определенных границах, причем в этих границах все значения случайной величины имеют одинаковую вероятность (плотность вероятности).

Функция распределения (рис. 6).

Плотность вероятности (рис. 6).

Математическое ожидание и дисперсия вычисляются по приведенным ниже формулам:

Равномерному закону распределения подчиняются, например, погрешности округления, возникающие в результате отбрасывания у чисел одной или нескольких цифр. С этим довольно часто приходится встречаться экспериментаторам в различных областях измерительной практики. Данное свойство используется в некоторых генераторах псевдослучайных чисел [21].

Равномерному закону подчиняются случайные погрешности, например, от трения в опорах стрелочных приборов, от квантования по значению в цифровых приборах и ряд других [22].

Рис. 6. Графики функции распределения F (x) и плотности вероятности f (x)

Нормальный закон распределения

Нормальный закон распределения называют фундаментальным законом в теории вероятности, т. к. его применение часто встречается при изучении природных и социально-экономических явлений.

Особенность закона состоит в том, что он является предельным законом, к которому приближаются другие законы распределения при весьма часто встречающихся типичных условиях.

Распределение плотности вероятности случайной величины называется нормальным, если плотность вероятности описывается функцией следующего вида (рис. 7):

где т — математическое ожидание, мода, медиана; а — стандартное отклонение.

Функция распределения (рис. 7).

где а и Ь- пределы изменения значений случайной величины X.

Рис. 6а. Графики функции распределения Г (х) и плотности вероятности /(х): т-1, a=l (/l (x), /П (х)); т-25, a=2(/2(x),, F2(x));

т = 23, a = l (/3(x), F3(x)) (10, "https://referat.bookap.info").

Вероятность попадания случайной непрерывной величины X в заданный интервал [а, Ъ].

Рис. 7. График плотности распределения случайной величины X

Математическое ожидание и дисперсия вычисляются по приведенным формулам:

Часто приходится вычислять вероятность того, что значение случайной величины X попадает в интервал (т -1, т + /) (рис. 7).

Вероятность, с которой в условиях данного эксперимента полученные экспериментальные данные можно считать надежными либо достоверными, называют доверительной вероятностью, или надежностью, а интервал хе[-/, +/], соответствующий доверительной вероятности, называется доверительным интервалом.

Вероятность того, что значение случайной величины X попадет в интервал (т-1, т + 1), выраженный через среднеквадратичное отклонение о (/ = ст, 2а, За), приведена в табл. 5.

Правило трех сигм

т-о

а пределы интегрирования по введенной переменной t, соответственно верхний и нижний:

Подставив (38), (39) и (40) в (34) и проведя преобразования, получим Выражение.

получило название функции Лапласа.

Обычно функция Лапласа используется для вычисления вероятности попадания в заданный интервал нормально распределенной случайной величины X:

Другими словами, сначала нормализуются величины а и h (40), а затем вычисляется либо определяется по таблице (прил. 1) от них функция Лапласа

Пример

Найти вероятность того, что случайная величина X, имеющая нормальное распределение с математическим ожиданием т = 15 и среднеквадратичное отклонение, а = 5, примет значение, принадлежащее интервалу [10, 20].

Содержание работы

Введение
3
1.
Случайные величины
4
2.
Классификация случайных величин
5
3.
Закон распределения случайной величины
6
4.
Функция распределения случайной величины и ее свойства
7
5.
Числовые характеристики непрерывных случайных величин
9
5.1
Математическое ожидание случайной величины, его вероятностный смысл и свойства
9
5.2
Дисперсия случайной величины и ее свойства
13
5.3
Среднеквадратическое отклонение
16

Файлы: 1 файл

случ.величина.docx

ФГОУ ВПО Государственный аграрный университет Северного Зауралья

Институт экономики и финансов

Кафедра математических наук

Выполнила: студентка 2 курса

группы Б-ЭБ24 Глухова Н.Д

Проверила: доцент кафедры математики

Классификация случайных величин

Закон распределения случайной величины

Функция распределения случайной величины и ее свойства

Числовые характеристики непрерывных случайных величин

Математическое ожидание случайной величины, его вероятностный смысл и свойства

Дисперсия случайной величины и ее свойства

Теория вероятностей является одним из классических разделов математики. Она имеет длительную историю. Основы этого раздела науки были заложены великими математиками. Назову, например, Ферма, Бернулли, Паскаля. Вероятностные и статистические методы в настоящее время глубоко проникли в приложения, особенно возросла их роль в связи с развитием вычислительной техники.

Одним из основных понятий в теории вероятностей является понятие случайной величины. Случайная величина является числовой характеристикой результата эксперимента, которая принимает свои значения в зависимости от элементарного события. Примером случайной величины могут быть: число очков, выпадающих при одном бросании игральной кости, число граждан, которые имеют высшее образование среди взятых наугад n человек, число бракованных изделий в партии из N штук, время безотказной работы прибора и т.д.

Случайная величина обычно обозначается прописной латинской буквой , ее конкретные значения – строчными буквами .Случайной величиной называется функция , определенная на множестве элементарных событий , .

2.Классификация случайных величин

Случайные величины делятся на дискретные и непрерывные. Величина называется дискретной, если она может принимать определенные, фиксированные значения.

Случайная величина называется непрерывной, если она может принимать значения, сколь угодно мало отличающиеся друг от друга. Пусть дискретная случайная величина может принимать значений: . Для полной характеристики этой случайной величины должны быть заданы еще и вероятности появления указанных значений .

3.Закон распределения случайной величины

Соответствие между всеми возможными значениями дискретной случайной величины и их вероятностями называется законом распределения данной случайной величины.

Законом распределения случайной дискретной величины называется совокупность пар чисел ( ), где – возможные значения случайной величины, а – вероятности, с которыми она принимает эти значения, причем .

Таблицу значений дискретной случайной величины , если это целесообразно, формально всегда можно пополнить конечным набором любых чисел, считая их значениями с вероятностями, равными нулю.

Случайные величины и называются независимыми, если возможные значения и закон распределения каждой из них один и тот же при любом выборе допустимых значений другой и не зависит от того, какое возможное значение приняла другая величина. В противном случае эти величины называются зависимыми. Несколько случайных величин называются взаимно независимыми, если возможные значения и законы распределения любой из них не зависят от того, какие возможные значения приняли остальные случайные величины.

4. Функция распределения случайной величины и ее свойства

Как для дискретной величины, так и для непрерывной вводится понятие функции распределения.

Пусть – случайная величина, определенная на множестве элементарных событий , , а – произвольное действительное число. В общем случае функция должна быть такова, чтобы для любых событие , состоящее в том, что случайная величина попадает в интервал , принадлежала полю событий и, таким образом, для любого такого события была определена вероятность .

Тогда вероятность того, что примет значение, меньшее, чем , равна значению функции распределения вероятностей данной случайной величины , соответствующее значению аргумента , т.е. функция распределения вероятностей данной случайной величины представляет собой вероятность события , где – задаваемые непрерывно изменяющиеся значения, т.е. .

Рассмотрим функцию распределения случайной дискретной величины , принимающей значения .

Если , то , так как в этом случае событие является невозможным.

Если , то событие наступит тогда и только тогда, когда наступит событие , поэтому .

Если , то событие равно сумме событий , и .

Аналогично, если , то .

Таким образом, функция распределения случайной дискретной величины равна , где , и суммирование производится по тем , для которых .

Если дискретные значения случайной величины расположены в порядке возрастания, то каждому значению этих величин ставится в соответствие сумма вероятностей всех предыдущих значений и вероятности , это указано в таблице (см.Приложение1)

В точках функция распределения имеет скачки, равные вероятности того, что случайная величина примет соответствующее значение.

Свойства функции распределения:

Функция распределения принимает значения из промежутка : .

Вероятность того, что случайная величина примет значение из полуинтервала , равна разности : .

Функция распределения – неубывающая функция, т.е. при .

5. Числовые характеристики непрерывных случайных величин

5.1 Математическое ожидание случайной величины, его вероятностный смысл и свойства

В некоторых случаях закон распределения случайной величины неизвестен, или просто целесообразно использовать не таблицу или функцию распределения для представления случайной величины, а так называемые числовые характеристики ее распределения, в частности математическое ожидание.

Математическое ожидание дискретной случайной величины – это сумма парных произведений всех возможных ее значений на соответствующие вероятности:

Очевидно, математическое ожидание случайной величины не изменится, если таблицу значений этой случайной величины пополнить конечным числом любых чисел, считая, что вероятности этих чисел равны нулю. Математическое ожидание случайной величины есть величина постоянная и поэтому представляет числовую характеристику случайной величины .Вероятностный смысл математического ожидания: математическое ожидание приближенно равно среднему арифметическому наблюдаемых значений случайной величины.

Свойства математического ожидания можно сформулировать в виде теорем.

1. Теорема. Математическое ожидание постоянной величины равно этой величине.

Доказательство. Постоянную величину можно рассматривать как случайную дискретную величину, принимающую лишь одно возможное значение с вероятностью . Поэтому .

2. Теорема. Математическое ожидание суммы двух (или нескольких) случайных величин и равно разности их математических ожиданий

1) Пусть случайная величина принимает значения с вероятностями ( ), а случайная величина принимает значения с вероятностями ( ). Тогда возможными значениями случайной величины будут суммы , вероятности которых равны:

Как уже отмечалось ранее, все комбинации ( ) ( , ) можно считать допустимыми, причем, если сумма невозможна, то полагаем, чт .

Сумма представляет собой вероятность события, состоящего в том, что случайная величина принимает значения при условии, что случайная величина примет одно из своих возможных значений (что достоверно); это сложное событие, очевидно, эквивалентно тому, что принимает значение и поэтому

Для нескольких случайных величин, например для трех , и , имеем:

Следствие. Если – постоянная величина, то:

3. Теорема. Математическое ожидание произведения двух независимых случайных величин и равно произведению их математических ожиданий:

Доказательство. Пусть случайная величина принимает значения ( , ) ( ) и ( , ) ( ) – законы распределения случайных величин и . Так как и – независимы, то полный набор значений случайной величины состоит из всех произведений ( , ), причем вероятности этих значений по теореме умножения для независимых событий равны

Следствие. Постоянный множитель можно выносить за знак математического ожидания, т.е. . Если – постоянная величина и – любая случайная величина, то, учитывая, что и – независимы, получим:

Следствие. Математическое ожидание разности двух случайных величин и равно разности их математических ожиданий:

Теория вероятностей является одним из классических разделов математики. Она имеет длительную историю. Основы этого раздела науки были заложены великими математиками. Назову, например, Ферма, Бернулли, Паскаля. Позднее развитие теории вероятностей определились в работах многих ученых. Большой вклад в теорию вероятностей внесли ученые нашей страны: П.Л.Чебышев, А.М.Ляпунов, А.А.Марков, А.Н.Колмогоров. Вероятностные и статистические методы в настоящее время глубоко проникли в приложения. Они используются в физике, технике, экономке, биологии и медицине. Особенно возросла их роль в связи с развитием вычислительной техники.

Например, для изучения физических явлений производят наблюдения или опыты. Их результаты обычно регистрируют в виде значений некоторых наблюдаемых величин. При повторении опытов мы обнаруживаем разброс их результатов. Например, повторяя измерения одной и той же величины одним и тем же прибором при сохранении определенных условий (температура, влажность и т.п.), мы получаем результаты, которые хоть немного, но все же отличаются друг от друга. Даже многократные измерения не дают возможности точно предсказать результат следующего измерения. В этом смысле говорят, что результат измерения есть величина случайная. Еще более наглядным примером случайной величины может служить номер выигрышного билета в лотерее. Можно привести много других примеров случайных величин. Все же и в мире случайностей обнаруживаются определенные закономерности. Математический аппарат для изучения таких закономерностей и дает теория вероятностей. Таким образом, теория вероятностей занимается математическим анализом случайных событий и связанных с ними случайных величин.

1. Случайные величины

Понятие случайной величины является основным в теории вероятностей и ее приложениях. Случайными величинами, например, являются число выпавших очков при однократном бросании игральной кости, число распавшихся атомов радия за данный промежуток времени, число вызовов на телефонной станции за некоторый промежуток времени, отклонение от номинала некоторого размера детали при правильно налаженном технологическом процессе и т. д.

Таким образом, случайной величиной называется величина, которая в результате опыта может принимать то или иное значение, причем заранее известно какое именно.

Случайные величины можно разделить на две категории.

Дискретной случайной величиной называется такая величина, которая в результате опыта может принимать определенные значения с определенной вероятностью, образующие счетное множество (множество, элементы которого могут быть занумерованы).

Это множество может быть как конечным, так и бесконечным.

Например, количество выстрелов до первого попадания в цель является дискретной случайной величиной, т.к. эта величина может принимать и бесконечное, хотя и счетное количество значений.

Непрерывной случайной величиной называется такая величина, которая может принимать любые значения из некоторого конечного или бесконечного промежутка.

Очевидно, что число возможных значений непрерывной случайной величины бесконечно.

Для задания случайной величины недостаточно просто указать ее значение, необходимо также указать вероятность этого значения.

2. Равномерное распределение

Пусть сегмент оси Ox есть шкала некоторого прибора. Допустим, что вероятность попадания указателя в некоторый отрезок шкалы пропорциональна длине этого отрезка и не зависит от места отрезка на шкале. Отметка указателя прибора есть случайная величина могущая принять любое значение из сегмента . Поэтому

Если, далее, и ( 0 . Смысл параметров a и будет установлен в дальнейшем. Исходя из связи между плотностью распределения и функцией распределения , имеем

График функции симметричен относительно прямой x=a. Несложные исследования показывают, что функция достигает максимума при x=a, а ее график имеет точки перегиба при и . При график функции асимптотически приближается к оси Ox. Можно показать, что при увеличении кривая плотности распределения становится более пологой. Наоборот, при уменьшении график плотности распределения сжимается к оси симметрии. При a=0 осью симметрии является ось Oy . На рис. 3 изображены два графика функции y =. График I соответствует значениям a =0,=1, а график II - значениям a =0, =1/2.

Покажем, что функция удовлетворяет условию, т.е. при любых a и выполняется соотношение

В самом деле, сделаем в этом интеграле замену переменной, полагая . Тогда

В силу четности подинтегральной функции имеем

В результате получим

(4)

Найдем вероятность . По формуле имеем

Сделаем в этом интеграле замену переменной, снова полагая

Тогда , и
(5)

Как мы знаем, интеграл не берется в элементарных функциях. Поэтому для вычисления определенного интеграла (5) вводится функция (6)
называемая интегралом вероятностей. Для этой функции составлены таблицы ее значений для различных значений аргумента (см. табл. II Приложения). Используя формулу (6) получим

(7)

Легко показать, что функция Ф(х) (интеграл вероятностей) обладает следующими свойствами.

2°. ; при величина практически равна 1/2 (см. табл. II).

3°. =- т.е. интеграл вероятностей является нечетной функцией.

График функции изображен на рис. 4.

Таким образом, если случайная величина нормально распределена с параметрами a и , то вероятность того, что случайная величина удовлетворяет неравенствам , определяется соотношением (7).

Пусть . Найдем вероятность того, что нормально распределенная случайная величина отклонится от параметра a по абсолютной величине не более, чем на , т.е. .

Так как неравенство равносильно неравенствам то полагая в соотношении (7) , получим

Вследствие того, что интеграл вероятностей - нечетная функция, имеем (8)

Пример 1. Пусть случайная величина подчиняется нормальному закону распределения вероятностей с параметрами a=0, =2.

1) Используя формулу (7), имеем

Из табл. II находим, что Ф(1)=0,34134 , Ф(1,5)=0,43319. Следовательно 3

2) Так как a=0 , то . По формуле (8) находим

Пример 2. В каких пределах должна изменяться случайная величина, подчиняющаяся нормальному закону распределения, чтобы
)=0,9973

Решение: По формуле (8) имеем

Следовательно, . Из табл. II находим, что этому значению соответствует =3,откуда.

Из последнего примера следует, что если случайная величина подчиняется нормальному закону распределения, то можно утверждать с вероятностью, равной 0,9973 , что случайная величина находится в интервале . Так как данная вероятность близка к единице, то можно считать, что значения нормально распределенной случайной величины практически не выходят за границы интервала Этот факт называют правилом трех сигм.

6.Условные законы распределения

Как было показано выше, зная совместный закон распределения можно легко найти законы распределения каждой случайной величины, входящей в систему.

Однако, на практике чаще стоит обратная задача – по известным законам распределения случайных величин найти их совместный закон распределения.

В общем случае эта задача является неразрешимой, т.к. закон распределения случайной величины ничего не говорит о связи этой величины с другими случайными величинами.

Кроме того, если случайные величины зависимы между собой, то закон распределения не может быть выражен через законы распределения составляющих, т.к. должен устанавливать связь между составляющими.

Все это приводит к необходимости рассмотрения условных законов распределения.

Распределение одной случайной величины, входящей в систему, найденное при условии, что другая случайная величина приняла определенное значение, называется условным законом распределения.

Условный закон распределения можно задавать как функцией распределения так и плотностью распределения.

Условная плотность распределения вычисляется по формулам:

Условная плотность распределения обладает всеми свойствами плотности распределения одной случайной величины.

Таблица I: Значения функции:

Таблица II: Значения функции

статистические методы контроля качества и обработка экспериментальных данных