Физический и математический маятники реферат

Обновлено: 25.06.2024

Изложение метода определения моментов инерции тел с помощью пластины, кронштейна для подвешивания тела, секундомера, линейки, математического маятника: понятия физического маятника и приведённой длины; абсолютная погрешность измерений в периоде колебаний.

Рубрика	Физика и энергетика
Вид	лабораторная работа
Язык	русский
Дата добавления	20.05.2014
Размер файла	77,0 K

Студенты, аспиранты, молодые ученые, использующие базу знаний в своей учебе и работе, будут вам очень благодарны.

Пермский Национальный Исследовательский Политехнический Университет

Кафедра общей физики

ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА

Физический маятник

г. Пермь, 2012 год

ФИЗИЧЕСКИЙ МАЯТНИК

Цель работы: познакомиться с методом определения моментов инерции тел.

Приборы: исследуемое тело (пластина), кронштейн для подвешивания тела, секундомер, линейка, математический маятник.

Сведения из теории

Физическим маятником (ФМ) называется твердое тело, которое может колебаться под действием силы тяжести вокруг горизонтальной оси (не проходящей через центр масс тела).

При колебании ФМ как бы вращается вокруг оси О (рис. 1). Следовательно, движение маятника подчиняется основному уравнению динамики вращательного движения:

или М = I , (1)

где М - момент силы тяжести относительно оси О; I - момент инерции маятника относительно той же оси; - угловое ускорение маятника.

Из рис 1 видно, что

М = - mgb Sin , (2)

где: m - масса маятника;

b Sin - плечо силы тяжести mg;

b - расстояние от точки подвеса О до центра масс С.

Знак “-” означает, что вращающий момент М стремится уменьшить угол , характеризующий положение маятника по отношению к равновесному состоянию. Более строго смысл знака “-” объясняется так: псевдовекторы момента сил и смещения от положения равновесия направлены в противоположные стороны (для ситуации, изображенной на рис. 1 первый направлен за плоскость чертежа, а второй - из этой плоскости на наблюдателя). Помня, что , и учитывая (1), уравнение (2) запишем в виде

При малых отклонениях маятника (именно этот случай мы и будем иметь в виду) Sin , а потому равенство (3) после деления на I примет вид

Величина mgb/I, как сугубо положительная, может быть заменена квадратом некоторого числа:

Тогда уравнение (4) можно переписать как

Используя прямую подстановку, убеждаемся, что решением уравнения (3.6) является выражение

Это свидетельствует о том, что ФМ совершает в этих условиях незатухающие гармонические колебания с циклической частотой ₀. ₀ и - постоянные (амплитуда и начальная фаза), зависящие от начальных условий.

Период колебаний ФМ

I / mb имеет размерность длины. Эта величина обозначается через L и называется приведенной длиной ФМ:

L = I / mb (9)

Сравнивая (10) с формулой для периода колебаний математического маятника T = , где l - длина математического маятника, видим, что приведенная длина ФМ - это длина такого математического маятника, у которого период колебаний совпадает с периодом колебаний данного ФМ. Легко заметить, что L > b. В самом деле, в соответствии с теоремой Штейнера I = I_с + mb 2 , где I_c - момент инерции маятника относительно оси, проходящей через центр масс. Следовательно, по выражению (9)

откуда видно, что L>b.

Точку О₁ (см. рис. 1), отстоящую от О на расстоянии L, называют точкой качаний.

Описание установки и метода определения инерции тела

Исследуемое тело 1 представляет собой металлическую пластину с двумя вырезами (рис. 2). Этими вырезами тело подвешивается на опору - кронштейн 2 для организации колебаний. Чтобы уменьшить трение и износ детали точки подвеса О₁ и О₂ снабжены специальными подставками 3. На конце кронштейна может быть подвешен математический маятник 4, длину которого можно изменять.

В работе определяются моменты инерции I₁ и I₂ относительно осей О₁ и О₂. Метод определения моментов инерции основан на том, что период колебаний ФМ (пластина в данном случае играет роль физического маятника) связан с его моментом инерции относительно оси колебания (см. формулу (8)). Таким образом, измерив на опыте период колебаний маятника Т и расстояние b от точки подвеса до центра масс (см. рис. 1), зная массу m маятника и ускорение свободного падения g, можно вычислить момент инерции:

Физический маятник — осциллятор, представляющий собой твёрдое тело, совершающее колебания в поле каких-либо сил относительно точки, не являющейся центром масс этого тела, или неподвижной оси, перпендикулярной направлению действия сил и не проходящей через центр масс этого тела.

Содержание работы

1.Физические маятники
1Дифференциальное уравнение движения физического маятника
2 Центр качания физического маятника
2.1 Теорема Гюйгенса
2.1.1 Формулировка
2.1.2 Доказательство
3 Период колебаний маятника
3.1 Период малых колебаний физического маятника
2. Математические маятники
1 Уравнение колебаний маятника
2 Решения уравнения движения
2.1 Гармонические колебания
2.2 Нелинейный маятник
2.3 Движение по сепаратрисе

Файлы: 1 файл

реферат по физике.docx

1Дифференциальное уравнение движения физического маятника
2 Центр качания физического маятника
- 2.1 Теорема Гюйгенса
  - 2.1.1 Формулировка
  - 2.1.2 Доказательство
  - 3.1 Период малых колебаний физического маятника
  2. Математические маятники
  - 1 Уравнение колебаний маятника
  - 2 Решения уравнения движения
    - 2.1 Гармонические колебания
    - 2.2 Нелинейный маятник
    - 2.3 Движение по сепаратрисе
    Физический маятник — осциллятор, представляющий собой твёрдое тело, совершающее колебания в поле каких-либо сил относительно точки, не являющейся центром масс этого тела, или неподвижной оси, перпендикулярной направлению действия сил и не проходящей через центр масс этого тела.
    
    Определения
    - — угол отклонения маятника от равновесия;
    - — начальный угол отклонения маятника;
    - — масса маятника;
    - — расстояние от точки подвеса до центра тяжести маятника;
    - — радиус инерции относительно оси, проходящей через центр тяжести.
    - — ускорение свободного падения.
    Момент инерции относительно оси, проходящей через точку подвеса:
    
    Дифференциальное уравнение движения физического маятника
    
    Основная статья: Приведённая длина
    
    Пренебрегая сопротивлением среды, дифференциальное уравнение колебаний физического маятника в поле силы тяжести записывается следующим образом:
    
    Полагая , предыдущее уравнение можно переписать в виде:
    
    Последнее уравнение аналогично уравнению колебаний математиче ского маятника длиной . Величина называется приведённой длиной физического маятника.
    
    Центр качания физического маятника
    
    Центр качания — точка, в которой надо сосредоточить всю массу физического маятника, чтобы его период колебаний не изменился.
    
    Поместим на луче, проходящем от точки подвеса через центр тяжести точку на расстоянии от точки подвеса. Эта точка и будет центром качания маятника.
    
    Действительно, если всю массу сосредоточить в центре качания, то центр качания будет совпадать с центром масс. Тогда момент инерции относительно оси подвеса будет равен , а момент силы тяжести относительно той же оси . Легко заметить, что уравнение движения не изменится.
    
    Теорема Гюйгенса
    
    Формулировка
    
    Если физический маятник подвесить за центр качания, то его период колебаний не изменится, а прежняя точка подвеса сделается новым центром качания.
    
    Доказательство
    
    Вычислим приведенную длину для нового маятника:
    
    Совпадение приведённых длин для двух случаев и доказывает утверждение, сделанное в теореме.
    
    Период колебаний физического маятника
    
    Для того, чтобы найти период колебаний физического маятника, необходимо решить уравнение качания. Для этого умножим левую часть этого уравнения на , а правую часть на . Тогда:
    
    Интегрируя это уравнение, получаем.
    
    где произвольная постоянная. Её можно найти из граничного условия, что в моменты . Получаем: . Подставляем и преобразовываем получившееся уравнение:
    
    Отделяем переменные и интегрируем это уравнение:
    
    Удобно сделать замену переменной, полагая . Тогда искомое уравнение принимает вид:
    
    Здесь — нормальный эллиптический интеграл Лежандра 1-го рода. Для периода колебаний получаем формулу:
    
    Здесь — полный нормальный эллиптический интеграл Лежандра 1-го рода.
    
    Период малых колебаний физического маятника
    
    Если амплитуда колебаний мала, то корень в знаменателе эллиптического интеграла приближенно равен единице. Такой интеграл легко берется, и получается хорошо известная формула малых колебаний:
    
    Математические маятники.
    
    Математи́ческий ма́ятник — осциллятор, представляющий собой механическую систему, состоящую из материальной точки, находящейся на невесомой нерастяжимой нити или на невесомом стержне в однородном поле сил тяготения. Период малых собственных колебаний математического маятника длины l неподвижно подвешенного в однородном поле тяжести с ускорением свободного падения g равен
    
    и не зависит [1] от амплитуды и массы маятника.
    
    Плоский математический маятник со стержнем — система с одной степенью свободы. Если же стержень заменить на растяжимую нить, то это система с двумя степенями свободы со связью. Пример школьной задачи, в которой важен переход от одной к двум степеням свободы.
    
    При малых колебаниях физический маятник колеблется так же, как математический с приведённой длиной.
    
    Уравнение колебаний маятника
    
    Колебания математического маятника описываются обыкновенным дифференциальным уравнением вида
    
    где ω ― положительная константа, определяемая исключительно из параметров маятника. Неизвестная функция x(t) ― это угол отклонения маятника в момент t от нижнего положения равновесия, выраженный в радианах; , где L ― длина подвеса, g ― ускорение свободного падения. Уравнение малых колебаний маятника около нижнего положения равновесия (т. н. гармоническое уравнение) имеет вид:
    
    Решения уравнения движения
    
    Гармонические колебания
    
    Маятник, совершающий малые колебания, движется по синусоиде. Поскольку уравнение движения является обыкновенным ДУ второго порядка, для определения закона движения маятника необходимо задать два начальных условия — координату и скорость, из которых определяются две независимых константы:
    
    где A — амплитуда колебаний маятника, θ₀ — начальная фаза колебаний, ω — циклическая частота, которая определяется из уравнения движения. Движение, совершаемое маятником, называется гармоническими колебаниями
    
    Нелинейный маятник
    
    Для маятника, совершающего колебания с большой амплитудой, закон движения более сложен:
    
    где — это синус Якоби. Для он является периодической функцией, при малых совпадает с обычным тригонометрическим синусом.
    
    Параметр определяется выражением
    
    где — энергия маятника в единицах t −2 .
    
    Период колебаний нелинейного маятника
    
    где K — эллиптический интеграл первого рода.
    
    Движение по сепаратрисе
    
    Движение маятника по сепаратрисе является непериодическим. В бесконечно далёкий момент времени он начинает падать из крайнего верхнего положения в какую-то сторону с нулевой скоростью, постепенно набирает её, и останавливается, возвратившись в исходное положение.
    
    Описывающую движение физического маятника, можно найти при помощи основного уравнения вращательного движения (6.8): Подставив выражение (9.17) в уравнение (9.16) движения физического маятника, запишем это уравнение так: Подставив это выражение в формулу (9.20), найдем период малых колебаний математического маятника: Где I — момент инерции тела относительно неподвижной оси вращения О,. После… Читать ещё >
    
    Физический и математический маятники ( реферат , курсовая , диплом , контрольная )
    
    Исследуем движение абсолютно твердого тела, имеющего возможность только вращаться вокруг неподвижной горизонтальной оси О (рис. 9.3). Если центр масс С тела не лежит на оси вращения, то при равновесии тела он будет находиться на вертикальной прямой, проходящей через ось вращения. При повороте тела на некоторый угол в от положения равновесия сила тяжести будет стремиться вернуть тело в положение равновесия. Вследствие этого тело будет совершать колебания. Такое тело называется физическим маятником.
    
    Функцию
    
    описывающую движение физического маятника, можно найти при помощи основного уравнения вращательного движения (6.8):
    
    где I — момент инерции тела относительно неподвижной оси вращения О,.
    
    Рис. 9.3.
    
    — момент силы тяжести, / - расстояние от ценФизический маятник тра масс С тела до оси вращения. Произведение / sin в есть плечо силы тяжести.
    
    Колебания маятника называют малыми, когда он отклоняется от положения равновесия на малые углы, т. е. справедливо неравенство
    
    Можно доказать, что при этом.
    
    В таком случае уравнение (9.16) можно преобразовать к виду.
    
    где Уравнение (9.18) есть дифференциальное уравнение гармонических колебаний, общее решение которого можно записать в стандартной форме:
    
    Таким образом доказано, что малые колебания физического маятника являются гармоническими с частотой и>, определяемой формулой (9.19). Период малых колебаний физического маятника равен.
    
    Система, представляющая собой небольшое тело, подвешенное на невесомой и нерастяжимой нити, длина / которой много больше размеров тела, называется математическим маятником. Такое тело можно рассматривать как материальную точку, момент инерции которой относительно горизонтальной оси, проходящей через точку подвеса, равен.
    
    Подставив это выражение в формулу (9.20), найдем период малых колебаний математического маятника:
    
    Подставив выражение (9.17) в уравнение (9.16) движения физического маятника, запишем это уравнение так:
    
    После умножения на 9 и несложных преобразований придем к уравнению.
    
    В правильности сделанных преобразований можно убедиться, продифференцировав выражение в круглых скобках по времени. Это выражение есть полная механическая энергия рассматриваемого тела. Полученное уравнение приводит к закону сохранения полной механической энергии физического маятника:
    
    Когда угол в принимает наибольшее значение в_т, угловая скорость в обращается в ноль. При этом энергия маятника будет где первое слагаемое в левой части есть кинетическая энергия вращательного движения маятника, а второе — его потенциальная энергия.
    
    Мы отмечали, что гармонические колебания возникают под действием квазиупругих сил. Покажем, что силы, действующие на маятник при малых углах отклонения, являются квазиупругими, и, следовательно, колебания маятника являются гармоническими.
    
    Математический маятник – материальная точка, подвешенная на невесомой нерастяжимой нити и совершающая колебания в вертикальной плоскости под действием силы тяжести.
    
    На практике математическим маятником можно считать тяжелое тело, подвешенное на легкой нити, длина которой во много раз больше размеров тела.
    
    П усть маятник отклонили на угол  от вертикали. Возвращающей силой будет являться составляющая силы тяжести Р 1 , перпендикулярная к нити.
    
    Возникает вращающий момент
    
    М=Р 1 l =mg l sin;
    
    Этот момент стремится вернуть маятник в положение равновесия и аналогичен в этом отношении квазиупругой силе. Поэтому моменту М и угловому смещению  нужно приписывать противоположные знаки:
    
    Напишем уравнение динамики вращательного движения
    
    Здесь I – момент инерции,  - угловое ускорение
    
    Подставляя (1) и (3) в (2) получим:
    
    Тогда уравнение (5) запишется так:
    
    Уравнение (7) представляет собой дифференциальное уравнение гармонических колебаний. Его решение имеет вид:
    
    Здесь - максимальное (амплитудное) отклонение маятника от положения равновесия.
    
    Период колебаний математического маятника:
    
    Период колебаний математического маятника зависит от длины маятника и от ускорения силы тяжести в данном месте земного шара. Период Т не зависит ни от массы, ни от амплитуды.
    
    Измерения периода колебаний маятника могут быть использованы для определения g. Эти измерения исключительно точны, поэтому самые незначительные колебания величины g могут быть обнаружены. На этом основаны методы определения формы Земли и гравиметрическая разведка. Небольшие, но далеко выходящие за пределы ошибок опыта, изменения значений g могут происходить благодаря залеганию под земной поверхностью более плотных или менее плотных пород.
    
    Физический маятник - абсолютно твердое тело, совершающее колебания под действием силы тяжести вокруг неподвижной горизонтальной оси, не проходящий через его центр инерции (тяжести).
    
    О- ось вращения, С- центр инерции, l - расстояние от оси вращения до центра инерции. Аналогично выводу уравнения для математического маятника можно написать:
    
    Снова получили дифференциальное уравнение гармонических колебаний, решением которого является:
    
    П
    ериод колебаний физического маятника равен:
    
    Величина L называется приведённой длиной физического маятника . Она равна длине такого математического маятника, период колебаний которого совпадает с периодом физического маятника.
    
    Похожие страницы:
    
    Математический и физический маятник
    
    . падения. Оборудования: секундомер, математический маятник (шарик на нити на штативе), физический маятник (кольцо и обруч . значение 0,967 9,85 Расчёт: Для математического маятника: . . Для физического маятника: . Вывод: Изучил зависимость периода .
    
    Изучение свободных колебаний математического и пружинного маятников
    
    . , частота, фаза. Дайте определения пружинного, математического и физического маятников и запишите уравнения для нахождения периодов .
    
    Математический маятник (2)
    
    . угла α Для вывода закона движения математического и физического маятников используем основное уравнение динамики вращательного . угла α Для вывода закона движения математического и физического маятников используем основное уравнение динамики вращательного .
    
    Физический маятник (2)
    
    Физический маятник Цель работы: познакомиться с . тела, секундомер, линейка, математический маятник. Сведения из теории. Физическим маятником (ФМ) называется твердое . пластина в данном случае играет роль физического маятника) связан с его моментом инерции .
    
    Физический маятник (1)
    
    . физического и математического маятников. Имеется в виду сравнить экспериментальное и расчётное значение периода колебаний физического маятника и период колебаний математического маятника .
    
    Читайте также: