Элементы теории массового обслуживания реферат
Обновлено: 05.07.2024
Функция "чтения" служит для ознакомления с работой. Разметка, таблицы и картинки документа могут отображаться неверно или не в полном объёме!
Введение Теория случайных процессов (случайных функций) - это раздел математической науки, изучающий закономерности случайных явлений в динамике их развития.
В настоящее время появилось большое количество литературы, посвященной непосредственно теории массового обслуживания, развитию ее математических аспектов, а также различных сфер ее приложения - военной, медицинской, транспортной, торговле, авиации и др.
Теория массового обслуживания - область прикладной математики, занимающаяся анализом процессов в системах производства, обслуживания, управления, в которых однородные события повторяются многократно, например, на предприятиях бытового обслуживания; в системах приема, переработки и передачи информации; автоматических линиях производства и др. Большой вклад в развитие этой теории внесли российские математики А.Я. Хинчин, Б.В. Гнеденко, А.Н. Колмогоров, Е.С. Вентцель и др.
Предметом теории массового обслуживания является установление зависимостей между характером потока заявок, числом каналов обслуживания, производительностью отдельного канала и эффективным обслуживанием с целью нахождения наилучших путей управления этими процессами. Задачи теории массового обслуживания носят оптимизационный характер и в конечном итоге включают экономический аспект по определению такого, варианта системы, при котором будет обеспечен минимум суммарных затрат от ожидания обслуживания, потерь времени и ресурсов на обслуживание и от простоев каналов обслуживания.
В коммерческой деятельности применение теории массового обслуживания пока не нашло желаемого распространения.
В основном это связано с трудностью постановки задач, необходимостью глубокого понимания содержания коммерческой деятельности, а также надежного и точного инструментария, позволяющего просчитывать в коммерческой деятельности различные варианты последствий управленческих решений. 1. Определение случайного процесса и его характеристики Случайным процессом X(t) называется процесс, значение которого при любом значении аргумента t является случайной величиной.
Другими словами, случайный процесс представляет собой функцию, которая в результате испытания может принять тот или иной конкретный вид, неизвестный заранее. При фиксированном t = to X(to) представляет собой обычную случайную величину, т.е. сечение случайного процесса в момент tо.
Реализацией случайного процесса X (t, w) называется неслучайная функция x(t), в которую превращается случайный процесс X(t) в результате испытания (при фиксированном w), т.е. конкретный вид, принимаемый случайным процессом X(t), его траектория.
Таким образом, случайный процесс X (t, w) совмещает в себе черты случайной величины и функции. Если зафиксировать значение аргумента t, случайный процесс превращается в обычную случайную величину, если зафиксировать w, то в результате каждого испытания он превращается в обычную неслучайную Функцию.
Марковский случайный процесс с дискретными состояниями и непрерывным временем имеет место в системах массового обслуживания.
Системы массового обслуживания - это такие системы, в которые в случайные моменты времени поступают заявки на обслуживание, при этом поступившие заявки обслуживаются с помощью имеющихся в распоряжении системы каналов обслуживания.
С позиции моделирования процесса массового обслуживания ситуации, когда образуются очереди заявок (требований) на обслуживание, возникают следующим образом. Поступив в обслуживающую систему, требование присоединяется к очереди других (ранее поступивших) требований. Канал обслуживания выбирает требование из находящихся в очереди, с тем чтобы приступить к его обслуживанию. После завершения процедуры обслуживания очередного требования канал обслуживания приступает к обслуживанию следующего требования, если такое имеется в блоке ожидания.
Цикл функционирования системы массового обслуживания подобного рода повторяется многократно в течение всего периода работы обслуживающей системы. При этом предполагается, что переход системы на обслуживание очередного требования после завершения обслуживания предыдущего требования происходит мгновенно, в случайные моменты времени.
Примерами систем массового обслуживания могут служить:
• посты технического обслуживания автомобилей;
• посты ремонта автомобилей;
• персональные компьютеры, обслуживающие поступающие заявки или требования на решение тех или иных задач;
• станции технического обслуживания автомобилей;
• аудиторские фирмы;
• отделы налоговых инспекций, занимающиеся приемкой и проверкой текущей отчетности предприятий;
• телефонные станции и т. д.
Основными компонентами системы массового обслуживания любого вида вляются:
• входной поток поступающих требований или заявок на обслуживание;
• дисциплина очереди;
• механизм обслуживания.
Дисциплина очереди —это важный компонент системы массового обслуживания, он определяет принцип, в соответствии с которым поступающие на вход обслуживающей системы требования подключаются из очереди к процедуре обслуживания. Чаще всего используются дисциплины очереди, определяемые следующими правилами:
• первым пришел — первым обслуживаешься;
• пришел последним - обслуживаешься первым;
• случайный отбор заявок;
• отбор заявок по критерию приоритетности;
Структура обслуживающей системы определяется количеством и взаимным расположением каналов обслуживания (механизмов, приборов и т. п.). Прежде всего следует подчеркнуть, что система обслуживания может иметь не один канал обслуживания, а несколько; система такого рода способна обслуживать одновременно несколько требований. В этом случае все каналы обслуживания предлагают одни и те же услуги, и, следовательно, можно утверждать, что имеет место параллельное обслуживание.
Система обслуживания может состоять из нескольких разнотипных каналов обслуживания, через которые должно пройти каждое обслуживаемое требование, т. е. в обслуживающей системе процедуры обслуживания требований реализуются последовательно. Механизм обслуживания определяет характеристики выходящего (обслуженного) потока требований.
Рассмотрев основные компоненты систем обслуживания, можно констатировать, что функциональные возможности любой системы массового обслуживания определяются следующими основными факторами:
• вероятностным распределением моментов поступлений заявок на обслуживание (единичных или групповых);
• вероятностным распределением времени продолжительности обслуживания;
• конфигурацией обслуживающей системы (параллельное, последовательное или параллельно-последовательное обслуживание);
• количеством и производительностью обслуживающих каналов;
• мощностью источника требований.
В качестве основных критериев эффективности функционирования систем массового обслуживания в зависимости от характера решаемой задачи могут выступать:
• вероятность немедленного обслуживания поступившей заявки;
• вероятность отказа в обслуживании поступившей заявки;
• относительная и абсолютная пропускная способность системы;
• средний процент заявок, получивших отказ в обслуживании;
• среднее время ожидания в очереди;
• средняя длина очереди;
• средний доход от функционирования системы в единицу времени и т. п.
Предметом теории массового обслуживания является установление зависимости между факторами, определяющими функциональные возможности системы массового обслуживания, и эффективностью ее функционирования. В большинстве случаев все параметры, описывающие системы массового обслуживания, являются случайными величинами или функциями, поэтому эти системы относятся к стохастическим системам.
Случайный характер потока заявок (требований), а также, в общем случае, и длительности обслуживания приводит к тому, что в системе массового обслуживания происходит случайный процесс. По характеру случайного процесса, происходящего в системе массового обслуживания (СМО), различают системы марковские и немарковские. В марковских системах входящий поток требований и выходящий поток обслуженных требований (заявок) являются пуассоновскими. Пуассоновские потоки позволяют легко описать и построить математическую модель системы массового обслуживания. Данные модели имеют достаточно простые решения, поэтому большинство известных приложений теории массового обслуживания используют марковскую схему.
В случае немарковских процессов задачи исследования систем массового обслуживания значительно усложняются и требуют применения статистического моделирования, численных методов с использованием ЭВМ.
Независимо от характера процесса, протекающего в системе массового обслуживания, различают два основных вида СМО:
• системы с отказами, в которых заявка, поступившая в систему в момент, когда все каналы заняты, получает отказ и сразу же покидает очередь;
• системы с ожиданием (очередью), в которых заявка, поступившая в момент, когда все каналы обслуживания заняты, становится в очередь и ждет, пока не освободится один из каналов.
Системы массового обслуживания с ожиданием делятся на системы с ограниченным ожиданием и системы с неограниченным ожиданием.
В системах с ограниченным ожиданием может ограничиваться:
• время пребывания в очереди.
В системах с неограниченным ожиданием заявка, стоящая в очереди, ждет обслуживания неограниченно долго, т.е. пока не подойдет очередь.
Все системы массового обслуживания различают по числу каналов обслуживания:
Приведенная классификация СМО является условной. На практике чаще всего системы массового обслуживания выступают в качестве смешанных систем. Например, заявки ожидают начала обслуживания до определенного момента, после чего система начинает работать как система с отказами.
В то же время не всегда может быть определена репрезентативная выборка, доказана правомерность применения полученных на ее основе статистических закономерностей. Если не удается доказать репрезентативность выборки или для этого требуется недопустимо большое время, то применение статистических методов может привести к неверным результатам. В таких случаях целесообразно обратиться к методам… Читать ещё >
Элементы теории массового обслуживания ( реферат , курсовая , диплом , контрольная )
Предметом исследования в теории массового обслуживания (ТМО) являются вероятностные модели систем обслуживания разного рода, в которых в случайные моменты времени возникают заявки на обслуживание и имеются устройства, обеспечивающие выполнение этих заявок.
Задача Эрланга является классическим примером задачи массового обслуживания. Поэтому приведем ее.
где рп можно интерпретировать как вероятность потери требования в произвольно взятый момент времени.
В дальнейшем оказалось, что задачи типа телефонных возникают в самых разнообразных направлениях: в вычислительной технике, экономике, транспорте, военном деле, организации производства.
Теория массового обслуживания применяется в различных областях, таких как: обслуживание рабочим или группой рабочих нескольких станков; организация обслуживания абонентов на телефонной станции; организация обслуживания пассажиров на железнодорожном, водном и авиационном транспорте; ремонт машин и профилактическое обслуживание в масштабе большого автохозяйства; обработка информации в сложных управляющих и вычислительных системах; математическое моделирование и организация всевозможных систем военного назначения; медицинское обслуживание и др.
Идею метода удобно пояснить на упрощенном примере.
Пример
Предположим, что известно число поступающих ] ia ремонт приборов в среднем в год (для конкретизации примера примем v = 120 шт/год). Известно также, что один сотрудник цеха (не будем пока различать их по квалификации) может отремонтировать один прибор в среднем за полмесяца (т = 0.5 мес. = 1 /24 года). Варьировать в этой задаче можно число требуемых для выполнения ремонтных работ данного вида сотрудников: например, определить, сколько сотрудников должно одновременно находиться в штате лаборатории (цеха) и при необходимости одновременно выполнять ремонтные работы, чтобы не задерживать поступившие на ремонт приборы более чем полмесяца, т. е. ровно столько, сколько требуется в среднем времени на выполнение ремонтных работ.
Попытавшись применить для решения этой задачи аналитические представления, можно рассуждать только так: если нужно отремонтировать 120 приборов, а на ремонт одного прибора одним человеком затрачивается 0,5 мес., то, чтобы не задерживать прибор в лаборатории больше чем планируемые полмесяца, нужно иметь в штате 120 сотрудников, которым нужно поручить ремонт всех поступивших приборов.
Маловероятно, чтобы все 120 приборов, поступающих в среднем на ремонт в год, были бы сданы в ремонт в один день или хотя бы в принятый дискретный интервал — 0,5 мес.
Если применить для решения задачи элементы теории массового обслуживания, использующей статистические представления, то можно получить другое решение.
Предположим, что поступление приборов в ремонт подчиняется закону Пуассона (рис. 3.5):
где /. — математическое ожидание, или среднее значение случайной величины: этому же значению в законе Пуассона равна и дисперсия случайной величины, т. е. X = тх=а, V плотность потока, т. е. среднее число поступающих на ремонт приборов в год, т — среднее время обслуживания, т. е. в данном случае среднее время ремонта одного прибора одним сотрудником, е = 2,7.
Тогда X = 120 х 1/124 = 5, т. е. если поток запросов подчиняется закону Пуассона, то одновременно па ремонт могут поступать 1,2, но не более пяти приборов (математическое ожидание числа поступающих приборов равно 5).
Используя график плотности вероятностей распределения Пуассона при X = 5. приведенный на рис. 3.5 (вместо того, чтобы проводить подсчеты по формуле (3.10)), можно определить, с какой вероятностью цех будет справляться с задачей не задерживать приборы более 0,5 мес., если в цехе будет всего пять сотрудников, т. е. столько, сколько ожидается запросов в течение каждых полумесяцев:
Таким образом, если в цехе будет пять сотрудников, занимающихся ремонтом приборов данного вида, то он будет справляться с задачей с вероятностью 0,6, т. е. будет возвращать отремонтированные приборы через обещанные полмесяца немногим более чем с 50%-й гарантией.
Если желательно увеличить вероятность выполнения ремонтных работ в отведенные сроки, то следует увеличить число сотрудников. Например, при увеличении их числа до 9 цех будет справляться с задачей с вероятностью.
Р =Р + Рч + … + Рэ = 0>03 + 0,08 + 0,14 + 0,175 + 0,175 + 0,15 + 0.1 + + 0,07 + 0,03 = 0,95.
Очевидно, что для того чтобы вероятность выполнения поставленной цели стала равной единице, т. е. для получения абсолютно достоверного результата, потребовалось бы увеличить число сотрудников до 120 (как и рекомендовал нам аналитический подход).
При практическом применении рассматриваемого метода необходимо доказывать правомерность применения выбранного статистического распределения путем предварительного обследования потока приборов, т. е. учета предшествующего опыта. Конечно, это требует определенной подготовительной работы. Но в условиях автоматизированного хранения и поиска информации такая работа становится реально выполнимой. А для проведения расчетов при применении теории массового обслуживания в математическом обеспечении есть соответствующий пакет прикладных программ.
Предмет ТМО — системы массового обслуживания (СМО) и сети массового обслуживания. Под СМО понимают динамическую систему, предназначенную для эффективного обслуживания случайного потока заявок при ограниченных ресурсах системы. Обобщенная структура СМО приведена на рис. 3.6.
Поступающие на вход СМО однородные заявки в зависимости от порождающей причины делятся на типы, интенсивность потока заявок типа / (г= 1, М) обозначена Х-г Совокупность заявок всех типов — входящий поток СМО.
Обслуживание заявок выполняется т каналами. Различают универсальные и специализированные каналы обслуживания. Для универсального канала типа) считаются известными функции распределения т^-,(т) длительности обслуживания заявок произвольного типа. Для специализированных каналов функции распределения длительности обслуживания каналов заявок некоторых типов является неопределенным назначение этих заявок па данный канал.
В качестве процесса обслуживания могут быть представлены различные по своей физической природе процессы функционирования экономических, производственных, технических и других систем. Например, потоки поставок продукции некоторому предприятию, потоки деталей и комплектующих изделий па сборочном конвейере цеха, заявки на обработку информации ЭВМ от удаленных терминалов и т. д. При этом характерным для работы таких объектов является случайное поведение заявок (требований) па обслуживание и завершение обслуживания в случайные моменты времени.
Модель системы со структурным принципом управления представляет собой совокупность моделей элементов и их функциональные взаимосвязи. Модель элемента (агрегата, обслуживающего прибора) — это в первую очередь набор правил (алгоритмов) поведения устройства по отношению к выходным воздействиям (заявкам) и правил изменений состояний элемента. Элемент отображает функциональное устройство на том или ином уровне детализации. К правилам поведения устройства относятся правила выборки заявок из очереди; реакция устройства на поступление заявки, когда устройство занято или к нему имеется очередь заявок; реакция устройства на возникновение отказа в процессе обслуживания заявки и некоторые другие [11, "https://referat.bookap.info"].
В любом элементарном акте обслуживания можно выделить две основные составляющие: ожидание обслуживания заявкой и собственно обслуживание заявки. На каждый элемент прибора обслуживания поступают потоки событий.
Потоком событий (ПС) называется последовательность событий, происходящих одно за другим в какие-то случайные моменты времени. Различают потоки однородных и неоднородных событий. Однородный ПС (ОПС) характеризуется только моментами поступления этих событий (вызывающими моментами) и задается последовательностью =
Для оценки адекватности и качества обслуживания в зависимости от вида и назначения системы могут применяться те или иные показатели. Для систем, представленных в виде моделей СМО с потерями, одной из важнейших характеристик является вероятность потери требования. Для систем без потерь (с неограниченным ожиданием) весьма важными показателями качества обслуживания являются: среднее число требований в очереди, среднее число требований в системе, среднее время ожидания требований в системе, среднее время пребывания требования в системе, коэффициент загрузки обслуживающей системы и др. Основной задачей анализа системы массового обслуживания является отыскание функциональных зависимостей выбранных показателей качества обслуживания от характеристик потока, параметров, характеризующих обслуживающую систему, от правила формирования очереди и дисциплины обслуживания и др. Методы анализа систем массового обслуживания представлены двумя классами: 1) аналитические; 2) имитационные. Аналитические методы исследования СМО связаны с разработкой теории большого числа классов случайных процессов: марковских, полумарковских, регенерирующих, процессов восстановления, линейчатых марковских процессов и др. Эти классы процессов служат моделями процессов обслуживания в системах СМО с различного рода структурными, алгоритмическими и временными особенностями. Самым распространенным в практических приложениях является класс марковских случайных процессов (процессов без последействия), в которых описываются СМО с простейшими потоками требований на входе и экспоненциальным законом обслуживания в каналах. Различные аспекты теории СМО освещены во многих книгах, как строго математических, так и прикладного характера. Из отечественной литературы, но теории СМО следует отметить монографию Б. В. Гнеденко и И. Н. Коваленко , учебное пособие Г. И. Ивченко , В. А. Каштанова и И. И. Коваленко . Из мировой литературы обобщающего характера по теории СМО следует отметить работы Л. Клейнрока и А. Кофмана и Р. Крюона. Несмотря на все разнообразия аналитических подходов, возможности их строгого применения ограничены для разрешения многих задач организации производства, автоматизации управления, математической экономики и системного анализа. Поэтому существенную роль в задачах анализа играют имитационные методы. Имитационной моделью (ИМ) системы массового обслуживания называются машинные программы или алгоритмы, позволяющие имитировать на ЭВМ поведение системы и ее отдельных компонентов и связей между ними в течение заданного времени моделирования. Метод ИМ заключается в создании логико-аналитической (математической модели системы и внешних воздействий), имитации функционирования системы, т. е. в определении временных изменений состояния системы под влиянием внешних воздействий и в изучении выборок значений выходных параметров, по которым определяются их основные вероятностные характеристики. Данное определение справедливо для стохастических систем. При исследовании детерминированных систем отпадает необходимость изучения выборок значений выходных параметров. Имитационное моделирование (ИМ) — это метод исследования, который основан на том, что анализируемая динамическая система заменяется имитатором и с ним производятся эксперименты для получения сведений об изучаемой системе. Роль имитатора зачастую выполняет программа ЭВМ. Имитационное моделирование СМО обычно проходит следующие основные этапы: формулировку проблемы и цели имитации; построение математической модели; выбор способа имитации; алгоритмизацию математических моделей в рамках выбранного способа имитации; программирование модели; отладку, тестирование, проверку адекватности ИМ; планирование экспериментов; проведение экспериментов и обработку результатов. Для реализации имитационного моделирования существуют различные алгоритмы: по принципу особых состояний (в приведенном примере), по принципу постоянного приращения модельного времени (принцип Д?) и др. Программирование моделей может проводиться как с использованием универсальных языков программирования (УЯП), так и с использованием языков имитационного моделирования (ЯИМ) и языков общего назначения (см. классификацию ЯИМ и ЯОН в приложении 2). При разработке ИМ на практике отдается предпочтение специализированным ЯИМ в силу ряда их преимуществ: простота изучения, удобство программирования, концептуальная выразительность, надежность компилятора, автоматизация сбора, обработки и представления результатов моделирования; возможность подключения модулей, написанных на универсальных языках программирования. Хотя следует также отметить, что ЯИМ не всегда обеспечивают необходимую гибкость и быстродействие ИМ. Многообразие ЯИМ (сейчас их более 500) вызвано применением ИМ в различных предметных областях. Принимая во внимание дискретный характер моделей СМО, наиболее распространенные ЯИМ в практических приложенияхSIMSCRIPT, SIMULA, GPSS (GPSSV, GPSS/H). Общетеоретические вопросы построения имитационных моделей СМО представлены в обширной монографической и учебной литературе. Значительный вклад в применение метода имитационного моделирования к решению задач массового обслуживания внесли Р. Шеннон, H. П. Бусленко, А. Я. Хинчин . Основной принципиальной особенностью статистических представлений по сравнению с аналитическими методами является то, что при их применении на основе выборочного исследования получают статистические закономерности и распространяют их на поведение системы в целом с какой-то вероятностью. Последнее весьма существенно учитывать. Возможность распространения результатов, полученных на основе исследования выборки, на поведение системы в целом зависит от репрезентативности выборки. При определении репрезентативной выборки необходимо учитывать ее качественные и количественные характеристики. При определении выборки и проведении статистического исследования применяют свойства эргодичности, т. е. взаимозаменяемости объема выборки в текущий период (в этом случае нужно учитывать закон больших чисел или теорему Бернулли) и объема выборки, взятой за достаточно длительный период времени. На базе статистических представлений возникли и развиваются ряд прикладных направлений: статистическая радиотехника, статистическая теория распознавания образов, экономическая статистика, теория массового обслуживания; а также развившиеся из направлений, возникших на базе аналитических представлений, — стохастическое программирование, новые разделы теории игр и т. п. Расширение возможностей отображения сложных систем и процессов по сравнению с аналитическими методами можно объяснить тем, что при применении статистических представлений процесс постановки задачи как бы частично заменяется статистическими исследованиями, позволяющими, не выявляя все детерминированные связи между изучаемыми объектами (событиями) или учитываемыми компонентами сложной системы, на основе выборочного исследования получать статистические закономерности и распространять их на поведение системы в целом с какой-то вероятностью. В то же время не всегда может быть определена репрезентативная выборка, доказана правомерность применения полученных на ее основе статистических закономерностей. Если не удается доказать репрезентативность выборки или для этого требуется недопустимо большое время, то применение статистических методов может привести к неверным результатам. В таких случаях целесообразно обратиться к методам, объединяемым под общим названием — методы дискретной математики, которые помогают разрабатывать языки моделирования, модели и методики постепенной формализации процесса принятия решения. Однако не всегда можно получить статистические закономерности, не всегда может быть определена репрезентативная выборка, доказана правомерность применения статистических закономерностей. Если же не удается доказать репрезентативность выборки или для этого требуется недопустимо большое время, то применение статистических методов может привести к неверным результатам. Судьбу требований, которые при поступлении в систему обслуживания застают все приборы занятыми, определяют с помощью задания типа системы обслуживания. Один из типов систем является система с ожиданием. Введение в теорию массового обслуживания с ожиданием_________________ 1. Постановка задачи.____________________________________________________ 2. Составление уравнений._______________________________________________ 4 3. Определение стационарного решения.__________________________________ 5 4. Некоторые подготовительные результаты.______________________________ 6 5. определение функции распределения длительности ожидания.___________ 7 Нужна помощь в написании реферата? Мы - биржа профессиональных авторов (преподавателей и доцентов вузов). Наша система гарантирует сдачу работы к сроку без плагиата. Правки вносим бесплатно. 6. Средняя длительность ожидания.______________________________________ 8 Заключение. Приложение теории к движению воздушного транспорта______ 10 Список используемой литературы_______________________________________ 13 Судьбу требований, которые при поступлении в систему обслуживания застают все приборы занятыми, определяют с помощью задания типа системы обслуживания. Один из типов систем является система с ожиданием. Системы с ожиданием — возможно ожидание для любого числа требований, которые не могут быть обслужены сразу. Они составляют очередь, и с помощью некоторой дисциплины обслуживания определяются, в каком порядке ожидающие требования выбираются из очереди для обслуживания.[1] Изобразим данную систему графически (рис. 1). Здесь кружочек 1 — обслуживающий прибор, треугольник — накопитель, кружочек О — источник требований. Требование, возникающее в источнике в момент окончания фиктивной операции “ожидания требований”, поступает в накопитель. Если в этот момент прибор 1 свободен, то требование немедленно поступает на обслуживание. Если же прибор занят, то требование остается в накопителе, становясь в конец имеющейся очереди. Как только прибор 1 заканчивает производимую им операцию, немедленно принимается к обслуживанию требование из очереди т.е. из накопителя, и начинается новая операция обслуживания. Если требований в накопителе нет, то новая операция не начинается, стрелкой а показан поток требований от источника к накопителю, стрелкой b — поток обслуженных требований.[2] Нужна помощь в написании реферата? Мы - биржа профессиональных авторов (преподавателей и доцентов вузов). Наша система гарантирует сдачу работы к сроку без плагиата. Правки вносим бесплатно. Система массового обслуживания с ожиданием 1. Постановка задачи. Мы изучим здесь классическую задачу теории массового обслуживания в тех условиях, в каких она была рассмотрена и решена Эрлангом. На m одинаковых приборов поступает простейший поток требований интенсивности l. Если в момент поступления требования имеется хотя бы один свободный прибор, оно немедленно начинает обслуживаться. Если же все приборы заняты, то вновь поступившее требование становится в очередь за всеми теми требованиями, которые поступили раньше и еще не начали обслуживаться. Освободившийся прибор немедленно приступает к обслуживания очередного требования, если только имеется очередь. Каждое требование обслуживается только одним прибором, и каждый прибор обслуживает в каждый момент не более одного требования. Длительность обслуживания представляет собой случайную величину с одним и тем же распределением вероятностей F(x). Предполагается, что при где m > 0 — постоянная. Эрланг решил эту задачу, имея в виду постановки вопросов возникших к тому времени в телефонном деле. Выбор распределения (1) для описания деятельности обслуживания произведен не случайно. Дело в том, что в этом предположении задача допускает простое решение, которое с удовлетворительной для практики точности описывает ход интересующего нас процесса. Мы увидим, что распределение (1) играет в теории массового обслуживания исключительную роль, которая в значительной мере вызвана следующим свойством: Нужна помощь в написании реферата? Мы - биржа профессиональных авторов (преподавателей и доцентов вузов). Наша система гарантирует сдачу работы к сроку без плагиата. Правки вносим бесплатно. При показательном распределении длительности обслуживания распределение деятельности оставшейся части работы по обслуживанию не зависит от того, сколько оно уже продолжалось. Действительно, пусть fa(t) означает вероятность того, что обслуживание, которое уже продолжается время a, продлится еще не менее чем t. В предположении, что длительность обслуживания распределена показательно, f0(t)=e-mt. Далее ясно, что f0(a)= e-ma и f0(a+t)= e-m(a+1). А так как всегда f0(a+t)= f0(a)fa(t), то e-m(a+t) = e-ma f0(t) и, следовательно, Несомненно, что в реальной обстановке показательное время обслуживания является, как правило, лишь грубым приближением к действительности. Так, нередко время обслуживания не может быть меньше чем, чем некоторая определенная величина. Предположение же (1) приводит к тому, что значительная доля требований нуждается лишь в кратковременной операции близкой к 0. Позднее перед нами возникает задача освобождения от излишнего ограничения, накладываемого предположением (1). Необходимость этого была ясна уже самому Эрлангу, и он в ряде работ делал усилия найти иные удачные распределения для длительности обслуживания. В частности, им было предложено так называемое распределение Эрланга, плотность распределения которого дается формулой где, m > 0, а k — целое положительное число. Распределение Эрланга представляет собой распределение суммы k независимых слагаемых, каждое из которых имеет распределение (1). Обозначим для случая распределения (1) через h время обслуживания требования. Тогда средняя длительность обслуживания равна Нужна помощь в написании реферата? Мы - биржа профессиональных авторов (преподавателей и доцентов вузов). Наша система гарантирует сдачу работы к сроку без плагиата. Правки вносим бесплатно. Это равенство дает нам способ оценки параметра m по опытным данным. Как легко вычислить, дисперсия длительности обслуживания равна 2. Составление уравнений. система с ожиданием в случае простейшего потока и показательного времени обслуживания представляют собой случайный процесс Маркова. Найдём те уравнения, которым удовлетворяют вероятности Pk(t). Одно из уравнений очевидно, а именно для каждого t Найдем сначала вероятность того, что в момент t+h все приборы свободны. Это может произойти следующими способами: в момент t все приборы были свободны и за время h новых требований не поступало; Нужна помощь в написании реферата? Мы - биржа профессиональных авторов (преподавателей и доцентов вузов). Наша система гарантирует сдачу работы к сроку без плагиата. Правки вносим бесплатно. в момент t один прибор был занят обслуживанием требования, все остальные приборы свободны; за время h обслуживание требования было завершено и новых требований не поступило. Остальные возможности, как-то: были заняты два или три прибора и за время h работа на них была закончена — имеют вероятность o(h), как легко в этом убедится. Вероятность первого из указанных событий равна вероятность второго события Отсюда очевидным образом приходим к уравнению Перейдем теперь к составлению уравнений для Pk(t) при k ³ 1. Рассмотрим отдельно два различных случая: 1 £ k t> вероятность того, что длительность ожидания превзойдет t, и через Pk t> вероятность неравенства, указанного в скобке, при условии, что в момент поступления требования, в очереди уже находится k требований. В силу формулы полной вероятности имеем равенство Прежде чем преобразовать эту формулу к виду, удобному для пользования, приготовим некоторые необходимые нам для дальнейшего сведения. Прежде всего для случаев m=1 и m=2 найдем простые формулы для P0. несложные преобразования приводят к таким равенствам: при m=1 Нужна помощь в написании реферата? Мы - биржа профессиональных авторов (преподавателей и доцентов вузов). Наша система гарантирует сдачу работы к сроку без плагиата. Правки вносим бесплатно. Вычислим теперь вероятность того, что все приборы будут заняты в какой-то наудачу взятый момент. Очевидно, что эта вероятность равна Эта формула для m=1 принимает особенно простой вид: Напомним, что в формуле (19) r может принимать любое значение от 0 до m (включительно). Так что в формуле (20) r 0 Само собой разумеется, что при tОсобенности и возможности применения статистических представлений
Читайте также: