Элементы прогнозирования и интерполяции реферат

Обновлено: 07.07.2024

Анализ динамики социально-экономических явлений, выявление и характеристика основной тенденции развития дают основание для прогнозирования - определения будущих размеров уровня экономического явления.

Процесс прогнозирования предполагает, что закономерность развития, действующая в прошлом (внутри ряда динамики), сохранится и в прогнозируемом будущем, то есть прогноз основан на экстраполяции. Экстраполяция, проводимая в будущее, называется перспективой, и в прошлое - ретроспективой.Прогнозирование по среднему абсолютному приросту может быть выполнено в том случае, если есть уверенность считать общую тенденцию линейной, то есть метод основан на предположении о равномерном изменении уровня (под равномерностью понимается стабильность абсолютных приростов).Процедура разработки прогноза с использованием кривых роста включает в себя следующие этапы: 1) выбор одной или нескольких кривых, форма которых соответствует характеру изменения ряда динамики; 2) оценка параметров выбранных кривых;-3) проверка адекватности выбранных кривых прогнозируемому процессу и окончательный выбор кривой роста; 4) расчет точечного и интервального прогнозов.При анализе рядов динамики иногда приходится прибегать к определению некоторых неизвестных уровней внутри данного ряда динамики, то есть к интерполяции.

Как и экстраполяция, интерполяция может производиться на основе среднего абсолютного прироста, среднего темпа роста, а также с помощью аналитического выравнивания. При интерполяции предполагается, что ни выявленная тенденция, ни ее характер не претерпели существенных изменений в том промежутке времени, уровень (уровни) которого нам неизвестны.

116.

Понятие об индексах. Значение индексов в анализе социально-экономических явлений.

Целью изучения данной темы является определение понятия индексов и их значения в анализе социально-экономических явлений, понимание признаков, лежащих в основе классификации индексов. Изучение принципов построения индексов и характеристика анализа динамики среднего уровня с помощью индексов переменного состава, постоянного состава и структурных сдвигов. Овладение методикой проведения факторного анализа статистических показателей с помощью индексов.

Задачи:- рассмотрение характеристики индексов и признаков, лежащих в основе их классификации;- изучение индивидуальных и общих индексы, способов их расчета. Средних индексов;- освоение принципов построения индексов количественных и качественных показателей;- изучение взаимосвязи индексов постоянного, переменного состава и структурных сдвигов;- изучение взаимосвязи цепных и базисных индивидуальных индексов;- рассмотрение индексов цен Ласпейреса, Пааше и Фишера;

- изучение применения индексного анализа в исследовании социально-экономических явлений.

118.

119. Общий порядок построения индексов. Отчетные и базисные данные. Сопоставление с базой как основа индексного анализа, формы (относительная и разностная) этого сопоставления. (нету общего порядка построения индекса)!!

Часто в ходе экономического анализа изменение индексируемых величин изучают не за два, а за ряд последовательных периодов. Следовательно, возникает необходимость построения индексов за ряд этих последовательных периодов, которые образуют индексные системы. Такие системы характеризуют изменения, происходящие в изучаемом явлении в течение исследуемого периода времени.В зависимости от базы сравнения индексы бывают базисными и цепными.В системе базисных индексов сравнения уровней индексируемого показателя в каждом индексе производится с уровнем базисного периода, а в системе цепных индексов уровни индексируемого показателя сопоставляются с уровнем предыдущего периода.Цепные и базисные индексы могут быть как индивидуальные, так и общие.Ряды индивидуальных индексов просты по построению. Так. например, обозначив четыре последовательных периода подстрочными значениями 0, 1,2, 3, исчисляем базисные и цепные индивидуальные индексы цен:Между цепными и базисными индивидуальными индексами существует взаимосвязь, позволяющая переходить от одних индексов к другим:произведение последовательных цепных индивидуальных индексов дает базисный индекс последнего периода.отношение базисного индекса отчетного периода к базисному индексу предшествующего периода дает цепной индекс отчетного периода.Это правило позволяет применять так называемый цепной метод, т.е. находить неизвестный ряд базисных индексов по известным цепным и наоборот.

Рассмотрим возможность применения цепного метода исчисления для агрегатных индексов.Как известно, в каждом отдельном индексе веса в его числителе и знаменателе обязательно фиксируются на одном и том же уровне.

Если же строится ряд индексов, то веса в нем могут быть либо постоянными для всех индексов ряда, либо переменными.

Рассмотрим построение базисных и цепных индексов на примере агрегатных индексов цен и физического объема продукции.

Элементы прогнозирования и интерполяции ( реферат , курсовая , диплом , контрольная )

Анализ динамики социально-экономических явлений, выявление и характеристика основной тенденции развития дают основание для прогнозирования — определения будущих размеров уровня экономического явления.

Процесс прогнозирования предполагает, что закономерность развития, действующая в прошлом (внутри ряда динамики), сохранится и в прогнозируемом будущем, т. е. прогноз основан на экстраполяции. Экстраполяция, проводимая в будущее, называется перспективой, и в прошлое — ретроспективой. Обычно, говоря об экстраполяции рядов динамики, подразумевают чаще всего перспективную экстраполяцию. Первоначальные прогнозы, как правило, сводятся к экстраполяции тенденции. При этом могут использоваться разные методы в зависимости от исходной информации. Можно выделить следующие элементарные методы экстраполяции: на основе среднего абсолютного прироста, среднего темпа роста и на основе применения метода наименьших квадратов и представления развития явлений во времени в виде уравнения тренда, т. е. математической функции уровней ряда (у) от фактора времени (t).

Прогнозирование по среднему абсолютному приросту

может быть выполнено в том случае, если общая тенденция считается линейной, т. е. метод основан на предположении о равномерном изменении уровня (под равномерностью понимается стабильность абсолютных приростов).

В этом случае, чтобы получить прогноз на / шагов вперед (г — период упреждения), достаточно воспользоваться следующей формулой:

где у_п+1 — прогнозная оценка значения (п + 1)-го уровня ряда; у_п — фактическое значение в последней п-й точке ряда (конечный уровень ряда); Д — значение среднего абсолютного прироста, рассчитанное для ряда динамики y_v y_v …, у_п.

Прогнозирование по среднему темпу роста можно осуществлять в случае, когда есть основание считать, что общая тенденция ряда характеризуется показательной (экспоненциальной) кривой. Для нахождения прогнозного значения на i шагов вперед необходимо использовать следующую формулу:

К недостаткам рассмотренных методов следует отнести то, что они учитывают лишь конечный и начальный уровень ряда, исключая влияние промежуточных уровней. Тем не менее методы среднего абсолютного прироста и среднего темпа роста имеют весьма широкую область применения, что объясняется простотой их вычисления. Они могут быть использованы как приближенные, простейшие способы прогнозирования, предшествующие более глубокому количественно-качественному анализу.

Наиболее распространенным методом прогнозирования является аналитическое выражение тренда. При этом для выхода за границы исследуемого периода достаточно продолжить значения независимой переменной времени (7).

При таком подходе к прогнозированию предполагается, что размер уровня, характеризирующего явление, формируется под воздействием множества факторов, причем не представляется возможным выделить отдельно их влияние. В связи с этим ход развития связывается не с какими-либо конкретными факторами, а с течением времени. На практике для описания тенденции развития явления широко используются модели кривых роста, представляющие собой различные функции времени у

Процедура разработки прогноза с использованием кривых роста включает в себя следующие этапы:

1) выбор одной или нескольких кривых, форма которых соответствует характеру изменения ряда динамики;
2) оценка параметров выбранных кривых;
3) проверка адекватности выбранных кривых прогнозируемому процессу и окончательный выбор кривой роста;
4) расчет точечного и интервального прогнозов.

Остановимся на величине доверительного интервала прогноза, который определяют по формуле ["https://referat.bookap.info", 9].

где у_[Л — расчетное значение уровня; t_a — доверительная величина, определяемая на основе 7-критерия Стыодента; а — средняя квадратическая ошибка тренда.

Вместо 7-критерия удобно использовать коэффициент.

Например, необходимо провести прогноз на 2011 — 2012 гг. по данным о количестве проданных квартир в регионе N (см. табл. 8.5).

Для экстраполяции используем уравнение тренда, полученное по прямой y_t =39,7 + 0,257. Подставив соответствующее значение 7 в наше уравнение, получим точечные прогнозы на 2011—2012 гг. (графа 2 табл. 8.9). Для построения интервальных прогнозов рассчитаем среднеквадратическую ошибку тренда (ст_г = 0,56) и используем значения Ю.

Результаты прогноза представлены в табл. 8.9.

1 Четыркин Е. М. Статистические методы прогнозирования. М.: Статистика, 1975. С. 183.

Прогнозные значения численности проданных квартир в регионе N на 2011—2012 гг.

Огромное количество численных методов ставит актуальной задачей не столько создание новых, сколько исследование и классификацию старых, выявление лучших.

Данная работа будет полезна студентам, аспирантам, преподавателям университетов и технических институтов, научным работникам и инженерам-исследователям, а так же всем, кто имеет дело с численными расчетами.

Цель работы: разработать программы вычисления значений функции f( x) для значений х, не содержащихся в таблице.

· Изучить и проанализировать научную, справочную литературу

· Подобрать наиболее простые и лучшие методы решения уравнений первой и второй степени

· Составить алгоритм решения уравнений в виде блок-схемы

· Разработать программы в системе программирования Borland Turbo Pascal 7.0

Гипотеза: создание программ для нахождения неизвестных значений функции в системе программирования позволит значительно сократить затраты времени по сравнению с ручными расчетами.

Если задана функция y ( x), то это означает, что любому допустимому значению х сопоставлено значение у . Но нередко оказывается, что нахождение этого значения очень трудоемко. Например, у(х) может быть определено как решение сложной задачи, в которой х играет роль параметра, или у(х) измеряется в дорогостоящем эксперименте. При этом можно вычислить небольшую таблицу значений функции, но прямое нахождение функции при большом числе значений аргумента будет практически невозможно.

Функция у(х) может участвовать в каких-либо физико-технических или чисто математических расчетах, где её приходится многократно вычислять. В этом случае выгодно заменить функцию у(х) приближенной формулой, т. е. подобрать некоторую функцию φ (х), которая близка в некотором смысле к у(х) и просто вычисляется. Затем при всех значениях аргумента полагают у(х) φ(х) . Близость получают введением в аппроксимирующую функцию свободных параметров а=1 , а₂ , …, а _n > и соответствующим их выбором. В этом случае используются такие понятия как, аппроксимация и интерполяция .

ИНТЕРПОЛЯЦИЯ (от лат. interpolatio — изменение, переделка ) - отыскание промежуточных значений величины по некоторым известным ее значениям. Например, отыскание значений функции f( x ) в точках x, лежащих между точками x₀ по известным значениям yi = f( xi) (где i = 0,1. n). Если x лежит вне интервала ( x₀ , xn ), аналогичная процедура называется экстраполяцией .

Основная цель интерполяции – получить быстрый (экономичный) алгоритм вычисления значений f( x) для значений х, не содержащихся в таблице.

АППРОКСИМАЦИЯ (от лат. approximo — приближаюсь ) - замена одних математических объектов (наприме р, чисел или функций) другими, более простыми и в том или ином смысле близкими к исходным (например , кривых линий близкими к ним ломаными).

Огромное количество численных методов ставит актуальной задачей не столько создание новых, сколько исследование и классификацию старых, выявление лучших. Именно поэтому в данной работе будут рассмотрены два вида интерполяции – линейная и квадратичная.

Линейная интерполяция

Простейшим и часто используемым видом локальной интерполяции является линейная ( или кусочно-линейная) интерполяция. Она состоит в том, что заданные точки ( х _i , у _i ) ( i=0, 1, …, n ) соединяются прямолинейными отрезками, и функция f(х) приближается ломаной с вершинами в данных точках.

Рис. пример интерполяции

Уравнения каждого отрезка ломаной в каждом случае разные. Поскольку имеется nинтервалов ( х _i-1 , х _i ), то для каждого из них в качестве уравнения интерполяционного многочлена используется уравнение прямой, проходящей через две точки. В частности, для i-го интервала можно написать уравнение, проходящей через точки ( х _i-1 , у _i-1 ) и (х _i , y_i ), в виде

Следовательно, при использовании линейной интерполяции сначала нужно определить интервал, в который попадает значение аргумента х , а затем подставить его в формулу (1) и найти приближенное значение функции в этой точке.

* Данная работа не является научным трудом, не является выпускной квалификационной работой и представляет собой результат обработки, структурирования и форматирования собранной информации, предназначенной для использования в качестве источника материала при самостоятельной подготовки учебных работ.

Если задана функция y(x), то это означает, что любому допустимому значению х сопоставлено значение у. Но нередко оказывается, что нахождение этого значения очень трудоёмко. Например, у(х) может быть определено как решение сложной задачи, в которой х играет роль параметра или у(х) измеряется в дорогостоящем эксперименте. При этом можно вычислить небольшую таблицу значений функции, но прямое нахождение функции при большом числе значений аргумента будет практически невозможно. Функция у(х) может участвовать в каких-либо физико-технических или чисто математических расчётах, где её приходится многократно вычислять. В этом случае выгодно заменить функцию у(х) приближённой формулой, то есть подобрать некоторую функцию (х), которая близка в некотором смысле к у(х) и просто вычисляется. Затем при всех значениях аргумента полагают у(х)(х).

Большая часть классического численного анализа основывается на приближении многочленами, так как с ними легко работать. Однако для многих целей используются и другие классы функций.

Всё изложенное можно сформулировать в виде четырёх вопросов:

Какие узлы мы будем использовать?

Какой класс приближающих функций мы будем использовать?

Какой критерий согласия мы применим?

Какую точность мы хотим?

Существуют 3 класса или группы функций, широко применяемых в численном анализе. Первая группа включает в себя линейные комбинации функций 1, х, х 2 , …, х n , что совпадает с классом всех многочленов степени n (или меньше). Второй класс образуют функции cos a_ix, sin a_ix. Этот класс имеет отношение к рядам Фурье и интегралу Фурье. Третья группа образуется функциями e - az . Эти функции встречаются в реальных ситуациях. К ним, например, приводят задачи накопления и распада.

Более конкретно ответить на поставленные 4 вопроса можно лишь исходя из условий и цели каждой отдельной задачи.

Цель задачи о приближении (интерполяции): данную функцию у(х) требуется приблизительно заменить некоторой функцией (х), свойства которой нам известны так, чтобы отклонение в заданной области было наименьшим. интерполяционные формулы применяются, прежде всего, при замене графически заданной функции аналитической, а также для интерполяции в таблицах.

Методы интерполяции Лагранжа и Ньютона

Один из подходов к задаче интерполяции — метод Лагранжа. Основная идея этого метода состоит в том, чтобы прежде всего найти многочлен, который принимает значение 1 в одной узловой точке и 0 во всех других. Легко видеть, сто функция

является требуемым многочленом степени n; он равен 1, если x=x_j и 0, когда x=x_i, ij. Многочлен L_j(x)y_j принимает значения y_i в i-й узловой точке и равен 0 во всех других узлах. Из этого следует, что — разделённая разность 1-го порядка;

Для нахождения минимума дифференцируем по каждой из неизвестных a_k. В результате получим:

Применяя полученные формулы можно найти любой полином Чебышева. Например, Т₃(x)=2xT₂(x)-T₁(x). Подставляя значения T₂(х) и Т₁(х) имеем Т₃(х)=2х(2х 2 -1)-х=4х 3 -3х. Графически первые 10 полиномов Чебышева изображены ниже. Последующие полиномы по-прежнему колеблются между +1 и -1, причём период колебания уменьшаются с ростом порядка полинома.

Преобразования =arccos(x) можно рассматривать как проекцию пересечения полукруга с множеством прямых, имеющих равные углы между собой (рис.1). Таким образом, множество точек x_j, на котором система чебышевских многочленов T_n(x) ортогональна, таково:

точная верхняя грань абсолютных значений на интервале -1x1 наименьшая. Так как верхняя грань T_n(x)=1, указанная верхняя грань равна и вычисляем f(x_i)

Теоретической основой распространения тенденций на будущее является свойство социально - экономических явлений, называемое - инерционностью.

Экстраполяцию следует рассматривать как начальную стадию построения окончательных прогнозов.

Чем шире раздвигаются временные рамки прогнозирования, тем очевиднее становится недостаточность простого экстраполяционного метода (изменения тенденций, неопределенность точек поворота кривых, появления новых факторов и т.

д. ). Так как, анализируемые социально - экономические ряды динамики нередко относительно короткие, то горизонт экстраполяции не может быть бесконечным. Поэтому, чем короче срок экстраполяции ( период упреждения), тем более надежные и точные результаты ( при прочих равных условиях) дает прогноз.

Экстраполяцию в общем виде можно представить зависимостью

где уi+Т - прогнозируемый уровень;

yi - текущий уровень прогнозируемого ряда;

Т - период упреждения;

aj - параметр уравнения тренда.

В зависимости от того, какие принципы и исходные данные положены в основу прогноза, выделяются следующие простейшие методы экстраполяции:

- среднего абсолютного прироста;

среднего темпа роста;

экстраполяцию на основе выравнивания рядов по какой - либо аналитической формуле.

Прогнозирование по среднему абсолютному приросту применяется в том случае, когда есть уверенность считать абсолютную тенденцию линейной т. е. метод основан на предположении о равномерном изменении уровня ( под равномерностью понимается стабильность абсолютных приростов).

где У+ - экстраполируемый уровень: (i+t) - номер этого уровня (года);

i - номер последнего уровня (года) исследуемого периода, за который рассчитан А;

t - срок прогноза ( период упреждения); А - средний абсолютный прирост. Следует иметь ввиду! Использование среднего абсолютного прироста для прогноза возможно только при выполнении следующего условия

x (у, - уа )2 = 1 .ха

Прогнозирование по среднему темпу роста осуществляется в случае, когда установлено, что общая тенденция ряда характеризуется показатель-ной (экспоненциальной) кривой. Для нахождения тенденции необходимо определить средний коэффициент роста, возведенный в степень, соответствую-щую периоду экстраполяции

л 1 j yi +t = yi + kt

где y1 - последний уровень ряда динамики; t - срок прогноза;

kp - средний коэффициент роста.

Рассмотренные выше способы экстраполяции являются весьма приближенными.

Наиболее распространенным методом прогнозирования является метод аналитического выражения тренда. При этом для выхода за границы исследуемого периода достаточно продолжить значение независимой переменной времени (t).

В целом ошибки экстраполяции можно объяснить следующими причинами.

Выбранная для прогнозирования кривая не является единственной, всегда можно подобрать кривую, которая более точно описывает рассматриваемое явление.

Построение прогноза всегда осуществляется на базе ограниченного объема исходных данных. Корме того каждый исходный уровень обладает еще и случайной компонентой. Поэтому и кривая, по которой осуществляется прогноз, также будет содержать случайную компоненту.

Установленная тенденция характеризует лишь движение среднего уровня ряда динамики, поэтому отдельные наблюдения от него отклоняются. Если такие отклонения наблюдались в прошлом, то они будут наблюдаться и будущем.

Исходя из вышеперечисленного для утверждения о достоверности прогноза необходимо построение доверительных интервалов.

Величина доверительного интервала определяется по формуле

где yt - расчетное значение уровня;

ta - доверительная величина;

®yt - средняя квадратическая ошибка тренда.

При анализе рядов динамики иногда приходится прибегать к определению некоторых неизвестных уровней внутри данного ряда динамики, т. е. к интерполяции.

Как экстраполяция, так и интерполяция может производиться на основе среднего абсолютного прироста, среднего темпа роста и с помощью аналитического выравнивания.

Читайте также: