Экстремумы функций двух переменных реферат
Обновлено: 02.07.2024
Цель: изучить приближённые методы нахождение экстремумов функций двух переменных
Содержание учебного материала:
Функции нескольких переменных.
Частные производные и полный дифференциал 1-го порядка.
Градиент функции. Производная по направлению.
Экстремум функции двух переменных.
Приближённые методы решения задач.
Содержимое работы - 1 файл
Внеаудиторная работа №4.docx
Цель: изучить приближённые методы нахождение экстремумов функций двух переменных
Содержание учебного материала:
- Функции нескольких переменных.
- Частные производные и полный дифференциал 1-го порядка.
- Градиент функции. Производная по направлению.
- Экстремум функции двух переменных.
- Приближённые методы решения задач.
- Метод Хука – Дживса.
- Метод Нелдера – Мида.
- Метод полного перебора (метод сеток).
- Метод покоординатного спуска.
- Примеры решения задач в MathCAD.
- Вопросы и задания.
- Список рекомендуемых источников.
Функции нескольких переменных
Определение. Переменная z называется функцией переменных х и у, если каждой паре значений х и у в некоторой области их изменения поставлено в соответствие одно значение z. Функциональную зависимость z от х и у записывают в виде: z=f(x,у). Это уравнение определяет некоторую поверхность в пространстве R 3 .
Геометрическим образом функции z=x 2 +y 2 является параболоид. Пусть z=a, тогда x 2 +y 2 =a, т.е. линия пересечения плоскости z= a с поверхностью z=x 2 +y 2 есть окружность x 2 + y 2 = a радиуса . Пусть у=0, тогда z=x 2 и, следовательно, при пересечении плоскости Oхz с поверхностью получается парабола. Метод сечений дает возможность лучше представить себе геометрический образ данной функции.
Определение. Число А называется пределом функции z=f(x,у) в точке М0(х0, у0), если для каждого числа ε>0 найдется такое число β>0, что для всех точек М(х,у), для которых выполняется неравенство |ММ0|.
Определение. Функция z=f(x,у) называется непрерывной в точке М0(х0,у0), если имеет место равенствоЧастные производные и полный дифференциал 1-го порядка
Определение. Производная от функции z=f(x,у) по х, найденная в предложении, что у остается постоянным, называется частной производной от z по х и обозначается или f'x (x,у). Аналогично определяется и обозначается частная производная z по у.
Если функция z=f(x,у) имеет в точке (х,у) непрерывные частные производные, то ее полное приращение может быть представлено в виде:
, (1)
где при .
Определение. Выражение является главной частью полного приращения Δz и называется полным дифференциалом функции z=f(x,у) и обозначается dz:
. (2)
Полагая в формуле (2) z равным х, найдем , а при z=y . Поэтому
. (3)
Из (1) следует, что .
Функция f(x,y) называется дифференцируемой в точке (х,у), если она имеет в этой точке полный дифференциал.
Пример. Найти полный дифференциал функции .
Решение. Сначала найдем частные производные
Производная найдена в предположении, что у постоянна, а найдена в предположении, что х постоянна. По формуле (3):
.
Ответ. dz=(10 x–6xy 3 ) dx+(9 x 2 y 2 +6) dy.Градиент функции. Производная по направлению
Определение. z=f(x,у) дифференцируемая функция двух переменных. Тогда вектор называется градиентом функции z=f(x,у).
Он обладает следующими свойствами:Пусть – направляющие косинусы некоторого вектора , т.е. . Тогда – производная функции z=f(x,у) в данном направлении .
Экстремум функции двух переменных
Определение. Функция z=f(x,у) имеет в точке М0(х0,у0) максимум, если в окрестности этой точки выполняется равенство f(x,у)
Достаточный признак экстремума
Пусть z=f(x,у) – функция, для которой существуют производные первого и второго порядка в точке М(х0,у0): . Составим выражение Δ=АС–В 2 .
Если Δ>0, то М(х0, у0) – точка экстремума, а именно: точка максимума при A 0 (или С>0). Если ΔПриближённые методы решения задач
Подавляющее число реальных задач оптимизации, представляющих практический интерес, являются многомерными: в них целевая функция зависит от нескольких аргументов, причем иногда их число может быть весьма большим.
Математическая постановка таких задач аналогична их постановке в одномерном случае: ищется наименьшее (наибольшее) значение целевой функции, заданной на некотором множестве G возможных значений ее аргументов.
Как и в одномерном случае, характер задачи и соответственно возможные методы решения существенно зависят от той информации о целевой функции, которая нам доступна в процессе ее исследования. В одних случаях целевая функция задается аналитической формулой, являясь при этом дифференцируемой функцией. Тогда можно вычислить ее частные производные, получить явное выражение для градиента, определяющего в каждой точке направления возрастания и убывания функции, и использовать эту информацию для решения задачи. В других случаях никакой формулы для целевой функции нет, а имеется лишь возможность определить ее значение в любой точке рассматриваемой области (с помощью расчетов, в результате эксперимента и т.д.). В таких задачах в процессе решения мы фактически можем найти значения целевой функции лишь в конечном числе точек, и по этой информации требуется приближенно установить ее наименьшее значение для всей области.
1. Метод Хука – Дживса
Этот метод был разработан в 1961 году, но до сих пор является весьма эффективным и оригинальным. Поиск состоит из последовательности шагов исследующего поиска вокруг базисной точки, за которой в случае успеха следует поиск по образцу.
Описание этой процедуры представлено ниже:
А. Выбрать начальную базисную точку b1 и шаг длиной hj для каждой переменной xj, j = 1, 2, . n . В приведенной ниже программе для каждой переменной используется шаг h , однако указанная выше модификация тоже может оказаться полезной.
Б. Вычислить f(x) в базисной точке b1 с целью получения сведений о локальном поведении функции f(x) . Эти сведения будут использоваться для нахождения подходящего направления поиска по образцу, с помощью которого можно надеяться достичь большего убывания значения функции. Функция f(x) в базисной точке b1 находится следующим образом:
1. Вычисляется значение функции f (b1) в базисной точке b1 .
2. Каждая переменная по очереди изменяется прибавлением длины шага.
Таким образом, мы вычисляем значение функции f(b1 + h1e1) , где e1 - единичный вектор в направлении оси х1 . Если это приводит к уменьшению значения функции, то b1 заменяется на b1 + h1e1 . В противном случае вычисляется значение функции f(b1 – h1e1) , и если ее значение уменьшилось, то b1 заменяем на b1-h1e1 . Если ни один из проделанных шагов не приводит к уменьшению значения функции, то точка b1 остается неизменной и рассматриваются изменения в направлении оси х2 , т.е. находится значение функции f(b1 + h2e2) и т.д. Когда будут рассмотрены все n переменные, мы будем иметь новую базисную точку b2 .
3. Если b2 = b1 , т.е. уменьшение функции не было достигнуто, то исследование повторяется вокруг той же базисной точки b1 , но с уменьшенной длиной шага. На практике удовлетворительным является уменьшение шага (шагов) в десять раз от начальной длины.
4. Если , то производится поиск по образцу.
В. При поиске по образцу используется информация, полученная в процессе исследования, и минимизация функции завершается поиском в направлении, заданном образцом. Эта процедура производится следующим образом:
1. Разумно двигаться из базисной точки b2 в направлении b2 - b1 , поскольку поиск в этом направлении уже привел к уменьшению значения функции. Поэтому вычислим функцию в точке образца
2. Затем исследование следует продолжать вокруг точки P1 ( Pj ).
3. Если наименьшее значение на шаге В,2 меньше значения в базисной точке b2 (в общем случае bj+1 ), то получают новую базисную точку b3 (bj+2) , после чего следует повторить шаг В,1. В противном случае не производить поиск по образцу из точки b2 (bj+1) а продолжить исследования в точке b2 (bj+1) .
Г. Завершить этот процесс, когда длина шага (длины шагов) будет уменьшена до заданного малого значения.
Ниже приведена блок-схема данного метода.
Метод Нелдера – Мида
Метод Нелдера — Мида (называется также поиском по деформируемому многограннику) является развитием симплексного метода Спендли, Хекста и Химсворта. Множество (n + 1) -й равноудаленной точки в n -мерном пространстве называется регулярным симплексом. Эта конфигурация рассматривается в методе Спендли, Хекста и Химсворта. Следовательно, в двумерном пространстве симплексом является равносторонний треугольник, а в трехмерном пространстве — правильный тетраэдр. Идея метода состоит в сравнении значений функции в (n + 1) вершинах симплекса и перемещении симплекса в направлении оптимальной точки с помощью итерационной процедуры. В симплексном методе, предложенном первоначально, регулярный симплекс использовался на каждом этапе. Нелдер и Мид предложили несколько модификаций этого метода, допускающих, чтобы симплексы были неправильными. В результате получился очень надежный метод прямого поиска, являющийся одним из самых эффективных, если .
При рассмотрении многих вопросов из различных областей знания приходится изучать такие зависимости между переменными величинами, когда числовые значения одной из них полностью определяются значениями нескольких других. Обозначаются, как правило, (x, y) и интерпретируются как точки координатной плоскости Oxy, а область определения функции z = f (x, y) двух переменных изобразится в виде некоторого… Читать ещё >
Экстремум функции двух переменных. Наибольшее и наименьшее значение функции двух переменных ( реферат , курсовая , диплом , контрольная )
Содержание
При рассмотрении многих вопросов из различных областей знания приходится изучать такие зависимости между переменными величинами, когда числовые значения одной из них полностью определяются значениями нескольких других.
Например, изучая физическое состояние какого-либо тела, приходится наблюдать изменение его свойств от точки к точке. Каждая точка тела задается тремя координатами: x, y, z. Поэтому, изучая, скажем, распределение плотности, заключаем, что плотность тела зависит от трех переменных: x, y, z. Если физическое состояние тела к тому же еще и меняется с течением времени t, то та же плотность будет зависеть уже от значений четырех переменных: x, y, z, t.
Другой пример: изучаются издержки производства на изготовление единицы некоторого вида продукции. Пусть: x — затраты по материалам, y — расходы на выплату заработной платы работникам, z — амортизационные отчисления. Очевидно, что издержки производства зависят от значений названных параметров x, y, z.
Множество D, указанное в определении, называется областью определения или областью существования этой функции.
Если рассматривается функция двух переменных, то совокупности чисел.
обозначаются, как правило, (x, y) и интерпретируются как точки координатной плоскости Oxy, а область определения функции z = f (x, y) двух переменных изобразится в виде некоторого множества точек на плоскости Oxy [6, "https://referat.bookap.info"].
Экстремум функции двух переменных.
Определение 1. Пусть задана функция двух переменных z=z (x, y), (x, y) D. Точка M0(x0;y0) — внутренняя точка области D.
Если в D присутствует такая окрестность UM0 точки M0, что для всех точек.
то точка M0 называется точкой локального максимума. А само значение z (M0) — локальным максимумом.
А если же для всех точек.
то точка M0 называется точкой локального минимума функции z (x, y). А само значение z (M0) — локальным минимумом.
Локальный максимум и локальный минимум называются локальными экстремумами функции z (x, y). На рис. 1. поясняется геометрический смысл локального максимума: M0 — точка максимума, так как на поверхности z =z (x, y) соответствующая ей точка C0 находится выше любой соседней точки C (.
Функция "чтения" служит для ознакомления с работой. Разметка, таблицы и картинки документа могут отображаться неверно или не в полном объёме!
Министерство общего и высшего образования Российской Федерации
Иркутский Государственный Технический Университет Кафедра ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ Реферат
На тему: “Экстремумы функций многих переменных”Выполнил:
Студент группы ТЭ-97-1
Мартынов Ф.О.
Преподаватель кафедры
Иркутск 1998
План реферата:
1. Понятие экстремума. 2
2. Необходимые условия экстремума.. 3
3. Достаточные условия экстремума. 6
4. Локальные экстремумы. 8
5. Условные экстремумы. 9
Экстремумы функций многих переменных. Для начала рассмотрим необходимые условия экстремума функции, также определим понятие экстремума. Начнем с понятия экстремума:
Положим, что имеется некоторая функция с двумя переменными
Определение: Точка называется точкой экстремума (максимума или минимума)
функции , если есть соответственно наибольшее или наименьшее значение функции в некоторой окрестности точки .
При этом значение называется экстремальным значением функции (соответственно максимальным или минимальным). Говорят также, что функция имеет в точке экстремум (или достигает в точкеэкстремума).
Заметим, что в силу определения точка экстремума функции лежит внутри области определения функции, так что функция определена в некоторой (хотя бы и малой) области, содержащей эту точку. Вид поверхностей, изображающих поверхности функций в окрестности точек экстремума показан на рис. 1.
Теперь установим необходимые условия, при которых функция достигает в точке экстремума; для начала будем рассматривать только дифференцируемые функции.
Необходимый признак экстремума: Если в точке дифференцируемая функция имеет экстремум, то ее частные производные в этой точке равны
Доказательство: Допустим, что функция имеет в точке экстремум.
Согласно определению экстремума функция при постоянном , как функция одногодостигает экстремума при . Как известно, необходимым условием для этого является обращение в нуль производной от функции при ,
Аналогично функция при постоянном , как функция одного , достигает экстремума при . Значит,Что и требовалось доказать.
Точка , координаты которой обращают в нуль обе частные производные функции, называется стационарной точкой функции.
Уравнение касательной плоскости к поверхности :
для стационарной точки принимает вид .
Следовательно, необходимое условие достижения дифференцируемой функцией экстремума в точке геометрически выражается в том, что касательная плоскость к поверхности - графику функции в соответствующей ее точке параллельна плоскости независимых переменных.
Для отыскания стационарных точек функции нужно приравнять нулю обе ее частные производные
и решить полученную систему двух уравнений с двумя неизвестными. Пример 1: Найдем стационарные точки функции
* Данная работа не является научным трудом, не является выпускной квалификационной работой и представляет собой результат обработки, структурирования и форматирования собранной информации, предназначенной для использования в качестве источника материала при самостоятельной подготовки учебных работ.
Министерство общего и высшего образования Российской Федерации
Иркутский Государственный Технический Университет
Кафедра ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ
На тему: “Экстремумы функций многих переменных”
Студент группы ТЭ-97-1
1. Понятие экстремума. 2
2. Необходимые условия экстремума.. 3
3. Достаточные условия экстремума. 6
4. Локальные экстремумы. 8
5. Условные экстремумы. 9
Экстремумы функций многих переменных.
Для начала рассмотрим необходимые условия экстремума функции, также определим понятие экстремума. Начнем с понятия экстремума:
Положим, что имеется некоторая функция с двумя переменными
Определение: Точка , если в некоторой окрестности точки
Теперь установим необходимые условия, при которых функция достигает в точке имеет экстремум, то ее частные производные в этой точке равны
имеет в точке при постоянном при при постоянном , достигает экстремума при , называется стационарной точкой функции:
экстремума в точке нужно приравнять нулю обе ее частные производные
и решить полученную систему двух уравнений с двумя неизвестными.
Пример 1: Найдем стационарные точки функции
Из второго уравнения следует, что или , или
Какие из найденных точек действительно являются точками экстремума, мы установим после приведения достаточного условия экстремума.
Иногда удается, и, не прибегая к достаточным условиям, выяснить характер стационарной точки функции. Так, если из условия задачи непосредственно следует, что рассматриваемая функция имеет где- то максимум или минимум и пи этом системе уравнений (*) удовлетворяет только одна точка (т. е. Одна пара значений x и y), то ясно, что эта пара и будет искомой точкой экстремума функции.
Заметим, наконец, что точками экстремума непрерывной функции двух переменных могут быть точки, в которых функция недифференцируема (им соответствуют острия поверхности - графика функции).
Так, например, функция
Эти равенства образуют систему n уравнений с n неизвестными.
Теперь определим достаточные условия для экстремума функции двух переменных. Так же как и для функции одной переменной, необходимый признак экстремума в случае многих переменных не является достаточным. Это значит, что из равенства нулю частных производных в данной точке вовсе не следует, что эта точка обязательно является точкой экстремума. Возьмем функцию , будучи равной нулю в начале координат, имеет в любой близости к началу координат как положительные значения (в первом и третьем координатных углах), так и отрицательные (во втором и четвертом координатных углах), и значит, нуль не является ни наибольшим, ни наименьшим значением этой функции.
Достаточные условия экстремума для функции нескольких переменных носят значительно более сложный характер, чем для функции одной переменной. Мы рассмотрим эти условия без доказательства только для функции двух переменных.
Пусть точка , т. е.
Вычислим в точке и обозначим их для краткости буквами A, B и C:
Если , то функция следует, что A и C обязательно имеют одинаковые знаки).
Если, то точка , то неясно, является ли точка
Вторые частные производные данной функции равны
соответственно будет A=-10, B=0, C=-4/3; .
Это точка максимума. Точки и ).
2) Найдем точки экстремума функции и точка (0, 0)
не является точкой экстремума. Уравнение
Определение1: Говорят, что функция . При этом, т. е. приращение функции 0.
Определение 3: Точки локальных минимума и максимума называются точками экстремума.
При отыскании экстремумов функции многих переменных часто возникают задачи, связанные с так называемым условным экстремумом. Это понятие можно разъяснить на примере функции двух переменных.
Пусть заданы функция
Эта функция имеет максимум в начале координат; ему соответствует вершина M полусферы. Если линия L есть прямая, проходящая через точки А и В (ее уравнение x+y-1=0), то геометрически ясно, что для точек этой линии наибольшее значение функции достигается в точке , лежащей посередине между точками А и В. Это и есть точка условного экстремума (максимума) функции
Легко проверить, что z достигает максимума при х = 0,5; но тогда из уравнения связи y=0,5, и мы получаем как раз точку P, найденную из геометрических соображений.
Очень просто решается задача на условный экстремум и тогда, когда уравнение связи можно представить параметрическими уравнениями х=х(t), y=y(t). Подставляя выражения для х и у в данную функцию, снова приходим к задаче отыскания экстремума функции одной переменной.
Если уравнение связи имеет более сложный вид и нам не удается ни явно выразить одну переменную через другую, ни заменить его параметрическими уравнениями, то задача отыскания условного экстремума становится более трудной. Будем по-прежнему считать, что в выражении функции z= f(x, y) переменная (x, y) = 0. Полная производная от функции z= f(x, y) равна:
Где производная y`, найдена по правилу дифференцирования неявной функции. В точках условного экстремума найденная полная производная должна ровняться нулю; это дает одно уравнение, связывающее х и у. Так как они должны удовлетворять еще и уравнению связи, то мы получаем систему двух уравнений с двумя неизвестными
Преобразуем эту систему к гораздо более удобной, записав первое уравнение в виде пропорции и введя новую вспомогательную неизвестную :
(знак минус перед поставлен для удобства). От этих равенств легко перейти к следующей системе:
которая вместе с уравнением связи (x, y) = 0 образует систему трех уравнений с неизвестными х, у и .
Эти уравнения (*) легче всего запомнить при помощи следующего правила: для того, чтобы найти точки, которые могут быть точками условного экстремума функции
Z= f(x, y) при уравнении связи (x, y) = 0, нужно образовать вспомогательную функцию
Где -некоторая постоянная, и составить уравнения для отыскания точек экстремума этой функции.
Указаная система уравнений доставляет, как правило, только необходимые условия, т.е. не всякая пара значений х и у, удовлетворяющая этой системе, обязательно является точкой условного экстремума. Достаточные условия для точек условного экстремума я приводить не стану; очень часто конкретное содержание задачи само подсказывает, чем является найденная точка. Описанный прием решения задач на условный экстремум называется методом множителей Лагранжа.
Метод множителей Лагранжа имеет наглядный геометрический смысл, который я сейчас поясню.
Предположим, что на рис 4. Изображены линии уровня функции Z= f(x, y) и линия L, на которой отыскиваются точки условного экстремума.
Если в точке Q линия L пересекает линию уровня, то эта точка не может быть точкой условного экстремума т.к. по одну сторону от линии уровня функция Z= f(x, y) принимает большие значения, а по другую - меньшие. Если же в точке P линия L не пересекает соответствующую линию уровня и, значит, в некоторой окрестности этой точки лежит по одну сторону от линии уровня, то точка P будет как раз являться точкой
условного экстремума. В такой точке линия L и линия уровня Z= f(x, y) =С касаются друг друга (предполагается, что линии гладкие). И угловые коэффициенты касательных к ним должны быть равны. Из уравнения связи (x, y) = 0 имеем
y`=-`x/`y, а из уравнения линии уровня y`=-fx`/fy`. Приравнивая производные и произведя простейшее преобразование мы получим уравнение
Приведенное рассуждение теряет силу, если линия уровня такова, что во всех ее точках fx`=0, fy`=0. Можно рассмотреть, например, функцию z = 4-x 2 и линию уровня x=0, соответствующую значению z = 4.
Можно искать условный экстремум функции f(x,y,z) при двух уравнениях связи: 1(x, y, z) = 0 и 2(x, y, z) = 0
Эти уравнения определяют линию в пространстве. Таким образом задача сводится к отысканию такой точки линии, в которой функция принимает экстремальное значение, причем сравниваются значения функции только в точках рассматриваемой линии.
Метод множителей Лагранжа в этом случае принимается следующим образом: строим вспомогательную функцию
Ф(x, y, z) = f(x, y, z)+11(x, y, z) +22(x, y, z), где 1 и 2- новые дополнительные неизвестные, и состовляем систему уравнений для отыскания экстремумов этой функции.
Добавляя сюда два уравнения связи получаем систему уравнений с пятью неизвестными x, y, z, 1, 2. Искомыми точками условного экстремума могут быть только те, координаты х, у, z которых являются решением этой системы.
Читайте также: