Дискретное преобразование фурье реферат

Обновлено: 02.07.2024

Документ предоставляется как есть, мы не несем ответственности, за правильность представленной в нём информации. Используя информацию для подготовки своей работы необходимо помнить, что текст работы может быть устаревшим, работа может не пройти проверку на заимствования.

Можно ли скачать документ с работой

Да, скачать документ можно бесплатно, без регистрации перейдя по ссылке:

РЕФЕРАТ

Данная курсовая работа содержит (без учета разделов в приложениях) 32 страницы, 10 рисунков, 1 таблица, 2 приложения. Использовано 8 источников.

Ключевые слова: дискретное преобразование Фурье, быстрое преобразование Фурье, программирование, спектральный анализ, частотно-временной анализ звукового сигнала, цифровая обработка сигналов, микроконтроллеры.

Задачи работы: аналитический обзор алгоритмов спектрального анализа, изучение программных функций обработки звукового сигнала, рассмотреть основные этапы дискретизации звука, настройку и работу аналого-цифрового преобразователя, практический обзор широтно-импульсной модуляции, с последующим применением на микроконтроллере Atmel с учётом его всех архитектурных особенностей.

В результате исследования получены результаты, подтверждающие возможность и целесообразность применения микроконтроллеров в задачах выполнения алгоритмов спектрального анализа

Область применения: результаты данной работы (теоретические и программный код), могут быть использованы при разработке любого аудио- или видеооборудования, предусматривающие возможность применения спектрального анализа.

ОБОЗНАЧЕНИЯ И СОКРАЩЕНИЯ

БПФ – быстрое преобразование Фурье;

ДПФ – дискретное преобразование Фурье;

ШИМ – широтно-импульсная модуляция;

АЦП – аналого-цифровой преобразователь;

ЦОС – цифровая обработка сигналов;

Содержание

Введение

Кроме естественного представления сигналов во временной области в анализе сигналов и систем широко используется частотное представление. Задачу представления сигналов в частотной области называют также спектральным анализом, гармоническим анализом, частотным анализом, или Фурье-анализом. Многие физические процессы описываются в виде суммы индивидуальных частотных составляющих. Понятие спектра широко используется в представлении звуков, радио и телевещании, в физике света, в обработке любых сигналов независимо от физической природы их возникновения. На нем базируется исключительно эффективный и очень простой в использовании частотный метод анализа линейных систем.

1 Аналитический раздел

Спектральный анализ

Спектральный анализ – это один из методов обработки сигналов, который позволяет охарактеризовать частотный состав измеряемого сигнала. Преобразование Фурье является математической основой, которая связывает временной или пространственный сигнал (или же некоторую модель этого сигнала) с его представлением в частотной области. Методы статистики играют важную роль в спектральном анализе, поскольку сигналы, как правило, имеют шумовой или случайный характер. Если бы основные статистические характеристики сигнала были известны точно или же их можно было бы без ошибки определить на конечном интервале этого сигнала, то спектральный анализ представлял бы собой отрасль точной науки. Однако в действительности по одному отрезку сигнала можно получить только некоторую оценку его спектра.

К обработке сигналов в реальном масштабе времени относятся задачи анализа аудио, речевых, мультимедийных сигналов, связанных непосредственно с анализом спектрального содержания и дальнейшей классификацией последовательности отсчетов или изменения формы спектра – фильтрации в частотной области.

Таким образом, основная задача спектрального анализа заключается в определении частотного спектра сигнала (функции). Любой сигнал может быть представлен своим частотным спектром. Спектральный анализ основывается на классических рядах Фурье и преобразовании Фурье.

Преобразование Фурье

Анализ Фурье закладывает основы многих методов, применяющихся в области цифровой обработки сигналов (ЦОС). По сути дела, преобразование Фурье (фактически существует несколько вариантов таких преобразований) позволяет сопоставить сигналу, заданному во временной области, его эквивалентное представление в частотной области. Наоборот, если известна частотная характеристика сигнала, то обратное преобразование Фурье позволяет определить соответствующий сигнал во временной области.

Семейство преобразований Фурье (преобразование Фурье, ряды Фурье, дискретные ряды Фурье и дискретное преобразование Фурье) представлено на рисунке 1. С течением времени принятые определения получили развитие в зависимости от того, является ли сигнал непрерывно-апериодическим, непрерывно-периодическим, дискретно-апериодическим или дискретно-периодическим

Рисунок 1– Семейство преобразований Фурье

Единственный член этого семейства, который имеет отношение к цифровой обработке сигналов, – это дискретное преобразование Фурье, которое оперирует дискретной по времени выборкой периодического сигнала во временной области. Для того чтобы быть представленным в виде суммы синусоид, сигнал должен быть периодическим. Но в качестве набора входных данных для ДПФ доступно только конечное число отсчетов (N). Эту дилемму можно разрешить, если мысленно поместить бесконечное число одинаковых групп отсчетов до и после обрабатываемой группы, образуя, таким образом, математическую (но не реальную) периодичность, как показано на рисунке 3.

Фундаментальное уравнение для получения N-точечного ДПФ выглядит следующим образом:

Рисунок 2 – Уравнение N -точечного ДПФ

По отношению к этому уравнению следует сделать некоторые терминологические разъяснения. X(k) (прописная буква X) представляет собой частотный выход ДПФ в k-ой точке спектра, где k находится в диапазоне от 0 до N-1. N представляет собой число отсчетов при вычислении ДПФ. Значение x(n) (строчная буква x) представляет собой n-ый отсчет во временной области, где n также находится в диапазоне от 0 до N-1. В общем уравнении x(n) может быть вещественным или комплексным.

Периодичность анализируемого сигнала при вычислении БПФ может быть лучше всего проиллюстрирована на выполнении N-точечного БПФ с синусоидальным входным сигналом. Рассмотрим две ситуации. В первом случае соотношение между частотой дискретизации и частотой входного синусоидального сигнала таково, что в выборке содержится в точности целое число периодов синусоидального сигнала.

Рисунок 3–БПФ периодичного сигнала

Для спектрального представления непериодических (импульсных) сигналов, заданных на конечном интервале, непосредственно воспользоваться рядом Фурье нельзя. Для гармонического разложения сигнала мысленно дополняют его такими же импульсными сигналами до периодического с некоторым интервалом.

Рисунок 4 – БПФ не периодичного сигнала

Рисунок 5 – Применение функции окна на входной сигнал

Все описанные выше этапы преобразования являются обязательными для построения спектрального анализа любого входного сигнала. Также, стоит отметить, что применение БПФ имеет смысл, если число элементов в анализируемой последовательности, т.е. размер самой выборки, является степенью числа 2.

Быстрое Преобразование Фурье. Функции

В данной работе была использована математическая библиотека FastFouriertransform с размером N выборки в 128 точек. Программная библиотека быстрого преобразования Фурье имеет встроенные функции, соответствующие поэтапному преобразованию Фурье. С точки зрения программного кода (Приложение Б), все данные помещаются в один глобальный массив f h t_input[] ,и все последующее преобразование разделяется на 4 основные функции в порядке использования:

f h t_window() – Применение окна Ханна (Хеннинга). Эта функция умножает входные данные на функцию окна, чтобы увеличить частотное разрешение данных.

f h t_reorder()–Функция переупорядочивания частотных данных. После её применения, все частотные данные распределяются в массиве f h t_input[] в порядке увеличения частоты.

f h t_run()–Это основной вызов функции БПФ. Он не принимает переменных и не возвращает переменных. Данные хранятся в массиве с именем f h t_input [], который содержит 16-битное число для каждой точки данных БПФ.

f h t_mag_lin()–Представление данные в линейном виде. Данная функция последняя и она определяет, в каком виде будут выходные частотные данные. Для этого, суммируются квадраты мнимой и вещественной части, а затем берется квадратный корень. Данные берутся из f h t_input []и возвращаются в новый массив f h t_lin_out []. Все значения находятся в последовательном порядке.

2 Конструкторский раздел

Выбор языка программирования

Для реализации данного курсового проекта был выбран язык программирования C++. Это компилируемый, статически типизированный язык программирования общего назначения. C++ сочетает свойства как высокоуровневых, так и низкоуровневых языков. В сравнении с его предшественником — языком C, — наибольшее внимание уделено поддержке объектно-ориентированного и обобщённого программирования.

C++ широко используется для разработки программного обеспечения, являясь одним из самых популярных языков программирования. Область его применения включает создание операционных систем, разнообразных прикладных программ, драйверов устройств, приложений для встраиваемых систем, высокопроизводительных серверов, а также развлекательных приложений.

Стоит также отметить, что в языке С++ все низкоуровневые операции, выполняемые компьютерами, представлены в виде абстрактных конструкций, позволяющих разработчикам сосредоточиться на программировании одной лишь логики, не заботясь о машинном коде. Таким образом, изучив язык С++, можно легко переходить от одного семейства микроконтроллеров к другому, тратя гораздо меньше времени на разработку.

Микроконтроллер ATMEGA 328 P

Микроконтроллер – однокристальный компьютер на одной микросхеме. Предназначен для управления различными электронными устройствами и осуществления взаимодействия между ними в соответствии с заложенной в микроконтроллер программой. В отличие от микропроцессоров, используемых в персональных компьютерах, микроконтроллеры содержат встроенные дополнительные устройства. Эти устройства выполняют свои задачи под управлением микропроцессорного ядра микроконтроллера.

Устройства памяти включают оперативную память (RAM), постоянные запоминающие устройства (ROM), перепрограммируемую ROM (EPROM), электрически перепрограммируемую ROM (EEPROM). Таймеры включают, и часы реального времени, и таймеры прерываний. Средства I/O включают последовательные порты связи, параллельные порты (I/O линии), аналого-цифровые преобразователи (A/D), цифроаналоговые преобразователи (D/A), драйверы жидкокристаллического дисплея (LCD) или драйверы вакуумного флуоресцентного дисплея (VFD). Встроенные устройства обладают повышенной надежностью, поскольку они не требуют никаких внешних электрических цепей.

Микроконтроллеры можно встретить в огромном количестве современных промышленных и бытовых приборов: станках, автомобилях, телефонах, телевизорах, холодильниках, стиральных машинах и даже кофеварках. Среди производителей микроконтроллеров можно назвать Intel, Motorola, Hitachi, Microchip, Atmel, Philips, TexasInstruments и многих других.

Тактовая частота, или, более точно, скорость шины, определяет, сколько вычислений может быть выполнено за единицу времени. В основном производительность микроконтроллера и потребляемая им мощность увеличиваются с повышением тактовой частоты. Производительность микроконтроллера измеряют в MIPS (MillionInstruсtionsperSecond - миллион инструкций в секунду).

Существует две формы преобразования Фурье - интегральное преобразование (1)

(2),

которое определено на бесконечном интервале непрерывных значений времени и отображает непрерывную временную функцию в частотную область, и непрерывно-дискретное преобразование

(3),

которое определено на бесконечном интервале дискретных значений времени и тем самым дает возможность определять частотный состав сигнала, заданного бесконечным временным рядом. Для вычислений на ЭВМ применяется третья форма записи - дискретное преобразование Фурье, в которой как X( f) , так и x( t) дискретны и пределы суммирования конечны:

(4)

К форме записи (4) можно перейти от непрерывно-дискретного преобразования Фурье (3), полагая x( i)=0 для i ( N-1) , а также определяя дискретные значения частот следующим образом: f_k = bk . Покажем это.

Укажем некоторые особенности дискретного преобразования Фурье, знание которых необходимо для правильного составления алгоритма вычисления на ЭВМ.

1. Согласно теореме Котельникова, максимально возможной частотой в спектре является частота Найквиста F_n =(2 T) Г1 , поэтому соответствующее значение k в формуле (4) определяется из условия f_k ₌ F_n :

Отсюда следует, что частота Найквиста соответствует середине последовательности X( k) . Это означает, что значениям индексов k в промежутке 0,…, N/2 соответствуют частоты, непревосходящие частоту Найквиста. Какой же смысл имеют величины X( k) при k> N/2 ? Оказывается, что этим величинам соответствуют отрицательные частоты. Покажем это. В формуле (4) заменим индекс k на -p :

Далее умножим экспоненту на единицу, записанную в виде: :

т.е. X(-p)=X(N-p) . Таким образом, при вычислении дискретного преобразования Фурье, подобно случаю непрерывного преобразования, в спектре с необходимостью появятся отрицательные частоты, которые однако отсутствуют в реальном спектре и появление которых и в дискретном, и в непрерывном случаях обусловлено математической операцией преобразования Фурье. Поэтому для N значений данных получается примерно вдвое меньше значений спектральных составляющих.

2. Дискретное преобразование Фурье является периодическим. Покажем это. Предположим, например, что i= pN+ q ; p, q , - целые числа, причем 0 ≤ q≤ N-1 . Подставим новое значение i в выражение обратного преобразования Фурье:

Последнее в этом выражении равенство обусловлено тем, что множитель равен единице. Аналогичное доказательство можно провести для функции X( k) . Таким образом, если попытаться продолжить вычисления для индексов k> N , то полученные значения X( k) полностью повторят уже имеющиеся: X( k+ N) = X( k) . Поэтому для вычисления функций x( i) и X( k) вне множества 0,…,( N-1) следует брать значения их индексов по модулю N .

Функция "чтения" служит для ознакомления с работой. Разметка, таблицы и картинки документа могут отображаться неверно или не в полном объёме!

Санкт-Петербургский государственный университет информационных технологий, механики и оптики (Технический университет)

Индивидуальная работа по дисциплине Эконометрика

Дискретное преобразование Фурье

Рогов Ш.В., группа 4071

Руководитель: Коростелева Т.А.

Дискретное преобразование Фурье Существует две формы преобразования Фурье - интегральное преобразование (1)

которое определено на бесконечном интервале дискретных значений времени и тем самым дает возможность определять частотный состав сигнала, заданного бесконечным временным рядом. Для вычислений на ЭВМ применяется третья форма записи - дискретное преобразование Фурье, в которой как X(f), так и x(t) дискретны и пределы суммирования конечны:

Дискретные значения частот в преобразовании (4) обусловлены конечной длиной записи, т.е. конечностью временного ряда. Здесь для краткости, как и в случае непрерывно-дискретного преобразования, вместо x(iT) используется обозначение x(i). Точно также вместо X(bk) записано X(k). Величина b зависит от интервала дискретизации: b=(NT)Г1. К форме записи (4) можно перейти от непрерывно-дискретного преобразования Фурье (3), полагая x(i)=0 для i(N-1), а также определяя дискретные значения частот следующим образом: fk=bk . Покажем это. Укажем некоторые особенности дискретного преобразования Фурье, знание которых необходимо для правильного составления алгоритма вычисления на ЭВМ.

1. Согласно теореме Котельникова, максимально возможной частотой в спектре является частота Найквиста Fn=(2T)Г1, поэтому соответствующее значение k в формуле (4) определяется из условия fk= Fn: Отсюда следует, что частота Найквиста соответствует середине последовательности X(k). Это означает, что значениям индексов k в промежутке 0,…,N/2 соответствуют частоты, непревосходящие частоту Найквиста. Какой же смысл имеют величины X(k) при k>N/2? Оказывается, что этим величинам соответствуют отрицательные частоты. Покажем это. В формуле (4) заменим индекс k на -p :Далее умножим экспоненту на единицу, записанную в виде: : т.е. X(-p)=X(N-p) . Таким образом, при вычислении дискретного преобразования Фурье, подобно случаю непрерывного преобразования, в спектре с необходимостью появятся отрицательные частоты, которые однако отсутствуют в реальном спектре и появление которых и в дискретном, и в непрерывном случаях обусловлено математической операцией преобразования Фурье. Поэтому для N значений данных получается примерно вдвое меньше значений спектральных составляющих. 2. Дискретное преобразование Фурье является периодическим. Покажем это. Предположим, например, что i=pN+q; p, q, - целые числа, причем 0 ≤ q ≤ N-1. Подставим новое значение i в выражение обратного преобразования Фурье:Последнее в этом выражении равенство обусловлено тем, что множитель равен единице. Аналогичное доказательство можно провести для функции X(k). Таким образом, если попытаться продолжить вычисления для индексов k>N, то полученные значения X(k)

Алгоритмы цифровой обработки сигналов. Эквивалентная запись, базисные синусоиды. Комплексное, двумерное дискретное преобразование Фурье, тождества Эйлера. Сигнал и его спектр. Ортогональность функций. Реконструкция сигнала по ограниченному ряду.

Подобные документы

Определение коэффициентов Фурье дискретной последовательности. Изменение фазового спектра при циклическом сдвиге отсчетов (инвариантный сдвиг). Примеры записи и вычисления коэффициентов Фурье для заданной последовательности, вычисление корней неравенства.

контрольная работа, добавлен 28.06.2016

Модуль комплексной амплитуды как линейчатый спектр периодической функции. Связь между спектрами дискретизированного и непрерывного сигналов. Быстрое преобразование Фурье с прореживанием по времени. Определение числа итераций алгоритма, расчет множителя.

курсовая работа, добавлен 21.06.2019

Изучение математического дискретного преобразования Фурье периодических последовательностей и последовательностей конечной длины. Овладение программными средствами его вычисления в MATLAB с использованием алгоритмов быстрого преобразования Фурье.

лабораторная работа, добавлен 18.10.2021

Факторизация целых чисел с экспоненциальной сложностью. Эллиптические кривые и их свойства. Дискретное логарифмирование в полях Галуа. Решение систем линейных уравнений. Дискретное преобразование Фурье и умножение многочленов. Детерминированные методы.

монография, добавлен 03.07.2013

Объяснение работы быстрого преобразования Фурье и исследование специфики реализации на программируемых логических интегральных схемах. Особенности и принципы его реализации реализуется в основном с помощью цифровой программной обработки сигналов.

статья, добавлен 10.08.2018

Теория многочисленной аппроксимации для периодических функций рядами Фурье. Явление Гиббса на примере прямоугольной волны. Фильтрация зашумленного сигнала с помощью быстрых преобразований Фурье. Преобразование сигнала из временной области в частотную.

доклад, добавлен 09.12.2008

Обзор прямого преобразования Фурье. Типичное изображение спектра непериодического сигнала. Изучение примеров определения спектра временных функций. Исследование особенностей прямого преобразования Лапласа. Получение изображения для импульсных функций.

лекция, добавлен 23.07.2015

Теория аппроксимации периодических функций рядами Фурье. Разложение прямоугольного колебания в ряд Фурье. Явление Гиббса при приближении пилообразного сигнала с помощью рядов Фурье. Фильтрация зашумлённого сигнала с помощью быстрых преобразований.

лабораторная работа, добавлен 10.11.2010

Роль анализа Фурье в прикладной математике и технических науках, его применение - приближение непериодических функций с помощью периодических функций. Конечные и комплексные ряды Фурье. Ряды для непрерывного сигнала и сигналов на бесконечном интервале.

курсовая работа, добавлен 17.06.2013

Возникновение и сущность математического метода Фурье. Характеристика разновидностей преобразования Фурье: непрерывного и дискретного, прямого и обратного, быстрого и оконного. Анализ свойств преобразования Фурье, сфер его применения и значения.

В период развития информационного общества, когда основной ценностью является информация, процессы, связанные с ее обработкой и передачей, стали носить основополагающий характер. Отсюда возникла необходимость в увеличении скорости, улучшении качества обработки сигналов, создании аналоговых и цифровых фильтров, оценивания искажений сигналов в ходе их преобразования, например усиления реальными усилителями. Для чего изначально использовались ряды Тейлора, но они позволяли исследовать функцию лишь в точке, от чего им начали искать более рациональную замену. В этой связи начали пользоваться аппроксимацией функций, но и она не была достаточно оптимальным решением, так как не отображала периодику функции. Тогда и было предложено воспользоваться дискретным преобразованием Фурье (ДПФ), для целесообразной реализации выше изложенных задач.

Работа содержит 1 файл

ДПФ1.doc

Верно, что господин Фурье был того мнения, что конечной целью математики является общественная польза и объяснение явлений природы;…

Историческая справка: Жозеф Фурье(1768 - 1830) родился в период, когда французская революция и наполеоновская эпоха создали исключительно благоприятные условия для дальнейшего развития математики. На континенте Европы был открыт путь для промышленной революции. Она побуждала к занятиям физическими науками, создала новые общественные классы с новыми взглядами на жизнь, заинтересованные в науке и в техническом образовании. В академическую жизнь ворвались демократические идеи, устаревшие формы мышления вызывали критику, школы и университеты были преобразованы и обновлены.

Более всего математика развивалась во Франции, где происходили радикальные преобразования, подготовившие почву для нового экономического и политического строя – капиталистического. Занятия наукой в целом становились более далекими от требований экономики и военного дела. Связь с практикой часто оставалась в тени. Рост специализации сопровождался разделением на чистую и прикладную математику. Быть членами ученых академий уже не составляет главное занятие математиков, они становятся более исследователями, нежели преподавателями.

Не умоляя достоинств открытий Фурье, стоит заметить, что многие из них до XX столетия имели значение лишь в чистой математике, не находя своего практического применения. И только в период бурного развития информационных технологий ДПФ реализовало себя в полной мере: спектральный анализ, фильтрация и цифровая обработка сигналов, оптика когерентного излучения, прогнозирование динамики курса валют, обработка данных о вегетативной регуляции сердечного ритма – это далеко не весь список его использования. Исходя из всего выше изложенного, можно сделать вывод, что исследование ДПФ, остается актуальным. И носит не маловажный прикладной характер.

Новизна данной работы заключается в том, что ДПФ рассматривается не только с точки зрения его достоинств, но также некоторых проблем возникающих при его использовании и их решения.

Целью данной работы является объективная характеристика ДПФ.

Для ее достижения были поставлены следующие задачи:

1 ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ ДИСКРЕТНОГО ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ФУРЬЕ. НЕДОСТАТКИ ДИСКРЕТНОГО ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ФУРЬЕ, ПРИ ПРИМЕНЕНИИ ЕГО НА ПРАКТИКЕ, И ПУТИ ИХ РАЗРЕШЕНИЯ

Дискретное преобразование Фурье (ДПФ) применяется при решении многих прикладных задач. К ним относится тригонометрическая интерполяция, вычисление свертки функций, распознавание образов и многие другие. ДПФ является основой для спектрального подхода (метода), лежащего в основе целых направлений науки и техники (достаточно отметить, что он плодотворно используется в технике электро- и радиосвязи, где разделение частот модулированных сигналов базируется на различии их спектров).

Определение 1. Дана конечная последовательность чисел (в общем случае комплексных). Прямое дискретное преобразование Фурье (ДПФ) заключается в поиске другой последовательности элементы которой вычисляются по формуле:

где -мнимая единица, - постоянная, - количество элементов в последовательностях и , n – индекс текущего элемента в последовательности , k – индекс текущего элемента в последовательности [15].

В терминологии анализа временных рядов под прямым ДПФ понимают способ представления временных зависимостей (сигналов) в виде набора гармоник. Гармоника – это гармоническая составляющая сигнала, представленного в виде тригонометрического ряда Фурье , или другими словами одна из слагаемых этого ряда [13].

Определение 2. Дана конечная последовательность чисел (в общем случае комплексных). [15] Обратное дискретное преобразование Фурье (ДПФ) заключается в поиске другой последовательности элементы которой вычисляются по формуле:

В терминологии анализа временных рядов под обратным ДПФ понимают преобразование спектра во временную зависимость [13].

ДПФ стало особенно эффективным методом решения прикладных задач после создания быстрого преобразования Фурье (БПФ).

Алгоритм БПФ [15] - это оптимизированный по скорости способ вычисления ДПФ. Основная идея заключается в двух пунктах.

Необходимо разделить сумму (1.1) из N слагаемых на две суммы по слагаемых, и вычислить их по отдельности. Для вычисления каждой из подсумм, надо их тоже разделить на две и т.д.
Необходимо повторно использовать уже вычисленные слагаемые.

Применяют либо "прореживание по времени" (когда в первую сумму попадают слагаемые с четными номерами, а во вторую - с нечетными), либо "прореживание по частоте" (когда в первую сумму попадают первые слагаемых, а во вторую - остальные). Оба варианта равноценны. В силу специфики алгоритма приходится применять только N, являющиеся степенями 2. В данной работе рассмотрен случай прореживания по времени.

1.1 Физический смысл ДПФ

Для чего нужно ДПФ? Как работает БПФ? Давайте попробуем разобраться.

Пусть у нас есть функция синуса .

Рисунок 1. 1 - График

Максимальная амплитуда колебания этой функции равна 1. Если умножить ее (функцию) на некоторый коэффициент A, то получим тот же график, растянутый по вертикали в A раз: .

Период колебания функций и равен 2π. Если мы хотим увеличить период до T, то надо умножить переменную t на коэффициент . Это вызовет растяжение графика по горизонтали: .

Частота колебания обратна периоду: . Также говорят о круговой частоте, которая вычисляется по формуле: . Откуда: .

И, наконец, есть фаза, обозначаемая как . Она определяет сдвиг графика колебания влево. В результате сочетания всех этих параметров получается гармоническое колебание или просто гармоника:

Рисунок 1.2 - График

Очень похоже выглядит и выражение гармоники через косинус:

Рисунок 1.3 - График

Большой разницы нет. Достаточно изменить фазу на , чтобы перейти от синуса к косинусу и обратно. Далее будем подразумевать под гармоникой функцию косинуса:

В природе и технике колебания, описываемые подобной функцией, чрезвычайно распространены. Например, маятник, струна, водные и звуковые волны и прочее, и прочее.

Преобразуем (1.3) по формуле косинуса суммы:

Выделим в (1.4) элементы, независимые от t, и обозначим их как Re и Im:

По величинам Re и Im можно однозначно восстановить амплитуду и фазу исходной гармоники:

Теперь возьмем обратное преобразование Фурье:

Выполним над этой формулой следующие действия: разложим каждое комплексное X_k на мнимую и действительную составляющие ; разложим экспоненту по формуле Эйлера на синус и косинус действительного аргумента; перемножим; внесем под знак суммы и перегруппируем элементы в две суммы:

Оставим эту формулу пока в стороне и рассмотрим очень распространенную ситуацию. Пусть у нас есть звуковое или какое-то иное колебание в виде функции x = f(t). Пусть это колебание было записано в виде графика для отрезка времени [0, T]. Для обработки компьютером нужно выполнить дискретизацию. Отрезок делится на N-1 частей и сохраняются значения функции x₀, x₁, x₂. x_N для N точек на границах отрезков t₀ = 0, t₁ = T/N, t₂ = 2T/N. t_n =nT/N. t_N = T.

Рисунок 1.4 - Дискретизация колебания, представленного в виде функции

В результате прямого дискретного преобразования Фурье были получены N значений для X_k:

Теперь, если применить обратное ДПФ, то получится исходная последовательность . Исходная последовательность состояла из действительных чисел, а последовательность в общем случае комплексная. Теперь вернемся к формуле (1.8). Слева стоит действительное число x_n, а справа - две суммы, одна из которых помножена на мнимую единицу j. Сами же суммы состоят из действительных слагаемых. Отсюда следует, что вторая сумма равна нулю, если исходная последовательность была действительной. Отбросим ее и получим:

Поскольку при дискретизации мы брали и , то можем выполнить замену: . Следовательно, в синусе и косинусе вместо можно написать . В результате получим:

Читайте также: