Динамика твердого тела реферат

0.1.1. Говорят, что на систему материальных точек (С2,1(С1), р) действует силовое поле, если в каждой точке множества О, (или О) задано векторное поле f (р, /).

Векторное поле предполагается суммируемым по мере р и.

Сила F (A) называется результирующей силой или главным вектором сил, действующих на множество А.

Заметим, что в определении 1.1 силовое поле f приложено к материальным точкам, имеющим радиус-вектор г (р, /) и принадлежащим изменяемому в процессе движения множеству П" а операция интегрирования (суммирования) осуществляется по неподвижному множеству О. В различных моделях механических систем поле f (р, t) может определяться как объект, зависящий от вектора г (р, t) и его производных по времени и по пространственным переменным.

Для системы свободных материальных точек постулируется вариационный принцип Д’Аламбера-Лагранжа: поле ускорений г (р, /) таково, что.

Отсюда следует, что г = f, т. е. поле ускорений совпадает с силовым полем. В случае конечного числа материальных точек соотношение (1.2) представляется в виде.

В твердом теле существуют связи.

Здесь г* = г (р*, 0, *=1,2. Возможные перемещения удовлетворяют равенству.

Связи (1.3) порождают в твердом теле поле реакций. Предположим, что поле реакций связи идеально, т. е. работа поля реакций на возможных перемещениях равна нулю. Связь между точками, радиус-векторы которых г, и г₂, порождает реакции R₁₂ и R₂₁. Если связь идеальна, то.

для любых 8Г|, бг₂, удовлетворяющих (1.3). Из равенств (1.4), (1.5), учитывая произвольность вариаций 5г_ь 6 г, получим.

(для этого достаточно вначале положить 6г₂ = 0, а затем 6 г, = 0). Здесь Х (/, г, г₂) — неопределенный множитель Лагранжа. Очевидно, что Х (/, г, г₂) = Х (г, г₂, г,). Реакции связи R₁₂, R₂₁ описывают взаимодействие двух точек и удовлетворяют третьему закону динамики: силы взаимодействия направлены по прямой, соединяющей точки, равны и противоположно направлены (9, "https://referat.bookap.info").

Суммарное поле реакций связей в точке г, определяется интегралом.

Здесь суммирование ведется по р₂, от которого зависит вектор г₂(р₂, /). Поле реакций связей (1.7) идеально, поскольку его работа на любых возможных перемещениях равна нулю. В самом деле.

если учесть соотношение (1.4).

Согласно (1.1) возможные перемещения точек твердого тела представляются в виде

Покажем, что вариация оператора 5 Г, умноженная на оператор Г -1 , эквивалентна векторному умножению, т. е. бГГ^бах, где 6а — произвольный вектор трехмерного пространства. По определению вариации следует рассмотреть произвольное однопараметрическое семейство Г ((5), р е ]-р₀, р₀(и найти.

Согласно лемме о производной ортогонального оператора (см. § 2.3).

Обозначим абр = 5а и, учитывая равенство Гр = г-г_Л представим (1.7) в виде.

Работа поля реакций связей на возможных перемещениях (аксиома идеальных связей) с учетом (1.9) равна.

Учитывая произвольность векторов 8i> и 6а, получим соотношения.

Первое равенство в (1.10) означает, что результирующий вектор поля реакций связей равен нулю, а второе, что и момент поля реакций равен нулю. В таком случае говорят, что система сил (поле реакций связей) эквивалентна нулю.

Согласно принципу освобождаемости от связей принцип Д’Аламбера—Лагранжа (1.2) для твердого тела имеет вид.

Соотношение (1.11) представляет принцип Д’Аламбера—Лагранжа для свободного твердого тела. Полагая в (1.11) 6а = 0 и учитывая произвольность вектора 6гр, получим теорему об изменении количества движения твердого тела.

Поскольку радиус-вектор центра масс твердого тела (точка О определяется равенством.

то соотношение (1.12) можно представить как теорему о движении центра масс твердого тела Мг_с = F, где М — масса тела.

Если в равенстве (1.11) положить 8i> = 0, то, учитывая произвольность вектора 8а, получим теорему об изменении момента количеств движения. Имеем.

и далее согласно (1.12).

Равенство (1.13) выражает теорему об изменении момента количеств движения твердого тела относительно начала системы координат: производная момента количеств движения равна моменту внешних активных сил. Величины F, Л^(Г) называются соответственно главным вектором и главным моментом относительно точки О поля активных сил.

Равенство (1.13) останется справедливым, если в нем заменить вектор г на вектор г* = г — г_с. При доказательстве этого факта следует учесть определение центра масс и теорему о движении центра масс. Таким образом, получим равенство.

выражающее теорему об изменении момента количеств движения относительно репера Кенига.

Функция "чтения" служит для ознакомления с работой. Разметка, таблицы и картинки документа могут отображаться неверно или не в полном объёме!

Министерство образования и наукиРеспублики Казахстан

Карагандинский Государственный Университетимени Е.А.Букетова Кафедра общей и теоретический физики Курсовая работа

Динамика твердого тела Подготовил:

________________

________________

________________

________________ Караганды – 2003г.

I. Вращение твердого тела вокруг неподвижной оси

Кинетическая энергия вращающегося тела и работа внешних сил (ось вращения неподвижна) Свободные оси. Устойчивость свободного вращения Центр удара

II. Плоское движение твердого тела

Кинетическая энергия при плоском движении

В общем случае абсолютно твердое тело имеет 6 степеней свободы, и для описания его движения необходимы 6 независимых скалярных уравнений или 2 независимых векторных уравнения.

Вспомним, что твердое тело можно рассматривать как систему материальных точек, и, следовательно, к нему применимы те уравнения динамики, которые справедливы для системы точек в целом.

Обратимся к опытам.

Возьмем резиновую палку, утяжеленную на одном из концов и имеющую лампочку точно в центре масс (рис. 3.1). Зажжем лампочку и бросим палку из одного конца аудитории в другой, сообщив ей произвольное вращение - траекторией лампочки будет при этом парабола - кривая, по которой полетело бы небольшое тело, брошенное под углом к горизонту.

Стержень, опирающийся одним из концов на гладкую горизонтальную плоскость (рис.1.16), падает таким образом, что его центр масс остается на одной и той же вертикали - нет сил, которые сдвинули бы центр масс стержня в горизонтальном направлении.

Опыт, который был представлен на рис. 2.2 а, в, свидетельствует о том, что для изменения момента импульса тела существенна не просто сила, а ее момент относительно оси вращения.

Тело, подвешенное в точке, не совпадающей с его центром масс (физический маятник), начинает колебаться (рис. 3.2а) - есть момент силы тяжести относительно точки подвеса, возвращающий отклоненный маятник в положение равновесия. Но тот же маятник, подвешенный в центре масс, находится в положении безразличного равновесия (рис. 3.2б).

Роль момента силы наглядно проявляется в опытах с "послушной" и "непослушной" катушками (рис. 3.3). Плоское движение этих катушек можно представить как чистое вращение вокруг мгновенной оси, проходящее через точку соприкосновения катушки с плоскостью. В зависимости от направления момента силы F относительно мгновенной оси катушка либо откатывается (рис. 3.За), либо накатывается на нитку (рис. 3.Зб). Держа нить достаточно близко к горизонтальной плоскости, можно принудить к послушанию самую "непослушную" катушку.

Все эти опыты вполне согласуются с известными законами динамики, сформулированными для системы материальных точек: законом движения центра масс и законом изменения момента импульса системы под действием момента внешних сил. Таким образом, в качестве двух векторных уравнений движения твердого тела можно использовать:

В общем случае абсолютно твердое тело имеет 6 степеней свободы, и для описания его движения необходимы 6 независимых скалярных уравнений или 2 независимых векторных уравнения.

Вспомним, что твердое тело можно рассматривать как систему материальных точек, и, следовательно, к нему применимы те уравнения динамики, которые справедливы для системы точек в целом.

Обратимся к опытам.

Возьмем резиновую палку, утяжеленную на одном из концов и имеющую лампочку точно в центре масс (рис. 3.1). Зажжем лампочку и бросим палку из одного конца аудитории в другой, сообщив ей произвольное вращение - траекторией лампочки будет при этом парабола - кривая, по которой полетело бы небольшое тело, брошенное под углом к горизонту.

Стержень, опирающийся одним из концов на гладкую горизонтальную плоскость (рис.1.16), падает таким образом, что его центр масс остается на одной и той же вертикали - нет сил, которые сдвинули бы центр масс стержня в горизонтальном направлении.

Опыт, который был представлен на рис. 2.2 а, в, свидетельствует о том, что для изменения момента импульса тела существенна не просто сила, а ее момент относительно оси вращения.

Тело, подвешенное в точке, не совпадающей с его центром масс (физический маятник), начинает колебаться (рис. 3.2а) - есть момент силы тяжести относительно точки подвеса, возвращающий отклоненный маятник в положение равновесия. Но тот же маятник, подвешенный в центре масс, находится в положении безразличного равновесия (рис. 3.2б).

Роль момента силы наглядно проявляется в опытах с "послушной" и "непослушной" катушками (рис. 3.3). Плоское движение этих катушек можно представить как чистое вращение вокруг мгновенной оси, проходящее через точку соприкосновения катушки с плоскостью. В зависимости от направления момента силы F относительно мгновенной оси катушка либо откатывается (рис. 3.За), либо накатывается на нитку (рис. 3.Зб). Держа нить достаточно близко к горизонтальной плоскости, можно принудить к послушанию самую "непослушную" катушку.

Все эти опыты вполне согласуются с известными законами динамики, сформулированными для системы материальных точек: законом движения центра масс и законом изменения момента импульса системы под действием момента внешних сил. Таким образом, в качестве двух векторных уравнений движения твердого тела можно использовать:

Уравнение движения центра масс

Здесь - скорость центра масс тела, - сумма всех внешних сил, приложенных к телу.

Здесь L - момент импульса твердого тела относительно некоторой точки, - суммарный момент внешних сил относительно той же самой точки.

К уравнениям (3.1) и (3.2), являющимся уравнениями динамики твердого тела, необходимо дать следующие комментарии:

1. Внутренние силы, как и в случае произвольной системы материальных точек, не- влияют на движение центра масс и не могут изменить момент импульса тела.

2. Точку приложения внешней силы можно произвольно перемещать вдоль линии, по которой действует сила. Это следует из того, что в модели абсолютно твердого тела локальные деформации , возникающие в области приложения силы, в расчет не принимаются. Указанный перенос не повлияет и на момент силы относительно какой бы то ни было точки, так как плечо силы при этом не изменится.

Векторы L и M в уравнении (3.2), как правило, рассматриваются относительно некоторой неподвижной в лабораторной системе XYZ точки. Во многих задачах L и M удобно рассматривать относительно движущегося центра масс тела. В этом случае уравнение моментов имеет вид, формально совпадающий с (3.2). В самом деле, момент импульса тела относительно движущегося центра .масс О связан с моментом импульса относительно неподвижной - точки O' соотношением:

где R - радиус-вектор от O' к О, p - полный импульс тела . Аналогичное соотношение легко может быть получено и для моментов силы:

где F - геометрическая сумма всех сил, действующих на твердое тело.

Поскольку точка O' неподвижна, то справедливо уравнение моментов (3.2):

Величина есть скорость точки О в лабораторной системе XYZ. Учитывая (3.4), получим

Поскольку движущаяся точка O - это центр масс тела, то ( - масса тела), и то есть уравнение моментов относительно движущегося центра масс имеет такой же вид, что и относительно неподвижной точки. Скорости всех точек тела при определении следует брать относительно центра масс тела.

Ранее было показано, что произвольное движение твердого тела можно разложить на поступательное (вместе с системой x 0 y 0 z 0 , начало которой находится в некоторой точке - полюсе, жестко связанной с телом) и вращательное (вокруг мгновенной оси, проходящей через полюс). С точки зрения кинематики выбор полюса особого значения не имеет, с точки же зрения динамики полюс, как теперь понятно, удобно поместить в центр масс. Именно в этом случае уравнение моментов (3.2) может быть записано относительно центра масс (или оси, проходящей через центр масс) как относительно неподвижного начала (или неподвижное оси).

Если не зависит от угловой скорости тела, а - от скорости центра масс, то уравнения (3.1) и (3.2) можно рассматривать независимо друг от друга. В этом случае уравнение (3.1) соответствует просто задаче из механики точки, а уравнение (3.2) - задаче о вращении твердого тела вокруг неподвижной точки или неподвижной оси. Пример ситуации, когда уравнения (3.1) и (3.2) нельзя рассматривать независимо - движение вращающегося твердого тела в вязкой среде.

Далее в этой лекции мы рассмотрим уравнения динамики для трех частных случаев движения твердого тела: вращения вокруг неподвижной оси , плоского движения и, наконец, движения твердого тела, имеющего ось симметрии и закрепленного в центре масс.

Кинематика и динамика поступательного движения

. . Гольдена Л.Л.  М.: Наука, 1964. Салецкий А.М., Слепков А.И. Динамика твердого тела. Лабораторный практикум. – М.: издательство физического факультета .

Лазерное охлаждение в твердых телах

. лазерного охлаждения в твердых телах основывафизики и приводят к очень сложным уравнениям, описывающим динамику системы. Однако . эффектов лазерного охлаждения в твердых телах. Показано, что охлаждение твердых тел может быть обусловлено взаимодействием .

Динамика подводных лодок

. и М.Я.Мазора. К решению проблемы динамики лодок подключились ВВМИОЛУ им.Ф.Э.Дзержинского . смежных научных направлений - физики твердого тела и механики разрушений. На . на конструкции, с учетом динамики упругого пространственного деформирования конструкций .

Динамика плоских шарнирных механизмов

Лекции по механике

. осьминогов и т.п. Лекция 4. Динамика твердого тела. § 4-1. Кинематические соотношения. Твердое тело можно рассматривать как систему . , ( 4-7 ) которое называется уравнением динамики вращательного движения твердого тела или уравнением моментов. Дело .

Методологически-мировоззренческие принципы преподавания физики в контексте мировой культуры

. решения вопроса. Так, вопросы кинематики и динамики твердого тела решались еще во времена древней . представлены (знания о строении твердого тела, а так же законы кинематики и динамики твердого тела используются при строительстве .

Полные лекции по аэродинамике и динамике полета. Часть 1

. Кроме того, для решения уравнений динамики необходимо знать начальные условия, . границ (свободной поверхности, твердых стенок или твердых тел), а также явлению вязкости . удалением от оси линейно возрастает!). 2. ДИНАМИКА СПЛОШНОЙ СРЕДЫ 2.1. Силы и моменты в .

Продольное и поперечное обтекание тел вращения

. жидкостей (газов) привело к возникновению газовой динамики, а применение ее результатов к авиации и ракетной . жидкости и газа и механическому взаимодействию их с твердыми телами. Механические движения сопровождаются общими движениями .

Дифференциальные уравнения движения точки. Решение задач динамики точки

. , равной массе всего тела. Изучать динамику обычно начинают с динамики материальной точки, так как . точек и, в частности, твердого тела. ЗАКОНЫ ДИНАМИКИ. ЗАДАЧИ ДИНАМИКИ МАТЕРИАЛЬНОЙ ТОЧКИ В основе динамики лежат законы, установленные .

Моделирование FLOW-3D

. натяжение, неинерциальные системы координат, связанная динамика твердого тела) превратили данную программу в обязательный инструмент . неинерционную систему координат и включить динамику связанного твердого тела Примеры для литья. Дефекты в отливках .

В общем случае абсолютно твердое тело имеет 6 степеней свободы, и для описания его движения необходимы 6 независимых скалярных уравнений или 2 независимых векторных уравнения.

Вспомним, что твердое тело можно рассматривать как систему материальных точек, и, следовательно, к нему применимы те уравнения динамики, которые справедливы для системы точек в целом.

Обратимся к опытам.

Возьмем резиновую палку, утяжеленную на одном из концов и имеющую лампочку точно в центре масс (рис. 3.1). Зажжем лампочку и бросим палку из одного конца аудитории в другой, сообщив ей произвольное вращение - траекторией лампочки будет при этом парабола - кривая, по которой полетело бы небольшое тело, брошенное под углом к горизонту.

Стержень, опирающийся одним из концов на гладкую горизонтальную плоскость (рис.1.16), падает таким образом, что его центр масс остается на одной и той же вертикали - нет сил, которые сдвинули бы центр масс стержня в горизонтальном направлении.

Опыт, который был представлен на рис. 2.2 а, в, свидетельствует о том, что для изменения момента импульса тела существенна не просто сила, а ее момент относительно оси вращения.

Тело, подвешенное в точке, не совпадающей с его центром масс (физический маятник), начинает колебаться (рис. 3.2а) - есть момент силы тяжести относительно точки подвеса, возвращающий отклоненный маятник в положение равновесия. Но тот же маятник, подвешенный в центре масс, находится в положении безразличного равновесия (рис. 3.2б).

Роль момента силы наглядно проявляется в опытах с "послушной" и "непослушной" катушками (рис. 3.3). Плоское движение этих катушек можно представить как чистое вращение вокруг мгновенной оси, проходящее через точку соприкосновения катушки с плоскостью. В зависимости от направления момента силы F относительно мгновенной оси катушка либо откатывается (рис. 3.За), либо накатывается на нитку (рис. 3.Зб). Держа нить достаточно близко к горизонтальной плоскости, можно принудить к послушанию самую "непослушную" катушку.

Все эти опыты вполне согласуются с известными законами динамики, сформулированными для системы материальных точек: законом движения центра масс и законом изменения момента импульса системы под действием момента внешних сил. Таким образом, в качестве двух векторных уравнений движения твердого тела можно использовать:

Уравнение движения центра масс

Здесь - скорость центра масс тела, - сумма всех внешних сил, приложенных к телу.

Здесь L- момент импульса твердого тела относительно некоторой точки, - суммарный момент внешних сил относительно той же самой точки.

К уравнениям (3.1) и (3.2), являющимся уравнениями динамики твердого тела, необходимо дать следующие комментарии:

Читайте также:

  
• Социальный феномен толпы реферат
  
• Венская конвенция об охране озонового слоя реферат
  
• Архитектура городов россии реферат
  
• Оборудование для работы с детьми с овз реферат
  
• Гестоз реферат с заключением