Дифференцирование и интегрирование реферат

Обновлено: 30.06.2024

* Данная работа не является научным трудом, не является выпускной квалификационной работой и представляет собой результат обработки, структурирования и форматирования собранной информации, предназначенной для использования в качестве источника материала при самостоятельной подготовки учебных работ.

План работы и содержание

2. История интегрального исчисления 2

3. Первообразная и неопределенный интеграл 6

4. Таблица интегралов 8

5. Некоторые свойства неопределенного интеграла 10

6. Интегрирование по частям 14

7. Заключение 20

8. Список литературы 21

1. Введение

Математика - одна из самых древних наук. Труды многих ученых вошли в мировой фонд и стали основой современных алгебры и геометрии. В конце XVII в., когда развитие науки шло быстрыми темпами, появились понятия дифференцирование, а вслед за ним и интегрирование.

Нахождение значения неопределенного интеграла связано главным образом с нахождением первообразной функции. Для некоторых функций это достаточно сложная задача.

Символ интеграла введен с 1675г., а вопросами интегрального исчисления занимаются с 1696г. Хотя интеграл изучают, в основном, ученые–математики, но и физики внесли свой вклад в эту науку. Практически ни одна формула физики не обходится без дифференциального и интегрального исчислений. Поэтому, я и решил исследовать интеграл и его применение.

2. История интегрального исчисления

В ходе переписки И. Бернулли и Г. Лейбниц согласились с предложением Я. Бернулли. Тогда же, в 1696 г., появилось и название новой ветви математики—интегральное исчисление (calculus integralis), которое ввел И. Бернулли.

В современной литературе множество всех первообразных для функции f(х) называется также неопределенным интегралом. Это понятие выделил Лейбниц, который заметил, что все первообразные функции отличаются на произвольную постоянную.

А  f(x)dx

- называют определенным интегралом (обозначение ввел К. Фурье (1768—1830), но пределы интегрирования указывал уже Эйлер).

Многие значительные достижения математиков Древней Греции в решении задач на нахождение квадратур (т. е. вычисление площадей) плоских фигур, а также кубатур (вычисление объемов) тел связаны с применением метода исчерпывания, предложенным Евдоксом Книдским (ок. 408 — ок. 355 до н.э.). С помощью этого метода Евдокс доказал, например, что площади двух кругов относятся как квадраты их диаметров, а объем конуса равен 1/3 объёма цилиндра, имеющего такие же основание и высоту.

Метод Евдокса был усовершенствован Архимедом. Основные этапы, характеризующие метод Архимеда: 1) доказывается, что площадь круга меньше площади любого описанного около него правильного многоугольника, но больше площади любого вписанного; 2) доказывается, что при неограниченном удвоении числа сторон разность площадей этих многоугольников стремится к нулю; 3) для вычисления площади круга остается найти значение, к которому стремится отношение площади правильного многоугольника при неограниченном удвоении числа его сторон.

С помощью метода исчерпывания, целого ряда других остроумных соображений (в том числе с привлечением моделей механики) Архимед решил многие задачи. Он дал оценку числа (3.10/71 a x b

- бесконечно большого числа бесконечно малых площадей. Иногда даже подчеркивалось, что отдельные слагаемые в этой сумме — нули, но нули особого рода, которые, сложенные в бесконечном числе, дают вполне определенную положительную сумму.

На такой кажущейся теперь по меньшей мере сомнительной основе И. Кеплер (1571—1630) в своих сочинениях “Новая астрономия”.

Пусть требуется найти площадь фигуры, изображенной на рисунке 1,б, где кривые, ограничивающие фигуру сверху и снизу, имеют уравнения y = f(x) и y=f(x)+c.

Общий принцип Кавальери для площадей плоских фигур формулируется так: Пусть прямые некоторого пучка параллельных пересекают фигуры Ф₁ и Ф₂ по отрезкам равной длины (рис. 1,в). Тогда площади фигур Ф₁ и Ф₂ равны.

Аналогичный принцип действует в стереометрии и оказывается полезным при нахождении объемов.

В XVII в. были сделаны многие открытия, относящиеся к интегральному исчислению. Так, П.Ферма уже в 1629 г. задачу квадратуры любой кривой у = х n , где п — целое (т.е по существу вывел формулу х n dx = (1/n+1)х n +1 ), и на этой основе решил ряд задач на нахождение центров тяжести. И. Кеплер при выводе своих знаменитых законов движения планет фактически опирался на идею приближенного интегрирования. И. Барроу (1630—1677), учитель Ньютона, близко подошел к пониманию связи интегрирования и дифференцирования. Большое значение имели работы по представлению функций в виде степенных рядов.

Однако при всей значимости результатов, полученных многими чрезвычайно изобретательными математиками XVII столетия исчисления еще не было. Необходимо было выделить общие идеи лежащие в основе решения многих частных задач, а также установить связь операций дифференцирования и интегрирования, дающую достаточно общий алгоритм. Это сделали Ньютон и Лейбниц, открывшие независимо друг от друга факт, известным под названием формулы Ньютона — Лейбница. Тем самым окончательно оформился общий метод. Предстояло еще научится находить первообразные многих функций, дать логические нового исчисления и т. п. Но главное уже было сделано: дифференциальное и интегральное исчисление создано.

Методы математического анализа активно развивались в следующем столетии (в первую очередь следует назвать имена Л. Эйлера, завершившего систематическое исследование интегрирования элементарных функций, и И. Бернулли). В развитии интегрального исчисления приняли участие русские математики М.В.Остроградский (1801—1862), В.Я.Буняковский (1804—1889), П.Л.Чебышев (1821—1894). Принципиальное значение имели, в частности, результаты Чебышева, доказавшего, что существуют интегралы, не выразимые через элементарные функции.

Строгое изложение теории интеграла появилось только в прошлом веке. Решение этой задачи связано с именами О.Коши, одного из крупнейших математиков, немецкого ученого Б.Римана (1826—1866), французского математика Г.Дарбу (1842—1917).

Ответы на многие вопросы, связанные с существованием площадей и объемов фигур, были получены с созданием К. Жорданом (1838—1922) теории меры.

Различные обобщения понятия интеграла уже в начале нашего столетия были предложены французскими математиками А. Лебегом (1875—1941) и А. Данжуа (1884—1974), советским математиком А. Я. Хинчинчиным (1894—1959).

3. Первообразная и неопределенный интеграл

Рассмотрим задачу: Дана функция f(x);требуется найти такую функцию F(x),производная которой равна f(x),т.е. F ? (x)= f(x).

Определение:1.Функция F(x) называется первообразной от функции f(x) на отрезке [a,b], если во всех точках этого отрезка выполняется равенство F ? (x)= f(x).

Пример. Найти первообразную от функции f(x)=x 2 .Из определения первообразной следует, что функция F(x)=х 3 /3 является первообразной, так как (х 3 /3)?= x 2 .

Легко видеть, что если для данной функции f(x) существует первообразная , то эта первообразная не является единственной. Так, в предыдущем примере можно было взять в качестве первообразных следующие функции:

. С другой стороны, можно доказать, что функциями вида .(Здесь и в последующих формулах под С понимается

Справедливость формул 7,8,11?,12,13?и 14 легко устанавливается с помощью дифференцирования.

Определение первой и второй производных с помощью интерполяционных формул Ньютона, Гаусса, Стирлинга и Бесселя. Вычисление интеграла по формулам левых и правых прямоугольников. Расчет интеграла по формуле с тремя десятичными знаками и формуле Симпсона.

Рубрика	Математика
Вид	лабораторная работа
Язык	русский
Дата добавления	12.06.2015
Размер файла	593,4 K

Студенты, аспиранты, молодые ученые, использующие базу знаний в своей учебе и работе, будут вам очень благодарны.

Лабоpатоpная pабота №3,4

Задание: с помощью интерполяционных формул Ньютона, Гаусса, Стирлинга и Бесселя найти значение первой и второй производных при данных значениях аргумента для функции, заданной таблично.

Найти значения первой и второй производной данной функции при х₁=3.65; х₂=3.87; х₃=3; х₄=3,04; n=25. Составим диагональную таблицу конечных разностей данной функции.

Выбор полинома осуществляется исходя из требования получения минимальной величины погрешности интерполяции и определяется величиной t.

Если t=(x-x₀)/h ? 0.25, то используем формулы

Получающимися из формулы Бесселя.

Таким образом получаем, что 0,25 ? |t| ? 0,75. В этом случае используем формулы

Получающимися из формулы Бесселя.

3) Положим х₀=3.0, тогда t =(x-x₀)/h=(3,0-3,0)/0,2=0. Воспользуемся для вычислений формулами

Получающимися из первой интерполяционной формулы Ньютона.

Если t=(x-x₀)/h ? 0.25, то используем формулы

Получающимися из формулы Бесселя.

Задание: 1) Вычислить интеграл по формулам левых и правых прямоугольников при n=10, оценивая сравнения полученных результатов.

2) Вычислить интеграл по формуле прямоугольников, используя для оценки точности двойной просчет при n₁= 8 и n₂=10.

1) Для вычисления по формулам левых и правых прямоугольников при n=10 разобьем отрезок интегрирования на 10 частей с шагом h=(b-a)/n=(2.2-1)/10=0.12

Составим таблицу значений подынтегральной функции в точках деления отрезка:

Найдем приближенные значения интеграла. По формуле левых прямоугольников получим

По формуле правых прямоугольников находим

Эти результаты отличаются уже в сотых долях. За окончательное значение примем полусумму найденных значений, округлив результат до тысячных:

I=( I₁+ I₂)/2= 0.72836659;

2) Для решения воспользуемся формулой средних прямоугольников

Вычисления выполним дважды при n₁= 8 и n₂=10 и соответственно при h₁=(b-a)/n₁₌(1-0.6)/8=0,05 и h₂=(b-a)/n₂₌(1-0.6)/10=0,04. Результаты вычислений приведены в таблицах.

Значения различаются в тысячных долях, но второе значение точнее второго, потому принимаем I?0.15576821;

Задание: 1) Вычислить интеграл по формуле трапеций с тремя десятичными знаками.

2) Вычислить интеграл по формуле Симпсона при n=8; оценить погрешность результатов, составив таблицу конечных разностей.

интеграл производная формула прямоугольник

1) Для достижения заданной степени точности необходимо определить значение n так, чтобы

((b-a) 3 /12n 2 )*M₂ 3 *1483)/12n 2 2 >63,27, т.е. n>8, возьмем n=10.

Дифференцирование и интегрирование представляют собой уравнение, содержащее производные. Последние, если придерживаться математическим свойствам, разделяются на обычные и частные. Производные представляют скорость изменения, а дифференциальное уравнение описывает взаимосвязь между величиной, которая постоянно видоизменяется в процессе решения, образуя новые переменные.

Профессор университета с легкостью сориентируется в сложных операциях с интегралами, преобразует их в одно целое, а потом докажет исчисления обратным методом. Однако возможность быстро вспоминать детали сложных формул доступна не каждому человеку, потому рекомендуется освежить память или открыть для себя новый материал.

Значение и основное применение

В научной литературе производная определяется, как скорость, подверженная преобразованию функции на основе одной из ее переменных. Дифференциация - это сущность исчисления, которую можно сравнить с началом поисков касательной к точке. Как известно, последняя имеет различные виды и требует вычислительных формул для поиска. Предположим, вам требуется найти наклон касательной к графику в точке Р. Как это сделать? Достаточно провести дугообразную полосу через обозначенный объект и поднять ее вверх, пока мы не получим секущуюся линию.

Функция f в х называется дифференцируемой в точке х = а, если производная f '(а) существует на каждом обозначении ее области. Продемонстрируем пример:

f '(а) = lim (h=0) × f(а + h) – f(а)/h

Для того чтобы уравнение подвергнуть дифференцированию и интегрированию функций так, что ее расположение станет возможным в любой точке x, она не должна прерываться. Заранее построив схематичное изображение вы сможете убедиться в достоверности утверждения. Именно по этой причине область f '(х) определяется существованием ее пределов.

Предположим, что у = f(х) – функция из х, то производная от f(х) задается как dy/dx. Также она определяется, как линейное уравнение, где необходимо найти необходимые данные по у.

Однако, если мы ищем производную от у в первом случае, то в следующем предстоит найти f(x) от x.

Следовательно, обозначение скорости изменения функции f(x) относительно x в точке a, лежащей на ее поверхности.

Если известна производная f', которая дифференцируема в своей области, то мы можем найти ее значение f. В интегральном исчислении мы называем f антипроизводной или примитивом функции f '. Метод его расчета известен, как антидифференцирование или интеграция.

Виды и формы

Уравнение с одним или несколькими членами, которое включает производные зависимой переменной по независимой, известно, как дифференциал. Иначе говоря, он состоит из множества числовых значений, обычных или частных, подвергающихся изменениям в процессе решения.

На данный момент существуют следующие типы дифференциальных уравнений.

Обыкновенные. Простое равенство, напрямую зависящее от переменной:

С частными производными:

dy/dx + dy/dt = x 3 -t 3

d 2 y/dx 2 – c 2 × d 2 y/dt 2

Старшего коэффициента. Данному виду характерно участие в порядке дифференциального уравнения, как продемонстрировано на примере ниже, где он равен 3. Число считается наивысшим из присутствующих:

d 3 y/dx 2 + 5 × dy/dx + y = √x

Функции могут иметь несколько видов, однако, предпочтительным является использование одинарной кавычки с характерными формулами интегрирования и дифференцирования.

Линейное. Переменная, фигурирующая в уравнении, возводится в степень единицы. График такого вида функций обычно является прямой линией. Например, (3x + 5), но (x 3 + 4x 2 ) не относится к данному типу, поскольку требует другого решения.

Нелинейное. Любое интегрирование и дифференцирование рядов с двойственными способами получения равенства – относятся к рассматриваемому виду:

d 2 y/dx 2 - ln y = 10

Методы быстрого получения результата

Разделение переменной. Выполняется, когда пример можно изобразить в качестве dy / dx = f(y) g(x). Особенность заключается в том, что f и g – функции, принадлежащие к своим значениям. Благодаря этому, задачу следует преобразить: 1/ f(y) dy = g(x) dx. И только после перейти к следующему пункту.
Метод интегрирующего фактора. Используется, когда пример имеет вид dy / dx + р(x) y = q(x), где р и q являются функциями только x.

Дифференциальный вычисления первого порядка выглядят, как y'+ Р(х) y = Q (x), поскольку они содержат необходимые функции и производную от y. Последующее увеличение в наименовании действует по тому же принципу. Например, производные от неизвестной функции, могут оказаться как частными, так и обычными.

Неопределенные интегралы

Научная литература акцентирует внимание на том, что они являются обратной стороной дифференцирования. Действительно, интеграция - это метод сложения вещей. Он соединяет частички между собой, создавая нечто новое – целое. Главное в любом схожем примере: найти неопределенные интегралы и проверить результаты интегрирования дифференцированием. Это поможет избежать лишних ошибок.

Если вы собираетесь искать площадь любой случайной кривой, например, y=f(x), то воспользуйтесь рассматриваемым методом. Помните, что только внимательность спасет вас от ошибки.

Формулы для решения

Так, познакомившись с основной концепцией дифференцирования и интегрирования - обратного вычисления через функции, необходимо кратко рассмотреть некоторые основы. Они приведены ниже.

Основные правила вычисления

Такие интегрированные функции, как f (x) легко перевести в равенство, если представить уравнение, как: ∫ f(x) dx = F(x) + C .

Здесь F (x) называется антипроизводной или примитивной. f(x) - подынтегральная функция. dx – выступает, как дополнительный числовой агент. С - интегрированная или произвольная постоянная. x – выступает в зависимости от стороны равенства.

Из приведенного выше утверждения, можно сделать вывод, что интегрирование и дифференцирование рядов – два противоположных друг от друга процесса. Вместе они выступают, как одна из видов операций, направленная на получение итогового результата, выполняемого над самим уравнением.

Теперь, когда мы больше знаем об особенностях исчисления, рекомендуется выделить преимущественные отличия, необходимые для дальнейшего понимания:

Дифференцирование и интегрирование способны одновременно удовлетворять правилам линейности.
Операции направлены на поиск максимально точного решения, однако, предполагают ограничения для их определения.
При дифференцировании полиномиального примера результат на 1 меньше, чем степень функции, тогда как в случае интегрирования полученный результат преобразуется в другой, действуя по противоположной схеме.
Два вида решения, как говорилось ранее, являются противоположными друг другу. Они вычисляются по формулам интегрирования и дифференцирования.
Производная любой функции уникальна, но, с другой стороны, два интеграла, в одном примере, могут отличаться на константу. Именно это правило представляет главную сложность во время выполнения задач.
Имея дело с производными, мы можем рассматривать производные в точке. Почти как и в интегралах они предоставляют функции по интервалу.
Геометрически производная описывает скорость изменения величины по отношению к другой, в то время как неопределенный интеграл представляет кривую. Она распложена в параллельном направлении, а также имеет касательные во время пересечения неровных линий с иными, ортогональными к оси, представляющей переменную.

Методы сложения

Если вы столкнулись с проблемой, как применяется суммирование для математических операций дифференцирования интегрирования, следует тщательно ознакомиться с основными формулами. Они являются аксиомой в обучении, потому используются повсеместно. Обратите внимание, во время применения на собственных примерах, формулы верны, только если начинаются с i = 1.

Порой функция требует нестандартного подхода, чтобы добраться до конечного результата и удовлетворить условиям равенства. Почленное интегрирование и дифференцирование рядов основано на идентичности, которая выражается: ∫ f(x) g’(x) dx = f (x) g(x) - ∫ f’(x) g(x) dx

Алгоритм рассматриваемой методики, выглядит следующим образом:

Выразить интегрированную функцию как произведение двух выражений. Обозначим одно из них f (x), другое g′ (x).
Теперь приступить к выявлению двух других формул, которые возможно применить при выполнении первого пункта. Ряд изменится. Дифференцированием преобразуем f ′(x), чтобы получить выражения f (x). Приступаем к другой части - g (x) интегрируется в g′(x). При этом, dx остается в изначальной форме и не используется.
Вставьте полученные выражения в формулу по частям. На этом процедура заканчивается, и теперь вы можете попытаться оценить новый интеграл справа, поскольку он стал значительно проще для понимания.

Ранее данные метод задействовал интегрирования по частям с помощью матрицы. Способ увенчался успехом, но занимал много времени, потому в настоящее время он применяется реже, в особых случаях, когда решение практически невозможно найти. Для этого достаточно поместить f и g′ в первую строку и вычислить f ′ и g во второй.

Зачем нужна интеграция по частям?

Ситуации случаются разные. Порой решения оказываются куда сложнее, чем на первый взгляд. Потому следует выделить основные проблемы, нередко встречающиеся при почленном интегрировании и дифференцировании степенных рядов. Рассмотрим два основных правила.

Во-первых, ту часть, которую мы намереваемся интегрировать, то есть выбранную для g ′(x), мы должны иметь возможность преобразовать. Сделать это важно максимально быстро. Дело в том, что сложное интегрирование для g редко приводит к улучшенному интегралу, повышая сложность. Все это негативно сказывается на свободе наших действий во время решений, а также зависит от степеней, синусов и косинусов. Пусть поиск правильного ответа займет время, но приведет к правильному, нежели запутанному.

Во-вторых, все остальное, то есть часть, которую мы намерены дифференцировать и обозначим F, должна заметно выделиться после преобразования. После несложной процедуры мы заметим, что новый интеграл окажется более упрощенным, чем предшественник.

Так, когда мы объединяем два правила и используем его при решении, то получаем возможность воспользоваться дифференцированием и интегрированием степенных функций, которые имеет смысл рассматривать по частям.

Существует и способ удаление x, позволяющий эффективно задействовать преобразования в различных ситуациях. Например, мы можем легко интегрировать, умножив функцию на полином, который мы сокращаем с помощью дифференцирования.

В качестве f мы берем степень x (в более общем случае - многочлен), а также используем g’. Очевидно, что каждое дифференцирование уменьшает степень числа на единицу, потому, если в примере она достаточно высокая – примените почленное интегрирование несколько раз. Это поможет сократить время.

Сложность некоторых уравнений

В данном случае речь идет о дифференцировании и интегрировании степенных рядов. Функцию можно рассматривать так, как будто x – является областью интервала сходимости точек. Правда метод подойдет далеко не всем. Дело в том, что любые функции могут быть выражены в виде степенных рядов, преобразовываясь в линейную структуру и наоборот.

Например, дано e_x. Мы может выразить его в качестве уравнения, которое на самом деле является просто бесконечным полиномом. Степенной ряд легко заметить, вычислив, но он не всегда эффективен.

Определенный интеграл как предел суммы

Посмотрите на следующее графическое интегрирование и дифференцирование.

Где x₀ = a, x₁ = a + h, x₂ = a + 2h, x₃ = a + 3h… .. x_r = a + rh и x_n = b = a + nh или n = (b - a) / h. (1). Отметим, что при n → ∞ h → 0.

Теперь посмотрите на ABDM на рисунке. На его основе целесообразно сделать следующее наблюдение о площадях: (ABLC) s_n = h [f(x₀) + f(x₁) + f(x₂) + …. f(x_{n – 1})] = h _r=0∑ n–1 f(x_r) (2)

В данном случае s_n и S_n обозначают сумму площадей всех нижних и верхних прямоугольников, поднятых над интервалами [х_r–1, х_r] для r = 1, 2, 3,…, n соответственно. Чтобы представить это в перспективе, уравнение (1) можно переписать в виде:

Кроме того, предполагается, что предельные значения (2) и (3) одинаковы в обоих случаях, и общим является лишь площадь под кривой. В итоге мы имеем:

Площадь также является предельным значением пространства, которое находится между прямоугольниками ниже кривой и над кривой. Для удобства следует обратить внимание на высотку фигуры, равную кривой на левом краю каждого подинтервала. Следовательно, уравнение переписывается в конечный вариант:

или ∫_a b f(x) dx = (b – a) lim_{n → ∞} (1/n) [f(a) + f(a + h) + …. + f(a + h)]

Заключение

Дифференцирование и интегрирование отличается между собой рядом свойств, формул и противоположными изменениями. Одно не может преобразоваться в другое без помощи. Если дифференциация помогает найти производную, то интеграция выполняет совершенно другое действие. Она добавляет некоторые части, способна помочь со степенями, сокращая их или усовершенствовать пример, упростив.

Также она применяется для проверки дифференцированных уравнений. Иначе говоря – они действуют, как единое целое, что не могут сосуществовать раздельно, поскольку дополняют друг друга. Применяя правила, зная множество методик, теперь вы гарантированно решите сложные задачи.

Содержание работы

1. Историческая часть. 3
2. Интегралы. 5
2.1. Теоретическая часть. 5
2.2. Практическая часть. 13
2.3. Применение темы в других дисциплинах. 21
3. Заключение. 24
Библиографический список. 26

Файлы: 1 файл

ГОТОВЫЙ РЕФЕРАТ.docx

Краевое государственное бюджетное учреждение СПО

"Хабаровский торгово-экономический техникум"

Реферат по теме: Интегралы

Составила: Черепнина В. Н.

Студентка группы Т-2

1. Историческая часть. . . . 3

2. Интегралы. . . . 5

2.1. Теоретическая часть. . . 5

2.2. Практическая часть. . . 13

2.3. Применение темы в других дисциплинах. . 21

3. Заключение. . . . 24

Библиографический список. . . 26

1. Историческая часть

ИНТЕГРАЛ (от лат. Integer - целый) - одно из важнейших понятий математики, возникшее в связи с потребностью, с одной стороны отыскивать функции по их производным (например, находить функцию, выражающую путь, пройденный движущейся точкой, по скорости этой точки), а с другой - измерять площади, объемы, длины дуг, работу сил за определенный промежуток времени и т. п.

Интеграл в древности. Интегрирование прослеживается ещё в древнем Египте, примерно в 1800 г. до н. э., Московский математический папирус демонстрирует знание формулы объёма усечённой пирамиды. Первым известным методом для расчёта интегралов является метод исчерпывания Евдокса (примерно 370 до н. э.), который пытался найти площади и объёмы, разрывая их на бесконечное множество частей, для которых площадь или объём уже известны. Этот метод был подхвачен и развит Архимедом, и использовался для расчёта площадей парабол и приближенного расчёта площади круга. Аналогичные методы были разработаны независимо в Китае в 3-м веке н. э. Лю Хуэйем, который использовал их для нахождения площади круга. Этот метод был впоследствии использован Дзю Чонгши для нахождения объёма шара.

Следующий значительный прогресс в исчислении интегралов появится лишь в XVI веке. В работах Кавальери с его методом неделимых, а также в работах Ферма, были заложены основы современного интегрального исчисления. Дальнейшие шаги были сделаны в начале XVII века Барроу и Торричелли, которые представили первые намеки на связь между интегрированием и дифференцированием.

2. Интегралы

2.1. Теоретическая часть

п. 1. Первообразная и неопределенный интеграл

Первообразной функцией для функции f(x) называется такая функция F(х), производная которой равна данной функции

где F'(x) = f(x). Функция f(x) называется подынтегральной функцией, а выражение f(x)dx - подынтегральным выражением.

п.2. Свойства неопределенного интеграла

1° Производная неопределенного интеграла равна подынтегральной функции; дифференциал от неопределенного интеграла равен подынтегральному выражению, т.е.

2° Неопределенный интеграл от дифференциала некоторой функции равен сумме этой функции и произвольной постоянной, т.е.

3° Постоянный множитель можно вынести из под знака интеграла, т.е. если k = const ≠ 0, то

4° Неопределенный интеграл от алгебраической суммы двух функций равен алгебраической сумме интегралов от этих функций в отдельности.

п.3. Таблица основных интегралов

п.4.Существуют следующие виды нахождения интегралов:

Вычисление интегралов с помощью непосредственного использования таблицы простейших интегралов и основных свойств неопределенных интегралов называется непосредственным интегрированием.

Интегрирование путем подведения под знак дифференциала

Необходимо иметь в виду простейшие преобразования дифференциала

Интегрирование путем введения новой переменной (метод подстановки) основано на формуле

где х = φ(t) - дифференцируемая функция переменной t.

Если u =φ(x) и v = y(х) - дифференцируемые функции, то

Эта формула применяется в случае, когда подынтегральная функция представляет произведение алгебраической и трансцендентной функции.

В качестве u обычно выбирается функция, которая упрощается дифференцированием, в качестве dv - оставшаяся часть подынтегрального выражения, содержащая dx, из которой можно определить v путем интегрирования.

п.5. Простейшие интегралы, содержащие квадратный трехчлен

1°. Интеграл вида

путем дополнения квадратного трехчлена до полного квадрата по формуле

сводится к одному из двух интегралов

сводится к интегралам вида (8.1) или (8.2) и интегралу

сводится к одному из интегралов:

4°. Интеграл вида

сводится к одному из двух интегралов

5°. Интеграл вида

сводится к разобранным выше интегралам.

6°. Интегралы вида

с помощью обратной подстановки

приводятся к интегралам вида 5°.

п.6. Интегрирование тригонометрических функций

1°. Интегралы вида

находятся с помощью тригонометрических формул

2°. Интегралы вида

где m и n - четные числа находятся с помощью формул понижения степени

Если хотя бы одно из чисел m или n - нечетное, то полагают (пусть m = 2k + 1)

3°. Если m = -m, n = -l - целые отрицательные числа одинаковой четности, то

В частности, к этому случаю сводятся интегралы

4°. Интегралы вида

где R - рациональная функция от sinx и cosx, приводятся к интегралам от рациональных функций новой переменной с помощью подстановки

п.7. Вычисление интеграла путем перебрасывания интеграла через знак равенства.

Обычно имеет место быть при решении интегралов вида sin(x)·exp(x) или cos(x)·exp(x).

Суть метода заключаеться в следующем: с помощью различных преобразований приходят к такой ситуации, когда слева от знака равенства стоит исходный интеграл, а справой какое-то выражение и тот же самый интеграл. Например:

Тогда все интегралы собирают в одной части, а в другой части равенства остается выражение, которое после нормировки ( приведение коэффициента при интеграле к 1) становится ответом.

2.2. Практическая часть

Здесь мы рассмотрим как находятся интегралы разными способами.

Интегрирование путем подведени я под знак дифференциала

Этот пример можно решить и по-другому см. п.5.

Чтобы избавиться от корня, положим

Простейшие интегралы, содержащие квадратный трехчлен

Здесь подынтегральная функция является рациональной функцией от sinx и cosx. Применяем подстановку

Подынтегральная функция не меняется от замены sinx на (-sinx), cosx на (-cosx), то есть R(-sinx,cosx) = R(sinx,cosx) . Применим подстановку tgx = t:

Вычисление интеграла путем пер ебрасывания интеграла через знак равенства.

Применим способ интегрирования по частям

Вынесли константу из-под знака интеграла.

Применим способ интегрирования по частям

Вот мы и пришли к ситуации, когда слева и справа от знака равенства стоит один и тот же интеграл.

Вычисляем интеграл и получаем

2.3. Применение темы в других дисциплинах

Различные методы изучения приложений интеграла в физике.

Авторы различных учебников по–разному выводят формулы при изучении приложений интеграла. Рассмотрим несколько различных методов получения (вывода) формул.

I. Составление интегральных сумм. Масса стержня переменной плотности. Будем считать, что отрезок [a; b] оси Ох имеет массу с переменной линейной плотностью ρ(х)0, где ρ(х) – непрерывная на отрезке [a; b] функция. Общая масса этого отрезка, где a=x₀

Читайте также: