Частотные критерии устойчивости реферат

Обновлено: 07.07.2024

Устойчивость - это свойство системы возвращаться в исходное состояние после вывода ее из состояния равновесия и прекращения действия возмущения. Устойчивость - это одно из основных требований, предъявляемых к системе. Если система не устойчива, то она не работоспособна. Рассмотрим математическое понятие устойчивости.

Движение линейной системы автоматического управления описывается линейным, неодноро д ным уравнением:

при этом правая часть - входное воздействие, а левая - реакция выхода.

Решение уравнения можно записать в виде:

где - представляет собой общее решение однородного уравнения и определяет переходный процесс; - представляет собой частное решение неоднородного уравнения и определяет установившийся режим.

Общее решение однородного уравнения имеет вид:

где: С_к - постоянные интегрирования, которые зависят от начальных условий; - корни характеристического уравнения:

Рассмотрим характер решения при различных значениях корней характеристического уравнения.

1. Если корни действительные однократные

2. Если корни действительные кратные

3. Если корни комплексно - сопряженные однократные

4. Пусть корни комплексно - сопряженные кратные

Для того чтобы система была устойчивой решение должно удовлетворять условию

Это условие выполняется, если корни характеристического уравнения системы расположены в левой полуплоскости комплексной плоскости P.

Для устойчивости линейной системы необходимо и достаточно, чтобы корни ее характеристического уравнения располагались в левой полуплоскости комплексной плоскости P.

Характеристическое уравнение системы можно представить в виде:

Если уравнение содержит хотя бы один положительный корень, то хотя бы один коэффициент характеристического уравнения будет отрицательным. Необходимое, но недостаточное условие устойчивости (при n > 2) системы - это положительность коэффициентов характеристического уравнения.

Для нахождения корней характеристического уравнения необходимо решать алгебраические уравнения. Аналитическое решение уравнений 3-го и 4-го порядка громоздки, а уравнение выше 4-го порядка не имеют аналитического решения.

В теории автоматического управления разработан ряд так называемых критериев устойчивости, которые позволяют, не решая уравнений определять устойчивость систем.

2. Критерий устойчивости Рауса-Гурвица

Для устойчивости линейной системы необходимо и достаточно, чтобы при а₀ >0 определитель Гурвица, составленный для характеристического уравнения , и все его диагональные миноры были положительны.

Определитель Гурвица имеет вид:

Диагональные миноры определяются соотношениями

Рассмотрим частные случаи

Для системы первого порядка (n = 1) характеристическое уравнение имеет вид:

Для системы второго порядка (n=2) характеристическое уравнение имеет вид:

Для системы третьего порядка (n = 3) характеристическое уравнение имеет вид:

Для систем 1-го и 2-го порядка положительность коэффициентов характеристического уравнения является необходимым и достаточным условием устойчивости системы. Для системы 3-го порядка должно выполняться дополнительное условие

Высокая точность, так как это алгебраический критерий.

Простота для систем невысокого порядка.

Необходимо иметь математическое описание системы.

Сложность применения для систем высокого порядка.

Рассмотрим примеры определения устойчивости по критерию Гурвица.

Пример 1. Определить устойчивость системы, если ее характеристическое уравнение имеет вид:

Условие устойчивости не выполняется, следовательно, система не устойчива.

Пример 2. Определить устойчивость если передаточная функция разомкнутой системы имеет вид

Определяем передаточную функцию замкнутой системы

Запишем характеристическое уравнение и условие устойчивости

Условие устойчивости выполняется, следовательно, система устойчива.

Пример 3. Для заданной системы (рис. 1) определить условие устойчивости и критический коэффициент усиления, т.е. коэффициент усиления, при котором система находится на границе устойчивости.

Определяем передаточную функцию разомкнутой системы

Определяем передаточную функцию замкнутой системы

Запишем характеристическое уравнение и условие устойчивости

4. Определим критический коэффициент усиления

3. Критерий устойчивости Михайлова

Для оценки устойчивости систем управления кроме алгебраических критериев, используются частотные критерии Михайлова и Найквиста.

Доказательство частотных критериев базируется на следствии из принципа аргумента.

Допустим, задан полином

Если система n - го порядка содержит m неустойчивых полюсов, то угол поворота вектора D (j) равен:

Формулировка критерия Михайлова:

Замкнутая система автоматического управления устойчива, если характеристическая кривая (годограф Михайлова), начинаясь на положительной вещественной оси в точке a_n, при изменении частоты 0 последовательно проходит число квадрантов равное степени характеристического полинома.

Пример 4. Допустим, задан характеристический полином системы

Годограф устойчивой системы имеет вид (рис. 3a).

Пример 5. Допустим, задан характеристический полином системы

Годограф устойчивой системы имеет вид (рис. 3б).

Пример 6. Допустим, задан характеристический полином системы

Годограф устойчивой системы имеет вид (рис. 3в).

Пример. Для заданной системы (рис. 4) определить условие устойчивости, частоту собственных колебаний системы и критический коэффициент усиления, т.е. коэффициент усиления, при котором система находится на границе устойчивости.

Определить устойчивость при T₁ = T₂ = 1 c и k_v = 1 c -1 .

Определяем передаточную функцию разомкнутой системы

Определяем передаточную функцию замкнутой системы

Запишем характеристическое уравнение

Определим частоту собственных колебаний системы и критический коэффициент усиления из условия границы устойчивости

Откуда частота собственных колебаний системы равна:

Критический коэффициент усиления равен:

Определим устойчивость при T1 = T2 = 1 c и kv = 1 c-1.

5. Строим характеристическую кривую(рис. 5) по данным, приведенным в таблице 1.

В соответствии с критерием Михайлова, рассматриваемая система является устойчивой.

4. Частотный критерий устойчивости Найквиста

Частотный критерий устойчивости Найквиста позволяет по виду частотной характеристики разомкнутой системы судить об устойчивости замкнутой системы, т.е. он применим для замкнутых систем.

Рассмотрим функцию, которая связывает характеристики разомкнутых и замкнутых систем

где D(p) - характеристический полином замкнутой системы;

A(p) - характеристический полином разомкнутой системы.

При этом степени полиномов A(p) и D(p) одинаковы исходя из условия физической реализуемости системы.

В соответствии со следствием из принципа аргумента

Рассмотрим разные случаи.

Система, устойчивая в разомкнутом состоянии.

Так как разомкнутая система устойчива, то она не содержит корней в правой полуплоскости (т.е. m = 0), для того чтобы и замкнутая система была устойчива, должно выполняться условие:

Графически это обозначает, что годограф вектора W (j) не охватывает начала координат, а вектора K (j) - точку с координатами (-1, j0), как показано на рис. 6. Точка с координатами (-1, j0) называется критической.

Система, неустойчивая в разомкнутом состоянии.

Так как разомкнутая система неустойчива, то она содержит m корней в правой полуплоскости, для того, чтобы замкнутая система была устойчивой, должно выполняться условие

Графически это обозначает, что годограф вектора K (j) охватывает точку с координатами (-1, j0) m/2 - раз.

Формулировка критерия Найквиста: Замкнутая система автоматического управления устойчива, если амплитудно-фазовая частотная характеристика разомкнутой, неустойчивой системы, имеющей m корней в правой полуплоскости, охватывает точку с координатами (-1, j0) m/2-раз.

Иногда по графику трудно определить охватывает ли АФХ критическую точку. В этом случае можно использовать правило переходов. Переходами называются точки пересечения АФХ отрезка оси (-.. - 1). Знак перехода определяется по следующему правилу: если фаза убывает - переход отрицательный.

Формулировка критерия Найквиста: Замкнутая система автома-тического управления устойчива, если разность положительных и отрицательных переходов равна m/2, где m - количество корней в правой полуплоскости разомкнутой неустойчивой системы, т.е.

Пример 8. Для заданной системы (рис. 7) определить условие устойчивости и критический коэффициент усиления.

Определить устойчивость при T₁ = T₂ = 1 c и k_v = 1 c -1 .

1. Определяем передаточную функцию разомкнутой системы

2. Строим АФХ разомкнутой системы

При T₁ = T₂ = 1 c и k_v = 1 c -1 АФХ разомкнутой системы имеет вид

При формулировке алгебраических критериев и критерия Михайлова не имеет значения, какой системы (разомкнутой или замкнутой) исследуется устойчивость, т. е. рассмотренные критерии в равной мере применимы для исследования устойчивости разомкнутой и замкнутой систем.

Алгебраические критерии и критерий Михайлова применяются для исследования устойчивости и разомкнутой и замкнутой систем.

Разомкнутая система – это система, в которой отсутствует обратная связь между входом и выходом, т.е. управляемая величина (выходная) не контролируется.

Замкнутая система – это система регулирования по отклонению, на вход УУ через обратную связь поступает информация о фактическом изменении выходной величины.

Критерий Найквиста предназначен для исследования только замкнутых систем. Он позволяет по виду амплитудно-фазовой частотной характеристики разомкнутой системы судить об устойчивости замкнутой системы.

АФЧХ разомкнутой системы – это кривая, которую описывает конец вектора частотной передаточной функции разомкнутой системы в комплексной плоскости.

1. Частотные критерии устойчивости

Частотными критериями называются критерии устойчивости, основанные на, построении частотных характеристик и кривой Михайлова.

Будут рассмотрены следующие частотные критерии: критерий Михайлова, Найквиста и логарифмический частотный критерий.

Рис.1 Схема для формулировки критерия Михайлова

Пусть характеристический полином системы равен:

Подставим в него :

Кривая Михайлова – это кривая, которую описывает конец вектора на комплексной плоскости при изменении от 0 до .

Критерий Михайлова. Для того чтобы система была устойчива, необходимо и достаточно, чтобы кривая Михайлова, начинаясь при с действительной положительной полуоси, при возрастании от 0 до последовательно обходила п квадрантов в положительном направлении, не попадая в начало координат (рис.1).

Пример Задан характеристический полином системы:

Оценить устойчивость системы по критерию Михайлова.

Сначала необходимо подставить в него , получим:

Для того, чтобы построить кривую Михайлова, представим характеристический полином в виде:

, т.е. ,

Для построения кривой составим таблицу:

Для построения АФЧХ составим таблицу:

где W₀ (0) = 1, то система называется астатической с астатизмом u-го порядка.

Как следует из критерия Найквиста, на устойчивость замкнутой системы влияет не конкретный вид амплитудно-фазовой частотной характеристики ее разомкнутой системы, а только то, сколько раз она охватывает точку (–1, j0). Это можно установить по числу переходов (пересечений) амплитудно-фазовой частотной характеристики отрезка (–¥, –1) действительной оси [левее точки (-1;j0)].

Положительный переход (при возрастании частоты) – переход АФЧХ отрезка (–¥, –1) сверху вниз.

Отрицательный переход — это переход АФЧХ отрезка (–¥, –1) снизу вверх (рис. 4, а).

То, сколько раз АФЧХ охватывает точку (–1, j0) в положительном направлении, равно разности между числами положительных и отрицательных переходов на отрезке (-¥, -1).

Поэтому критерий Найквиста можно сформулировать также следующим образом: для того чтобы замкнутая система была устойчива, необходимо и достаточно, чтобы разность между числами положительных и отрицательных переходов амплитудно-фазовой частотной характеристики разомкнутой системы отрезка (-¥, -1) была равна l/2 (l — число правых корней характеристического уравнения разомкнутой системы).

Используя связь между амплитудно-фазовой частотной характеристикой и логарифмическими частотными характеристиками, на основе критерия Найквиста нетрудно сформулировать логарифмический частотный критерий устойчивости.

При пересечении амплитудно-фазовой частотной характеристики отрезка (-¥, -1) А(w ) > 1 или L(w ) = 20 lqА (w ) > 0 амплитудно-фазовой частотной и

j (w ) = – (2i + 1)p, i = 0, 1, . .

Рис. 4 Схема для формулировки логарифмического частотного критерия

Логарифмический частотный критерий: Для того чтобы замкнутая система была устойчива, необходимо и достаточно, чтобы разность между числами положительных и отрицательных переходов логарифмической фазовой частотной характеристики разомкнутой системы прямых j (w ) = – (2i + 1)p, ( i = 0, 1, . ) при частотах, при которых L(w ) > 0 (логарифмическая амплитудная частотная характеристика положительна), была равна l/2 (l — число правых корней характеристического уравнения разомкнутой системы).

Положительный переход ЛФЧХ – это пересечение ЛФЧХ прямой j = – (2i + 1)p снизу вверх, отрицательный — сверху вниз (рис. 4, б, в).

W(s) = W₀ (s)e s t =P (s)e -s t /Q(s).

Наличие запаздывающего звена не влияет на характеристическое уравнение Q(l) = 0 и соответственно на устойчивость разомкнутой системы. Характеристическое уравнение замкнутой системы Q(l) + P(l)e - l t = 0 становится трансцендентным и к нему непосредственно нельзя применить алгебраические критерии и критерий Михайлова. Критерий Найквиста (включая логарифмический частотный критерий) остается справедливым без изменений для систем с запаздыванием.

Частотная передаточная функция системы с чистым запаздыванием

W(jw) =/W₀ (jw)/e j[ j( w)- w t] отличается от частотной передаточной функции системы без чистого запаздывания W(jw) = W₀ (jw)/e - j j( w) только дополнительным сдвигом фазы q(w) =-wt. Запаздывание может сделать устойчивую без запаздывающего звена систему неустойчивой.

Сравнительная характеристика алгебраических и частотных критериев устойчивости. Построение частотных характеристик является более трудоемким, чем вычисление определителей, необходимых для установления устойчивости. Поэтому если параметры системы фиксированы и нужно проверить только ее устойчивость, то, когда это возможно, лучше пользоваться алгебраическими критериями. Если система задается только частотными характеристиками, снятыми экспериментально, или она содержит звено чистого запаздывания, то следует воспользоваться частотными критериями, так как в этом случае алгебраические критерии непригодны.

Как показано в гл. 6, частотные характеристики позволяют судить и о качестве системы. И поэтому если кроме проверки устойчивости нужно оценить качество системы, то и в этом случае целесообразно использовать частотные критерии.

2. Методы выделения области устойчивости

Критерии устойчивости позволяют характеризовать устойчивость системы, если все ее параметры фиксированы. Но часто приходится решать задачу, когда часть параметров системы не фиксирована и их (варьируемые параметры) нужно выбрать так, чтобы система была устойчива и выполнялись какие-либо дополнительные требования к ней. В этих случаях возникает необходимость определения множества всех тех значений варьируемых параметров, при которых система устойчива. Это множество называют областью устойчивости в пространстве параметров, т. е. во множестве различных значений варьируемых параметров.

Область устойчивости – это множество всех значений варьируемых параметров, при которых система устойчива.

Задачу выделения области устойчивости в простейших случаях можно решить, используя критерии устойчивости.

Граница устойчивости . Если часть корней характеристического уравнения находится на мнимой оси, а остальные корни — в левой полуплоскости, то считают, что система находится на границе устойчивости. Значения параметров, при которых система находится на границе устойчивости, называются граничными.

Чтобы найти граничные значения, можно воспользоваться любым из рассмотренных критериев устойчивости. При использовании алгебраических критериев нужно исходить из условия, что система находится на границе устойчивости, если часть коэффициентов и определителей Гурвица равна нулю, остальная часть — больше нуля. Поэтому для определения граничных значений варьируемых параметров нужно приравнять нулю наиболее критичные коэффициенты и определители. Обычно среди коэффициентов такими являются а₀ и а_n , а среди определителей (предпоследний определитель Гурвица).

Поэтому можно составить следующие три условия нахождения системы на границе устойчивости:

3) =0.

После нахождения варьируемых параметров из этих уравнений нужно проверить остальные неравенства, входящие в условие устойчивости. Нужно, чтобы они были больше нуля или равны нулю при найденных значениях варьируемых параметров. Тогда найденные значения будут граничными.

Метод Д-разбиения; Выделение области устойчивости на плоскости одного параметра.

3. Методы выделения области устойчивости

Область устойчивости – это множество всех значений варьируемых параметров, при которых система устойчива.

Задачу выделения области устойчивости в простейших случаях можно решить, используя критерии устойчивости.

Поэтому можно составить следующие три условия нахождения системы на границе устойчивости:

6) =0.

В работе рассмотрены частотные, критерии которые применяются для исследования устойчивости разомкнутой и замкнутой систем.
При формулировке частотных критериев не имеет значения, какой системы (разомкнутой или замкнутой) исследуется устойчивость, т. е. рассмотренные критерии в равной мере применимы для исследования устойчивости разомкнутой и замкнутой систем.

Содержание работы

Содержимое работы - 1 файл

Реферат ТАУ.docx

Министерство образования Российской Федерации

ТОМСКИЙ ПОЛИТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ

Реферат на тему:

“Частотный критерий устойчивости”

Выполнил студент группы 8Н00

Список использованной литературы…………………………………………5

Частотные критерии и применяются для исследования устойчивости разомкнутой и замкнутой систем.

При формулировке частотных критериев не имеет значения, какой системы (разомкнутой или замкнутой) исследуется устойчивость, т. е. рассмотренные критерии в равной мере применимы для исследования устойчивости разомкнутой и замкнутой систем.

Наиболее распространенный критерий устойчивости – критерий Найквиста.

Частотные характеристики устойчивости – это графоаналитические методы, позволяющие по виду частотных характеристик САУ судить об их устойчивости. Их общее достоинство в простой геометрической интерпретации, наглядности и в отсутствии ограничений на порядок дифференциального уравнения.

Запишем характеристический полином САУ в виде

D(p) = a0* (p - p1)* (p - p2)*. * (p - pn) = 0.

Каждый корень можно изобразить вектором на комплексной плоскости, тогда разность p - pi изобразится разностью векторов, где p - любое число. Еcли менять значение p произвольным образом, то конец вектора p - pi будет перемещаться по комплексно плоскости, а его начало будет оставаться неподвижным, так как pi - это конкретное неизменное значение. В частном случае, если на вход системы подавать гармонические колебания с различной частотой ω, то p = jω, а характеристический полином принимает вид:

D(jω) = a0* (jω - p1) (jω - p2)*. * (jω - pn),

При этом концы векторов jω - pi будут находиться на мнимой оси. Если менять ω от - ∞ до + ∞, то каждый вектор jω - pi будет поворачиваться относительно своего начала pi на угол +p для левых и - p для правых корней.

Характеристический полином можно представить в виде:

D(jω) = |D(jω)|expjarg(D(jω)), где |D(jω)| = a0 |jω - p1| |jω - p2|. |jω - pn|,

arg(D(jω)) = arg(jω - p1) + arg(jω - p2) + .. + arg(jω - pn).

Пусть из n корней m - правые, а n - m - левые, тогда угол поворота вектора D(jω) при изменении ω от - ∞ до +∞ равен:

Отсюда вытекает правило: изменение аргумента вектора b при изменении частоты ω от - ∞ до +∞ равно разности между числом левых и правых корней уравнения D(p) = 0, умноженному на π, а при изменении частоты ω от 0 до +∞ эта разность умножается на π/2.

Это и есть принцип аргумента. Он положен в основе всех частотных критериев устойчивости.

Критерий Найквиста - это графоаналитический критерий. Позволяет судить об устойчивости замкнутой системы автоматического управления по амплитудно- фазовой или логарифмической частотной характеристике разомкнутой системы.

передаточная функция разомкнутой системы

После подстановки s=jω, получим

W(jω)- АФЧХ разомкнутой САУ;
W(jω)=U(ω)+jV(ω).

Где U(ω)- вещественная частотная характеристика САУ;

V(ω)- мнимая частотная характеристика САУ.

W(jω)=A(ω)exp(jθ(ω))=U(ω)+jV( ω);
A(ω)=|W(jω)| - амплитудно-частотная характеристика;

Функция "чтения" служит для ознакомления с работой. Разметка, таблицы и картинки документа могут отображаться неверно или не в полном объёме!

Частотные критерии устойчивости – 2 часа Введение При формулировке алгебраических критериев и критерия Михайлова не имеет значения, какой системы (разомкнутой или замкнутой) исследуется устойчивость, т. е. рассмотренные критерии в равной мере применимы для исследования устойчивости разомкнутой и замкнутой систем.

АФЧХ разомкнутой системы – это кривая, которую описывает конец вектора частотной передаточной функцииразомкнутой системы в комплексной плоскости. 1. Частотные критерии устойчивости Частотными критериями называются критерии устойчивости, основанные на, построении частотных характеристик и кривой Михайлова.

Рис.1 Схема для формулировки критерия Михайлова Пусть характеристический полином системы равен: Подставим в него : Кривая Михайлова – это кривая, которую описывает конец вектора на комплексной плоскости при измененииот 0 до .

Критерий Михайлова. Для того чтобы система была устойчива, необходимо и достаточно, чтобы кривая Михайлова, начинаясь прис действительной положительной полуоси, при возрастанииот 0 допоследовательно обходила п квадрантов в положительном направлении, не попадая в начало координат (рис.1).

Пример Задан характеристический полином системы:

.Оценить устойчивость системы по критерию Михайлова.

Сначала необходимо подставить в него , получим: . Для того, чтобы построить кривую Михайлова, представим характеристический полином в виде:, т.е. ,Для построения кривой составим таблицу:

0 0 (логарифмическая амплитудная частотная характеристика положительна), была равна l/2 (l — число правых корней характеристического уравнения разомкнутой системы).

Положительный переход ЛФЧХ – это пересечение ЛФЧХ прямой = – (2i + 1) снизу вверх, отрицательный — сверху вниз (рис. 4, б, в).

Устойчивость систем с запаздыванием. Если система содержит звено чистого запаздывания, включенного последовательно с ее остальной частью, то передаточная функция разомкнутой системы имеет вид W(s) = W0 (s)es =P (s)e-s/ Q(s). Наличие запаздывающего звена не влияет на характеристическое уравнение Q() = 0 и соответственно на устойчивость разомкнутой системы. Характеристическое уравнение замкнутой системы Q() + P()e- = 0 становится трансцендентным и к нему непосредственно нельзя применить алгебраические критерии и критерий Михайлова. Критерий Найквиста (включая логарифмический частотный критерий) остается справедливым без изменений для систем с запаздыванием.

Это графоаналитические методы, позволяющие по виду частотных характеристик САУ судить об их устойчивости. Их общее достоинство в простой геометрической интерпретации, наглядности и в отсутствии ограничений на порядок дифференциального уравнения.

9.1. Принцип аргумента

Запишем характеристический полином САУ в виде

Каждый корень можно изобразить вектором на комплексной плоскости (рис.68а), тогда разность p - p _i изобразится разностью векторов (рис.68б), где p - любое число.

Еcли менять значение p произвольным образом, то конец вектора p - p _i будет перемещаться по комплексно плоскости, а его начало будет оставаться неподвижным, так как p _i - это конкретное неизменное значение.

В частном случае, если на вход системы подавать гармонические колебания с различной частотой , то p = j , а характеристический полином принимает вид:

При этом концы векторов j - p _i будут находиться на мнимой оси (рис.68в). Если менять от - до + , то каждый вектор j - p _i будет поворачиваться относительно своего начала p _i на угол +p для левых и - p для правых корней (рис.68г).

Характеристический полином можно представить в виде

arg(D(j)) = arg(j - p ₁ ) + arg(j - p ₂ ) + .. + arg(j - p _n ).

Пусть из n корней m - правые, а n - m - левые, тогда угол поворота вектора D(j) при изменении от - до + равен

или при изменении от 0 до + получаем

Отсюда вытекает правило: изменение аргумента вектора b при изменении частоты от - до + равно разности между числом левых и правых корней уравнения D(p) = 0 , умноженному на , а при изменении частоты от 0 до + эта разность умножается на /2 .

Это и есть принцип аргумента . Он положен в основе всех частотных критериев устойчивости. Мы рассмотрим два наиболее распространенных критерия: критерий Михайлова и критерий Найквиста.

9.2. Критерий устойчивости Михайлова

Так как для устойчивой САУ число правых корней m = 0 , то угол поворота вектора D(j) составит

То есть САУ будет устойчива, если вектор D(j) при изменении частоты от 0 до + повернется на угол n/2 .

При этом конец вектора опишет кривую, называемую годографом Михайлова . Она начинается на положительной полуоси, так как D(0) = a _n , и последовательно проходит против часовой стрелки n квадрантов комплексной плоскости, уход в бесконечность в n - ом квадранте (рис.69а).

Если это правило нарушается (например, число проходимых кривой квадрантов не равно n , или нарушается последовательность прохождения квадрантов (рис.69б)), то такая САУ неустойчива - это и есть необходимое и достаточное условие критерия Михайлова .

Достоинства . Этот критерий удобен своей наглядностью. Так, если кривая проходит вблизи начала координат, то САУ находится вблизи границы устойчивости и наоборот. Этим критерием удобно пользоваться, если известно уравнение замкнутой САУ.

Для облегчения построения годографа Михайлова выражение для D(j) представляют суммой вещественной и мнимой составляющих:

Меняя от 0 до по этим формулам находят координаты точек годографа, которые соединяют плавной линией.

9.3. Критерий устойчивости Найквиста

Этот критерий позволяет судить об устойчивости замкнутой САУ по виду АФЧХ разомкнутой САУ (рис.70). Исследование разомкнутой САУ проще, чем замкнутой. Его можно производить экспериментально, поэтому часто оказывается, что АФЧХ разомкнутой САУ мы имеем или можем получить.

Передаточная функция разомкнутой САУ:

W _p (p) = W p (p)/D p (p) = > уравнение динамики: y(t) = e(t) ,

D p (p)y(t) = K p (p)e(t).

Здесь D p (p) - характеристический полином разомкнутой САУ. То есть по виду корней уравнения D p (p) = 0 можно судить об устойчивости разомкнутой САУ. Но это пока ничего не говорит об устойчивости замкнутой САУ.

Для того, чтобы получить уравнение динамики замкнутой САУ при свободном движении, считаем, что внешнее воздействие u = 0 , тогда на вход первого звена САУ подается сигнал

e(t) = u(t) - y(t) = - y(t).

D p (p)y(t) = K p (p)( - y(t)),

следовательно уравнение замкнутой САУ:

(D p (p) + K p (p))y(t) = 0.

Таким образом, характеристическое уравнение замкнутой САУ:

D_з(p) = D p (p) + K p (p) = 0.

По виду его корней уже можно судить об устойчивости замкнутой САУ.

Воспользуемся вспомогательной функцией:

По сути дела она представляет собой АФЧХ разомкнутой САУ, сдвинутую на единицу вправо. Степени полиномов D з (j) и D p (j) равны n. Эти полиномы имеют свои корни p_зi и p _pi , то есть можно записать:

Каждую разность в скобках можно представить вектором на комплексной плоскости, конец которого скользит по мнимой оси (рис.63в). При изменении от - до + каждый из векторов j - p _i будет поворачиваться на угол +p , если корень левый и -p , если корень правый.

Пусть полином Dз(jw) имеет m правых корней и n - m левых, а полином D p (j) имеет g правых корней и n - g левых. Тогда суммарный угол поворота вектора функции F(j) при изменении частоты от - до + :

p[(n - m) - m)] - p[(n - g) - g] = 2p(g - m).

Если замкнутая САУ устойчива, то m = 0 , тогда суммарный поворот вектора F(j) при изменении от - до + должен быть равен 2g , а при изменении от 0 до + он составит 2g/2 .

Отсюда можно сформулировать критерий устойчивости Найквиста : если разомкнутая САУ неустойчива и имеет g правых корней, то для того, чтобы замкнутая САУ была устойчива необходимо и достаточно, чтобы вектор F(j) при изменении от 0 до + охватывал начало координат в положительном направлении g/2 раз, то есть АФЧХ разомкнутой САУ должна охватвать g/2 раз точку ( - 1, j0) .

На рис.71а приведены АФЧХ разомкнутых САУ, устойчивых в замкнутом состоянии, на рис.71б - замкнутая САУ неустойчива.

На рис.71в и 71г показаны АФЧХ разомкнутых астатических САУ, соответственно устойчивых и неустойчивых в замкнутом состоянии. Их особенность в том, что АФЧХ при 0 уходит в бесконечность.

В этом случае при использовании критерия Найквиста ее мысленно замыкают на вещественную ось по дуге окружности бесконечно большого радиуса.

Достоинство . Критерий Найквиста очень нагляден. Он позволяет не только выявить, устойчива ли САУ, но и, в случае, если она неустойчива, наметить меры по достижению устойчивости.

Читайте также: