Бесконечность в математике реферат
Обновлено: 25.06.2024
Бесконечность является одним из важнейших понятий в жизни человека. Нельзя сказать, что понятие бесконечности относится только к математике, физике, философии или любой другой области человеческого знания. Бесконечность является понятием, для исследования которого необходим комплексный подход, использующий знания различных научных дисциплин. Однако важнейшими являются философия и математика.
Понимание бесконечности находит своё начало в работах античных философов. С развитием европейской мысли и христианства они находят своё развитие в работах европейских философов и богословов. Бесконечность тесно связана не только с математической её интерпретацией, а вообще с пониманием бесконечной природы Вселенной. Бесконечность вариантов развития окружающего нас мира приводит к мыслям о бесконечном числе миров.
Если же рассматривать математическую сторону понимания бесконечности, то возникает проблема описания её формальной теоретической базой. Так или иначе, мы сталкиваемся с противоречиями в теории, утверждениями, которые нельзя ни доказать, ни опровергнуть.
Первые философы античности были также и математиками, что изначально обусловило связь философских и математических концепций понимания бесконечности. Несмотря на многовековые размышления многих философов и математиков на тему бесконечности, до сих пор вопрос формализации взглядов на бесконечность остаётся открытым. В данном реферате исследована история формирования взглядов на проблему бесконечности от античности до настоящего времени, а также философские и математические аспекты проблемы бесконечности.
Проблема бесконечности в философии
Вначале приведём определение бесконечности, данное в [1, с. 246].
Бесконечное (бесконечность) – философское понятие, обозначающее безграничность и беспредельность как в бытийственном, так и в познавательном смысле.
Можно поспорить с тем, что бесконечность – это чисто философское понятие. Скорее, это понятие, объединяющее философию, математику, космологию. Однако, возникнув как математическое понятие, бесконечность сразу стала предметом исследования философов. Этому способствовал тот факт, что первые философы античности в большинстве своём были и математиками. В этой главе мы проследим историю именно философских взглядов на проблему бесконечности.
Но сначала дадим ещё два определения, которые нам потребуются в дальнейшем.
Потенциальная бесконечность – возможность неограниченной продолжимости конечной величины (ряда конечных величин).
Актуальная бесконечность – завершённая бесконечность (абстрактная бесконечная прямая, элемент ∞ расширенного множества действительных чисел, и т.д.).
Эти определения, эти два аспекта бесконечности являются ключевыми моментами проблемы бесконечного.
И, представьте себе, эти опасения оказались не напрасными! Спустя некоторое – довольно продолжительное – время случай снова поманил меня к архивным изысканиям. В заброшенной деревне Копьево Костромской области, где я проводил лето, рухнул от ветхости дом, и я, глядя не еще пылящую кучу старых бревен, соломы, ободранных обоев, вспомнил историю будниковского архива. А вдруг?!
Отказ от исключения
. одни сотрудники все время занимались делением нуля
в командировки на бесконечность.
А. и Б. Стругацкие. Понедельник начинается в субботу
Весь предшествующий опыт утверждает нас
в вере, что природа представляет собой реализацию
простейших математически мыслимых элементов.
А. Эйнштейн. О методе теоретической физики.
Спенсеровская лекция, 10 июля 1939 г.
Кстати, скажу для профессионалов, что и о работах индийского математика и астронома VI. VII вв. Брахмагупты, который рассматривал употребление нуля во всех арифметических действиях, я тогда, летом 1966 г., абсолютно ничего не знал.
Итак, утверждение: нуль есть число.
Дорогу осилит идущий.
Ригведа. Гимн щедрости, X век до н.э.
Еще раз. Для ясности, k-число так же конкретно и единственно, как и любое другое число. Просто раньше бесконечность являлась той мусорной кучей, куда валили обломки всех функций, разбившихся при делении на нуль.
(Хм. Опять мотив мусорной кучи, в которой и была найдена эта рукопись. Но не в этом дело. Фраза у автора получилась выразительной, но по сути она неправильна, ибо с натяжкой может быть отнесена лишь к потенциальной бесконечности, к актуальной же и вовсе неприменима. Кроме того, в ней подразумевается, что нуль – это предел функции, и бесконечность – функциональная. В тексте же рассматривается числовая бесконечность. Но не будем придираться, как всякая образная фраза, интуитивно она может быть и глубока. – Ю.Л.)
Более того, k-числа – продолжение оси действительных чисел:
1 - 2 - 3 - 4 - 5 - 6 - 7 - 8 - 9 - . - k - 2k - 3k - 4k - 5k - 6k- .
А что такое ∞·k? Может быть, это – k 2 ? В таком случае – опять качественный скачок в направлении возрастания чисел и числовая ось принимает вид:
0 - 1 - 2 - . - k - 2k - 3k - . - k 2 - 2k 2 - 3k 2 - . - k 3 - 2k 3 - 3k 3 - . - k n -
Эти отрезки числовой оси имеют качественные границы k, k 2 , . k n . Но они не изолированы друг от друга. Все тот же нуль связывает их. Действительно,
k 2 ·0 = k·k·0 = k·1/0·0 = k,
ибо нуль – число, и его можно сокращать как обычные числа. Отсюда правило: при умножении на нуль в области чисел вида k n происходит переход в область чисел вида k n–1 . При делении на нуль, что равносильно умножению на k, происходит переход в область k n+1 .
Разбросанным в пыли по магазинам
(Где их никто не брал и не берет!)
Моим стихам, как драгоценным винам,
Настанет свой черед.
М.И. Цветаева, май 1913 г., Коктебель
(Может быть, именно эта пропыленность и мешает современным математикам воспринимать ее серьезно? Ведь k-числа не только не вошли в школьные учебники, но и среди преподавателей математики мало кто о них знает. – Ю.Л.)
Но хватит эмоций. Продолжу цитату:
(Да, Эйлер говорил вполне внятно. Но слушали его почему-то впол-уха. – Ю.Л.)
Если же существуют математические предметы, то необходимо,
чтобы они либо находились в чувственно воспринимаемом.
либо существовали отдельно от чувственно воспринимаемого.
а если они не существуют ни тем, ни другим образом, то они либо
вообще не существуют, либо существуют иным способом.
Аристотель, Метафизика, кн. 13, гл. 1
Итак, числовая ось включает качественно однородные отрезки, разделенные особыми точками. Назовем их точками связи. Удобно рассматривать математику целых k-чисел. Обобщение может быть получено при умножении целых k-чисел на некое неравное целому a. Рассмотрим отрезки между точками связи. Начнем с отрезка от 1 до k. Далее – от k до k 2 , еще далее – от k 2 до k 3 . В этой серии отрезков обобщенной числовой оси точками связи являются числа вида k n , где n – целое положительное. Продвигаясь в том же направлении далее, мы встретимся с точками связи нового вида: при n = k точка связи имеет вид k k . Точки связи в первой серии можно назвать точками связи первого рода (символ k входит в них один раз), во второй – точками связи второго рода (символ k входит в них два раза). Например, k k , k 2k , k k^2 , k k+1 и т.д. Но и они не замыкают последовательность! Возникают точки связи третьего рода: k k^k ! А там и четвертого, пятого. Качественное разнообразие числовой оси безгранично. И безгранично велико разнообразие качественно различных бесконечных чисел.
(А почему, собственно, нужно тут удивляться? Бесконечность – это элемент некоего непустого множества, и было бы более удивительно, если бы оно вдруг оказалось единичным. – Ю.Л.)
Дали точный адрес.
Б. Пастернак. Звезды летом.
k –2 = 1/k 2 = 1/(1/0) 2 = 0 2 !
Вглядимся попристальнее в нуль. Сначала мы увидим:
- –1 - 0 - +1 - или - –k 0 - k –1 - +k 0 -
- –0 - 0 2 - +0 - или - –k –1 - k –2 - +k –1 -
И наконец, поняв идею сложного строения нуля:
- –0 n–1 - 0 n - +0 n–1 - или - –k –(n–1) – k –n - +k –(n–1) -
Таким образом, нуль безгранично глубок, а граница между плюсом и минусом более непроницаема, чем граница между единицей и бесконечностью, поскольку во втором случае между единицей и бесконечностью одна точка связи первого рода – k, а в первом – неисчислимое множество точек связи как угодно большого рода.
В самом деле, когда же было иначе, когда это порицалось,
когда запрещалось, когда нельзя было того, что можно?
Оказывается, k-числа не могут пожаловаться на отсутствие внимания к себе. На одну известную мне работу в этой области – уже цитировавшегося Эйлера – есть по крайней мере две критические заметки. Представляю их в хронологической последовательности с сохранением грамматики:
1/(1 – a) = 1 + a + a 2 + a 3 + . + a n + a n+1 /(1 – a)
и пишет: «Положим, во-первых, а = 1; наш ряд сделается:
1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + и так далее бесконечно;
1/(1 – a) = 1 + a + a 2 + a 3 + . + a n + a n+1 /(1 – a).
Когдаположима = 1, товыйдет 1/0 = 1 + 1 + 1 + . + 1/0 или 1/0 + n + 1 = 1/0, и когда 1/0 почитать за количество, то выйдет n + 1 = 0, что совсем нелепо.
Когда в выражении 1/0 = n + 1 + 1/0 оба количества умножить на нуль, то выйдет
1 = (n + 1)·0 + 1 или 1 = 1, что весьма справедливо; и так то же самое выражение
Весьма обстоятельно, но. неверно! Ошибка Висковатова заключается в том, что из-за отсутствия четкого понятия k-числа и его разрядов он не понял сущности суммы
В данном случае в правой части стоит сумма k + n + 1, где n + 1 = (n + 1)·k 0 , т.е. сумма k и k 0 , каковая может быть записана просто как k (по аналогии с 1 + 0 = 1). Умножая же на нуль обе части, мы переводим их в разряд k-чисел низшего порядка. А здесь аналогичное равенство привычно, а потому и очевидно: 1 + 0 = 1.
(Автор вступился за честь Эйлера. Это невеликий подвиг! Вот если кто-то вступится за Висковатова против Эйлера и автора – это будет мужественным поступком. Конечно, если причина тому не простое упрямство. – Ю.Л.)
1/0 = 1/(1 – 1) = 1 + 1 + 1 + .
Может быть, кто-то сочтет мое утверждение кощунственным, но я все-таки рискну утверждать: в данном случае Маркс был не прав! Хотя и убедительно продемонстрировал недостаточную доказательность эйлеровского утверждения о том, что 2/0 > 1/0. Доказать же это более строго можно следующим образом:
1/0 = 1/(1 – 1) = 2·1/(2·(1 – 1)) = 2/(2·0) = 1/0.
Ошибка Маркса в том, что 2·0 ≠ 0, так как 2·0 = 2·k –1 , что совсем не то же самое, что k –1 .
- Для учеников 1-11 классов и дошкольников
- Бесплатные сертификаты учителям и участникам
Что такое бесконечность?
Юсупова Рената Радиковна
Ярмухаметова Нина Николаевна, учитель математики
Методы и методики исследования, использованные в работе.
Знакомство с Давидом Гильбертом;
Вклад Давида Гильберта в математику;
Что такое бесконечность;
Цели работы
Дать определение бесконечности.
Изучить вклад Гильберта в науку.
Методы и методики исследования, использованные в работе
Анализ литературы и ресурсов Интернета по данной теме.
Представьте себе гостиницу с бесконечным числом комнат. Комнаты пронумерованы натуральными числами, от 1 до ю. В один прекрасный день в нашу гостиницу вошел человек и попросил снять комнату. К сожалению, для нашего гостя не нашлось комнаты, так как именно в этот день отель был полностью заполнен бесконечным числом гостей. Выгнать гостя? Или все же есть возможность предоставить ему свободную комнату, не выселяя никого из постояльцев?
А как быть, если гостей - несколько? А если бесконечно много?
Эту задачу предложил немецкий математик Давид Гильберт где-то в третьем десятилетии XX века, он же дал ее изящное решение. Прежде чем ознакомить вас с ответом, дадим вам немного времени поразмыслить самостоятельно, а пока познакомимся с краткой биографией гения, который научил человечество справляться с бесконечностью.
Давид Гильберт
Давид был одним из величайших умов своего времени. Среди большого числа его учеников, которые впоследствии стали видными учеными, были Джон Фон Нейман (один из родоначальников информатики), Герман Вейль (физик-теоретик), Рихард Курант (математик и педагог), Эммануил Ласкер (гроссмейстер). Гильберт также консультировал Эйнштейна при разработке тензорного анализа — фундамента теории относительности.
Его называют последним всесторонним математиком и самым замечательным учителем математиков 20 века. Но биография у Гильберта была самая обыкновенная. Он родился в столице Пруссии — Кенигсберге (ныне Калининград) незадолго до того, как Пруссия под руководством
Бисмарка объединила все немецкие государства в новую (вторую) Германскую империю. Гильберт пережил взлет этой державы, а затем — ее распад в конце первой Мировой войны. Потом возникла недолговечная Веймарская республика; за нею последовали Гитлеровская империя и вторая Мировая война. Этих потрясений хватило бы на много жизней; но до поры до времени Гильберт ухитрялся избегать участия в политике и войнах.
Вундеркиндом он не был, а был типичным "классиком". То есть, Гильберт поочередно старался понять каждую область математики на всю ее глубину и решить в ней те задачи, которые его интересовали. Когда полет фантазии и творческий взрыв прекращались, Гильберт оставлял это поле деятельности своим ученикам. Но оставлял в полном порядке, написав хороший учебник для всех последователей и прочтя соответствующий курс для студентов.
Еще в Кенигсберге Гильберт ощутил себя лидером среди сверстников в науке, хотя зазнайство было ему чуждо. Стать главою математической школы — такая мечта пришла на ум сама собой. Но где свить свое гнездо? Этот вопрос потребовал долгих раздумий. В Кенигсберге профессия математика была не в почете; в столичном Берлине слишком большую роль играли военные и чиновники. Зато тихий Геттинген, осененный славными именами Гаусса и Римана, оставался местом паломничества немецкой математической молодежи. В 1895 году Гильберт переехал туда и успешно проработал до 1933 года — пока к власти не пришел Гитлер.
Подобно Гауссу, Гильберт начал свои исследования с алгебры. 19 век преобразил эту науку; пришла пора навести в ней порядок, и Гильберт начал реформу с теории чисел. Поводом стал заказ от Математического общества: сделать обзорный доклад о современном состоянии теории чисел и о перспективах ее развития. С этим заданием Гильберт справился бы за полгода, но увлекся этой работой на добрых 5 лет. В итоге "Доклад о числах" превратился в учебник объемом в 400 страниц, где отразились все яркие новинки, такие как достижения Эрнста Куммера или Феликса Клейна. Гильберт довел эту область алгебры до совершенства и оставил ее в покое.
Один из примеров - давняя проблема англичанина Варинга. Известно, что каждое натуральное число является суммой не более чем 4 квадратов, или не более 9 кубов. Правда ли, что для всякой степени ( n ) найдется число (к) такое, что любое натуральное N будет суммой не более чем (к) разных (п)-ных степеней? Только в 1909 году эта проблема покорилась усилиям Гильберта.
После первых алгебраических увлечений интерес Гильберта сместился в геометрию, причем сразу в две ее области: классическую геометрию
Евклида и геометрию бесконечномерных пространств, называемую функциональным анализом. Среди всех векторных пространств, составленных из функций, Гильберт выделил самое удобное: то, в котором определены расстояние между точками, угол между векторами и предел последовательности точек. Этот аналог евклидова пространства теперь называют гильбертовым пространством. Его геометрические свойства проявляются в решениях дифференциальных уравнений и в более сложных задачах "криволинейной" геометрии.
В евклидовой геометрии Г ильберт хотел просто навести порядок. Ведь за 23 столетия требования к строгости рассуждений значительно выросли, и пробелы в тексте Евклида сделались нетерпимы. В 1899 году Гильберт предложил новую систему из 20 аксиом, среди которых явно не было ни одной лишней и (казалось) не было пробелов. Гильберт подчеркнул логическое совершенство своей конструкции шутливой фразой: "Справедливость аксиом и теорем ничуть не поколеблется, если мы заменим привычные термины "точка, прямая, плоскость" другими, столь же условными: "стул, стол, пивная кружка"!
Этот успех внушил Гильберту надежду, что в каждой области математики можно ввести полную и строгую систему из необходимых и достаточных определений и аксиом. Вывод всех прочих утверждений из этих основ можно будет формализовать так, что он станет доступен вычислительной машине. Правда, она будет медленно ползти к той цели, которой человеческий разум нередко достигает одним дерзким прыжком. Зато каждую догадку можно будет проверить — медленно, но надежно.
Гильберт сознавал, что эта его надежда является гипотезой и требует тщательной проверки. В качестве контрольного примера он выбрал общую теорию множеств, а в ней — знаменитую континуум-гипотезу Кантора. Существует ли на отрезке несчетное множество мощности меньшей, чем сам отрезок? Безуспешно пытаясь построить такое множество, Георг Кантор довел себя до психического расстройства. Напротив, Гильберт попробовал доказать НЕДОКАЗУЕМОСТЬ континуум-гипотезы — и это ему удалось. Но когда он попытался доказать ее НЕОПРОВЕРЖИМОСТЬ, то потерпел неудачу. Успех в этом деле пришел лишь в 1963 году к американцу Полю Коэну и чеху Карелу Вопенке.
Такой результат немало порадовал бы Гильберта: он доказывает, что континуум-гипотеза является одной из необходимых аксиом теории множеств. Но еще при жизни Гильберта постигло в этой сфере тяжкое разочарование. В 1931 году молодой австриец Курт Гедель доказал, что утверждения вроде континуум-гипотезы (не доказуемые и не опровержимые)
найдутся в ЛЮБОЙ системе аксиом. Были они в системе Евклида: таков "пятый постулат" о параллельных прямых. Есть они в теории множеств: такова "аксиома выбора", такова же континуум-гипотеза. Есть они даже в арифметике — и впредь будут во всякой формальной модели любой из областей математики!
Значит, надежда Гильберта на полную формализацию каждой области математики была ошибкой? Да, таков приговор природы; обжалованию он не подлежит. Но его можно воспринять и с оптимизмом: из теоремы Геделя следует, что развитие любой области науки никогда не прекратится! Правда, для этого придется регулярно изобретать новые определения и аксиомы, вытекающие из существа дела. Гильберт это знал по опыту; поэтому он не только огорчался, но и радовался поразительному открытию Геделя. Приятно, когда природа оказывается еще богаче, чем ты надеялся!
Но если изобретение универсальной системы аксиом не может стать единственным или главным знаменем для развивающейся математики, то, что нужно добавить к этому знамени? Ясно, что: решение новых задач! Эта работа приносит ученому все новые радости, побуждает его к новым усилиям. Значит, в любой момент времени все математики должны иметь ясное представление о важнейших нерешенных проблемах своей науки. Долг сильнейших математиков — не только решать такие задачи, но и ставить новые проблемы на смену решенным. Гильберт вступил на этот путь в 38 лет
в 1900 году, когда он сделал на Парижском математическом конгрессе доклад "Математические проблемы". С тех пор прошел целый век — и видно, что ни один математик не превзошел Гильберта своим влиянием на развитие науки.
Какие же задачи Гильберт считал тогда главными для математики? Во- первых, обоснование ее новых, бурно развивающихся ветвей: теории множеств, математической логики, теории чисел, алгебраической геометрии, функционального анализа. В каждой их этих областей Гильберт выделил одну-две задачи, — наиболее просто формулируемые и трудные для решения. Таковы континуум-гипотеза и непротиворечивость арифметики, распределение простых чисел и трансцендентность числа е. , классификация непрерывных групп и разрешимость диофантовых уравнений.
К концу 20 века все эти задачи либо решены, либо доказана их неразрешимость. Но каждая решенная проблема породила букет новых проблем еще большей сложности и такой же красоты — так что Гильберт верно угадал самые перспективные точки роста на тысячелетнем древе математической науки.
Особняком стоит в списке Гильберта проблема 6: "Дать математи
ческое изложение аксиом физики". Это — прямое развитие программы Ньютона на пути великих успехов и неудач Максвелла, Планка и Эйнштейна. Гильберт не стал подробно излагать этот вопрос, будучи уверен: каждое крупное открытие в физике ставит перед математиками уйму новых красивых задач, и этому процессу конца не будет!
Лет через 20 молодые ученики в шутку спросили Гильберта: решение какой задачи было бы сейчас полезнее всего для математики? Стареющий профессор ответил вполне серьезно: "Поймать муху на обратной стороне Луны!" Ученики опешили, а Гильберт объяснил: "Сама эта задача никому не нужна. Но подумайте: если она будет решена, то, какие могучие методы придется изобрести для этого, и какое множество других важных открытий мы при этом сделаем!"
Жизнь подтвердила правоту Гильберта и в этом случае. Вспомним, что электронные компьютеры были изобретены по заказу противовоздушной обороны и для быстрого расчета водородной бомбы. Запуск искусственного спутника Земли, высадка первых людей на Луне, прогноз погоды на всем земном шаре — все эти задачи были решены как "побочный продукт" гораздо менее красивых проблем в гонке вооружений.
Сам Гильберт не дожил до этих событий. В последние 10 лет жизни он бессильно наблюдал распад Геттингенской математической школы под властью новых варваров — нацистов. Понимал ли он, что невежественное владычество Гитлера просто сдвигает центр мировой научной мысли из Германии на запад — в США? Вероятно, он догадывался об этом — и горько усмехался про себя, сравнивая безумный проект построения "тысячелетнего царства арийской расы" с ловлей мух на обратной стороне Луны. Странно шутит История.
Сейчас, в конце 20 века, мы видим: Давид Гильберт оказался самым прозорливым и влиятельным математиком этого столетия. Хорошо, если и впредь в науке будут появляться подобные лидеры!
Вклад Гильберта в науку
Исследования Гильберта оказали большое влияние на развитие многих разделов математики, а его деятельность в Гёттингенском университете в значительной мере содействовала тому, что Гёттинген в первой трети XX века являлся одним из основных мировых центров математической мысли. Диссертации большого числа крупных математиков (среди них Г. Вейль, Р. Курант) были написаны под его научным руководством.
Научная биография Гильберта отчётливо распадается на периоды, посвящённые работе в какой-либо одной области математики:
Теория инвариантов (1885—1893).
Теория алгебраических чисел (1893—1898).
Основания геометрии (1898—1902).
Принцип Дирихле (математическая физика) и примыкающие к нему проблемы вариационного исчисления и дифференциальных уравнений (1900—1906).
Теория интегральных уравнений (1902—1912).
Решение проблемы Варинга в теории чисел (1908—1909).
Математическая физика (1910—1922).
Основания математики (1922—1939).
Бесконечность
«Какое число является самым большим?" - это один из первых вопросов, которые задают дети относительно чисел. Этот вопрос является важным шагом в процессе понимания мира абстрактных понятий. Ответ на этот вопрос, как правило, ограничивается утверждением, что большие числа считаются бесконечными. Однако в определённый момент выясняется, что числа могут быть такими большими, что их практическое применение в реальной жизни и невозможно, и бессмысленно, и единственное, что оправдывает их существование — это факт их формального существования.
Все люди знают это число, и постоянно используют для преувеличения
Согласно правилам бесконечности, существует бесконечное число, как четных, так и нечетных чисел. Тем не менее, нечетных чисел будет ровно половина от общего количества чисел. Бесконечность плюс единица равняется бесконечность, если отнять единицу получаем бесконечность, сложив две бесконечности получим бесконечность, а бесконечность поделённая на два равняется бесконечности, а если вычесть бесконечность из бесконечности, то результат не вполне ясен, а вот бесконечность поделённая на бесконечность, скорее всего, равняется единице.
Ученые определили, что в известной нам части Вселенной существует
10 80 субатомных частиц, это та часть, которую ученые исследовали. Многие ученые уверены, что Вселенная бесконечная, а ученые, которые скептически
относятся к бесконечности Вселенной, в данном вопросе всё-таки допускают такую вероятность.
Несмотря на то, что задача явно говорит, что все номера заняты, мы все же можем выделить сколько угодно свободных комнат. Давайте просто переселим человека из первой комнату во вторую, человека из второй комнаты в третью и так далее. То есть, каждого гостя из комнаты с номером n переселим в комнату с номером n +1, n ^ n +1. В результате этого у нас освобождается комната с номером один, и мы с радостью можем поселить нашего нового гостя.
Бесконечное число гостей. Задача стала интереснее.
Может ли бесконечность вместить еще одну бесконечность? Для решения предыдущей задачи мы переселили каждого гостя на один номер вперед. Этот подход можно применить для любого конечного числа постояльцев. Если n номер комнаты постояльца, а m число прибывших гостей, тогда каждого постояльца надо переселить в номер n + m , чтобы освободить m номеров для m гостей. Но что если число гостей бесконечно, то есть т=да?. Чему равно n +да? Ответ: п+ю=ю. То есть, надо переселить каждого постояльца на да номеров. Нет, это нам не подходит. Но задача имеет решение, давайте взглянем на определение четного числа:
Четное число — целое число, которое делится без остатка на 2.
Что если мы возьмем номер постояльца и умножим его на два? В результате мы получим четное число, так как оно будет делиться на два. Следовательно, если мы переселим каждого гостя из номера n в номер 2* n , n ^2^ n , мы получим бесконечное число нечетных свободных комнат, и мы сможем поселить бесконечное число гостей.
Этот парадокс хорош тем, что он отлично показывает странные, но вполне логичные свойства бесконечности в простых и понятных сущностях.
Представления о бесконечности, реконструкция пифагорейской теоремы о несоизмеримости. Иррациональные числовые соотношения. Бесконечная делимость в математике. Ф. Аквинский и согласование христианского вероучения с философскими идеями Аристотеля.
| Рубрика | Философия |
| Вид | творческая работа |
| Язык | русский |
| Дата добавления | 23.11.2015 |
| Размер файла | 1,1 M |
Студенты, аспиранты, молодые ученые, использующие базу знаний в своей учебе и работе, будут вам очень благодарны.
Сторонники абсолютизации теории относительности А.Эйнштейна настаивают на том, что допущение передачи информации со сверхсветовой скоростью нарушает фундаментальный принцип причинности, ибо из формулировок теории в этом случае будет следовать выполнимость некоторого события до того, как сложатся все необходимые условия. Но такие заявления не вполне соответствуют действительности. Принцип причинно-следственной связи, заложенный в теории относительности, оперирует целочисленным значением кластера информации, тогда как в информационной среде не запрещается передача дробных его значений. Признание же потенциальной бесконечности, вообще говоря, означает, что любая информация представима в виде дробной части более общей совокупности причинно-следственных связей. Во сне человек способен увидеть фрагмент некоторого события, которое с ним еще не произошло, что никоим образом не нарушает классический принцип причинности, так как все обстоятельства данного события останутся для человека неизвестными. С аналогичным дроблением информации мы, очевидно, сталкиваемся в экспериментах по пропусканию света через усиливающую среду и в таких широко обсуждаемых теориях как, например, теория кварков, электрические заряды которых должны иметь дробное значение /15, с.605/.
Можно сколько угодно спорить о натуральной философии и уличать Исаака Ньютона в том, что он не стал накладывать ограничение на скорость распространения света, однако для него не существовало колоссального разрыва математики и физики, который произошел в XX веке под влиянием теории относительности. Поэтому вывод о мгновенных скоростях, понимаемых как возможность распространения информации за одну и ту же единицу времени для потенциально-бесконечных расстояний, непосредственно следовал у него из математической традиции Архимеда и арабских математиков, а также из представления о потенциальном характере бесконечно малых величин. Представления, которое объединяло не только Хр.Гюйгенса, И.Ньютона и Г.Лейбница (который говорил лишь об удобстве условного равенства абсолютного нуля и непустого множества), но и все последующие поколения математиков на протяжении VIII - XIX вв., достаточно назвать имена таких выдающихся ученых как Л.Эйлер, К.Ф.Гаусс, О.Коши, К.Вейерштрасс.
Рисунок 9 - Эммануил Кант
Развивая мысль Аристотеля о том, что понятие бесконечности не лежит в области чувственного опыта, а дано только в качестве априорного суждения, Кант приходит к выводу о неизбежности добавления к представлению о бесконечности того, что постигается человеком в результате восприятия конечных и целокупных величин. В отличие от Аристотеля, Иммануил Кант рассматривает бесконечность двояко, в качестве неограниченного возрастания и неограниченного убывания, но при этом делает существенную оговорку. Если бы человек созерцал бесконечную делимость или бесконечное развертывание пространства, то по прошествии времени его разум перестал бы помнить сам предмет, который был взят в качестве точки отсчета. Стало быть, из опыта для целостного восприятия объектов действительности возникает некое ограничение, которое есть инстинкт самосохранения картезианского Я мыслю. Поэтому появление монады Пифагора, атомов Демокрита, неделимых пустот Галилея, монады Г.Лейбница, появление актуально пустого множества и завершенной бесконечности обусловлены самими законами мышления и составляют с априорным понятием о потенциальной бесконечности антиномию чистого разума, выраженную у Канта в четырех-ипостасной борьбе ограниченного с безграничным /16, с.575/.
Рисунок 10 - Георг Вильгельм Фридрих Гегель
Основной философской идеей XIX века был нигилизм, основателем которого называют Гегеля с его историческим законом отрицания отрицания. Поэтому если бы в математической науке тогда существовала мода на актуальную бесконечность, то, несомненно, в моду бы вошло ее отрицание. Так как под истинным смыслом науки нигилистами понимался бесконечный процесс отрицания, то содержание высказываний Гегеля об истинной бесконечности, по-видимому, не подвергалось серьезному изучению. Да и нужно ли было это делать, если, руководствуясь принципами нигилизма, достаточно было приступить к отрицанию любого понятия, которое считается истинным, как тут же открывались заманчивые перспективы перехода к более высокому уровню познания истины.
Рисунок 11 - Бернард Больцано
Он искренне верил в предметность бесконечности, в то, что ее свойства непосредственно проявляются во всех конечных объектах, а потому, между прочим, утверждал, что информационные процессы разумной жизни никак не влияют на формирование вселенной, выпуская само существование человеческой культуры и доказывая, будто бы отсутствие разумной жизни совершенно ничего не изменяет в природе.
Представить бурное и разнообразное развитие науки в XIX веке нельзя без великих ученых, таких как К.Ф.Гаусс, который доказал основную теорему алгебры и впервые обнаружил, как могут меняться геометрические свойства в зависимости от масштабов пространства /22/, О.Коши, который усовершенствовал теорию пределов, Н.Абеля, Н.Лобачевского, У.Гамильтона, Ф.Клейна /23, с.279/, Б.Римана, К.Вейерштрасса, Г.Миньковского, а также многих других математиков, особняком от которых следует назвать Л.Кронекера, работавшего над арифметической теорией алгебраических величин. Подобно атомисту Демокриту, он не признавал теорию несоизмеримости и выступал против теории иррациональных чисел К.Вейерштрасса и теоретико-множественной школы Г.Кантора. По мнению Л.Кронекера, логический подход в геометрии не исключал возможности появления ошибок; для того чтобы их исключить, он настаивал на арифметизации математики, то есть на сведении ее к арифметике целых чисел, которые называл творением Бога, тогда как все прочие числа - ума человеческого.
Данные числовые классы, обозначающие бесконечные множества, и понятие о сечении иррациональных чисел, благодаря которому Р.Дедекинд ввел в евклидовой геометрии непрерывность прямой, позволили Георгу Фердинанду Людвигу Филиппу Кантору (1872 г.) осуществить в математике поражающий воображение переворот, обосновав не без помощи символов Р.Дедекинда понятие актуальной бесконечности /25, с.335/. Но Г.Кантор, по крайней мере, относился с уважением к противоположному утверждению об истинности незавершенной бесконечности, чего, надо сказать, напрочь лишены многие адепты теории бесконечных множеств в наши дни. Это чувство зиждилось у Г.Кантора на том логическом основании, что само нахождение новых трансфинитных чисел, которые следовали за первым таким числом, свидетельствовало о незавершенном характере актуальной бесконечности, которая, таким образом, была еще доступна увеличению.
Рисунок 12 - Девид Гильберт
Размышляя над парадоксами теории Г.Кантора, Д.Гильберт сделал вывод, что причина парадоксов лежит в самих основаниях математики, а точнее, в аксиомах арифметики, так как из геометрических представлений никаких значительных затруднений с введением теории бесконечных множеств Г.Кантора не возникало. Более того, интуитивно понятная евклидовая геометрия, казалось, находилась в полном согласии с теорией множеств. Поэтому непрерывность числовой прямой Р.Дедекинда должна была логически следовать из теории бесконечных множеств, однако этого не происходило, и все попытки Г.Кантора обосновать свою гипотезу континуума неизменно сопровождались возникновением неустранимых препятствий.
Рисунок 13 - Анри Пуанкаре
От внимательного взгляда Анри Пуанкаре не могло ускользнуть то, что Р.Дедекинд, Г.Кантор и Д.Гильберт исходили из положения о непротиворечивости евклидовой геометрии; и когда в теории Г.Кантора обнаружились противоречия, они продолжали видеть в евклидовой геометрии образец математической строгости, испытывая недоумение, почему она не содержит внутренних противоречий, тогда как в теории множеств, которая из нее вытекала, такие противоречия появлялись. Между тем, убеждение в эквивалентности арифметики и евклидовой геометрии, безусловно, является одной из скрытых аксиом, над которой никто, кроме самого Анри Пуанкаре, всерьез не задумывался, а значит, никто не пытался найти ошибку в аксиомах арифметики и выявить внутреннее противоречие в евклидовой геометрии, ведущее к парадоксам в теории бесконечных множеств.
Не удивительно, что в 1935 году лучшие умы теоретико-множественной школы организовали тайное общество математиков, приступившее к публикации своих трудов под общим псевдонимом Николя Бурбаки. Воодушевленные целью объединения всей математики под знаменем актуальной бесконечности, сотрудники общества Николя Бурбаки приступили к пространному изложению своих взглядов, исходя из аксиоматической теории множеств в поисках достойного ответа теореме К.Гёделя.
Между тем, полностью отрицать потенциальную бесконечность невозможно, ибо тем самым мы будем не в состоянии дать определение актуальной бесконечности. Следовательно, при нахождении истинного понятия бесконечности, мы сталкиваемся с совмещением в скрытой аксиоме теоретико-множественной теории двух понятий о бесконечном. Продолжив размышления П.Флоренского, можно записать следующие две формулы для бесконечности актуальной, статической (?А) и бесконечности потенциальной, становящейся (?P):
где (?V) - истинное понятие бесконечности, (?Л) - ложное.
То есть, либо совмещение двух понятий о бесконечности выражает собой истинное утверждение, либо оно выражает собой утверждение ложное. Если мы признаем (?V), то истинное понятие бесконечности есть такое антиномийное определение, которое включает в себя тезис о ее завершенности (?А) и антитезис о ее незавершенности (?P). Если мы признаем (?Л), то истинным понятием будет либо ?V = ?А, либо ?V = ?Р. Поскольку, отбрасывая (?P), мы делаем невозможным определение (?А), то в данном случае истинным окажется утверждение (?P).
где предложение (?V1) означает, что истинным будет и совмещение (?А) и (?P) в (?V), и их разделение в (?Л).
Тогда актуальная бесконечность должна существовать и совместно с потенциальной в (?V), и независимо от нее в (?Л). Но определение актуальной бесконечности невозможно дать независимо от определения потенциальной, поэтому предложение о совмещении (?V) и (?Л) следует принять как ложное (?Л1).
То есть, отказываясь признавать утверждение ?V = ?Р и продолжая настаивать, что истинное понятие бесконечности есть совмещение (?А) и (?P), мы переходим к вопросу: истинно ли, что в понятии о бесконечном истина и ложь совпадают, либо такое утверждение ложно? Все остальные формулы, которые только можно вывести из этой антимонии, будут повторять вопрос о совпадении истины и лжи: (?V1 = ?V ? ?Л либо ?Л1 = ?V ? ?Л) > (?V2 = ?V1 ? ?Л1 либо ?Л2 = ?V1 ? ?Л1) > (?V3 = ?V2 ? ?Л2 либо ?Л3 = ?V2 ? ?Л2) и так далее. Тем самым, никогда не признавая ложность антиномийного определения бесконечности, мы не только утверждаем равноистинность (?А) и (?P), но имеем строгое доказательство тезиса Николая Кузанского о совпадении в понятии бесконечности противоположностей, что в теологическом смысле означает получение строгого доказательства единоипостасности божественного разума и древнего змия.
Рисунок 14 - Георг Фердинанд Людвиг Филипп Кантор
Доказательство счетности всех действительных чисел, которое привел А.Зенкин, имеет силу не только в применении к диагональному методу Г.Кантора. Из начальных условий произвольности выбора эталона длины и потенциально-бесконечного пересчета действительных чисел любой одномерный объект, например, разорванную окружность, можно представить на числовой прямой единичным отрезком /35, с.162/. То же можно сказать о множествах, которые образованы эталонами и соответствующими им объектами других размерностей (из любой площади можно построить площадь произвольного двухмерного эталона, или единичного квадрата, из любого объема можно построить трехмерный эталон, или единичный куб, и т.д.). Доказательство Г.Кантора имело бы смысл, если бы рассмотренные им квадрат и диагональ действительно имели актуально-бесконечные размеры, такие что построение квадрата еще бьльших размеров оказалось бы невозможно. Но задача на построение такого квадрата внутренне противоречива, так как процесс построения актуально-бесконечного квадрата не может быть завершен, а значит, такой геометрической фигуры не существует.
Можно соглашаться или не соглашаться с геометрией, в которой признается только аксиома измерения Евдокса-Архимеда, но в такой геометрии находят свое разрешение фундаментальные математические проблемы. Прежде всего, выявляется некорректность теоремы о несоизмеримости стороны и диагонали квадрата, которая многие века использовалась в математике, по сути дела, без доказательства, то есть в виде одной из скрытых аксиом геометрии. Наличие в античной науке теории несоизмеримостей привело Аристотеля к мысли о разделении геометрии и арифметики, поэтому с устранением проблемы несоизмеримости решается задача А.Френкеля о снятии через единое понятие числа противоречия между арифметикой и геометрией. Вместе с тем, обнаруживается противоречие в аксиомах арифметики, о котором интуитивно догадывался Д.Гильберт. Признание доказательства теоремы о несоизмеримости означает признание того, что с помощью возведения в квадрат сократимой дроби можно получить несократимую, а возведением в квадрат непериодической дроби получить периодическую.
Читайте также: