Обновлено: 05.07.2024

Описание той или иной проблемы, обсуждение теоретических и экспериментальных вопросов начинается с качественного описания и оценки того эффекта, который дает данная работа.

При описании какой-то проблемы нужно, прежде всего, оценить порядок величины ожидаемого эффекта, простые предельные случаи и характер функциональной связи величин, описывающих данное явление. Эти вопросы называются качественным описанием физической ситуации.

Одним из наиболее эффективных методов такого анализа является метод размерностей.

• быстрая оценка масштабов исследуемых явлений;
• получение качественных и функциональных зависимостей;
• восстановление забытых формул на экзаменах;
• выполнение некоторых заданий ЕГЭ;
• осуществление проверки правильности решения задач.

Анализ размерностей применяется в физике еще со времен Ньютона. Именно Ньютон сформулировал тесно связанный с методом размерностей принцип подобия (аналогии).

• Учащиеся впервые встречаются с методом размерностей при изучении теплового излучения в курсе физики 11 класса:

Спектральной характеристикой теплового излучения тела является спектральная плотность энергетической светимости r_v – энергия электромагнитного излучения, испускаемого за единицу времени с единицы площади поверхности тела в единичном интервале частот.

Единица спектральной плотности энергетической светимости – джоуль на квадратный метр (1 Дж/м 2 ). Энергия теплового излучения черного тела зависит от температуры и длины волны. Единственной комбинацией этих величин с размерностью Дж/м 2 является kT/ 2 ( = c/v). Точный расчет, проделанный Рэлеем и Джинсом в 1900 г., в рамках классической волновой теории дал следующий результат:

где k – постоянная Больцмана.

Как показал опыт, данное выражение согласуется с экспериментальными данными лишь в области достаточно малых частот. Для больших частот особенно в ультрафиолетовой области спектра формула Рэлея-Джинса неверна: она резко расходится с экспериментом. Методы классической физики оказались недостаточными для объяснения характеристик излучения абсолютно черного тела. Поэтому расхождение результатов классической волновой теории с экспериментом в конце XIX в. получило название “ультрафиолетовой катастрофы”.

• Покажем применение метода размерностей на простом и хорошо понятном примере.

Тепловое излучение абсолютно черного тела: ультрафиолетовая катастрофа – расхождение классической теории теплового излучения с опытом.

Представим себе, что тело массой m перемещается прямолинейно под действием постоянной силы F. Если начальная скорость тела равна нулю, а скорость в конце пройденного участка пути длиной s равна v, то можно записать теорему о кинетической энергии: . Между величинами F, m, v и s существует функциональная связь.

Предположим, что теорема о кинетической энергии забыта, а понимаем, что функциональная зависимость между v, F, m, и s существует и имеет степенной характер.

Здесь x, y, z – некоторые числа. Определим их. Знак ~ означает, что левая часть формулы пропорциональна правой, то есть , где k – числовой коэффициент, не имеет единиц измерения и с помощью метода размерностей не определяется.

Левая и правая части соотношения (1) имеют одинаковые размерности. Размерности величин v, F, m и s таковы: [v] = м/c = мc -1 , [F] = H = кгмс -2 , [m] = кг, [s] = м. (Символ [A] обозначает размерность величины A.) Запишем равенство размерностей в левой и правой частях соотношения (1):

м c -1 = кг x м x c -2x кг y м Z = кг x+y м x+z c -2x .

В левой части равенства вообще нет килограммов, поэтому и справа их быть не должно.

Справа метры входят в степени x+z, а слева - в степени 1, поэтому

Аналогично, из сравнения показателей степени при секундах следует

Из полученных уравнений находим числа x, y, z:

x = 1/2, y = -1/2, z = 1/2.

Окончательная формула имеет вид

Возведя в квадрат левую и правую части этого соотношения, получаем, что

Последняя формула есть математическая запись теоремы о кинетической энергии, правда без числового коэффициента.

Принцип подобия, сформулированный Ньютоном, заключается в том, что отношение v 2 /s прямо пропорционально отношению F/m. Например, два тела с разными массами m₁ и m₂; будем действовать на них разными силами F₁ и F₂ , но таким образом, что отношения F₁ / m₁ и F₂ / m₂ будут одинаковыми. Под действием этих сил тела начнут двигаться. Если начальные скорости равны нулю, то скорости, приобретаемые телами на отрезке пути длины s, будут равны. Это и есть закон подобия, к которому мы пришли с помощью идеи о равенстве размерностей правой и левой частей формулы, описывающей степенную связь значения конечной скорости со значениями силы, массы и длины пути.

Метод размерностей был введен при построении основ классической механики, однако его эффективное применение для решения физических задач, началось в конце прошлого – в начале нашего века. Большая заслуга в пропаганде этого метода и решения с его помощью интересных и важных задач принадлежит выдающемуся физику лорду Рэлею. В 1915 году Рэлей писал: “ Я часто удивляюсь тому незначительному вниманию, которое уделяется великому принципу подобия, даже со стороны весьма крупных ученых. Нередко случается, что результаты кропотливых исследований преподносятся как вновь открытые “законы”, которые, тем не менее, можно было получить априорно в течение нескольких минут”.

В наши дни физиков уже нельзя упрекнуть в пренебрежительном отношении или в недостаточном внимании к принципу подобия и к методу размерностей. Рассмотрим одну из классических задач Рэлея.

• Задача Рэлея о колебаниях шарика на струне.

Пусть между точками A и B натянута струна. Сила натяжения струны F. На середине этой струны в точке C находится тяжелый шарик. Длина отрезка AC (и соответственно CB) равна 1. Масса М шарика намного больше массы самой струны. Струну оттягивают и отпускают. Довольно ясно, что шарик будет совершать колебания. Если амплитуда эти x колебаний много меньше длины струны, то процесс будет гармоническим.

Определим частоту колебаний шарика на струне. Пусть величины , F, M и 1 связанны степенной зависимостью:

F X M Y 1 Z (2)

Показатели степени x, y, z – числа, которые нам нужно определить.

Выпишем размерности интересующих нас величин в системе СИ:

[] = c -1 , [F] = кгм с -2 , [M] = кг, [1] = м.

Если формула (2) выражает реальную физическую закономерность, то размерности правой и левой частей этой формулы должны совпадать, то есть должно выполняться равенство

с -1 = кг x м x c -2x кг y м z = кг x + y м x + z c -2x

В левую часть этого равенства вообще не входят метры и килограммы, а секунды входят в степени – 1. Это означает, что для x, y и z выполняются уравнения:

Решая эту систему, находим:

~F 1/2 M -1/2 1 -1/2

Точная формула для частоты отличается от найденной всего в раз ( 2 = 2F/(M1)).

Таким образом, получена не только качественная, но и количественная оценка зависимости для от величин F, M и 1. По порядку величины найденная степенная комбинация дает правильное значение частоты. Оценка всегда интересует по порядку величины. В простых задачах часто коэффициенты, неопределяемые методом размерностей, можно считать числами порядка единицы. Это не есть строгое правило.

• При изучении волн рассматриваю качественное прогнозирование скорости звука методом анализа размерностей. Скорость звука ищем как скорость распространения волны сжатия и разрежения в газе. У учащихся не возникает сомнений в зависимости скорости звука в газе от плотности газа и его давления p.

Ответ ищем в виде:

где С – безразмерный множитель, числовое значение которого из анализа размерности найти нельзя. Переходя в (1) к равенству размерностей.

м/c = (кг/м 3 ) x Па y ,

м/с = (кг/м 3 ) x (кг м/(с 2 м 2 )) y _,

м 1 с -1 = кг x м -3x кг y м y c -2y м -2y ,

м 1 с -1 = кг x+y м -3x + y-2y c -2y ,

м 1 с -1 = кг x+y м -3x-y c -2y .

Равенство размерностей в левой и правой части равенства дает:

x + y = 0, -3x-y = 1, -2y= -1,

x= -y, -3+x = 1, -2x = 1,

Таким образом, скорость звука в газе

Формулу (2) при С=1 впервые получил И. Ньютон. Но количественные выводы этой формулы были весьма сложны.

Экспериментальное определение скорости звука в воздухе было выполнено в коллективной работе членов Парижской Академии наук в 1738 г., в которой измерялось время прохождения звуком пушечного выстрела расстояния 30 км.

Повторяя данный материал в 11-м классе, внимание учащихся обращается на то, что результат (2) можно получить для модели изотермического процесса распространения звука с использованием уравнения Менделеева - Клапейрона и понятия плотности:

– скорость распространения звука.

• Познакомив учащихся с методом размерностей, даю им этим методом вывести основное уравнение МКТ для идеального газа.

Учащиеся понимают, что давление идеального газа зависит от массы отдельных молекул идеального газа, числа молекул в единице объема – n (концентрации молекул газа) и скорости движения молекул – .

Зная размерности величин, входящих в данное уравнение имеем:

Сравнивая размерности левой и правой части данного равенства, имеем:

Поэтому основное уравнение МКТ имеет такой вид:

- отсюда следует

Ранее было сказано, что С – безразмерный множитель, числовое значение которого из метода размерности определить нельзя.

• Рассмотрим другое применение метода размерности. Если в ответах к заданиям встречаются одни и те же физические величины в различных выражениях, расположенные произвольно, то ответ можно выбрать путем проверки единиц измерений. Приведем подобные примеры.

1. Электрон с зарядом влетел в магнитное поле со скоростью перпендикулярно линиям индукции магнитного поля и стал двигаться по окружности радиуса R. Какое выражение соответствует модулю вектора магнитной индукции магнитного поля?

А) - не подходит; (формулы автором не представлены. )

2. Спутник планеты массой М движется по круговой орбите радиуса R. Какова скорость движения спутника?

Спутник движется по окружности —>, а .

Проверим единицы измерения в В):

• В отдельных случаях единицы измерения в ответах соответствуют единицам измерения искомой величины, однако, ответ в задании верный лишь один. Тогда следует обратиться к иным способам отыскивания этой величины.

Рассмотрим тестовое решение нижеизложенной задачи.

3. Шарик массой , подвешенный на нити, длинной , вращается по окружности радиусом , в горизонтальной плоскости с угловой скоростью . Какова сила натяжения нити?

Рисунок 2. Cхема движения маятника

Б) ;

Анализ условия: ответ Г – быть не может, т.к. , а не сила. По единицам измерения ответы А и Б возможны, однако, направлены не по силе натяжения нити:

Из заштрихованного треугольника видно, что

Это мы воспользовались методом размерности.

Метод размерностей кроме осуществления традиционной проверки правильности решения задач, выполнения некоторых заданий ЕГЭ, помогает находить функциональные зависимости между различными физическими величинами, но только для тех ситуаций, когда эти зависимости степенные. Таких зависимостей в природе много, и метод размерностей - хороший помощник при решении подобных задач.

Всего существенных величин семь, уравнений для определения показателей пять, значит, только два показателя, например, b и k могут быть выбраны произвольно. Анализ размерностей — это метод составления безразмерных комплексов в условиях, когда изучаемый процесс еще не описан дифференциальными уравнениями. Формулы размерности вторичных величин имеют вид степенных одночленов. Например, формула… Читать ещё >

Анализ размерностей. Моделирование явлений в гидрогазодинамике ( реферат , курсовая , диплом , контрольная )

Иногда приходится изучать процессы, которые еще не описаны дифференциальными уравнениями. Единственный путь изучения — эксперимент. Результаты эксперимента целесообразно представлять в обобщенной форме, но для этого нужно уметь находить безразмерные комплексы, характерные для такого процесса.

Анализ размерностей — это метод составления безразмерных комплексов в условиях, когда изучаемый процесс еще не описан дифференциальными уравнениями.

Все физические величины можно разделить на первичные и вторичные. Для процессов теплообмена за первичные обычно выбирают следующие: длину L, массу m, время t, количество теплоты Q избыточную температуру. Тогда вторичными будут такие величины, как коэффициент теплоотдачи температуропроводность a и т. п.

Формулы размерности вторичных величин имеют вид степенных одночленов. Например, формула размерности для коэффициента теплоотдачи имеет вид.

где Qколичество теплоты.

Пусть известны все физические величины, существенные для изучаемого процесса. Требуется найти безразмерные комплексы.

Составим произведение из формул размерностей всех существенных для процесса физических величин в некоторых неопределенных пока степенях; очевидно, оно будет степенным одночленом (для процесса). Предположим, что его размерность (степенного одночлена) равна нулю, т. е. показатели степеней первичных величин, входящих в формулу размерностей, сократились, тогда степенной одночлен (для процесса) можно представить в форме произведения безразмерных комплексов из размерных величин. Значит, если составить произведение из формул размерностей, существенных для процессов физических величин в неопределенных степенях, то из условия равенства нулю суммы показателей степеней первичных величин этого степенного одночлена можно определить искомые безразмерные комплексы.

Покажем эту операцию на примере периодического процесса теплопроводности в твердом теле, омываемом жидким теплоносителем. Будем считать, что дифференциальные уравнения для рассматриваемого процесса неизвестны. Требуется найти безразмерные комплексы.

Существенными физическими величинами для изучаемого процесса будут следующие: характерный размер l (м), теплопроводность твердого тела, (Дж/(м К)), удельная теплоемкость твердого тела с (Дж/(кг К)), плотность твердого тела (кг/м3), коэффициент теплообмена (теплоотдачи) (Дж/м2 К)), время периода, ©, характерная избыточная температура (К). Составим из этих величин степенной одночлен вида.

Показатель степени при первичной величине называется размерностью вторичной величины по отношению к данной первичной.

Заменим в физические величины (кроме Q) их формулами размерности, в результате получим.

В данном случае показатели степени имеют значения, при которых Q выпадает из уравнения.

Приравняем нулю показатели степеней одночлена:

a — b — 3i — 2k = 0; (9.8).

для количества теплоты Q.

Всего существенных величин семь, уравнений для определения показателей пять, значит, только два показателя, например, b и k могут быть выбраны произвольно.

Выразим все показатели степеней через b и k. В результате получим:

n = b + f + k = b + (-b — k) + k = 0; (9.16).

Теперь одночлен можно представить в форме.

Так как показатели b и k могут быть выбраны произвольно, положим:

1. при этом запишем.

2. b = 0, k = 1, при этом запишем.

Итак, методом анализа размерностей найдены безразмерные комплексы. В рассматриваемом случае ими оказались числа подобия Фурье и Био ю Введем безразмерные — искомую переменную и независимую переменную (одномерный случай). Тогда искомую обобщенную зависимость можно представить в форме.

Правильность полученного результата подтверждает так называемая теорема Бэкингема, которая формируется так: число безразмерных комплексов равно числу физических величин, существенных для процесса, минус. число первичных величин.

Использование методов подобия и анализа размерностей в компьютерном моделировании

Описание: Основным препятствием для широкого использования компьютерного моделирования является недостаток квалифицированных специалистов поэтому изучение методов компьютерного моделирования должно занять соответствующее место в программах университетского образования. Вера в то что прикладная математика и компьютерное моделирование состоят только из разработки методов и алгоритмов для решения задач возникающих в прикладных областях является ограниченным и фактически неверным взглядом. При рассмотрении конкретных объектов обычно достаточно этой.

Размер файла: 310.66 KB

Работу скачали: 21 чел.

Поделитесь работой в социальных сетях

Если эта работа Вам не подошла внизу страницы есть список похожих работ. Так же Вы можете воспользоваться кнопкой поиск

Использование методов подобия и анализа размерностей в компьютерном моделировании

Решение научной проблемы, возникающей в контексте повседневной практики, состоит из многих шагов и требует тщательного математического исследования. Сущность современной методологии состоит в замене исходного объекта математической моделью и изучении в дальнейшем такой модели с помощью реализованных на компьютере вычислительных алгоритмов.

Поясним понятия модели, математического и компьютерного моделирования. Модель — это замена реального объекта, создающаяся ради исследований, которые на реальном объекте проводить либо дорого, либо неудобно. Можно выделить несколько целей, ради которых создаются модели.

• Модель как средство осмысления взаимозависимости переменных, характера их изменения во времени, поиска существующих закономерностей.
• Модель как средство прогнозирования поведения объекта и методов управления им.
• Модель как замена реального объекта при обучении персонала действиям в различных ситуациях.

Из всего многообразия моделей будем рассматривать так называемые идеальные знаковые модели. Идеальные модели — это абстрактные образы реальных или воображаемых объектов. Знаковым называется моделирование, использующее в качестве моделей знаки или символы: схемы, графики, чертежи, а также формальные, в том числе и математические, формулы и теории.

Математическое моделирование, то есть описание объектов или явлений реального мира с помощью математической символики, является важнейшим видом моделирования. Одной из разновидностей математического моделирования является компьютерное моделирование. Компьютерная модель — это программная реализация математической модели, дополненная различными служебными программами (например, модулями графической визуализации результатов расчетов). Компьютерная модель имеет две составляющие — программную и аппаратную. Программа также является абстрактной знаковой моделью. Такая модель интерпретируется не только людьми, но и компьютером.

Один из путей реализации методологии моделирования является следующий. Первый шаг — это формулировка математической модели ситуации. Такой шаг включает в себя определение относящихся к делу величин и формулировку системы определяющих уравнений, которые описывают проблему в подробностях. На втором шаге мы можем рассматривать и решать задачу, представленную этими модельными уравнениями, как чисто математическую задачу. Когда решение получено, третий шаг состоит в возвращении к исходной постановке и проверки соответствия полученных результатов экспериментальным наблюдениям в исходной практической ситуации. Если имеется соответствие, и решение может помочь в предсказании похожих результатов, мы делаем вывод, что сформулированные модельные уравнения фактически представляют реалистичную модель.

Возможность преобразования информации, относящейся к модели, в информацию, относящуюся к исходной ситуации (прототипу), задается фактом выбора модели, поскольку ее построение является реализацией определенной гипотезы относительно предметной области исследования. В то же время, непосредственно перенос информации с модели на прототип представляет собой процесс познания, связанный с получением численных зависимостей. В этом смысле метод компьютерного моделирования является современным методом познания.

Основным препятствием для широкого использования компьютерного моделирования является недостаток квалифицированных специалистов, поэтому изучение методов компьютерного моделирования должно занять соответствующее место в программах университетского образования.

Методология компьютерного моделирования охватывает различные области — от разработки технических систем до анализа экономических процессов. Вера в то, что прикладная математика и компьютерное моделирование состоят только из разработки методов и алгоритмов для решения задач, возникающих в прикладных областях, является ограниченным и фактически неверным взглядом. Прикладная математика имеет дело со всеми тремя указанными выше шагами, а не только с формальным решением задачи, представленным выше на втором шаге. В действительности, важный аспект прикладной математики и компьютерного моделирования состоит в изучении, исследовании и разработке процедур, являющихся полезными в решении таких задач: это включает аналитические и аппроксимационные методы, численный анализ и методы решения уравнений.

Решающими факторами при формулировке модели являются понимание ее исходных предпосылок, имеющих происхождение в той области, где задача возникла. Поскольку имеется постоянное взаимодействие между различными этапами моделирования, ученый, инженер или математик должны понимать каждый шаг. Например, второй этап решения задачи иногда включает в себя построение аппроксимации, которая приводит к упрощению. Такая аппроксимация часто возникает в результате внимательного анализа моделируемой реальности. Этот анализ указывает какими слагаемыми можно пренебречь, какие величины можно считать малыми и т.д. Все перечисленное является повседневной практикой прикладной математики и компьютерного моделирования: эвристические рассуждения, навыки в выполнении преобразований, а также содержательная интуиция являются здесь существенными элементами.

Анализ размерностей позволяет нам понять размерностные (то есть связанные с длиной, временем и массой и т.д.) связи величин в уравнениях и результирующие следствия этой размерностной однородности. Масштабирование — это метод, который помогает нам понять величину значений членов уравнений, с помощью сравнения значений величин, появляющихся естественным образом в физических ситуациях.

Метод сравнения размерностей физических величин— это один из основных методов анализа их взаимодействия друг с другом. Уравнения модели должны содержать согласованные между собой переменные величины, то есть быть однородны в смысле размерностей входящих в них величин. Это простое соображение является основой дисциплины, известной как анализ размерностей (Баренблатт).

Основой анализа размерностей является так называемая π-теорема. Грубо говоря, эта теорема утверждает, что если имеется некоторый физический закон, задающий связь определенного числа размерных физических величин, то существует эквивалентный закон, который может быть выражен через определенное количество безразмерных величин (традиционно обозначаемых π 1 , π 2 , …). Перейдем к более точным формулировкам. (Кутателадзе, Баренблатт)

Полная математическая модель физического явления представляет собою систему уравнений, связывающих набор присущих ему независимых и зависимых переменных. Такие уравнения построены на основе известных законов природы и отражают представления о физических взаимодействиях в некотором классе явлений (процессов). Чем более абстрагирована исходная система уравнений от конкретных ситуаций, тем обширнее описываемый ею класс явлений. Физические свойства среды, отраженные в уравнениях, задаются в виде или констант, или известных функций параметров состояния.

Каждое из уравнений можно привести к безразмерной форме путем деления всех членов уравнения на размерную часть одного из членов. Операция приведения уравнения к безразмерной форме может быть выполнена двумя способами: введением собственных масштабов переменных данного оператора или введением масштабов той же размерности, сконструированных из других величин данного уравнения.

Физические величины выражаются числами, которые получаются путем измерения — прямого или косвенного сравнения с соответствующими единицами измерения. Единицы измерения разделяются на основные и производные. Основные единицы измерения задаются в виде тех или иных эталонов, производные единицы измерения получаются из основных в силу определения физической величины.

Фундаментальными физическими мерами являются масса, расстояние, время. При рассмотрении конкретных объектов обычно достаточно этой констатации и предположения о том, что для каждой из этих трех величин можно подобрать некоторые устойчивые значения, которые могут служить в качестве их масштабов, воспроизводимых природными или искусственными эталонами. Такие масштабы массы М, длины L и времени Т называются основными единицами физических величин. (Кутателадзе) Производные единицы конструируются из основных единиц по формуле размерностей

Смысл введения производных единиц заключается в том, что, будучи более тесно связанными с конкретным физическим явлением, они наглядно и компактно характеризуют те или иные достаточно общие физические ситуации. При этом отношение двух численных значений величины не зависит от выбора масштабов. Показатели степеней в формуле для [ Z i ] могут иметь положительные и отрицательные значения, быть целыми и дробными числами. Однако в силу самого определения размерности эти показатели все одновременно обращаться в нуль не могут.

Таким образом, множеству физических явлений может быть сопоставлено множество их характерных размерностей, в том числе такие, которые в данной конкретной ситуации могут рассматриваться как первичные, образующие все остальные размерности. Приведенная формула показывает, что размерности имеют более глубокий смысл, чем простые символы измерений. С ними можно производить операции алгебраического умножения, образуя не только новые размерности с определенным физическим содержанием, но и безразмерные комбинации, характеризующие конкретные физические взаимодействия в форме, отвлеченной от конкретных единиц. Для сохранения единообразия записи безразмерные величины можно представить как

[Z] = L 0 M 0 T 0 = 1.

Совокупность основных единиц измерения, достаточная для измерения характеристик рассматриваемого класса явлений, называется системой единиц измерения. Классом систем единиц измерения называется совокупность систем единиц измерения, отличающихся между собой только величиной основных единиц измерения. Система единиц измерения СИ входит в класс систем измерения, в котором основными единицами измерения являются

кг / M , м / L , с / T ,

где M , L , T —положительные числа, показывающие во сколько раз уменьшатся основные единицы массы, длины, времени при переходе от исходной системы СИ к другой системе данного класса. Этот класс обозначается MLT .

В рамках приведенных определений, размерностью физической величины называется функция, определяющая, во сколько раз изменится численное значение этой величины при переходе от исходной системы единиц измерения к другой системе внутри данного класса. Величины, численное значение которых одинаково во всех системах единиц измерения внутри данного класса, называются безразмерными, все остальные величины называются размерными. Размерность безразмерной величины равна единице.

Размерность физической величины всегда представляет собой степенной одночлен. Этот факт следует из фундаментального общефизического принципа ковариантности (Баренблатт).

Таким образом, следует различать:

а) величины размерные, численное значение которых зависит от принятой системы единиц;

б) величины безразмерные, или отвлеченные, численное значение которых не зависит от принятой системы единиц, [Z] = 1.

Безразмерные величины могут образовываться в виде отношения двух величин одинаковой размерности А

S = Z 1 / Z 2 ; dim S = А/А = 1

и в виде особой комбинации величин разной размерности в соответствии с формулами

Здесь П — традиционный символ произвольного безразмерного комплекса, а — стандартный символ произведения. Таким образом, комплекс П представляет собой произведение множества величин Z i , имеющих размерности А i , возведенные в такие степени b i что результирующая размерность оказывается равной 1. Очевидно, что для выполнения этого условия выбор числа размерных величин n не является произвольным, а обусловлен множеством размерностей . Содержательность комплекса П определяется тем, что входящие в него величины отражают конкретные физические взаимодействия. Таким образом, безразмерные комплексы:

а) позволяют уменьшить число переменных, характеризующих изучаемое явление, в том смысле, что заранее устанавливается определенная взаимосвязь между размерными величинами в виде их безразмерных комбинаций, и делают это изучение независимым от системы мер;

б) могут служить мерой, определяющей возникновение критических ситуаций, которые приводят к коренным перестройкам протекания изучаемого явления. [Кутателадзе]

Закономерности, определяемые в физической теории или в эксперименте, всегда можно представить в виде

где величины носят название определяющих параметров, причем аргументы имеют независимые размерности, а размерности аргументов выражаются через размерности определяющих параметров :

Величины имеют независимую размерность, если размерность ни одной из этих величин нельзя представить в виде произведения степеней размерностей остальных величин. Размерность определяемой величины должна выражаться через размерности определяющих параметров :

Если бы это было не так, то размерности величин были бы независимыми и, согласно предыдущему, можно было бы, меняя систему единиц измерения внутри данного класса, произвольно менять величину , оставляя неизменными величины (а следовательно, и все определяющие параметры ). Это означало бы, что величина зависит не только от параметров , т. е. что список определяющих параметров в зависимости заведомо неполон. Таким образом, существуют такие числа , что имеет место формула . Поэтому полагают

Величины, очевидно, безразмерны, и при переходе от одной системы единиц к другой внутри данного класса их численные значения остаются неизменными. Зависимость , используя величины , можно переписать в виде

Следовательно, зависимость представляется на самом деле через функцию аргументов:

или, что то же самое, функция имеет специальный вид

Из этих формул следует, что число безразмерных комплексов, составленных из назначенного набора размерных величин, определяется формулой Бэкингема (Баренблатт)

где n — полное число переменных; k — число первичных (независимых) размерностей. Этот факт составляет содержание центрального утверждения анализа размерностей — П-теоремы Бэкингема. Безразмерные величины называются параметрами подобия.

Понимание подобных явлений является основным для рационального моделирования. Явления называются подобными, если они отличаются только численными значениями определяющих параметров и притом так, что для них соответствующие безразмерные величины совпадают. Следовательно, трудоемкость моделирования сокращается на столько порядков, сколько среди определяющих параметров величин с независимыми размерностями. Подобными будут два процесса одной физической природы, имеющие разные значения независимых переменных, но одинаковые значения их безразмерных комбинаций. Соответственно будут иметь одинаковые численные значения и зависимые безразмерные переменные. Это означает попарное равенство одноименных безразмерных комплексов в двух подобных ситуациях.

Пример 1. Физический закон

Связывает расстояние, пройденное материальной точкой при падении в постоянном гравитационном поле, с величиной времени t . В некоторой выбранной системе единиц измерения пусть расстояние x измеряется в см, время t в секундах, а g в см/сек 2 . Если мы изменяем единицы измерения для основных величин x и t на метры и минуты, то в новой системе единиц

где . Следовательно, g =(длина)(время) -2 и мы получаем

Следовательно, рассматриваемый физический закон не зависит от выбранной системы единиц измерения.

Пример 2. Рассмотрим модель, описывающую падение материальной точки с учетом сопротивления среды. Будем использовать, как обычно, уравнение в форме второго закона механики Ньютона

Напомним, что , где c — безразмерный коэффициент, [ S ]= L 2 , [ρ]= ML -3 . Следовательно, [ k ]= ML -1 .

Применим к этому дифференциальному уравнению π-теорему, чтобы записать закон в удобной безразмерной форме. Итак, исходное уравнение — это физический закон, зависящий от переменных .

Перепишем исходное уравнение с указанием размерностей слагаемых

Перепишем исходное соотношение в виде

Пусть . Здесь V , τ — безразмерные переменные, v c , t c — масштабирующие множители соответствующей размерности. Тогда

Убедимся, что получившиеся в правой части комплексы безразмерны:

Выберем значения v c , t c так, чтобы обеспечить соотношения . Этим соотношениям удовлетворяют следующие значения , .Окончательно, в новых безразмерных переменных V , τ уравнение принимает вид

Решение дифференциальных уравнений движения в пакете программ MATLAB

Рассмотрим решение приведенного выше безразмерного уравнения, соответствующего падению материальной точки с учетом сопротивления среды. Предполагается, что ось координат направлена вертикально вниз, начало координат находится в той точке пространства, откуда начинается движение.

Найдем решение полученного в безразмерном виде дифференциального уравнения для скорости падающей материальной точки с учетом сопротивления среды на интервале времени [0;1]. После получения решения ответы в размерных единицах можно получить, с помощью преобразований, обратных к проведенным при получении безразмерных переменных.

Для решения задачи составим файл undim . m , который сохраним в рабочей директории пакета. Файл содержит следующее описание функции

function dydt = undim(t,y)

В командном окне зададим следующие команды

Это задание начальной скорости.

Первая из этих команд — задание сетки времени, а вторая — обращение к программе численного решения дифференциального уравнения. В результате получаем

В размерный анализ Это инструмент, широко используемый в различных областях науки и техники для лучшего понимания явлений, связанных с наличием различных физических величин. Величины имеют размеры, и из них выводятся различные единицы измерения.

Происхождение концепции измерения находится у французского математика Жозефа Фурье, который был первым его автором. Фурье также понимал, что для того, чтобы два уравнения были сравнимыми, они должны быть однородными по своим размерам. То есть метры нельзя прибавлять к килограммам.

Таким образом, размерный анализ отвечает за изучение величин, размерностей и однородности физических уравнений. По этой причине его часто используют для проверки взаимосвязей и расчетов или для построения гипотез по сложным вопросам, которые впоследствии могут быть проверены экспериментально.

Таким образом, анализ размеров является идеальным инструментом для обнаружения ошибок в расчетах путем проверки соответствия или несоответствия используемых в них единиц, уделяя особое внимание единицам конечных результатов.

Кроме того, размерный анализ используется для разработки систематических экспериментов. Это позволяет сократить количество необходимых экспериментов, а также облегчить интерпретацию полученных результатов.

Одна из фундаментальных основ анализа размерностей состоит в том, что можно представить любую физическую величину как произведение степеней меньшей величины, известных как фундаментальные величины, из которых происходят другие.

Основные величины и размерная формула

В физике фундаментальными величинами считаются те, которые позволяют выразить другие как функции этих величин. Условно были выбраны следующие: длина (L), время (T), масса (M), сила электрического тока (I), температура (θ), сила света (J) и количество вещества (N).

Напротив, остальные считаются производными величинами. Вот некоторые из них: площадь, объем, плотность, скорость, ускорение и другие.

Формула размеров определяется как математическое равенство, которое представляет отношение между производной величиной и фундаментальной величиной.

Методы размерного анализа

Существуют различные техники и методы анализа размеров. Двумя наиболее важными из них являются следующие:

Метод Рэлея

Рэлей, который вместе с Фурье был одним из предшественников размерного анализа, разработал прямой и очень простой метод, который позволяет нам получать безразмерные элементы. В этом методе выполняются следующие шаги:

1- Определена потенциальная символьная функция зависимой переменной.

2- Каждая переменная изменяется по своим размерам.

3- Устанавливаются уравнения условия однородности.

4- Устанавливаются неизвестные n-p.

5- Показатели, которые были рассчитаны и зафиксированы в уравнении потенциала, подставляются.

6- Группы переменных перемещаются для определения безразмерных чисел.

Букингемский метод

Этот метод основан на теореме Бэкингема или теореме Пи, которая гласит следующее:

Принцип размерной однородности

Принцип Фурье, также известный как принцип размерной однородности, влияет на правильную структуру выражений, связывающих физические величины алгебраически.

Это принцип, который имеет математическую последовательность и гласит, что единственный вариант - вычесть или сложить физические величины, имеющие одинаковую природу. Следовательно, невозможно добавить массу с длиной, поры с поверхностью и т. Д.

Точно так же принцип гласит, что для того, чтобы физические уравнения были размерно правильными, сумма членов двух сторон равенства должна иметь одинаковую размерность. Этот принцип позволяет гарантировать согласованность физических уравнений.

Принцип подобия

Принцип подобия является расширением характера размерной однородности физических уравнений. Утверждается следующее:

Физические законы остаются неизменными, когда мы сталкиваемся с изменениями размеров (размеров) физического события в той же системе единиц, будь то изменения реальной или воображаемой природы.

Наиболее четкое применение принципа подобия происходит при анализе физических свойств модели, сделанной в меньшем масштабе, чтобы впоследствии использовать результаты в объекте в реальном размере.

Эта практика важна в таких областях, как проектирование и производство самолетов и кораблей, а также при крупных гидравлических работах.

Приложения

Многие приложения размерного анализа включают перечисленные ниже.

- Найдите возможные ошибки в выполняемых операциях

- Решать задачи, решение которых представляет собой непреодолимую математическую трудность.

- Проектировать и анализировать мелкомасштабные модели.

- Сделайте наблюдения о том, как возможные модификации влияют на модель.

Кроме того, анализ размеров довольно часто используется при изучении механики жидкости.

Актуальность анализа размеров в механике жидкостей обусловлена ​​сложностью установления уравнений в определенных потоках, а также трудностью их решения, поэтому невозможно достичь эмпирических соотношений. По этой причине необходимо прибегнуть к экспериментальному методу.

Решенные упражнения

Первое упражнение

Найдите размерное уравнение для скорости и ускорения.

Решение

Поскольку v = s / t, верно, что: [v] = L / T = L ∙ T -1

[a] = L / T 2 = L ∙ T -2

Второе упражнение

Определите размерное уравнение для импульса.

Решение

Поскольку импульс является произведением массы и скорости, верно, что p = m ∙ v

[p] = M ∙ L / T = M ∙ L ∙ T -2

Ссылки

Мавританский роман: происхождение, характеристика, представители и произведения

Документ из архива "Теория подобия и анализ размерностей", который расположен в категории " ". Всё это находится в предмете "тепломассобмен" из раздела "", которые можно найти в файловом архиве МЭИ (ТУ). Не смотря на прямую связь этого архива с МЭИ (ТУ), его также можно найти и в других разделах. .

Онлайн просмотр документа "Теория подобия и анализ размерностей (2012)"

Текст из документа "Теория подобия и анализ размерностей (2012)"

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ

ГОУ ВПО РЫБИНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ АВИАЦИОННЫЙ

ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ИМ. П. А. СОЛОВЬЕВА

Ш. А. ПИРАЛИШВИЛИ, С. В. ВЕРЕТЕННИКОВ, А. И. ГУРЬЯНОВ

Теория подобия и анализ размерностей

УЧЕБНОЕ ПОСОБИЕ

1. Методы изучения физических явлений и задач…………………..

1.1 Анализ возможных подходов к решению прикладных задач……….

1.2 Экспериментальное исследование…………………………………….

2. Метод анализа размерностей…………………………………….

2.1 Анализ размерностей и фракционный анализ………………………..

2.2 Единицы измерения и размерности………………………………….

2.3 Однородность размерностей в физических уравнениях …………….

2.5 Пример применения теории размерности…………………………….

2.6 Анализ π-теоремы с использованием элементов матричной алгебры ..…………………………………………………………………….

2.8 Пример приложения анализа размерностей………………………….

2.9 Исключения из применения π-теоремы…………………………….

2.10 Возможности и ограничения π-теоремы………..…………………

3. Основы теории подобия……………………………………………

3.1 Подобие физических явлений……………………………………….

3.2 Понятие и определение подобия физических явлений………………

3.3 Зависимые и независимые переменные. Условия однозначности….

3.5 Комбинирование критериев и относительных переменных………..

3.6 Сплошная среда и краевая задача…………………………………….

4. Элементы теории подобия в гидромеханике и теплообмене……

4.1 Математическое описание конвективного теплообмена…………….

4.2 Гидромеханическое подобие………………………………………….

4.3 Взаимное преобразование критериев подобия………………………

4.5 Физический смысл критериев подобия теплообмена………………..

5. Примеры приложений на практике теории подобия и метода анализа размерностей в задачах теплофизики………………………

6. Применение теории подобия к анализу процессов в вихревой трубе…………………………………………………………………..

7. Применение теории подобия к анализу процессов в вихревых противоточных горелках…………………………………………….

8. Применение метода анализа размерностей к исследованию процессов пневматического распыла жидкости форсунками…….

Каждый раз, когда мы собираемся создать какую-либо машину, спроектировать некоторый механизм или изучить физический процесс (явление), возникают вопросы, связанные с особенностями функционирования создаваемого аппарата в некоторых вполне определенных условиях. Оценить качественную сторону в этих условиях возможно, если удается получить количественные оценки основных, характеризующих процесс функционирования изделия, параметров процесса. Достаточно часто попытка аналитического решения практических задач наталкивается на непреодолимые трудности. В этом случае приходится принимать ряд допущений, позволяющих упростить задачу и довести ее аналитическое решение до конкретного численного результата. Для сложных теплофизических процессов, особенно в трехмерной постановке, при течении сжимаемых, теплопроводных, неизотермических потоков получение решения аналитическим путем с необходимой степенью точности практически невозможно. На помощь приходят численные методы, получившие бурное развитие и внедрение в практику инженерных методов в последние годы, что объясняется совершенствованием компьютерных технологий. Повышение быстродействия компьютеров и увеличение объема памяти заметно форсировало процесс применения компьютерных вычислительных программ и комплексов при решении большого класса конкретных инженерных и научных задач в самых различных областях науки и технологии.

Однако и они не могут обойтись без конкретных качественных результатов, полученных из опыта, когда речь идет о необходимости тестирования численных расчетов или введения в расчет поправочных опытных коэффициентов.

Все это делает опыт как критерий истины незаменимым помощником. Следовательно, его правильная постановка и корректная обработка, позволяющая делать обобщения и рекомендации, остаются важными и актуальными способами ведения диалога с природой.

Отмеченные факты позволяют сделать вывод о возросшей необходимости проведения высококачественных экспериментальных исследований. Не меньшую важность приобретают качество постановки опытов и их математическая обработка. Однако и прямой эксперимент во многих случаях оказывается недостаточным для определения общих закономерностей поведения исследуемого явления при изменении управляющих параметров, влияющих на процесс его протекания. В этих условиях на помощь приходят теория подобия и метод анализа размерностей. Постановка опыта с их использованием позволяет правильно получить необходимые результаты, обобщение которых приводит к критериальным зависимостям, достоверно описывающим изученный процесс и ему подобные процессы в пределах некоторой погрешности.

1. Методы изучения физических явлений и задач

1.1 Анализ возможных подходов к решению физических задач

Физика – наука, использующая в своем развитии как теоретические, так и экспериментальные методы. И в том, и в другом случае она не может обойтись без математики, без того, чтобы не довести результат до числа, до количественной характеристики. Эффективное применение теоретических предпосылок, моделей для практических целей возможно лишь тогда, когда они выражены в количественных соотношениях и позволяют получать численные значения интересующих величин-параметров.

Наиболее достоверным является путь постановки экспериментального исследования натуральных объектов в натуральных условиях, что практически не всегда возможно. Например, как в натуральных условиях на Земле опытным путем изучать характер процессов, протекающих внутри звезд?

Большинство попыток найти аналитическое решение физических задач связано с достаточно большими трудностями, обойти которые возможно лишь путем принятия тех или иных упрощающих предпосылок, вносимых в процесс постановки задачи или в ход ее решения. Поэтому получаемые результаты имеют в лучшем случае характер приближенной оценки, в худшем – они неправильны по своей сути и могут привести к достаточно глубоким заблуждениям.

Существует еще и третий путь исследований. Это численное решение физических задач. Как и при чисто аналитическом пути исследования, при получении численных решений анализируются результаты решения некоторой используемой математической модели, а не характеристики действительного физического процесса. В большинстве инженерных задач в основу положены физические процессы, математические модели которых, главным образом, состоят из систем дифференциальных уравнений. В аналитическом виде решение можно получить лишь для небольшой части задач. Эти решения достаточно часто содержат бесконечные ряды, специальные функции, трансцендентные уравнения для собственных значений и т. д. Все это значительно осложняет аналитическую оценку. На помощь приходят численные методы и наличие ЭВМ, обладающих большим быстродействием и памятью, позволяющие практически для любой инженерной задачи составить математическую модель и провести численное исследование. Идею численного метода можно понять на примере исследования распределения температуры в области, изображенной на рис. 1.1.

Рис. 1.1 К пояснению численного метода решения

теплопереноса за счет теплообмена

Допустим, что для этого достаточно знать температуру в дискретных точках области. Одним из возможных методов является определение температуры в узловых точках сетки, на которую разбивается область. При этом для неизвестных значений температуры записываются и решаются алгебраические уравнения, а не дифференциальные. Именно это упрощение объясняет достаточно широкую доступность и применимость численных методов.

Рассмотрим преимущества, недостатки и ограниченность каждого из трех перечисленных методов.

1.2 Экспериментальное исследование

Читайте также:

  
• Беконный откорм свиней реферат
  
• Реферат электронно цифровая подпись в беларуси
  
• Кассациялық сатыдағы сотта іс жүргізу реферат
  
• Метод идеализации в науке реферат
  
• Энергия и работа реферат