Аналитический сигнал и преобразование гильберта реферат

Обновлено: 02.07.2024

x = hilbert( xr ) возвращает аналитический сигнал, x , от действительной последовательности данных, xr . Если xr матрица, затем hilbert находит аналитический сигнал, соответствующий каждому столбцу.

Примеры

Аналитический сигнал последовательности

Задайте последовательность и вычислите ее аналитический сигнал с помощью hilbert .

Мнимая часть x преобразование Гильберта xr , и действительной частью является xr самостоятельно.

Последняя половина дискретного преобразования Фурье (ДПФ) x нуль. (В этом примере последняя половина преобразования является только последним элементом.) DC и элементы Найквиста fft(x) чисто действительны.

Аналитический сигнал и преобразование Гильберта

hilbert функция находит точный аналитический сигнал для конечного блока данных. Можно также сгенерировать аналитический сигнал при помощи конечной импульсной характеристики (FIR) фильтр трансформатора Гильберта, чтобы вычислить приближение к мнимой части.

Сгенерируйте последовательность, состоявшую из трех синусоид с частотами 203, 721, и 1 001 Гц. Последовательность производится на уровне 10 кГц в течение приблизительно 1 секунды. Используйте hilbert функция, чтобы вычислить аналитический сигнал. Постройте его между 0,01 секундами и 0,03 секундами.

Вычислите валлийские оценки спектральных плотностей мощности исходной последовательности и аналитического сигнала. Разделите последовательности на Hamming-оконные, неперекрывающиеся разделы длины 256. Проверьте, что аналитический сигнал не имеет никакой силы на отрицательных частотах.

Используйте designfilt функционируйте, чтобы спроектировать 60-й порядок КИХ-фильтр трансформатора Гильберта. Задайте ширину перехода 400 Гц. Визуализируйте частотную характеристику фильтра.

Отфильтруйте синусоидальную последовательность, чтобы аппроксимировать мнимую часть аналитического сигнала.

Групповая задержка фильтра, grd , равно половине порядка фильтра. Компенсируйте эту задержку. Удалите первый grd выборки мнимой части и последнего grd выборки действительной части и временного вектора. Постройте результат между 0,01 секундами и 0,03 секундами.

Оцените спектральную плотность мощности (PSD) аппроксимированного аналитического сигнала и сравните его с hilbert результат.

Пример: sin(2*pi*(0:15)/16) задает один период синусоиды.

Пример: sin(2*pi*(0:15)'./[16 8]) задает двухканальный синусоидальный сигнал.

Типы данных: single | double

n — Длина ДПФ
положительный целочисленный скаляр

Длина ДПФ в виде положительного целочисленного скаляра.

Типы данных: single | double

Выходные аргументы

x — Аналитический сигнал
вектор | матрица

Аналитический сигнал, возвращенный как вектор или матрица.

Больше о

Аналитический сигнал

hilbert возвращает комплексную спиральную последовательность, иногда названную аналитическим сигналом , от действительной последовательности данных.

Аналитический x сигнала = _xr + j _xi имеет действительную часть, _xr, который является исходными данными, и мнимой частью, _xi, который содержит преобразование Гильберта. Мнимая часть является версией исходной действительной последовательности со сдвигом фазы на 90 °. Синусы поэтому преобразовываются к косинусам, и с другой стороны, косинусы преобразовываются к синусам. Преобразованный Гильбертом ряд имеет ту же амплитуду и содержимое частоты как исходная последовательность. Преобразование включает информацию о фазе, которая зависит от фазы оригинала.

Преобразование Гильберта полезно в вычислении мгновенных атрибутов временных рядов, особенно амплитуда и частота. Мгновенная амплитуда является амплитудой комплексного преобразования Гильберта; мгновенная частота является скоростью изменения мгновенного угла фазы. Для чистой синусоиды мгновенная амплитуда и частота являются постоянными. Мгновенная фаза, однако, является зубом пилы, отражаясь, как локальный угол фазы варьируется линейно по одному циклу. Для смесей синусоид атрибуты являются коротким сроком, или локальный, средние значения, охватывающие не больше, чем две или три точки. Смотрите преобразование Гильберта и Мгновенную Частоту для примеров.

Ссылка [1] описывает метод Кольмогорова для минимальной реконструкции фазы, которая включает взятие преобразования Гильберта логарифма спектральной плотности временных рядов. Функция тулбокса rceps выполняет эту реконструкцию.

Алгоритмы

Аналитический сигнал для последовательности xr имеет одностороннее преобразование Фурье . Таким образом, преобразование исчезает для отрицательных частот. Аппроксимировать аналитический сигнал, hilbert вычисляет БПФ входной последовательности, заменяет те коэффициенты БПФ, которые соответствуют отрицательным частотам с нулями, и вычисляет обратный БПФ результата.

hilbert использование алгоритм с четырьмя шагами:

Вычислите БПФ входной последовательности, храня результат в векторном x .

Создайте векторный h чьи элементы h(i) имейте значения:

2 для i = 2, 3 . , (n/2)

Вычислите поэлементное произведение x и h .

Вычислите обратный БПФ последовательности, полученной на шаге 3, и возвращает первый n элементы результата.

Этот алгоритм был сначала введен в [2]. Метод принимает что входной сигнал, x , конечный блок данных. Это предположение позволяет функции удалять спектральное сокращение в x точно. Методы на основе КИХ-фильтрации могут только аппроксимировать аналитический сигнал, но у них есть преимущество, которым они управляют постоянно на данных. Смотрите Однополосную амплитудную модуляцию для другого примера преобразования Гильберта, вычисленного с КИХ-фильтром.

Ссылки

[1] Claerbout, Джон Ф. Основные принципы геофизической обработки данных с приложениями к нефтяной разведке. Оксфорд, Великобритания: Блэквелл, 1985.

[2] Марпл, S. L. “Вычисляя Аналитический сигнал дискретного времени через БПФ”. IEEE ® Транзакции на Обработке сигналов. Издание 47, 1999, стр 2600–2603.

[3] Оппенхейм, Алан V, Рональд В. Шафер и Джон Р. Бак. Обработка сигналов дискретного времени. 2-й Эд. Верхний Сэддл-Ривер, NJ: Prentice Hall, 1999.

При модуляции и анализе сигналов огромное прикладное значение имеет преобразование Гильберта и связанное с ним понятие аналитического сигнала. При использовании методов цифровой обработки преобразование Гильберта получило огромное распространение для формирования сигналов с однополосной модуляцией (SSB), а также при демодуляции сигналов. В данной статье вводится понятия ортогонального дополнения сигнала, приводится выражение для прямого и обратного преобразования Гильберта, а также обосновывается понятие аналитического сигнала. Особое внимание уделяется цифровому преобразователю Гильберта.

Пусть имеется сигнал , ортогональным дополнением сигнала называется сигнал такой, что

При этом подразумевается, что тождественно не равен нулю. Преобразование Гильберта ( Hilbert transform ) позволяет рассчитать ортогональное дополнение сигнала :

Из выражения (2) можно заметить, что преобразование Гильберта есть результат свертки сигнала с функцией , называемой ядром преобразования Гильберта. По сути ядро преобразования Гильберта ни что иное, как импульсная характеристика линейного фильтра, на выходе которого формируется ортогональное дополнение входного сигнала. Фильтр с импульсной характеристикой называется фильтром Гильберта. Рассчитаем частотную характеристику фильтра Гильберта, для этого возьмем преобразование Фурье от импульсной характеристикой :

Раскроем комплексную экспоненту по формуле Эйлера, получим:

Первый интеграл равен нулю, так как ядро преобразования Гильберта — нечетная функция и интегрирование производится по всей оси времени. Таким образом, частотная характеристика фильтра Гильберта — чисто мнимая:

Интеграл в выражении (5) является табличным:

Таким образом, частотная характеристика фильтра Гильберта равна:

АЧХ и ФЧХ фильтра Гильберта представлены на рисунке 1.

Можно сделать вывод, что фильтр Гильберта — идеальный фазовращатель, и как любой идеальный фильтр, фильтр Гильберта, увы, не реализуем физически. При этом необходимо отметить, что помимо поворота фазы, фильтр Гильберта устраняет постоянную составляющую сигнала.

Таким образом, преобразование Гильберта в частотной области можно записать:

Получим теперь выражение для обратного преобразования Гильберта. Для этого рассмотрим преобразование Гильберта от ортогонального дополнения сигнала:

где - обратное преобразование Фурье. Таким образом исходный сигнал может быть получен через обратное преобразование Гильберта:

Рассмотрим основные свойства преобразования Гильберта. Пусть сигналы и имеют преобразования Гильберта соответственно и . Тогда можно сформулировать следующие свойства:

Свойство линейности. Если сигнал и - постоянные, то преобразование Гильберта равно:

Другими словами преобразование Гильберта суммы двух сигналов равно сумме преобразований Гильберта каждого из сигналов.

Свойство масштабирования. Если сигнал имеет преобразование Гильберта , то сигнал , - константа, имеет преобразование Гильберта:

Можно сделать вывод о том, что масштабирование сигнала (сжатие - растяжение) приводит к такому же масштабированию его преобразования Гильберта.

Свойство временного сдвига. Если сигнал имеет преобразование Гильберта , то сигнал , - константа имеет преобразование Гильберта:

Временной сдвиг сигнала приводит к сдвигу его ортогонального дополнения.
Теорема о свертке. Пусть сигналы и имеют преобразования Гильберта соответственно и . Рассмотрим преобразование Гильберта свертки этих сигналов . Для этого осуществим переход в частотную область и получим:

Перейдя во временную область можно переписать в следующем виде:

Введем теперь понятие аналитического сигнала. Аналитическим сигналом называется комплексный сигнал вида

Рассмотрим спектр аналитического сигнала:

Распишем подробнее с учетом (8):

Таким образом, спектр аналитического сигнала отличен от нуля только при положительных частотах, а в отрицательной области частот спектр аналитического сигнала равен нулю. Это свойство аналитического сигнала находит широкое применение при формировании сигналов с однополосной модуляцией. Кроме того аналитический сигнал может быть использован для построения ортогонального дополнения. Поскольку согласно (17) а то можно исходный сигнал подвергнуть преобразованию Фурье, обнулить спектр в отрицательной области частот, удвоить спектр в положительной области частот, после взять обратное преобразование Фурье и получится аналитический сигнал, из которого можно выделить исходный сигнал и его ортогональное дополнение. Такая процедура легко реализуется в цифровом виде, при помощи схемы представленной на рисунке 2.

Эффективность схемы, представленной на рисунке выше, чем при умножении спектра на частотную характеристику фильтра Гильберта, так как можно рассчитывать не весь спектр, а только его половину в положительной области (в отрицательной все равно обнуляется).

Пусть имеется отсчетов дискретного сигнала , где - шаг дискретизации. Спектр дискретного сигнала является периодическим с периодом , тогда коэффициенты цифрового фильтра Гильберта можно рассчитать при помощи обратного преобразования Фурье частотной характеристики фильтра Гильберта, при интегрировании на одном периоде повторения спектра дискретного сигнала:

Разобьем весь интервал интегрирования на положительную и отрицательную области, и учтем частотную характеристику фильтра Гильберта (8):

Вынесем двойку за скобки:

Таким образом при четном импульсная характеристика цифрового фильтра Гильберта равна нулю, а при нечетном .

Поскольку на практике использовать фильтр Гильберта бесконечного порядка невозможно, то ограничение порядка фильтра Гильберта приведет к искажениям частотной характеристики фильтра по сравнению с идеальным. На рисунке 3 представлен вид импульсной характеристики фильтра Гильберта 32 порядка.

Рисунок 3: Импульсная характеристика фильтра Гильберта 32 порядка

При усечении цифрового фильтра Гильберта возникают искажения его частотной характеристики. На рисунке 4 показана амплитудно-частотная характеристика фильтра Гильберта 32 порядка, а также на рисунке 5 мнимая часть частотной характеристики фильтра Гильберта .

Рисунок 4: АЧХ фильтра Гильберта 32 порядка

Рисунок 5: Мнимая часть частотной характерискики

Искажения вносимые усеченным фильтром Гильберта приведут к тому, что в отрицательной области частот будет наблюдаться неполное подавление спектра аналитического сигнала. Таким образом можно рассмотреть частотную характеристику фильтра формирователя аналитического сигнала. Частотная характеристика идеального фильтра формирователя аналитического сигнала обеспечивает усиление в 2 раза (на 6 дБ) в положительной области частот, и бесконечное подавление, при отрицательных частотах, как это представлено на рисунке 6.

Рисунок 7: АЧХ фильтра формирователя аналитического сигнала без оконного сглаживания

Рисунок 8: АЧХ фильтра формирователя аналитического сигнала с оконным сглаживанием

Необходимо отметить, что можно обеспечить бесконечное подавление спектра аналитического сигнала в отрицательной области частот, если использовать фильтр Гильберта в два или более раз длиннее самого сигнала. При неизвестной длительности исходного сигнала можно применить секционную обработку с перекрытием, однако вычислительные затраты в этом случае возрастают. Гораздо эффективнее с точки зрения вычислительных затрат — формирование аналитического сигнала в частотной области. Рассмотрим на примере. Возьмем сигнал в виде гауссова радиоимпульса на частоте 100 Гц. Продискретизируем его с частотой 1 кГц и возьмем 512 отсчетов этого сигнала, получим , . Вид данного сигнала представлен на рисунке 9. Возьмем БПФ от сигнала , получим 512 спектральных отсчетов , как это показано на рисунке 10.

Рисунок 9: Исходный сигнал

Рисунок 10: Спектр исходного сигнала

Далее вспоминаем, что на выходе БПФ вторая половина спектра , в нашем случае от 500 до 1000 Гц соответствует отрицательным частотам, в силу периодичности спектра дискретного сигнала (подробнее это описано здесь), т.е. 500 Гц соответствует частоте -500 Гц, а 1000 Гц — 0 Гц.

Таким образом для формирования аналитического сигнала необходимо обнулить вторую половину спектра и не забыть умножить на два первую половину спектра сигнала. Результат показан на рисунке 11. Далее необходимо взять обратное БПФ, которое вернет комплексный аналитический сигнал При этом реальная часть будет совпадать с исходным сигналом, а мнимая часть будет являтся ортогональным дополнением исходного сигнала. Реальная и мнимая части на выходе ОБПФ представлены на рисунке 12, красный — исходный сигнал, синий — ортогональное дополнение.

Рисунок 11: Спектр аналитического сигнала

Рисунок 12: Реальная и мнимая часть аналитического сигнала

Необходимо сделать замечание. Реальная часть на выходе ОБПФ не полностью совпадает с исходным сигналом, но те амплитудные искажения, которые возникают на выходе ОБПФ обеспечивают полное подавление спектра аналитического сигнала в отрицательной области, в отличии от использования фильтра Гильберта, когда искажается только ортогональное дополнение сигнала, и в частотной области не наблюдается полного подавления отрицательных частот. Для уменьшения искажений сигнала необходимо реализовать секционную обработку с перекрытием.

Для ускорения вычислений можно не рассчитывать вторую половину спектра исходного сигнала (которую все равно придется обнулять), а также можно не использовать нулевые значения спектра при расчете ОБПФ. Для расчета только одной половины спектра используется прореживание по времени, суть которого заключается в разбиении исходного сигнала на два с четными и нечетными индексами, т.е. исходный сигнал разбивается на два и . Тогда спектр аналитического сигнала с нулевой отрицательной областью может быть представлен:

где и - БПФ сигналов и , а - поворотные коэффициенты.

Учитывая, что вторая половина спектра аналитического сигнала является нулевой, можно рассчитать четные и нечетные отсчеты аналитического сигнала только на основе первой половины спектра аналитического сигнала при использовании алгоритма с прореживанием по частоте:

где оператор означает обратное БПФ. Для разбиения исходного сигнала и сбора результата из четных-нечетных последовательностей в одну используются двоично-инверсные перестановки аналогичные тем, что используются в алгоритме БПФ. Схема реализующая расчет аналитического сигнала представлена на рисунке 13.

Использование алгоритмов с прореживанием по времени и по частоте может привести с существенному снижению (до двух раз) вычислительных операций при секционной обработке с перекрытием, когда на следующем шаге можно использовать спектры рассчитанные на предыдущем шаге. Но это отдельный вопрос, мы его рассмотрим в другой раз.

Необходимо отметить, что преобразование Гильберта применяется для формирования сигналов с однополосной модуляцией ( SSB), поэтому преобразованию подвергается низкочастотный модулирующий сигнал, что позволяет использовать цифровые преобразователи на основе БПФ.

Были введены понятия прямого и обратного преобразований Гильберта. Показано, что преобразование Гильберта может выполнить идеальный фильтр — фазовращатель. Было также введено понятие аналитического сигнала и показано, что аналитический сигнал представляет собой комплексный сигнал, и имеет нулевые спектральные составляющие в отрицательной области частот. Было получено выражение импульсной характеристики цифрового фильтра Гильберта. Показано, что при усечении цифрового фильтра в аналитическом сигнале не полностью подавляются отрицательные частоты, при этом приведена схема расчета аналитического сигнала с полным подавлением отрицательных частот на основе БПФ, обеспечивающая высокую вычислительную эффективность преобразования Гильберта. В следующей статье мы рассмотрим расчет аналитического сигнала при помощи квадратурного преобразователя.

Анализируя формулу обратного преобразования Фурье, приходим к выводу, что произвольный сигнал S(t) с известной спектральной плотностью можно записать как сумму двух составляющих, каждая из которых содержит или только положительные, или только отрицательные частоты:

аналитическим сигналом, отвечающим колебанию S(t). Первый из интегралов в правой части формулы (3.26) путём замены переменной преобразуется к виду:

Поэтому формула (3.26) устанавливает связь между сигналами S(t) и : (3.29)

или: - вещественная часть аналитического сигнала. Мнимая часть аналитического сигнала:

Называется сопряжённым сигналом по отношению к исходному колебанию S(t). Итак аналитический сигнал:

На комплексной плоскости этот сигнал отображается вектором, модуль и фазовый угол которого изменяются во времени. Проекция аналитического сигнала на вещественную ось в любой момент времени равна исходному сигналу S(t).

Исследуем спектральную плотность аналитического сигнала. Пусть

Если - спектральная плотность сопряжённого сигнала, то в силу линейности преобразования Фурье:

Спектральная плотности исходного и сопряжённого сигналов связаны между собой следующим образом:

Чтобы на практике получить сопряжённый сигнал, необходимо исходное колебание S(t) подать на вход некоторой системы, которая осуществляет поворот фаз всех спектральных составляющих на угол -в области положительных частот и на угол в области отрицательных частот, не изменяя по амплитуде. Формула (3.33) показывает, что спектральная плотность сопряжённого сигнала есть произведение спектра исходного сигнала и функции . В соответствии с обратной теоремой о свёртке сопряжённый сигнал представляет собой свёртку двух функций S(t) и f(t), которая является обратным преобразованием Фурье по отношении к функции .

Для удобства вычислений представим эту функцию в виде предела:

Таким образом сопряжённый сигнал связан с исходным сигналом соотношением:

Можно поступить и по иному, выразив сигнал S(t) через , который полагается известным. Для этого достаточно заметить, что из (3.33) вытекает следующая связь между спектральными плотностями.

Поэтому соответствующая формула будет отличаться от (3.35) лишь знаком:

Формулы (3.35) и (3.36) называются прямым и обратным преобразованием Гильберта.

Символическая запись его такова:

Функция называется ядром этих преобразований.

Свойства преобразований Гильберта.

1) Простейшее свойство – линейность. (3.38)

2) Сигнал, сопряжённый к константе, тождественно равен нулю: (3.39)

4) Преобразования Гильберта имеют нелокальный характер: в общем случае поведение сопряженного сигнала в окрестности какой-либо точки, зависит от свойств исходного сигнала на всей оси времени.

Некоторые применения преобразований Гильберта

1) Преобразования Гильберта для гармонических сигналов (3.40)

2) Преобразования Гильберта для узкополосного сигнала.

Пусть известна функция - спектральная плотность комплексной огибающей узкополосного сигнала S(t) с опорной частотой . Согласно формуле (3.25), спектр данного сигнала.

Первое слагаемое в правой части соответствует области частот , второе . Тогда на основании формулы (3.33) спектр сопряжённого сигнала:

Откуда видно, что спектральная плотность комплексной огибающей сопряжённого сигнала.

Сопряжённый сигнал в данном случае так же является узкополосным. Если комплексная огибающая исходного сигнала: , то в соответствии с равенством (3.42) комплексная огибающая сопряжённого сигнала равна и отличается от комплексной огибающей исходного колебания лишь наличием постоянного фазового сдвига на в сторону запаздывания.

Отсюда следует что узкополосному сигналу:

соответствует сопряжённый по Гильберту сигнал.

3) Преобразование Гильберта огибающей, полной фазы и мгновенной частоты.

В рамках метода преобразования Гильберта огибающая произвольного сигнала S(t) определяется как модуль соответствующего аналитического сигнала:

По определению полная фаза любого сигнала S(t) равна аргументу аналитического сигнала :

Мгновенная частота сигнала есть производная полной фазы по времени:

Зная аналитический сигнал можно определить огибающую и мгновенную частоту узкополосного сигнала, не применяя искусственное понятие опорной частоты. Кроме того, формулы (3.44, 3.45, 3.45) сохраняют смысл и применительно к сигналам произвольного вида.

Согласно методу преобразований Гильберта, огибающая и мгновенная частота сигнала жёстко связаны друг с другом и их нельзя выбрать произвольно.

Теория аналитического сигнала разработана выдающимся венгерским физиком Денешем Габором, лауреатом Нобелевской премии.

Раздел 4. Основы корреляционного анализа сигналов

Ниже будет описан еще один способ комплексного представления сигналов, часто применяемый в теоретических исследованиях. Замечательная особенность данного способа состоит в том, что он позволяет вводить понятия огибающей и мгновенной частоты сигнала без той степени неопределенности, которая свойственна методу комплексной огибающей.

Аналитический сигнал. Формула Эйлера

представляющая гармоническое колебание в виде суммы даух комплексно-сопряженных функций, наводит на мысль о том, что произвольный сигнал s(t) с известной спектральной плотностью можно записать как сумму двух составляющих, каждая из которых содержит или только положительные, или только отрицательные частоты

аналитическим сигналом, отвечающим вещественному колебанию s(t). Первый из интегралов в правой части формулы (5,37) путем замены переменной преобразуется к виду

Поэтому формула (5.37) устанавливает связь между сигналами или

Мнимая часть аналитического сигнала

называется сопряженным сигналом по отношению к исходному колебанию s(t). Итак, аналитический сигнал

на комплексной плоскости отображается вектором, модуль и фазовый угол которого изменяются во времени. Проекция аналитического сигнала на вещественную ось в любой момент времени равна исходному сигналу s(t).

Введение аналитического и сопряженного сигналов, безусловно, не позволяет подучить каких-либо новых сведений, которые не содержались бы в математической модели сигнала s(t). Однако эти новые понятия открывают прямой путь к созданию систематических методов исследования узкополосных колебаний.

На конкретном примере покажем способ вычисления аналитического сигнала по известному спектру исходного сигнала.

Пример 5.6. Пусть - идеальный низкочастотный сигнал с известными параметрами (см. § 5.1).

В этом случае аналитический сигнал

Выделяя вещественную и мнимую части, получаем

Графики этих двух сигналов приведены на рис. 6,3.

Рис. 5.3. Исходный и сопряженный сигналы: 1 — идеальный низкочастотный сигнал; 2 — сопряженный с ним сигнал

Спектральная плотность аналитического сигнала.

Исследуем спектральную плотность аналитического сигнала, т. е. функцию связанную с -преобразованием Фурье:

На основании формулы (5.38) можно утверждать, что эта функция отлична от нуля лишь в области положительных частот:

Если — спектральная плотность сопряженного сигнала, то в силу линейности преобразования Фурье

Поэтому равенство (5.42) будет выполняться только в случае, когда спектральные плотности исходного и сопряженного сигналов связаны между собой следующим образом:

Абстрактно можно представить себе такой способ получения сопряженного сигнала: исходное колебание подается на вход некоторой системы, которая осуществляет поворот фаз всех спектральных составляющих на угол —90° в области положительных частот и на угол 90° в области отрицательных частот, не изменяя их по амплитуде. Систему, обладающую подобными свойствами, называют квадратурным фильтром.

Преобразование Гильберта.

Формула (5.44) показывает, что спектральная плотность сопряженного сигнала есть произведение спектра исходного сигнала и функции — . Поэтому сопряженный сигнал представляет собой свертку даух функций: , которая является обратным преобразованием Фурье по отношению к функции .

Для удобства вычислений представим эту функцию в виде предела:

Таким образом, сопряженный сигнал связан с исходным сигналом соотношением

Можно поступить и по-иному, выразив сигнал через который полагается известным. Для этого достаточно заметить, что из (5.44) вытекает следующая связь между спектральными плотностями:

Поэтому соответствующая формула будет отличаться от (5.45) лишь знаком:

Формулы (5.45) и (5.46) известны в математике под названием прямого и обратного преобразований Гильберта.

Символическая запись их такова:

Поскольку функция называемая ядром этих преобразований, имеет разрыв при интегралы (5.45) и (5.46) следует понимать в смысле главного значения. Например:

Некоторые свойства преобразований Гильберта.

Простейшее свойство этих интегральных преобразований — их линейность:

при любых постоянных в чем можно убедиться непосредственно.

Ядро преобразования Гильберта есть нечетная функций аргумента относительно точки а, значит, сигнал, сопряженный к константе, тождественно равен нулю:

Отметим, что преобразования Гильберта имеют нелокальный характер: подведение сопряженного сигнала в окрестности какой-либо точки зависит от свойств исходного сигнала на всей оси времени, хотя наибольший вклад дает, конечно, достаточно близкая окрестность рассматриваемой точки.

Преобразования Гильберта для гармонических сигналов.

Вычислим сигналы, сопряженные с гармоническими колебаниями и Результаты можно получить непосредственно из формулы (5.45). Однако проще поступить таким образом. Пусть некоторый произвольный сигнал задан своим Фурье-представлением:

На основании соотношения (5.44) находим аналогичное представление сопряженного сигнала:

Рассматривая формулы (5.48) и (5.49) совместно, находим следующие законы преобразования Гильберта:

Преобразование Гильберта для узкополосного сигнала

Пусть известна функция — спектральная плотность комплексной огибающей узкополосного сигнала s(t) с опорной частотой . Согласно формуле (5.36), спектр данного сигнала

Первое слагаемое в правой части соответствует области частот второе — Тогда на основании формулы (5.44) спектр сопряженного сигнала

откуда видно, что спектральная плотность комплексной огибающей сопряженного сигнала

Итак, сопряженный сигнал в данном случае также является узкополосным. Если комплексная огибающая исходного сигнала

то в соответствии с равенством (5.53) комплексная огибающая сопряженного сигнала

отличается от комплексной сгибающей исходного колебания лишь наличием постоянного фазового сдвига на 90° в сторону запаздывания.

Отсюда следует, что узкополосному сигналу

соответствует сопряженный по Гильберту сигнал

Вычисление огибающей, полной фазы и мгновенной частоты.

В рамках метода преобразований Гильберта огибающая произвольного сигнала определяется как модуль соответствующего аналитического сигнала:

Целесообразность такого определения можно проверить на примере узкополосного сигнала. Используя формулы (5.54) и (5.55), находим, что огибающая такого сигнала

В § 5.3 данная формула была получена из других соображений.

По определению, полная фаза любого сигнала равна аргументу аналитического сигнала

Наконец, мгновенная частота сигнала есть производная полной фазы по времени:

Рассмотрим примеры, иллюстрирующие вычисление указанных характеристик узкополосных сигналов.

Пример 5.7. Дано простое гармоническое колебание

В этом случае сопряженный сигнал Огибающая исходного сигнала

естественно, не зависит от времени и равна его амплитуде.

Полная фаза и, наконец, мгновенная частота Данный пример показывает, что определение огибающей, полной фазы и мгновенной частоты через преобразование Гильберта приводит к результатам, согласующимся с обычными представлениями о свойствах гармонических колебаний.

Пример 5.8. Колебание s(t) является суммой двух гармонических составляющих с различными амплитудами и частотами:

огибающая такого сигнала изменяется во времени по закону

Полная фаза сигнала

Для вычисления мгновенной частоты сяедует воспользоваться формулой (5.58), которая приводит к следующему результату:

Мгновенная частота изменяется во времени. Это связано с тем, что в данном случае фаза результирующего вектора, отображающего сумму двух гармонических колебаний, изменяется с различной скоростью в зависимости от того, как ориентированы по отношению друг к другу векторы слагаемых.

Пример 5.9. Рассмотрим идеальный полосовой сигнал s(t), спектр которого при отличен от нуля лишь на отрезке

Соответствующий аналитический сигнал

Огибающая исходного полосового сигнала

Наконец, мгновенная частота сигнала

Выполнив несложные преобразования, находим, что в данном случае не зависит от времени и равна центральной частоте интервала, в котором сосредоточен спектр.

Итак, зная аналитический сигнал, можно однозначно определять огибающую и мгновенную частоту узкополосного колебания, не применяя несколько искусственное понятие опорной частоты. Более того, формулы (5.56)-(5.58) сохраняют смысл применительно к сигналам произвольного вида, не обязательно удовлетворяющим условиям квазигармоничности (узкополосности).

Заключительные замечания.

Теория аналитического сигнала применительно к задачам теории колебаний и волн была развита в 40-х годах в работах Габора [30]. Однако преобразования Гильберта появились в математике еще в начале XX в. в связи с так называемой краевой задачей теории аналитических функций [10]. Сущность этой задачи состоит в следующем.

Пусть — комплексная переменная, — функция, аналитическая в верхней полуплоскости, т. е. при На вещественной оси, являющейся границей области аналитичности, функция имеет как вещественную, так и мнимую части:

Требуется найти закон, связывающий между собой функции .

Решение задачи дается преобразованиями Гильберта:

Можно показать [13], что аналитический сигнал как раз обладает свойством аналитичности в верхней полуплоскости, если его рассматривать как функцию комплексной переменной

В последнее время методы, основанные на понятиях аналитического сигнала и преобразований Гильберта, прочно вошли в арсенал теоретической радиотехники. Некоторые интересные проблемы в этой области описаны в [261.

В жизни мы обычно имеем дело с действительными сигналами (ток, напряжение, мощность и т.п.), однако иногда удобно представлять их в виде набора комплексных чисел. Это позволяет точно оценить амплитуду сигнала, его фазу, знак частоты (положительная или отрицательная). Также, для обработки комплексных чисел имеется мощный математический аппарат. Комплексные сигналы широко применяются в цифровой обработке сигналов: получение огибающей, определение мнгновенной частоты, квадратурная модуляция, системы связи, обработка радиолокационных сигналов и другое.

Давайте сразу перейдём к примеру. Создадим сигнал x[n] , который представляет из себя косинусоиду частотой 1 кГц, затем создадим второй сигнал, сдвинутый относительно x[n] на (или синусоиду) и назовём его y[n] :

Полученные сигналы показаны ниже:

Исходный сигнал и сигнал, сдвинутый на 90°

Теперь построим график в трёхмерной системе координат, по оси x будет исходный сигнал x[n] (действительная часть), по оси y сигнал y[n] (мнимая часть), по оси z — время. Также на отдельных графиках покажем проекции полученного сигнала на каждую из плоскостей трёхмерной системы координат:

Запускаем скрипт и анализируем полученные результаты:

Рассмотрим первый график: мы видим спираль, вращающуюся вокруг начала координат в плоскости x-y и поднимающуюся “вверх” вдоль оси z. Спираль вращается против часовой стрелки, это значит, что частота сигнала положительная. Правее показана окружность — это проекция данной спирали на плоскость x-y. Радиус данной окружности не изменяется и равен единице, а значит и амплитуда нашего сигнала на протяжении всего времени также не изменяется и равна единице. Ниже показаны проекции спирали на плоскости y-z и x-z: это и есть наши исходные косинусоидальный и синусоидальный сигналы.

Таким образом, любой дискретный сигнал можно представить в виде набора комплексных чисел:

$\begin (1) S[n] = I[n]+jQ[n] \end$

Мы уже работали с комплексными числами, когда анализировали результаты ДПФ. Например, для расчёта амплитуды сигнала необходимо найти модуль комплексного числа :

$\begin (2) |S[n]| = \sqrt \end$

А для расчёта фазы сигнала необходимо рассчитать арктангенс:

$\begin (3) \phi[n] = arctg> \end$

Теперь предположим что,

$\begin (4) S[n] = A \cdot cos(2\pi f_0 t + \phi) \end$

где — несущая частота сигнала, — его фаза. Вспомним курс тригонометрии:

$\begin (5) \cos(\alpha+\beta) = \cos(\alpha)\cos(\beta) - \sin(\alpha)\sin(\beta), \end$

И преобразуем выражение (4):

$\begin (6) A \cdot cos(2\pi f_0 t + \phi) = A \cdot \cos(2\pi f_0 t) \cdot \cos(\phi) - A \cdot \sin(2\pi f_0 t) \cdot \sin(\phi) \end$

Т.к. для комплексных чисел справедливо:

$\begin (7) I = A \cdot \cos(\phi) \end$

$\begin (8) Q = A \cdot \sin(\phi) \end$

Делаем замену в выражении (6):

$\begin (9) A \cdot cos(2\pi f_0 t + \phi) = I \cdot cos(2\pi f_0 t) - Q \cdot sin(2\pi f_0 t) \end$

И получаем ещё одну форму записи аналитического сигнала:

$\begin (10) S[n] = I[n] \cdot cos(2\pi f_0 t) - Q[n] \cdot sin(2\pi f_0 t) \end$

Что такое аналитический сигнал — немного разобрались, теперь нужно понять, как его получить из привычного нам действительного сигнала. Эту задачу помогает решить дискретное преобразование Гильберта.

Дискретное преобразование Гильберта представляет собой процедуру, которая на основе исходного сигнала формирует сигнал , сдвинутый по фазе относительно на . Иными словами: данное преобразование представляет собой идеальный фазовращатель на , который называется фильтром Гильберта. Двигать фазу будем с помощью КИХ-фильтра. На предыдущих лекциях мы рассмотрели операцию свёртки, в случае с преобразованием Гильберта её можно записать следующим образом:

$\begin (11) x_h[n] = x[n]*h[n] \end$

где — импульсная характеристика фильтра Гильберта, а “ ” обозначает операцию свёртки. Тогда, по теореме о свёртке, ДПФ выходного сигнала преобразования Гильберта есть произведение ДПФ исходного сигнала и ДПФ фильтра Гильберта:

$\begin (12) X_h[\omega] = X[\omega] \cdot H[\omega] \end$

Исходя из задачи сдвинуть фазу сигнала на , можно сформулировать следующие требования к фильтру :

Или, если записать это в виде математического выражения:

(13)

Графическое представление АЧХ и ФЧХ из выражения (13):

АЧХ и ФЧХ фильтра Гильберта

Следует обратить внимание, что т.к. , преобразование Гильберта убирает из сигнала постоянную составляющую.

Возьмём аналитический сигнал:

$\begin (14) s[n] = x[n] + j x_h[n] \end$

Спектр данного сигнала с учётом (12) будет иметь вид:

$\begin (15) S[\omega] = X[\omega] + j X_h[\omega] = X[\omega] + j X[\omega] \cdot H[\omega] \end$

Подставим в это выражение из выражения (13), в результате получим:

(16)

(17)

Из (17) можно сделать вывод: спектр аналитического сигнала при отрицательных частотах равен нулю, а при положительных частотах он равен спектру исходного сигнала, умноженному на два. Т.к. постоянная составляющая нас не интересует, вычислять не будем.

На основе вышесказанного разработаем алгоритм. Чтобы получить аналитический сигнал , заданный в выражении (14), из действительного сигнала , необходимо выполнить следующую последовательность действий:

Проверим на практике? Разработаем скрипт, реализующий данный алгоритм (привязка кода к пунктам указана в комментариях):

В результате выполнения скрипта получим графики:

Вычисление аналитического сигнала с помощью ДПФ

Сверху — исходный сигнал , снизу — действительная и мнимая часть полученного аналитического сигнала . Можно сравнить графики, полученные в данном примере, с графиками, полученными в начале лекции. Результаты получились идентичные, из чего можно сделать вывод о корректности работы алгоритма.

Для того, чтобы можно было использовать фильтр Гильберта как классический цифровой фильтр, нужно рассчитать его импульсную характеристику, а затем подставить её в выражение (11). Расчёт импульсной характеристики цифрового фильтра мы уже проводили на одной из предыдущих лекций: для этого нам нужно взять частотную характеристику фильтра из выражения (13) и взять от неё ОДПФ.

Запишем выражение ОДПФ для непрерывного сигнала:

$\begin (18) x(t) = \int\limits_<-\infty>^ <+\infty>X(f) e^ df \end$

$df = d\omega\frac<1> Вместо частоты в Герцах будем использовать круговую частоту: , тогда <2\pi>$
. Т.к. частотная характеристика дискретной системы периодична и повторяется с периодом частоты дискретизации (или ), пределы интегрирования установим от до :

$\begin (19) h(t) = \frac<2\pi>\int\limits_<-\omega_s/2>^ <+\omega_s/2>H(\omega) e^ d\omega \end$

Теперь разобьём интервал интегрирования на две области: до и от до :

$\begin (20) \begin h(t) = \frac<2\pi>\int\limits_<-\omega_s/2>^ j e^ d\omega + \frac<2\pi>\int\limits_^ <+\omega_s/2>-j e^ d\omega = \\ = \frac<2\pi j t>\left[e^|_<-\omega_s/2>^0 - e^|_0^<+\omega_s/2>\right] = \\ = \frac<2\pi t>\left[ e^ - e^ - e^ + e^ \right] =\\ = \frac<2\pi t>\left[ 2 - 2\cos(\omega_s t/2) \right] = \frac<\pi t>\left[ 1 - \cos(\omega_s t/2) \right] \end \end$

Следует обратить внимание, что при получается неопределённость , решить её можно с помощью правила Бернулли—Лопиталя:

$\begin<equation*> (21) \lim_ \frac<\left[ \cos(\omega_s t/2) \right]$

Откуда можно сделать вывод, что . Для дискретного сигнала результат выражения (20) будет выглядеть следующим образом:

$\begin (22) h[n] = \frac<\pi n t_s>\left[ 1 - \cos(\omega_s n t_s/2) \right] \text < при >n \neq 0; h[n]=0 \text < при >n = 0 \end$

Т.к. , а , получим:

$\begin (23) h[n] = \frac<\pi n>\left[ 1 - \cos(\pi n) \right] \text < при >n \neq 0; h[n]=0 \text < при >n = 0 \end$

Построим график импульсной характеристики фильтра Гильберта для 32 отсчётов и :

Импульсная характеристика фильтра Гильберта из 32 отсчётов

Теперь проанализируем АЧХ и ФЧХ полученного фильтра:

АЧХ и ФЧХ спроектированного фильтра Гильберта из 32 отсчётов

Следует обратить внимание, что — это особенность КИХ-фильтра с антисимметричной импульсной характеристикой. В нашем случае количество отсчётов фильтра чётное, в случае нечётного количества отсчётов мы также будем наблюдать . В связи с этим, на низких частотах АЧХ фильтра заваливается, что будет плохо сказываться на преобразовании низкочастотных составляющих. Также, в области полосы пропускания мы наблюдаем пульсации АЧХ — это эффект Гиббса, который мы изучали на лекции по цифровым фильтрам. Как с этим бороться, мы уже знаем: увеличить порядок фильтра и использовать взвешивание окном. Что мы и сделаем: ниже показаны АЧХ и ФЧХ фильтра Гильберта, взвешенного окном Хэмминга для , и отсчётов.

АЧХ и ФЧХ фильтра Гильберта, взвешенного окном Хэмминга для разного количества отсчётов

Из графиков видно, что увеличение количества отсчётов и взвешивание импульсной характеристики фильтра Гильберта окном приводит к улучшению АЧХ и ФЧХ фильтра. Теперь полученные коэффициенты можно смело подставлять в выражение (11) и вычислять преобразование Гильберта через операцию свёртки.

Однако, есть ещё один момент: сигнал, прошедший через КИХ-фильтр, задерживается на отсчётов, где — порядок цифрового фильтра. Поэтому, чтобы скомпенсировать линейную фазовую задержку выходного сигнала относительно входного , входной сигнал необходимо задержать на отсчётов. Рассмотрим пример для фильтра Гильберта 128 порядка:

Результат выполнения скрипта показан ниже:

Применение разработанного фильтра Гильберта к сигналу 1кГц и компенсация фазовой задержки

И графика видно, что сформированная мнимая часть сигнала (оранжевый график снизу) имеет задержку относительно начала координат на 63 отсчёта, на которую также была сдвинута действительная часть сигнала (синий график снизу). В результате получили два синусоидальных сигнала, сдвинутых друг относительно друга на , которые являются компонентами аналитического сигнала.

Что такое преобразование Гильберта, разобрались. Но у многих наверняка до сих пор есть вопросы: “Зачем оно нужно? Ну получили сигнал, сдвинутый на , и что?”. Рассмотрим один из примеров применения: получение огибающей модулированного сигнала.

Создадим несущий сигнал частотой 1 кГц, который будет модулирован частотой 50 Гц и построим его график:

График полученного сигнала:

Несущая 1 кГц, модулированная сигналом 50 Гц

Теперь разработаем ФНЧ со следующими параметрами:

Затем возьмём модуль модулированного сигнала x и применим к нему вышеуказанный фильтр (функцию фильтра я здесь показывать не буду, она генерируется с помощью пакета filterDesigner):

Получение огибающей с помощью ФНЧ

Из графика видно, что огибающая (оранжевый сигнал) напоминает реальную огибающую нашего сигнала только отдалённо. Если мы будем менять параметры фильтра, мы всё равно не сможем получить идеальный сигнал, повторяющий модуль синусоиды 50 Гц с единичной амплитудой. Попробуем применить полученные сегодня знания и получить огибающую сигнала с помощью преобразования Гильберта:

Результат показан ниже:

Получение огибающей с помощью преобразования Гильберта

Другое дело, правда?

Итак, мы рассмотрели два способа расчёта аналитического сигнала:

Через прямое и обратное ДПФ.
Через операцию свёртки с использованием импульсной характеристики фильтра Гильберта.

Первый способ даёт меньше искажений, однако требует большего количества математических операций. Второй способ более простой с точки зрения вычислений, однако не обеспечивает полное подавление отрицательных частот и плохо работает в области низких частот.

Также на практике показали, как можно применить преобразование Гильберта для получения огибающей модулированного сигнала.

Читайте также: