Алгебра основные начала анализа реферат

Обновлено: 04.07.2024

А.В. Гладкий. О преподавании алгебры и начал анализа в школе | Печать |

Когда я был школьником, арифметика, алгебра и геометрия изучались по слегка переработанным учебникам А.П. Киселева. Для конца XIX столетия, когда они были написаны, их научный уровень был очень высоким, а в методическом отношении это подлинные шедевры. Учебник геометрии Киселева переиздается до сих пор, и я тоже им пользовался, когда преподавал этот предмет. Но алгебру сейчас невозможно изучать по Киселеву, потому что содержание этого курса очень сильно изменилось – настолько, что возникает сомнение, правомерно ли сохранять его прежнее название.

Разумеется, содержание любого школьного курса должно время от времени обновляться вслед за развитием науки. Однако более естественным было бы такое обновление школьной алгебры, при котором она осталась бы алгеброй, но обогатилась бы идеями, появившимися в этой науке в XIX веке. Можно было бы обратить внимание на свойства операций над многочленами и алгебраическими дробями и сравнить их со свойствами операций над целыми, рациональными и действительными числами. Потом к ним добавились бы свойства операций над множествами; можно было бы подобрать для упражнений много наглядных примеров систем математических объектов, в которых естественным образом определяются операции, и объяснить, для чего эти операции нужны. И постепенно вырисовались бы главные идеи более новой алгебры – той, которая была новой во второй половине XIX столетия. А во второй части курса, в старших классах, появилось бы много возможностей развить эти идеи дальше.

Что же получилось в конечном счете в результате реформы?

Подозреваю, что многие сочтут ответ очевидным. Детей с математическими способностями, скажут они, нужно отдавать в математические классы, там они и геометрию изучат как следует, и начала анализа. Всем прочим математику надо преподавать в максимально облегченном виде, без строгих определений и доказательств; а детям с гуманитарными склонностями математика вообще ни к чему, в гуманитарных классах ее давно пора отменить.

Мне представляются возможными два пути выхода из того странного положения, в котором находятся теперь в школе эти предметы. Один из них состоит в том, чтобы переработать курс алгебры в направлении приближения его к современному состоянию этой науки (см. выше) и включить в него небольшой раздел, посвященный идеям предела, производной и интеграла. В этом разделе изложение должно быть основано исключительно на примерах, доказательства должны проводиться только для простейших частных случаев элементарными способами, и нигде не должно выдаваться за доказательство то, что таковым не является. Итогом изучения этого раздела должно быть осознание поистине удивительного факта, что операции проведения касательной и вычисления площади – взаимно обратные. (Его можно проиллюстрировать на тех же простейших примерах.) Техники дифференцирования и интегрирования здесь касаться незачем.

За барственной позицией преподавателя, пренебрегающего объяснениями, прячется обыкновенная лень. Обдумывать разные подходы к объяснению, искать образы и сравнения, помогающие понять содержательный смысл формальных операций, оттачивать детали, излагать рассуждения на русском или другом естественном языке, борясь с его неподатливостью, заботясь о ясности и выразительности, обдумывая каждую фразу и каждое слово, устраняя чересчур тяжелые обороты и слишком частые повторения одних и тех же слов и словосочетаний – очень трудная работа, требующая много времени и внимания. Выписывать цепочки формальных преобразований несравнимо легче. Вот и идут преподаватели и авторы учебников по пути наименьшего сопротивления, и это освящается традицией.

Конечно, трудно отрешиться от стереотипа, выработавшегося еще в студенческие годы и закрепленного многолетним опытом преподавания и чтением книг, авторы которых придерживались той же традиции. Но возможно. И тогда открывается широкое поле для размышлений на методические темы.

Прежде всего мне хотелось бы остановиться на использовании в преподавании математики в средней и высшей школе символического языка математической логики.

При изучении начал анализа символический язык может хорошо работать не только в теории пределов. Очень полезен он при изучении свойств числовых множеств и функций и еще полезнее в разделе о равносильности уравнений и неравенств. В нынешних учебниках трактовка равносильности архаична; особенно сильно это бросается в глаза, когда речь идет о неравенствах. Используя символический язык, можно сделать этот раздел гораздо прозрачнее и понятнее.

Подобных замечаний разной степени важности можно было бы сделать много, но вряд ли стоит приводить их прежде, чем мы сможем предложить на суд коллег свой вариант учебного пособия или хотя бы некоторые главы. А сейчас я хотел бы заметить, что суровая реальность предъявляет к структуре пособия требования, которые необходимо выполнить независимо от того, нравятся ли они авторам. Во-первых: так как мы хотим, чтобы нашим пособием могли пользоваться ученики старшей школы, учившиеся в основной школе по разным учебникам, в которых многие темы излагаются разными способами (и притом, по нашему убеждению, не всегда корректно), мы вынуждены заново излагать эти темы. Разумеется, образованный и думающий учитель (а только на такого учителя рассчитано наше пособие) легко выяснит, что из этого материала его ученикам необходимо изучать заново и что достаточно бегло повторить. Во-вторых: реформа ввела в школьную практику несколько новых тем, без которых, как нам кажется, можно было бы обойтись (например, решение тригонометрических неравенств), но опустить их мы не можем, потому что они входят в обязательные программы для всевозможных экзаменов. В-третьих: некоторые понятия, сохраняющиеся в школьном преподавании с давних времен, представляются нам некорректными. Такие понятия, хотя их немного, представляют для нас наибольшую трудность, т. к. они тоже входят в программы экзаменов.

В заключение хочу подчеркнуть, что мы не считаем выбранный нами путь выхода из кризиса единственно возможным. Было бы очень хорошо, например, если бы кто-нибудь из коллег взялся за разработку нового школьного курса алгебры в том направлении, о котором говорилось выше. Необходимым условием нормального процесса эволюции является плюрализм; в применении к образованию это верно не в меньшей степени, чем в применении к общественной жизни, а в применении к преподаванию каждого отдельного учебного предмета – не в меньшей степени, чем в применении к образованию в целом.

[1] Капица П.Л. Некоторые принципы творческого воспитания и образования современной молодежи.// Математика в образовании и воспитании. Сост. В.Б. Филиппов. М.: ФАЗИС, 2006.

[2] Абрамов А.М. Переписка П.Л. Капицы и А.Н. Колмогорова по вопросам образования.// Математика в образовании и воспитании. Сост. В.Б. Филиппов. М.: ФАЗИС, 2006.

[3] Виленкин Н.Я. Современные проблемы школьного курса математики и их исторические аспекты.// Математика в школе, 1988, № 4.

[4] Борель Э. Как согласовать преподавание в средней школе с прогрессом науки.// Математика в образовании и воспитании. Сост. В.Б. Филиппов. М.: ФАЗИС, 2006.

[6] Александров А.Д. О строгости изложения в учебном пособии А.В. Погорелова.// Математика в школе, 1984, № 1.

[7] Гладкий А.В. О некоторых определениях в учебном пособии А.В. Погорелова.// Математика в школе, 1990, № 6.

[8] Гладкий А.В. Зачем нужна в школе математика?// Знание – сила, 1996, № 2.

[10] Гладкий А.В., Грек А.С., Фет А.И. Памяти В.А. Ефремовича.// Математика в школе, 1989, № 5.

[11] Дьедонне Ж. Основы современного анализа. М.: Мир, 1964.

[12] Гладкий А.В. О значении союза или.// Семиотика и информатика, выпуск 13.

[13] Гладкий А.В. О значении союза если.// Семиотика и информатика, выпуск 18.

М.: ВИНИТИ, 1982. Перепечатка: // Семиотика и информатика, выпуск 35.

[14] Гладкий А.В., Дрейзин Ф.А. О семантике русского отрицания.// Wiener slawistischer Almanach, Bd. 11. Wien: Gesellschaft zur Förderung slawistischer Studien, 1983.

Ваша точка зрения мне очень интересна. Я в течение многих лет преподавал математику, физику, химию и биологию в музыкальном училище г. Магадана по новым программам. Эти программы произвели на меня очень сильное впечатление и то обстоятельство, что от них в дальнейшем отказались, я считаю неправильным. Кроме того, я обучал детей в школе информатике сначала по безмашинному варианту, а затем по программе на основе языка ПРОЛОГ. Обучал я также детей и теории вероятностей на основе курса Тарасова. Всё это было очень интересно как для меня, так и для некоторых ученико( таких было немного). И вся эта интересная, хотя и очень трудная работа наталкивалась на бешенное сопротивление начальства (исключением явилось музыкальное училище). В 1994 г. меня ушли на пенсию, хотя интерес к вопросам улучшения преподавания у меня сохранился до сих пор и я наработал новые подходы к этой проблеме. Хотелось бы поделиться этими мыслями.
Ответить | Ответить с цитатой | Цитировать

Квадратичная функция. Графиком квадратичной функции является парабола. Логарифмическая функция. Синус, косинус, тангенс, котангенс угла. Арифметическая прогрессия. Геометрическая прогрессия. Сумма бесконечной геометрической прогрессии.

Рубрика	Математика
Вид	контрольная работа
Язык	русский
Дата добавления	19.05.2006
Размер файла	166,3 K

Студенты, аспиранты, молодые ученые, использующие базу знаний в своей учебе и работе, будут вам очень благодарны.

Алгебра и начала анализа.

1. Линейная функция y = ax + b, её свойства и график.

2. Квадратичная функция y = ax 2 + bx + c, её свойства и график.

3. Функция y = k/x, её свойства и график, график дробно-линейной функции (на конкретном приме-ре).

4. Показательная функция y = a x , её свойства и график.

5. Логарифмическая функция y = log_ax, её свойства и график.

6. Функция y = sin(x), её свойства и график.

7. Функция y = cos(x), её свойства и график.

8. Функция y = tg(x), её свойства и график.

9. Функция y = ctg(x), её свойства и график.

10. Арифметическая прогрессия, сумма первых n членов арифметической прогрессии.

11. Геометрическая прогрессия, сумма первых n членов геометрической прогрессии. Сумма бесконечно убывающей геометрической прогрессии.

12. Решение уравнения sin(x) = a, неравенств sin(x) > a, sin(x) a, cos(x) a, tg(x) 0, то этот угол острый; если k 2 + bx + c, где х - независимая переменная, а, b и с - некоторые числа, причем а 0.

Графиком квадратичной функции является парабола.

Свойства функции y = ax 2(частный случай) при а > 0.

1. Если х = 0, то y = 0. График функции проходит через начало координат.
2. Если х 0, то y > 0. График функции расположен в верхней полуплоскости.
3. График функции симметричен относительно оси Oy.
4. Функция убывает в промежутке (- ; 0] и возрастает в промежутке [0; + ).
5. Наименьшее значение функция принимает при х = 0. Область значений функции [0; + ).

Свойства функции y = ax 2 при а 2 + bx + c есть парабола, вершиной которой является точка (m; n), где m = , n= . Осью симметрии параболы служит прямая х = m, параллельная оси y. При а > 0 ветви параболы направлены вверх, при a 0, то ветви гиперболы расположены в I и III координатных четвертях; если же k x , где а - некоторое положительное число, не равное еденице, называется показательной.

1. Функция y = a x при а>1
а) область определения - множество всех действительных чисел;
б) множество значений - множество всех положительных чисел;
в) функция возрастает;
г) при х = 0 значение функции равно 1;
д) если х > 0, то a x > 1;
е) если х x x при 0 0, то 0 x x > 1.

№5.Опр. Функцию, заданную формулой y = log_a x называют логарифмической функцией с основанием а.
Свойства функции y = log_a x при a>1:
а) D(f) = R+;
б) E(f) = R;
в) функция возрастает;
г) если x = 1, то log_a x = 0;
д) если 0 1, то log_a x > 0.
Свойства функции y = log_a x при 0а) D(f) = R+;
б) E(f) = R;
в) функция убывает;
г) если x = 1, то log_a x = 0;
д) если 0 0;
е) если x > 1, то log_a x 0 для всех ;

7. sin(x) 0 для всех ;

7. cos(x) > 0 для всех ;

8. функция возрастает на ;

9. функция убывает на

№8.Опр. Отношение катета, противолежащего острому углу прямоугольного треугольника, к катету, прилежащему к этому углу, называется тангенсом (обозначается tg ).

1. область определения - множество всех действительных чисел, кроме чисел вида;

2. множество значений - вся числовая прямая;

3. функция нечетная: tg(-x) = -tg(x) для всех х из области определения;

4. функция периодическая с наименьшим положительным периодом ;

6. tg(x) > 0 для всех ;

7. tg(x) 0 для всех ;

7. ctg(x) 0 (), то прогрессия является монотонной последовательностью. Пусть, например, b₁= -2, q = 3, тогда геометрическая прогрессия -2, -6, -18, . есть монотонно убывающая последовательность. Если q = 1, то все члены прогрессии равны между собой. В этом случае прогрессия является постоянной последовательностью.

5. Характеристическое свойство геометрической прогрессии. Последовательность (b_n) является геометрической прогрессией тогда и только тогда, когда каждый ее член, начиная со второго, есть среднее геометрическое соседних с ним членов, т. е. (1)

6. Формула n-го члена геометрической прогрессии имеет вид: (2)

7. Формула суммы п первых членов геометрической прогрессии имеет вид: , (3)

8. Если в формулу (3) подставить вместо b_n его выражение по формуле (2), то получится соот-ношение. , (4)

9. Из определения знаменателя геометрической прогрессии следует, что b₁b_n = b₂b_n-1 = …, т.е. произведение членов, равноотстоящих от концов прогрессии, есть величина постоянная.

Сумма бесконечной геометрической прогрессии при

1. Пусть (x_n) - геометрическая прогрессия со знаменателем q, где и . Суммой бесконечной геометрической прогрессии, знаменатель которой удовлетворяет условию , называется предел суммы n первых ее членов при .

2. Обозначим сумму бесконечной геометрической прогрессии через S. Тогда верна формула .

Решение тригонометрических уравнений вида sin(x) = a

1. формула для корней уравнения sin(x) = a, где , имеет вид:
Частные случаи:

5. формула для корней уравнения sin 2 (x) = a, где , имеет вид: x=

Решение тригонометрических неравенств вида sin(x) > a, sin(x) a (sin(x) ;
sin(x) > 0, если ;
sin(x) 2 (x) = a, где , имеет вид: .

Решение тригонометрических неравенств вида cos(x) > a, cos(x) a, cos(x) 0, если ;
cos(x) > 0, если .

Решение тригонометрического уравнения tg(x) = a

1. Формула для корней уравнения tg(x) = a имеет вид: .

2. Частные случаи:
tg(x) = 0, x = ;
tg(x) = 1, ;
tg(x) = -1, .

3. Формула для корней уравнения tg 2 (x) = a, где , имеет вид:

Решение тригонометрических неравенств вида tg(x) > a, tg(x) a, tg(x) 0, если ;
tg(x) 2 cos cos + R 2 sin sin = R 2 (cos cos + sin sin).
С другой стороны, по теореме о скалярном произведении векторовимеем:
= cos BOC = R 2 cos BOC.
Угол ВОС между векторами и может быть равен - (рис.1), - ( - ) (рис.2) либо может отличаться от этих значений на целое число оборотов. В любом из этих случаев cos BOC = cos ( - ). Поэтому
= R 2 cos ( - ).
Т.к. равно также R 2 (cos cos + sin sin), то
cos( - ) = cos cos + sin sin.

cos( + ) = cos( - (-)) = cos cos(-) + sin sin(-) = cos cos - sin sin.
Значит,
cos( + ) = cos cos - sin sin.

2. Формулы синуса суммы и разности двух аргументов:

sin( + ) = cos( /2 - ( + )) = cos(( /2 - ) - ) = cos( /2 - ) cos + sin( /2 - ) sin = sin cos + cos sin.
Значит,
sin( + ) = sin cos + cos sin.

sin( - ) = sin( + (-)) = sin cos(-) + cos sin(-) = sin cos - cos sin.
Значит,
sin( - ) = sin cos - cos sin.

Формулы двойных углов

Формулы сложения позволяют выразить sin 2, cos 2, tg 2, ctg 2 через тригонометрические функции угла .
Положим в формулах
sin( + ) = sin cos + cos sin ,
cos( + ) = cos cos - sin sin ,
,
.
равным . Получим тождества:

sin 2 = 2 sin cos ;
cos 2 = cos 2 - sin 2 = 1 - sin 2 = 2 cos 2 - 1;
; .

Формулы половинного аргумента

1. Выразив правую часть формулы cos 2 = cos 2 - sin 2 через одну тригонометрическую функцию (синус или косинус), придем к соотношениям
cos 2 = 1 - sin 2 , cos 2 = 2 cos 2 - 1.
Если в данных соотношениях положить = /2, то получим:
cos = 1 - 2 sin 2 /2, cos 2 = 2 cos 2 /2 - 1. (1)

2. Из формул (1) следует, что
(2), (3).

3. Разделив почленно равенство (2) на равенство (3), получим
(4).

4. В формулах (2), (3) и (4) знак перед радикалом зависит от того, в какой координатной четверти находится угол /2.

5. Полезно знать следующую формулу:
.

Формулы суммы и разности синусов, косинусов

Сумму и разность синусов или косинусов можно представить в виде произведения тригонометрических функций. Формулы, на которых основано такое преобразование, могут быть получены из формул сложения.
Чтобы представить в виде произведения сумму sin + sin , положим = x + y и = x - y и воспользуемся формулами синуса суммы и синуса разности. Получим:
sin + sin = sin (x + y) + sin (x - y) = sinx cosy + cosx siny + sinx cosy - cosx siny = 2sinx cosy.
Решив теперь систему уравнений = x + y, = x - y относительно x и y, получим х = , y = .
Следовательно,
sin + sin = 2 sin cos .
Аналогичным образом выводят формулы:
sin -sin = 2 cos sin ;
cos + cos = 2 cos cos ;
cos + cos = -2 sin sin .

Чтобы найти решение приведенного квадратного уравнения x 2 + px + q = 0, где , достаточно перенести свободный член в правую часть и к обеем частям равенства прибавить . Тогда левая часть станет полным квадратом, и мы получаем равносильное уравнение = - q .
Оно отличается от простейшего уравнения x 2 = m только внешним видом: стоит вместо x и - q - вместо m. Находим = . Отсюба х = - . Эта формула показывает, что всякое квадратное уравнение имеет два корня. Но эти корни могут быть и мнимыми, если 2 + px + q = 0 равна второму коэффициенту, взятому с противоположным знаком, а произведение корней равно свободному члену, т.е. х₁ + х₂ = -р, а х₁х₂ = q .
2. Теорема, обратная теореме Виета. Если р, q, х₁, х₂ таковы, что х₁ + х₂ = -р и х₁х₂ = q , то х_{1 и} х₂ - корни уравнения x 2 + px + q = 0.

Опр. Логарифмом числа b по основанию а называется показатель степени, в которую нужно возвести основание а, чтобыполучить число b.
Формулу (где b > 0, a > 0 и a 1) называют основным логарифмическим тождеством.
Свойства логарифмов:

3. Логарифм произведения равен сумме логарифмов сомножителей:
.
Для доказательства воспользуемся основным логарифмическим тождеством:
x = , y = .
Перемножим почленно эти равенства, получаем:
xy = = .
Следовательно, по определению логарифма (п.3) доказан.

4. Логарифм частного равен логарифму делимого без логарифма делителя:
.
Ход доказательства аналогичен доказательству п.3

5. Логарифм степени равен произведению показателя степени на логарифм ее основания:
.
При доказательстве, также необходимо воспользоваться основным логарифмическим тождеством.

1. Производной функции f(x) в точке х₀ называется предел отношения приращения функции в точке х₀ к приращению аргумента, когда последнее стремится к нулю. Это можно записать так: .

2. Из определения производной следует, что функция может иметь производную в точке х₀ только в том случае, если она определена в некоторой окрестности точки х₀, включая эту точку.

3. Необходимым условием существования производной функции в данной точке является непрерывность функции в этой точке.

4. Существование производной функции f в точке х₀ эквивалентно существованию (невертикальной) касательной в точке (х₀ ; f(х₀)) графика, при этом угловой коэффициент касательной равен . В этом состоит геометрический смысл производной.

5. Механический смысл производной f '(x) функции у = f(x) - это скорость изменения функции в точке х. Поэтому при решении прикладных задач следует помнить, что какой бы процесс ни описывался изучаемой функцией у = f(x) производную с физической точки зрения можно представить как скорость, с которой протекает процесс.

1. Производная суммы равна сумме производных, если они существуют:
.

2. Если функция u и v дифференцируемы в точке х₀ то их производные дифференцируемы в этой точке и
.

3. Если функция u и v дифференцируемы в точке х₀, а С - постоянная, то функция Cu дифференцируема в этой точке и
.

4. Если функция u и v дифференцируемы в точке х₀ и функция v не равна нулю в этой точке, то частное двух функций тоже дифференцируемо в точке х₀ и
.

Подобные документы

Элементарные функции, их анализ. Линейная функция. Квадратичная функция. Степенная функция. Показательная функция (экспонента). Логарифмическая функция. Тригонометрическая функция: синус, косинус, тангенс, котангенс. Обратная функция: аrcsin x, аrctg x.

реферат [325,7 K], добавлен 17.02.2008

Градусная и радианная мера угла. Функция как соотношение между двумя числовыми множествами, размерность числового множества. Понятие множества значений некоторого угла. Элементарные тригонометрические функции произвольного угла: синус, косинус, тангенс.

реферат [239,9 K], добавлен 19.08.2009

Обозначение основных тригонометрических терминов: радианная и градусная мера угла, синус, косинус, тангенс, котангенс. Область определения функций и построение их графиков. Выведение формул сложения, суммы, разности и двойного аргумента функций.

презентация [229,3 K], добавлен 13.12.2011

Сущность и стадии развития тригонометрии. Свойства функции синус, косинус, тангенс, котангенс. Решение простых тригонометрических уравнений. Формула Эйлера как связь между математическим анализом и тригонометрией. Применение тригонометрических вычислений.

реферат [648,7 K], добавлен 15.06.2014

Использование компьютерной системы "Maple" для изображения многогранников. Евклид и задачи с недоступными точками. Арифметическая прогрессия и степень с рациональным показателем. Проведение олимпиад, конкурсов и турниров. Подготовка к экзамену.

книга [19,0 M], добавлен 01.12.2010

Определение номера и значения членов прогрессии для бесконечно убывающей геометрической прогрессии. Вычисление относительной погрешности величины. Определение значений машинного нуля и бесконечности. Поведение погрешностей в зависимости от аргумента.

лабораторная работа [283,1 K], добавлен 15.11.2014

Области определения и значений функции. Заданная, монотонная, ограниченная и неограниченная, непрерывная и разрывная, четная и нечетная функции. Определение асимптоты. Степенная функция с вещественным показателем. Квадратичная и логарифмическая функции.

/>1. Линейная функция y = ax + b, её свойства и график.

/>2. Квадратичная функция y = ax2 + bx + c, её свойства и график.

/>3. Функция y = k/x, её свойства и график, график дробно-линейной функции (на конкретном приме-ре).

/>4. Показательная функция y = ax, её свойства и график.

/>5. Логарифмическая функция y = logax, её свойства и график.

/>6. Функция y = sin(x), её свойства и график.

/>7. Функция y = cos(x), её свойства и график.

/>8. Функция y = tg(x), её свойства и график.

/>9. Функция y = ctg(x), её свойства и график.

/>10. Арифметическая прогрессия, сумма первых n членов арифметической прогрессии.

/>11. Геометрическая прогрессия, сумма первых n членов геометрической прогрессии. Сумма бесконечно убывающей геометрической прогрессии.

/>12. Решение уравнения sin(x) = a, неравенств sin(x) > a, sin(x) 13. Решение уравнения cos(x) = a, неравенств cos(x) > a, cos(x) 14. Решение уравнения tg(x) = a, неравенств tg(x) > a, tg(x) 15. Формулы приведения (с выводом).

/>16. Формулы синуса и косинуса суммы и разности двух аргументов (с доказательством).

/>17. Тригонометрические функции двойного аргумента.

/>18. Тригонометрические функции половинного аргумента.

/>19. Формулы суммы и разности синусов, косинусов (с доказательством).

/>20. Вывод формулы корней квадратного уравнения, теорема Виета.

/>21. Логарифм произведения, степени, частного.

/>22. Понятие производной, ее геометрический смысл и физический смысл.

/>23. Правила вычисления производной.

Ответ Функция заданная формулой y = kx + b, где k и b — некоторые числа, называется линейной. Областью определения линейной функции служит множество R всех действительных чисел, т.к. выражение kx + b имеет смысл при любых значениях х. График линейной функции y = kx + b есть прямая. Для построения графика, очевидно, достаточно двух точек, если k />0. Коэффициент k характеризует угол, который образует прямая y = kx с положительным направлением оси Ох, поэтому k называется угловым коэффициентом. Если k > 0, то этот угол острый; если k

Ответ№2. Опр.Квадратичной функцией называется функция, которую можно задать формулой вида y= ax2 + bx + c, где х — независимая переменная, а, b и с — некоторыечисла, причем а />0.

Графиком квадратичной функции является парабола.

Свойства функции y = ax2(частный случай) при а > 0.

1. Если х = 0, то y = 0. График функции проходит через начало координат.
2. Если х />0,то y > 0. График функции расположен в верхней полуплоскости.
3. График функции симметричен относительно оси Oy.
4. Функция убывает в промежутке (- />; 0] и возрастает в промежутке [0;+ />).
5. Наименьшее значение функция принимает при х = 0. Область значений функции[0; + />).

Свойства функции y = ax2 при а 0,то y ) и возрастает в промежутке (- />; 0].
5. Наименьшее значение функция принимает при х = 0. Область значений функции (-/>; 0].

И, так, график функции y = ax2 + bx + c есть парабола, вершинойкоторой является точка (m; n), где m = />, n= />. Осью симметрии параболы служитпрямая х = m, параллельная оси y. При а > 0 ветви параболы направлены вверх,при a

Еслипеременная у обратно пропорциональна переменной х, то эта зависимостьвыражается формулой />, где /> — коэффициент обратнойпропорциональности.

Область определения функции /> — есть множество всех чисел, отличных от нуля, т. е. />. Графиком обратной пропорциональности у=k/x является кривая, состоящая из двух ветвей, симметричных относительно начала координат. Такая кривая называется гиперболой. Если k>0, то ветви гиперболы расположены в I и III координатных четвертях; если же k

№4. Опр. Функция,заданная формулой y = ax, где а — некоторое положительное число, неравное еденице, называется показательной.

1. Функция y = ax при а>1
а) область определения — множество всех действительных чисел;
б) множество значений — множество всех положительных чисел;
в) функция возрастает;
г) при х = 0 значение функции равно 1;
д) если х > 0, то ax > 1;
е) если х 0, то 0 1.

№5.Опр. Функцию, заданнуюформулой y = loga x называют логарифмической функцией с основаниема.
Свойства функции y = loga x при a>1:
а) D(f) = R+;
б) E(f) = R;
в) функция возрастает;
г) если x = 1, то loga x = 0;
д) если 0 1, то loga x > 0.
Свойства функции y = loga x при 0 а) D(f) = R+;
б) E(f) = R;
в) функция убывает;
г) если x = 1, то loga x = 0;
д) если 0 0;
е) если x > 1, то loga x

№6.Опр.Отношение катета прямоугольного треугольника, противолежащего острому углу, кгипотенузе называется синусом этого угла (обозначается sin />).

область определения — множество всех действительных чисел; множество значений — [-1; 1]; функция нечетная: sin(-x) = -sin(x) для всех />; функция периодическая с наименьшим положительным периодом />; sin(x) = 0 при x = />; sin(x) > 0 для всех />; sin(x) ; функция возрастает на />; функция убывает на />.

№7.Опр.Отношение катета прямоугольного треугольника, прилежащего к острому углу, кгипотенузе называется косинусом этого угла (обозначается cos />)

область определения — множество всех действительных чисел; множество значений — [-1; 1]; функция четная: cos(-x) = cos(x) для всех />; функция периодическая с наименьшим положительным периодом />; cos(x) = 0 при />; cos(x) > 0 для всех />; cos(x) > 0 для всех />; функция возрастает на />; функция убывает на />

№8.Опр. Отношение катета,противолежащего острому углу прямоугольного треугольника, к катету, прилежащемук этому углу, называется тангенсом (обозначается tg />).

область определения — множество всех действительных чисел, кроме чисел вида/>; множество значений — вся числовая прямая; функция нечетная: tg(-x) = -tg(x) для всех х из области определения; функция периодическая с наименьшим положительным периодом />; tg(x) = 0 при х = />; tg(x) > 0 для всех />; tg(x) ; функция возрастает на />.

№9.Опр. Отношение катета,прилежащего острому углу прямоугольного треугольника, к катету, противолежащемук этому углу, называется котангенсом (обозначается ctg />)

область определения — множество всех действительных чисел, кроме чисел вида />; множество значений — вся числовая прямая; функция нечетная: ctg(-x) = -ctg(x) для всех х из области определения; функция периодическая с наименьшим положительным периодом />; ctg(x) = 0 при x = />; ctg(x) > 0 для всех />; ctg(x) ; функция убывает на />.

Числовая последовательность, каждый член которой, начиная со второго, равен предшествующему члену, сложенному с одним и тем же числом, называется арифметической прогрессией. Из определения арифметической прогрессии следует, что разность между любым ее членом и ему предшествующим равна одному и тому же числу, т. е. а2 — а1 = а3 — а2 =… = ak — ak-1 =…. Это число называется разностью арифметической прогрессии и обычно обозначается буквой d. Для того чтобы задать арифметическую прогрессию (аn), достаточно знать ее первый член а1 и разность d. Если разность арифметической прогрессии — положительное число, то такая прогрессия является возрастающей; если отрицательное число, то убывающей. Если разность арифметической прогрессии равна нулю, то все ее члены равны между собой и прогрессия является постоянной последовательностью. Характеристическое свойство арифметической прогрессии. Последовательность (аn) является арифметической прогрессией тогда и только тогда, когда любой ее член, начиная со второго, является средним арифметическим предшествующего и последующего членов, т. е. />(1) Формула n-го члена арифметической прогрессии имеет вид: an = a1 + d(n-1). (2) Формула суммы n первых членов арифметической прогрессии имеет вид: />(3) Если в формулу (3) подставить вместо аn его выражение по формуле (2), то получим соотношение /> Из определения разности арифметической прогрессии следует, что a1 + an = a2 + an-1 = . т. е. сумма членов, равноудаленных от концов прогрессии, есть величина постоянная.

Числовая последовательность, первый член которой отличен от нуля, а каждый член, начиная со второго, равен предшествующему члену, умноженному на одно и то же не равное нулю число, называется геометрической прогрессией. Из определения геометрической прогрессии следует, что отношение любого ее члена к предшествующему равно одному и тому же числу, т. е. b2:b1 = b3:b2 =… = bn:bn-1 = bn+1:bn =…. Это число называется знаменателем геометрической прогрессии и обычно обозначается буквой q. Для того, чтобы задать геометрическую прогрессию (bn), достаточно знать ее первый член b1 и знаменатель q. Если q > 0 (/>), то прогрессия является монотонной последовательностью. Пусть, например, b1= -2, q = 3, тогда геометрическая прогрессия -2, -6, -18,… есть монотонно убывающая последовательность. Если q = 1, то все члены прогрессии равны между собой. В этом случае прогрессия является постоянной последовательностью. Характеристическое свойство геометрической прогрессии. Последовательность (bn) является геометрической прогрессией тогда и только тогда, когда каждый ее член, начиная со второго, есть среднее геометрическое соседних с ним членов, т. е. />(1) Формула n-го члена геометрической прогрессии имеет вид: />(2) Формула суммы п первых членов геометрической прогрессии имеет вид: />, />(3) Если в формулу (3) подставить вместо bn его выражение по формуле (2), то получится соот-ношение. />, />(4) Из определения знаменателя геометрической прогрессии следует, что b1bn = b2bn-1 = …, т.е. произведение членов, равноотстоящих от концов прогрессии, есть величина постоянная.

Сумма бесконечной геометрическойпрогрессии при />

Пусть (xn) — геометрическая прогрессия со знаменателем q, где />и />. Суммой бесконечной геометрической прогрессии, знаменатель которой удовлетворяет условию />, называется предел суммы n первых ее членов при />. Обозначим сумму бесконечной геометрической прогрессии через S. Тогда верна формула />.

Решение тригонометрических уравнений вида sin(x)= a

формула для корней уравнения sin(x) = a, где />, имеет вид: />
Частные случаи: sin(x) = 0, x = /> sin(x) = 1, x = /> sin(x) = -1, x = /> формула для корней уравнения sin2(x) = a, где />, имеет вид: x= />

Решение тригонометрических неравенстввида sin(x) > a, sin(x) a (sin(x) ;
sin(x) = -1, если x = />>;
sin(x) > 0, если />;
sin(x) .

Решение тригонометрического уравненияcos(x) = a

Формула для корней уравнения cos(x) = a, где />, имеет вид: />. Частные случаи:
cos(x) = 1, x = />;
cos(x) = 0, />;
cos(x) = -1, x = /> Формула для корней уравнения cos2(x) = a, где />, имеет вид: />.

Решение тригонометрических неравенстввида cos(x) > a, cos(x) a, cos(x) ;
cos(x) = -1, если x = />;
cos(x) = 1, если x = />;
cos(x) > 0, если />;
cos(x) > 0, если />.

Решение тригонометрического уравненияtg(x) = a

Формула для корней уравнения tg(x) = a имеет вид: />. Частные случаи:
tg(x) = 0, x = />;
tg(x) = 1, />;
tg(x) = -1, />. Формула для корней уравнения tg2(x) = a, где />, имеет вид: />

Решение тригонометрических неравенстввида tg(x) > a, tg(x) a, tg(x) 0, если />;
tg(x) ;
Тангенс не существует, если />.

Формулами приведения называются соотношения, с помощью которых значения тригонометрических функций аргументов />, />, />, />, выражаются через значения sin />, cos />, tg />и ctg />. Все формулы приведения можно свести в следующую таблицу:

Собрала для вас похожие темы рефератов, посмотрите, почитайте:

Введение

Древнейшей математической деятельностью был подсчет. Счет был необходим для учета крупного рогатого скота и торговли. Некоторые первобытные племена подсчитывали количество предметов и сравнивали различные части тела, в основном пальцы ног и ног. На рисунке, сохранившемся с каменного века, изображена цифра 35 в ряду 35 стержней, нанизанных друг на друга. Первыми значительными достижениями в арифметике стали концептуализация числа и изобретение четырех основных действий: сложение, вычитание, умножение и деление. Первые достижения в геометрии были связаны с такими простыми понятиями, как прямая линия и окружность. Дальнейшее развитие математики началось около 3000 г. до н.э. благодаря вавилонянам и египтянам. И постепенно математика стала незаменимой наукой для человечества.

Математика как наука

Вот некоторые определения математики от разных авторов.

Математика — это цикл наук, посвященный ценностям и пространственным формам (арифметике, алгебре, геометрии, тригонометрии и т.д.). Чистая математика. Прикладная математика. Высшая математика. (Пояснительный словарь русского языка Д.Н.Ушакова).

Математика — академический предмет, содержащий теоретические основы соответствующей научной дисциплины (толковый русский словарь Т.Ф. Ефремовой).

Период элементарной математики

Были решены задачи, сведенные к решению уравнений третьей степени и особых типов уравнений четвертой, пятой и шестой степени. Использовались только два разных символа: один обозначал единицу, а другой — число 10; все номера записывались этими двумя символами с учетом позиционного принципа. В старых текстах (около 1700 г. до н.э.) нет символа нуля, поэтому числовое значение, присваиваемое символу, зависело от условий задачи, и этот же символ мог обозначать 1, 60, 3600 или даже 1/60, 1/3600. Греция также была сильна в математике. Математическое элементарное геометрическое исчисление

Восточная математика зародилась как прикладная наука с целью облегчения календарных расчетов распределения доходов и сбора налогов. Вначале на переднем плане были арифметические расчеты и измерения. Однако с течением времени алгебра развивалась из арифметики и зачатков теоретической геометрии из измерений. На Востоке была разработана система, основанная на десятичной системе со специальными символами для каждого высшего десятичного знака, система, которую мы знаем благодаря римской математике, которая основана на том же принципе. На Востоке было определено значение π.

Период создания математических переменных. Создание аналитической геометрии, дифференциальных и интегральных вычислений

В XVII веке начинается новый период в истории математики — период математики переменных. Его появление связано, прежде всего, с успехами астрономии и механики.

В 1609-1619 гг. Кеплер открыл законы движения планет и сформулировал их математически. Около 1638 года Галилео создал механику свободного движения тел, установил теорию упругости, применил математические методы для изучения движения с целью нахождения закономерностей между природой движения, его скоростью и ускорением. К 1686 году Ньютон сформулировал закон гравитации.

Развитие математики в России в XVIII-XIX вв.

На Древней Руси получило такое же распространение, как и в греко-византийской системе числовых знаков, основанной на Славянском алфавите. Славянская нумерация в русской математической литературе встречалась до начала 18 века, но уже с конца 16 века эта нумерация все больше заменяется принятой сегодня десятичной системой. Старейший известный нам математический труд относится к 1136 году и принадлежит новгородскому монаху Кирику. Она посвящена арифметическим и хронологическим вычислениям, которые показывают, что в то время на Руси можно было решить сложную задачу пасхального вычисления, которая в математической части сводилась к решению целых чисел неопределенных уравнений первой степени. Трудно сказать, кого следует считать первыми русскими математиками, но если люди свободно владеют современным математическим анализом и пишут работы на эту тему, то эти первенцы русских математиков, очевидно, были С. К. Котельников и С. Я. Румовский.

С. К. Котельников не занимался самостоятельным творчеством, хотя и написал что-то вроде базового курса по математике, но ограничился изданием первого тома. Котельников также написал еще один подробный учебник по геодезии.

В первой половине XIX века не было разработано преемника русской математики, но молодой русский математик уже в первый период своего развития дал выдающиеся представители в различных отраслях этой сложной науки, одна из которых уже в первой половине века вписала его имя в историю человеческой мысли.

Основные этапы образования современной математики

В XIX веке начинается новый период в развитии математики — современный. Огромный объем материала, накопленного в 17-18 веках, обусловил необходимость проведения глубокого логического анализа и объединения его с новыми аспектами. В настоящее время связь между математикой и естественными науками принимает более сложные формы. Новые теории возникают не только из потребностей науки или техники, но и из внутренних потребностей самой математики.

Усилена теория дифференциальных уравнений с частными производными и теория потенциала. Большинство великих аналитиков начала и середины XIX века работают в этом направлении: К. Гаусс, Ж. Фурье, С. Пуассон, О. Коши, П. Дирихле, М. Остроградский. Во второй половине XIX века начинается интенсивное изучение истории математики. В конце XIX и в XX веке во всех областях математики, начиная с древнейшей из них — теории чисел, произошло необычайное развитие. Теория дифференциальных уравнений с частными производными в конце XIX в. приобретает принципиально новую форму.

Важным дополнением к методам теории дифференциальных уравнений в изучении природы и решении технических задач являются методы теории вероятностей. В конце XIX и в XX веке большое внимание уделяется методам численного интегрирования дифференциальных уравнений. Таким образом, методы обоснования и методики математики, разработанные в первой половине XIX века, позволили математикам реконструировать математический анализ, алгебру, исследование числа и частично геометрии в соответствии с требованиями новой методологии. Новая методология математики способствовала преодолению кризиса ее основ и создала для них широкие перспективы дальнейшего развития математики, до конца 19 — начала 20 века носила в основном прагматический характер, если математика использовалась как эффективное средство для решения физических, астрономических и других прикладных задач.

Среди важнейших достижений 20-го века в области математики — основы:

разработка концепции формального языка и формальной системы (вычисления) и генерируемой из нее теории
создание математической логики как последовательной семантически завершенной формальной системы.
создание аксиоматизированных формальных теорий арифметики, теории множеств, алгебраических систем и других важных областей математики
формальная спецификация условий алгоритма и вычисляемой функции.

Заключение

Математическое моделирование, универсальность математических методов приписывает математике большую роль в различных областях человеческой деятельности.

Основой любой профессиональной деятельности являются навыки:

создавать и использовать математические модели для описания, прогнозирования и изучения различных явлений
проводить систематический, качественный и количественный анализ;
Они располагают компьютеризированными методами сбора, хранения и обработки информации;
имеют методы решения задач оптимизации.

Математические методы широко используются в естественных и чистых гуманитарных науках: психология, образование.

Можно сказать, что в ближайшем будущем каждая часть человеческой деятельности будет в еще большей степени использовать математические методы в исследованиях.

Список литературы

Лаптев Б.Л. Н.И. Лобачевский и его геометрия. М.: Разведка, 1974 .
К.А. Рыбников. История математики. М.: Наука, 1995.
Самарский А.А. Математическое моделирование. М.: Наука, 1983.
Остановить Р.Р. Множественность, логика, аксиоматическая теория. М.: Просвещение, 1964.
Строй Ди. Я… Краткое эссе по истории математики. М.: Наука, Физматлит, 1994.
А.Н. Тихонов, Д.П. Костомаров. Истории о прикладной математике. М.: Вита-Пресс, 1995.
А.П. Юшкевич. Математика в своей истории. М.: Наука, 1994.

Образовательный сайт для студентов и школьников

Читайте также: