Абсолютная погрешность и граница абсолютной погрешности приближенных значений чисел реферат

Обновлено: 02.07.2024

В практической деятельности людей постоянно встречаются как точные, так и приближенные значения величин. Числа, выражающие точные и приближенные значения величин, будем для краткости называть соответственно точными и приближенными числами. В математике нет определения точного и приближенного числа, но существуют критерии их распознавания. Приближенные числа получаются в результате измерений, при счете большого числа предметов. Всякий научный опыт и эксперимент, всякое измерение на местности или в лабораторных условиях порождают приближенные числа, так как показания различных приборов мы не можем определить точно. Поэтому мы должны научиться оценивать точность приближенных чисел и выполнять арифметические действия над ними. Знания и умения, полученные при изучении этой темы, могут пригодиться при выполнении лабораторных работ по физике, при выполнении практических работ по специальным дисциплинам, при разработке курсовых и дипломных проектов.

Буквами греческого алфавита x, y, z, … будем обозначать точные значения величин. Буквами латинского алфавита a, b, c, … будем обозначать приближенные значения величин.

x, y, z, … - точные значения величин.

a, b, c, … - приближенные значения величин.

Вывод: Критерии распознавания приближенных чисел: приближенные числа получаются при измерениях, при взвешиваниях, при счете большого числа предметов, при действиях с приближенными числами.

В шестиугольнике девять диагоналей. Число 9 - точное.

Расстояние от станции Москва до станции Санкт-Петербург Октябрьской железной дороги составляет 651 км. Число 651 - приближенное, так как, с одной стороны, наши измерительные приборы не точны, с другой стороны, сами станции имеют некоторое протяжение.

Тормозной путь автомобиля равен расстоянию, пройденному автомобилем с момента нажатия тормоза до полной остановки автомобиля. Тормозной путь автомобиля есть величина приближенная.

Не все приближенные значения обладают одинаковой близостью к точному значению величины. Для оценки точности приближенного значения величины рассматривается разность между точным и приближенным значениями этой величины.

Определение: Разность между точным и приближенным значениями величины называется погрешностью приближенного значения этой величины.

х - a -погрешность приближения.

Пример:

Картридж принтера рассчитан на 800 листов. При экономном режиме удалось распечатать 830 листов. Какова погрешность приближения?

х = 800; a = 830 - приближенное значение с избытком ;

х - a = 800 - 830 = - 30; х - a = - 30; х - a 4 (правила 1, 3)

Если приближенное значение числа дано без указания границы абсолютной погрешности, то ее можно определить по записи этого приближенного значения, используя определение верной и сомнительной цифр приближенного значения числа.

Пример:

1. Указать абсолютную погрешность приближенного числа а = 3,14.

Решение:

Так как в записи данного приближенного числа все цифры верные, то абсолютная погрешность не должна превосходить единицы разрядов этих цифр, то есть D х £ 1, D х £ 0,1 , D х £ 0,01.

Стандартный вид числа

В приближенных вычислениях часто приходится округлять числа, как приближенные, так и точные, то есть отбрасывать одну или несколько последних цифр. Существует три способа округления чисел.

Округление с недостатком: Чтобы округлить число до единиц п-ого разряда с недостатком, отбрасывают все его цифры после п-ого разряда или заменяют их нулями, при этом последняя сохраняемая цифра не изменяется.

Округление с избытком: Чтобы округлить число до единиц п-ого разряда с избытком, отбрасывают все его цифры после п-ого разряда или заменяют их нулями, при этом последняя сохраняемая цифра увеличивается на единицу.

Пример:

Округлить данные числа до указанного разряда, используя способы округления с недостатком и избытком. Найти ошибку округления. Какой способ округления лучше? 1. х = 39,2; 2. х = 472,387; 3. х = 1926; 4. х = 83519,4.

Решение:

Папиллярные узоры пальцев рук - маркер спортивных способностей: дерматоглифические признаки формируются на 3-5 месяце беременности, не изменяются в течение жизни.

Общие условия выбора системы дренажа: Система дренажа выбирается в зависимости от характера защищаемого.

Граница абсолютной погрешности суммы приближенных значений чисел равна сумме границ абсолютных погрешностей этих чисел:

где и – приближенные значения чисел; и – границы абсолютных погрешностей соответствующих приближений.

Граница относительной погрешности суммы вычисляется по формуле

Вычитание приближенных значений чисел

где и – приближенные значения чисел; и – границы абсолютных погрешностей соответствующих приближений.

Граница относительной погрешности суммы вычисляется по формуле

Умножение, деление,возведение в степень приближенных значений чисел и извлечение из них корня

Формулы для оценки границ абсолютной погрешности произведения (частного сложны, поэтому на практике сначала находят относительную погрешность произведения (частного), а затем погрешности произведения (частного). Формулы для границ абсолютной и относительной погрешностей некоторых функций приведены в таблице.

Функция	Граница абсолютной погрешности	Граница относительной погрешности	Номер формулы
			2.5
			2.6
			2.7
			2.8
			2.9
			2.10
			2.11
			2.12

Примеры.

1. Даны приближенные значения числа ; ; ; . Какое из этих трех приближений является лучшим?

Решение. Находим:

Лучшим приближением числа является

2. Длина детали заключена в границах Найдите границу абсолютной погрешности измерения детали.

Решение. Примем за приближенное значение длины детали среднее арифметическое границ: Тогда граница абсолютной погрешности приближенного значения длины детали не превзойдет Величину можно найти и как полуразность верхней и нижней границ, т. е. Длина детали , найденная с точностью до , заключена между приближенными значениями числа :

3. Найдите границу абсолютной погрешности приближенного значения числа , все цифры которого верны в строгом смысле.

Решение. Граница абсолютной погрешности этого числа равна , т. е. половине единицы последнего разряда, сохраняемого в записи.

4. Укажите верные цифры (в широком смысле) следующих чисел:

Решение. 1) Граница погрешности не превосходит единицы разряда десятых (неравенство верное). Следовательно, верными являются цифры и .

2) Так как , то все цифры приближенного числа верны.

3) Поскольку , верными являются цифры и .

4) Так как , то верны цифры , и .

5. За приближенное значение числа взято число . Являются ли цифры числа верными?

Решение. Так как , то цифры и – верные в строгом смысле.

6. Приближенное значение числа округлить до первого справа верного разряда.

Решение. Первая справа верная цифра находится в разряде десятых, поэтому число округляем до десятых: . Новое значение границы погрешности сумме границы погрешности и погрешности округления , т. е. . Число является приближенным значением числа с точностью до . Цифры и верные.

7. В результате измерений получили, что длина карандаша равна см, а длина комнаты см. Что можно сказать о качестве двух измерений?

Решение. Будем считать границу абсолютной погрешности измерений равной Найдем относительные погрешности этих измерений:

Следовательно, качество измерения длины комнаты значительно выше, чем качество измерения длины карандаша.

8. Найдите относительную погрешность числа , если обе цифры его верны в строгом смысле.

Решение. По условию, ; поэтому

9. Какие цифры числа являются верными?

Решение. По формуле находим

Верными являются две первые цифры: и .

10. При вычислении некоторой величины стало известно, что Сколько верных цифр нужно взять, чтобы приближенное значение имело относительную погрешность не больше ?

Решение. Чтобы значение было наибольшим, примем . По формуле ) получим Следовательно, нужно взять две верные цифры.

11. Найдите сумму приближенных значений чисел

Решение. Имеем

Граница абсолютной погрешности заключена в пределах В приближенном значении суммы верными являются лишь две цифры (в разрядах десятков и единиц).Полученный результат округлим до единиц:

12. Вычислить разность двух приближенных значений чисел Найдите

Решение. По формуле вычислим границу абсолютной погрешности разности

В приближенном значении разности цифра в разряде тысячных не может быть верной, так как Итак, Абсолютная погрешность разности . В приближенном числе все цифры верные.

По формуле находим относительную погрешность разности:

13. Найдите верные цифры произведения приближенных значений чисел

Решение. Имеем Границы абсолютной погрешности сомножителей равны и . По формуле находим относительную погрешность произведения:

По формуле (1.2) находим границу абсолютной погрешности произведения:

Полученный результат означает, что в произведении одна верная цифра (в разряде десятых):

14. Вычислите объем цилиндра если Укажите верные цифры ответа.

Решение. Имеем Используя формулы и и полагая находим относительную погрешность:

По формуле находим границу абсолютной погрешности

Верными цифрами являются и .

15. Найдите границу абсолютной погрешности частного приближенных значений чисел

Решение. Имеем По формуле находим относительную погрешность частного:

По формуле находим границу абсолютной погрешности частного:

Полученный результат означает, что в частном все три цифры верные.

16. Вычислите , если известно, что

Решение. Находим:

17. Вычислите относительную погрешность, допущенную при вычислении площади квадрата, если приближенное значение стороны квадрата равно

Решение. По формуле получим

18. Вычислите относительную погрешность, допущенную при извлечении квадратного корня из числа

Решение. По формуле получим

19. Вычислите границу абсолютной погрешности при нахождении гипотенузы прямоугольного треугольника, катеты которого равны

Решение. Имеем По формулам и находим границу абсолютной погрешности:

Таким образом, Верными являются первые две значащие цифры и .

20. С какой точностью надо измерить длину стороны квадрата, чтобы при вычислении его площади граница абсолютной погрешности не превышала ? Грубое приближенное значение стороны квадрата равно

Решение. Так как , то используя формулу получим , откуда

Итак, если измерить величину с погрешность, не превышающей , то погрешность не превысит

21. С какой точность надо измерить длину ребра куба , чтобы при вычислении его объема граница абсолютной погрешности не превышала Грубое приближенное значение ребра куба ровно .

Решение. Так как то, используя формулу (2.9), получим т. е.

Следовательно, если измерить величину с погрешностью, не превышающей то погрешность не превысит

© 2014-2022 — Студопедия.Нет — Информационный студенческий ресурс. Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав (0.014)

Разность х – а между точным числом х и приближенным числом а называется погрешностью приближения.

Модуль погрешности называется абсолютной погрешностью и обозначается ∆:

Погрешность и абсолютная погрешность имеют ту же размерность, что и рассматриваемая величина

Граница абсолютной погрешности ∆а – положительное число, которое больше или равно абсолютной погрешности или:

Если задана граница абсолютной погрешности ∆а, то число а есть приближенное значение числа х с точностью до ∆а и записывают

х = а ± ∆а, например: 94,5 ± 0,3

В отличие от абсолютной погрешности, граница абсолютной погрешности не определяется однозначно, поэтому на практике выбирается такое значение границы абсолютной погрешности, которое удобно для вычислений и обеспечивает максимальную точность.

Цифра приближенного числа а, записанного в виде десятичной дроби, называется верной (точной), если граница абсолютной погрешности числа не превышает (меньше или равно) единицы того разряда, в котором стоит эта цифра. В противном случае она называется сомнительной, например:

Граница погрешности 0,2 , поэтому рассмотрим

цифру 5, разряд единицы, единица разряда 1 и 0,2

Цифра 6, разряд десятые, единица разряда 0,1 и 0,2 > 0,1 (граница погрешности превышает единицу разряда), значит цифра 6 – сомнительная. Значит и цифра 3 (сотые) будет также сомнительной

2 и 5 – верные цифры, 6 и 3 – сомнительные цифры числа

Запись чисел с сохранением только верных цифр широко используется во всех математических таблицах, в справочниках (физика, астрономия, техника). При этом, по записи приближенного числа можно оценить погрешность приближения, например:

табличные данные: температура кипения золота – 2700 ºС, значит граница абсолютной погрешности 1 ºС, температура кипения йода – 182,8 ºС, значит граница абсолютной погрешности 0,1 ºС.

Записи приближенных чисел 0,3; 0,30; 0,300 – неравносильны, т.к. приближенное число 0,3 имеет погрешность не более 0,1;

приближенное число 0,30 имеет погрешность не более 0,01;

приближенное число 0,300 имеет погрешность не более 0,001.

Если целое число содержит в конце нули, не являющиеся верными цифрами, то их заменяют множителем 10 р , где р – число таких нулей.

В записи приближенных чисел принято соблюдать следующие правила:

Оставлять в записи приближенного числа только верные цифры;
Если в десятичной дроби последние верные цифры нули, то их надо выписать;
Если число содержит в конце нули, не являющиеся верными цифрами, то они должны быть заменены на 10 р , где р – число нулей, которые надо заменить

Записать правильно следующие приближенные числа:

а = 0,075 ± 0,000005 – здесь погрешность меньше, чем 0,00001 (0,000005
а = 746000000 ± 5000 здесь погрешность меньше, чем 10000 (5000 р а = 74600·10 4
а = 0,35 ∆а = 0,00005 – здесь погрешность меньше, чем 0,0001 значит

а = 0,3500 (последние верные цифры нули)

а = 765000 ∆а = 5 – здесь погрешность 5
а = 0,3700 ∆а = 0,05 – здесь погрешность 0,05

В некоторых заданиях необходимо наоборот определить абсолютную погрешность по записи приближенного числа, например,

Указать абсолютную погрешность приближенных чисел:

а = 14,5 ·10, значит ∆а = 10
а = 34,20 т.к. последний нуль является верной цифрой, то ∆а = 0,01
а = 263·10 4 , значит ∆а = 10000

Число в стандартном виде записывают так:

показатель m – называется порядком числа.

Если число, записанное в виде десятичной дроби содержит все верные цифры, то все его цифры, начиная с первой слева отличной от нуля, называют значащими, например:

7,03 – три значащие цифры

4400 – четыре значащие цифры

0,000270 – три значащие цифры (нули, расположенные левее первой, отличной от нуля цифры, не считаются значащими ~~0,000~~270).

Округление числа – это замена его числом с меньшим количеством значащих цифр. При округлении числа до m значащих цифр отбрасывают все цифры, стоящие правее m-ой значащей цифры, заменяя их на нули (при сохранении разряда). При этом, если первая из отбрасываемых цифр ≥ 5, то последнюю оставшуюся цифру увеличивают на единицу,

Округлить число с заданной точностью:

Значащие цифры – 1, 5, 7 и 8, цифра 3 – сомнительная, т.к. 0,001 > 0,0001 (единицы разряда)

1,5783 ≈ 1,578 (последняя из отбрасываемых цифр 3

Значащие цифры – 2, 3, 4, 9 и 9, цифра 7 – сомнительная

7>5, значит предыдущую увеличиваем на 1, получим

159734 ≈ 160000 = 160·10 3

28,34 ≈ 0 – ни одна из цифр не является значащей 1000 > 10, т.к. задана точность 1000, а заданное число меньше, чем погрешность.

Лисичкин В.Т., Соловейчик И.Л. Сборник задач по математике с решениями для техникумов (учебное пособие)

Практическая деятельность человека неразрывно связана с числами, которые можно получать тремя способами: в результате измерений, счета и выполнения математических операций.

- Любое измерение нельзя выполнить точно: ошибку дает либо прибор, либо наблюдатель.

- Счет дает точные результаты, только если количество предметов невелико и если оно постоянно во времени.

- Далеко не все математические операции можно выполнить абсолютно точно.

В этих случаях мы имеем дело с приближенными числами. Но при вычислениях важно знать отклонение приближенного значения величины от ее точного значения, для этого вводится понятие абсолютной погрешности приближения.

Абсолютной погрешностью приближения называется модуль разности между точным значением величины и ее приближенным значением.

Δ = |а-х|, где Δ – абсолютная погрешность

a – точное значение величины

x – приближенное значение

Δ = |а-х| → a - x= ± Δ → a = x ± Δ

Пример. Найти абсолютную погрешность приближения 0,44 числа 4/9.

Δ = |4/9-0,44| = |4/9-11/25|=|100-99/225| = 1/225

На практике во многих случаях точное значение бывает неизвестно, поэтому абсолютную погрешность найти нельзя. Однако можно дать оценку абсолютной погрешности, если известны приближения с избытком и с недостатком.

Определение Границей абсолютной погрешности Δ приближения называется такое положительное число h больше которого абсолютная погрешность быть не может.

Пример. 1/225=0,004444 → x = 0,30

3) В десятичной записи числа значащими цифрами называются все его верные цифры, начиная с первой слева отличной от нуля.

0, 583; 38,57; 38,507; 29,830

Весь материал - в документе.

Содержимое разработки

Тема: Абсолютная и относительная погрешность.

- Любое измерение нельзя выполнить точно: ошибку дает либо прибор, либо наблюдатель.

- Счет дает точные результаты, только если количество предметов невелико и если оно постоянно во времени.

- Далеко не все математические операции можно выполнить абсолютно точно.

Определение. Абсолютной погрешностью приближения называется модуль разности между точным значением величины и ее приближенным значением.

Δ = , где Δ – абсолютная погрешность

a – точное значение величины

x – приближенное значение

Δ = a - x= Δ a = x Δ

Пример. Найти абсолютную погрешность приближения 0,44 числа 4/9.

Δ = =

Определение Границей абсолютной погрешности Δ приближения называется такое положительное число h больше которого абсолютная погрешность быть не может.

Δ = h

Пример. 0,0045

x - Δ – Нижняя граница (Н.Г.)

x + Δ – Верхняя граница (В.Г.)

Приближенные числа, как и точные записываются как правило при помощи десятичных дробей. Но если в записи точного числа все его цифры верные, то в приближенном некоторые его цифры верные, а другие являются сомнительными.

Определение. Цифра называется верной (точно значащей), если абсолютная погрешность числа не превосходит единицы того разряда в котором записана эта цифра. В противном случае она называется сомнительной.

Пример. x = 3,7412 0,002

Определить верные и сомнительные цифры.

В.Г. = 3,7412 + 0,002 = 3,7432

Н.Г. = 3,7412 - 0,002 = 3,7392

Верные – 3 и 7, сомнительные 4,1 и 2.

В записи приближенного числа сохраняются только верные цифры. x = 3,7

Если в десятичной дроби последние верные цифры нули, то они остаются в записи числа.

x = 0,301 0,001

В.Г. = 0,302 Н.Г. = 0, 300 x = 0,30

0, 583; 38,57; 38,507; 29,830

Правило округления чисел: Если первая слева отбрасываемая цифра меньше 5, то округляют с недостатком, если это цифра 5 или больше, то округляют с избытком.

Пример. 5,739 (с точностью до 0,01) 5,74

3, 53 (с точностью до целых) 4

30253 (с точностью до 1000) 30000

Но абсолютной погрешности не достаточно для полной характеристики приближения.

Если измерять расстояние между двумя городами, которое равно 100 км, с точность до 1 м, то это будет точное измерение, а если с точность до 1м измерена длина участка земли, которая равна 10м, то это грубое измерение.

Определение. Относительной погрешностью называется отношение абсолютной погрешности к приближенному значению измеряемой величины. Обычно выражается в процентах.

ω = ; ω% =

Т.о. для более полной оценки точности измерений необходимо определить, какую часть, или сколько процентов, составляет абсолютная погрешность от значения данной величины.

Пример. Сравнить точность двух измерений .

d = 4 0,3; H = 600 0,3

ω(d) =

ω(H) =

Второе измерение более точное.

-75%

Пусть X - точное значение некоторой величины, x - наилучшее приближение этой величины.

Определение: Абсолютной погрешностью е_х приближенного значения числа Х называется модуль разности между точным числом Х его приближенным значением х, т.е.

Определение: Число х называется приближённым значением точного числа Х с точностью до Dх, если абсолютная погрешность приближённого значения a не превышает Dх, т.е. ½Х - х ½£ Dх . (1)

Определение: Число Dх называется границей абсолютной погрешности приближённого значения числа х.

Число Dх на практике стараются подобрать как можно меньше и простое по записи. Из неравенства (1) найдём границы, в которых заключено точное значение числа Х:

х - Dх £ Х £ х + Dх.

НГ_х= х - Dх - нижняя граница приближения величины Х.

ВГ_х= х +Dх - верхняя граница приближения величины Х.

Определение:Относительной погрешностью приближенного числа х числа Х называется отношение абсолютной погрешности Dх этого приближения к числу х, т.е.

Если первая значащая цифра в относительной погрешности меньше 5, то граница относительной погрешности определяется из неравенства , где n- количество верных цифр.

Погрешности арифметических действий

х; у	∆(х; у)	δ (х; у)
х+у	x+ y
х-у	x+ y
ху
х/у

Погрешности значений функций

f(x)


а*х
sin x
cos x
tg x
ln x
lg x

arcsin x
arccos x
arctg x

Вычисление погрешностей со строгим учётом предельных абсолютных погрешностей

Этот метод предусматривает использование правил вычисления предельных абсолютных погрешностей. При пооперационном учете ошибок промежуточные результаты, так же как и их погрешности, заносятся в специальную таблицу, состоящую из двух параллельно заполняемых частей – для результатов и их погрешностей. В таблице приведены пошаговые вычисления со строгим учетом предельных абсолютных погрешностей и в предположении, что исходные данные a и b имеют предельные абсолютные погрешности , т.е. у a и b все цифры верны.

Промежуточные результаты вносятся в таблицу после округления до одной запасной цифры; значения погрешностей для удобства округляются (всегда в сторону увеличения значения погрешности) до двух значащих цифр. Проследим ход вычислений на одном этапе.

Пример.Вычислить значение функции , а = 2,156, b = 0,927.

а	b			+		a+	ln(a+ )	A
2,156	0,927	8,637	0,9628	9,600	0,860	3,016	1,104	8,70
а	b	( )	( )	( + )	( )	(a+ )	ln(a+ )	A
0,0005	0,0005	0,0049	0,00027	0,0054	0,0016	0,0021	0,00076	0,016

Используя калькулятор, имеем .

При вычислении предельных абсолютных погрешностей используем соотношение .

Судя по ее величине, в полученном значении экспоненты в строгом смысле верны два знака после запятой. Округляем это значение с одной запасной цифрой: и вносим его в таблицу.

При этом возникает погрешность округления: 8,637-8,63652=0,00048.

Вслед за этим вычисляем полную погрешность полученного результата (погрешность действия плюс погрешность округления: 0,0044+0,00048=0,0049), которую так же вносим в таблицу.

Все последующие действия выполняем аналогично с применением соответствующих формул для предельных абсолютных погрешностей.

Округляя окончательный результат до последней верной в строгом смысле цифры, а так же округляя погрешность до соответствующих разрядов результата, окончательно получаем: А = 8,7 0,1.

Вычисления по методу строго учёта предельных абсолютных погрешностей можно выполнить на компьютере с помощью программы. Если не производить пооперационного учёта движения вычислительной ошибки, то достаточно вычислить значение предельной абсолютной погрешности окончательного результата, а затем произвести его округление.

З а д а н и е 1. 1 Вычисление приближенного значения числа по заданной формуле

Вычислить приближенное значение величины F, используя метод строгого учета границ абсолютных погрешностей заданных значений параметров a, b, c.

Читайте также: