Запишите свойства нуля и единицы при умножении кратко
Обновлено: 15.05.2024
Для операции умножения натуральных чисел ℕ характерен ряд результатов, которые справедливы для любых умножаемых натуральных чисел. Эти результаты называются свойствами. В данной статье мы сформулируем свойства умножения натуральных чисел, приведем их буквенные определения и примеры.
Переместительное свойство умножения натуральных чисел
Переместительное свойство часто называют также переместительным законом умножения. По аналогии с переместительным свойством для сложения чисел, оно формулируется так:
Переместительный закон умножения
От перемены мест множителей произведение не меняется.
В буквенном виде переместительное свойство записывается так: a · b = b · a
a и b - любые натуральные числа.
Возьмем любые два натурльных числа и наглядно покажем, что данное свойство справедливо. Вычислим произведение 2 · 6 . По определению произведения, нужно число 2 повторить 6 раз. Получаем: 2 · 6 = 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 = 12 . Теперь поменяем множители местами. 6 · 2 = 6 + 6 = 12 . Очевидно, переместительный закон выполняется.
На рисунке ниже проиллюститруем переместительное свойство умножения натуральных чисел.
Сочетательное свойство умножения натуральных чисел
Второе название для сочетательного свойства умножения - ассоциативный закон, или ассоциативное свойство. Вот его формулировка.
Сочетательный закон умножения
Умножение числа a на произведение чисел b и c равносильно умножению произведения чисел a и b на число c .
Приведем формулировку в буквенном виде:
a · b · c = a · b · c
a , b , c - любые натуральные числа. Сочетательный закон работает для трех и более натуральных чисел.
Для наглядности приведем пример. Сначала вычислим значение 4 · 3 · 2 .
4 · 3 · 2 = 4 · 6 = 4 + 4 + 4 + 4 + 4 + 4 = 24
Теперь переставим скобки и вычислим значение 4 · 3 · 2 .
4 · 3 · 2 = 12 · 2 = 12 + 12 = 24
4 · 3 · 2 = 4 · 3 · 2
Как видим, теория совпадает с практикой, и свойство справедливо.
Сочетательное свойство умножения также можно проиллюстрировать с помощью рисунка.
Распределительное свойство относительно умножения
Без распределительного свойста не обойтись, когда в математическом выражении одновременно присутствуют операции умножения и сложения. Это свойство определяет связь между умножением и сложением натуральных чисел.
Распределительное свойство умножения относительно сложения
Умножения суммы чисел b и c на число a равносильно сумме произведений чисел a и b и a и c .
Запишем в форме буквенного выражения:
a · b + c = a · b + a · c
a , b , c - любые натуральные числа.
Теперь на наглядном примере покажем, как работает это свойство. Вычислим значение выражения 4 · 3 + 2 .
4 · 3 + 2 = 4 · 3 + 4 · 2 = 12 + 8 = 20
С другой стороны 4 · 3 + 2 = 4 · 5 = 20 . Справедливость распределительного свойства умножения относительно сложения показана наглядно.
Для лучшего понимания приведем рисунок, иллюстрирующий суть умножения числа на сумму чисел.
Распределительное свойство умножения относительно вычитания
Распределительное свойство умножения относительно вычитания формулируется аналогично данному свойству относительно сложения, следует лишь учитывать знак операции.
Распределительное свойство умножения относительно вычитания
Умножения разности чисел b и c на число a равносильно разности произведений чисел a и b и a и c .
Запишем в форме буквенного выражения:
a · b - c = a · b - a · c
a , b , c - любые натуральные числа.
В предыдущем примере заменим "плюс" на "минус" и запишем:
4 · 3 - 2 = 4 · 3 - 4 · 2 = 12 - 8 = 4
С другой стороны 4 · 3 - 2 = 4 · 1 = 4 . Таким образом, справедливость свойства умножения натуральных чисел относительно вычитания показана наглядно.
Умножение единицы на натуральное число
Умножение единицы на любое натуральное число в результате дает данное число.
По определению операции умножения, произведение чисел 1 и a равно сумме, в котором слагаемое 1 повторяется a раз.
1 · a = ∑ i = 1 a 1
Умножение натурального числа a на единицу представляет собой сумму, состоящую из одого слагаемого a . Таким образом, переместительное свойство умножения остается справедливым:
Умножение нуля на натуральное число
Число 0 не входит в множество натуральных чисел. Тем не менее, есть смысл рассмотреть свойство умножения нуля на натуральное число. Данное свойство часто используется при умножении натуральных чисел столбиком.
Умножение нуля на натуральное число
Произведение числа 0 и любого натурального числа a равно числу 0 .
По определению, произведение 0 · a равно сумме, в которой слагаемое 0 повторяется a раз. По свойствам сложения, такая сумма равна нулю.
В результате умножения единицы на нуль получается нуль. Произведение нуля на сколь угодно большое натуральное число также дает в результате нуль.
Напимер: 0 · 498 = 0 ; 0 · 9638854785885 = 0
Справедливо и обратное. Произведение числа на нуль также дает в результате нуль: a · 0 = 0 .
При умножении единицы на любое число в результате получится данное число.
потому что сумма 1 + 1 + 1 = 3.
При умножении любого числа на единицу результат будет равен этому числу.
если число 5 взять 1 раз, то получится 5.
Из приведённых примеров следует, что для любого числа a верны равенства:
1 · a = a,
a · 1 = a.
Произведение двух множителей, один из которых равен единице, всегда будет равно другому множителю.
Свойства нуля при умножении
При умножении нуля на любое число в результате всегда будет нуль.
потому что сумма 0 + 0 + 0 = 0.
При умножении любого числа на нуль всегда получится нуль.
если число 5 не взять ни одного раза, то в результате не получим ничего, то есть нуль.
Из приведённых примеров следует, что для любого числа a верны равенства:
Произведение двух множителей, один из которых равен нулю, всегда будет равно нулю.
Свойства нуля при сложении:
А + 0 = А. Например, 5 + 0 = 5
Свойства нуля при вычитании:
А - 0 = А. Например, 9 - 0 = 9
Свойства нуля при умножении:
А * 0 = 0. Например, 15 * 0 = 0
Свойства нуля при делении:
На ноль делить запрещено
Свойства единицы при умножении:
А * 1 = А. Например, 17 * 1 = 17
Свойства единицы при делении:
А : 1 = А. Например 21 : 1 = 21
- Написать правильный и достоверный ответ;
- Отвечать подробно и ясно, чтобы ответ принес наибольшую пользу;
- Писать грамотно, поскольку ответы без грамматических, орфографических и пунктуационных ошибок лучше воспринимаются.
Мореплаватель — имя существительное, употребляется в мужском роде. К нему может быть несколько синонимов.
1. Моряк. Старый моряк смотрел вдаль, думая о предстоящем опасном путешествии;
2. Аргонавт. На аргонавте были старые потертые штаны, а его рубашка пропиталась запахом моря и соли;
3. Мореход. Опытный мореход знал, что на этом месте погибло уже много кораблей, ведь под водой скрывались острые скалы;
4. Морской волк. Старый морской волк был рад, ведь ему предстояло отчалить в долгое плавание.
Чтобы умножить число на произведение двух чисел, можно сначала умножить его на первый множитель, а потом полученное произведение умножить на второй множитель.
Переместительное и сочетательное свойства умножения позволяют сформулировать правило преобразования произведений.
Запомните!
При умножении нескольких чисел, их можно как угодно переставлять и объединять в группы.
Свойство нуля при умножении
Запомните!
Если в произведении хотя бы один множитель равен нулю, то само произведение будет равно нулю.
Распределительное свойство умножения относительно сложения
Запомните!
Чтобы умножить сумму на число, можно умножить на это число каждое слагаемое и сложить полученные результаты.
Это свойство справедливо для любого количества слагаемых.
Распределительное свойство умножения относительно вычитания
Запомните!
Чтобы умножить разность на число, можно умножить на это число сначала уменьшаемое, а затем вычитаемое, и из первого произведения вычесть второе.
В буквенном виде свойство записывается так:
Запомните!
Чтобы умножить число на произведение двух чисел, можно сначала умножить его на первый множитель, а потом полученное произведение умножить на второй множитель.
Свойства деления
- Ни одно число нельзя делить на ноль.
- При делении нуля на число получается ноль.
Запомните!
Если делимое и делитель умножить или разделить на одно и тоже натуральное число, то их частное не изменится.
Обратите внимание, что именно свойство деления выше позволяет нам сокращать дроби.
Использование всех рассмотренных выше свойств позволяет нам выполнять упрощение выражений.
Свидетельство и скидка на обучение каждому участнику
Зарегистрироваться 15–17 марта 2022 г.
Министерство образования Московской области
в городе Зарайске – Зарайский педагогический колледж
Конспект урока по математике
Максимова Ангелина Владимировна
Преподавание в начальных классах
Учитель:_______/Чибизова И. А.
Дата проведения: 03.03.2022г.
Зарайск 2022
Цель урока : создание условий для ознакомления учащихся со способами умножения 0 и 1
- познакомить со способами умножения 0 и 1;
- закрепить смысл умножения и переместительное свойство умножения
- развить логическое мышление;
- воспитывать взаимопомощь, взаимопонимание у учащихся
1. Организационно – мотивационный этап
- Здравствуйте, ребята, меня зовут Ангелина Владимировна и сегодня урок математики у вас проведу я. Нам предстоит нелёгкая, но интересная работа, я уверена, что вы все прекрасно справитесь.
- Сейчас мы с вами проведём математическую разминку.
- Найдите у себя на столе карточку №1
1) Замените сложение умножением.
2) Замените умножение сложением
- Поменяйтесь карточками с соседом по парте. Взяли простые карандаши. Проверяем. (по слайду)
- Поставьте оценку 5, если все примеры решены правильно. Оценку 4 – если допущена одна ошибка. Если 2 и более – восклицательный знак.
- Поменялись карточками обратно.
- поднимите руку у кого 5/4
- Скажите, что показывает первое число в записи умножения/ что второе?
- Хорошо, двигаемся дальше
- Открыли тетради, записали число и классная работа
- Я предлагаю выполнить задание, которое поможет определить тему урока.
- Вычислите примеры, заменив умножение сложением. Догадайтесь, почему некоторые выражения подчеркнуты? (Слайд)
- Попробуем их решить и оставим запись на доске.
- Тема нашего урока умножение нуля и единицы
- Какую цель ставим?
- чтобы достичь цели нам необходимо составить план наших действий
- что мы должны узнать? (правила умножения 0 и единицы)
- чему мы должны научиться? (научиться применять его)
- На каких уроках и занятиях мы с ней знакомились?
- Сколько богатырей на картине?(3)
- У каждого богатыря по 1 коню. Сколько коней у 3 богатырей? (3)
- Как узнали? Как решить задачу с помощью математического выражения? (1+1+1=3 или 1х3=3)
- Что интересного вы заметили при умножении единицы на число?
при умножении единицы на число, получилось то число, на которое умножали.
-Что интересного вы заметили при умножении нуля на число?
при умножении нуля на число, получился нуль.
- Посмотрите на равенства, выберите какое равенство подходит к первому высказыванию, а какое ко второму.
- Откройте учебники на странице 53. Прочитайте выводы.
- Выполним № 1. (один пример одному ученику остальные в тетради)
- Упражнение 5. Записали
- О чём говориться в задаче?
- Что известно в задаче?
- Рассмотрите краткую запись и схематический чертёж к ней.
- Глядя на краткую запись и чертёж мы можем решить задачу? Каким действием?
- запишите решение и ответ задачи в тетради
- (имя), запиши на решение на доске.
- хорошо, предлагаю вам размяться
- встаньте возле своих парт
Хома, Хома, хомячок, полосатенький бочок (трут бока руками)
Хома раненько встает, (потягиваются)
Щечки моет (тереть щеки руками)
Лапки трет (движения мытья рук)
Подметает Хома хатку (метут воображаемыми метлами)
И выходит на зарядку (маршируют)
Раз (руки вперед)
Два (руки вверх)
Три (руки в стороны)
Четыре, пять (трясут кистями рук)
Хомка хочет сильным стать. (руки согнуты к плечам, кисти сжаты в кулаки, мускулы рук напряжены, как у силачей)
- Давайте ещё потренируемся решать задачи с помощью действия умножения
- Я читаю задачу, а в записываете только решение
1. У 5 котят по одной ленточке. Сколько всего ленточек? (1 * 5 = 5)
2.У 9 слонов по 1 хоботу. Сколько всего хоботов? (1* 9)
3.У 12 школьников по 1 учебнику математики. Сколько всего учебников?(1*12)
- Теперь проверим, как вы усвоили сегодняшний материал.
- Найдите на столе карточку №2.
Проверьте по слайду
- Что нового узнали на уроке?
-Теперь мы знаем, при умножении 1 на любое число получается …… ( то же число). При умножении 0 на любое число получается ……( 0) .
- Где вам пригодятся эти знания? (при решении примеров, уравнений и задач)
- Сможете самостоятельно дома применить новое правило?
- А сейчас, я попрошу оценить себя и свою работу на уроке
- На слайде вы видите 3 смайлика
- покажите жест 1 смайлика, если вам было всё понятно и легко
- покажите жест 2, если были затруднения
- покажите жест 3 смайлика, если ничего не было понятно
- подготовка к ЕГЭ/ОГЭ и ВПР
- по всем предметам 1-11 классов
Курс повышения квалификации
Дислексия, дисграфия, дискалькулия у младших школьников: нейропсихологическая диагностика и коррекция
- Курс добавлен 24.12.2021
- Сейчас обучается 212 человек из 53 регионов
Курс повышения квалификации
Дистанционное обучение как современный формат преподавания
Курс повышения квалификации
Актуальные вопросы теории и методики преподавания в начальной школе в соответствии с ФГОС НОО
- Для учеников 1-11 классов и дошкольников
- Бесплатные сертификаты учителям и участникам
Дистанционные курсы для педагогов
Найдите материал к любому уроку, указав свой предмет (категорию), класс, учебник и тему:
5 611 971 материал в базе
- ЗП до 91 000 руб.
- Гибкий график
- Удаленная работа
Самые массовые международные дистанционные
Школьные Инфоконкурсы 2022
Свидетельство и скидка на обучение каждому участнику
Другие материалы
Вам будут интересны эти курсы:
Оставьте свой комментарий
- 03.03.2022 27
- DOCX 22.3 кбайт
- 2 скачивания
- Оцените материал:
Настоящий материал опубликован пользователем Максимова Ангелина Владимировна. Инфоурок является информационным посредником и предоставляет пользователям возможность размещать на сайте методические материалы. Всю ответственность за опубликованные материалы, содержащиеся в них сведения, а также за соблюдение авторских прав несут пользователи, загрузившие материал на сайт
Если Вы считаете, что материал нарушает авторские права либо по каким-то другим причинам должен быть удален с сайта, Вы можете оставить жалобу на материал.
Автор материала
40%
- Подготовка к ЕГЭ/ОГЭ и ВПР
- Для учеников 1-11 классов
Московский институт профессиональной
переподготовки и повышения
квалификации педагогов
Дистанционные курсы
для педагогов
663 курса от 690 рублей
Выбрать курс со скидкой
Выдаём документы
установленного образца!
Учителя о ЕГЭ: секреты успешной подготовки
Время чтения: 11 минут
Минтруд предложил упростить направление маткапитала на образование
Время чтения: 1 минута
Рособрнадзор предложил дать возможность детям из ДНР и ЛНР поступать в вузы без сдачи ЕГЭ
Время чтения: 1 минута
В Россию приехали 10 тысяч детей из Луганской и Донецкой Народных республик
Время чтения: 2 минуты
ГИА для школьников, находящихся за рубежом, может стать дистанционным
Время чтения: 1 минута
Новые курсы: преподавание блогинга и архитектуры, подготовка аспирантов и другие
Время чтения: 16 минут
Отчисленные за рубежом студенты смогут бесплатно учиться в России
Время чтения: 1 минута
Подарочные сертификаты
Ответственность за разрешение любых спорных моментов, касающихся самих материалов и их содержания, берут на себя пользователи, разместившие материал на сайте. Однако администрация сайта готова оказать всяческую поддержку в решении любых вопросов, связанных с работой и содержанием сайта. Если Вы заметили, что на данном сайте незаконно используются материалы, сообщите об этом администрации сайта через форму обратной связи.
Все материалы, размещенные на сайте, созданы авторами сайта либо размещены пользователями сайта и представлены на сайте исключительно для ознакомления. Авторские права на материалы принадлежат их законным авторам. Частичное или полное копирование материалов сайта без письменного разрешения администрации сайта запрещено! Мнение администрации может не совпадать с точкой зрения авторов.
Читайте также: