Выпуклые и невыпуклые фигуры кратко

Обновлено: 02.07.2024

Множество точек дает линию, а из нескольких соединенных между собой линий можно получить различные геометрические фигуры на плоскости и в пространстве. Таким образом, произвольное множество точек позволяет нам создавать геометрическую фигуру. Это может быть квадрат или куб, круг или шар, а также более сложные и неоднозначные фигуры, например икосаэдр, который может быть представлен двумя разными формами.

Плоские геометрические фигуры

Плоская геометрическая фигура располагается в двумерном пространстве, где объекты характеризуются только длиной и шириной. Различают следующие фигуры:

Круг — это фигура, у которой нет углов и в которой все точки по окружности находятся на равном расстоянии от центра.
Овал — это фигура, похожая на яйцо. У нее также нет углов.
Квадрат — это фигура, у которой 4 равные стороны и 4 прямых угла.
Прямоугольник — это фигура, похожая на квадрат: у нее 4 стороны и они пересекаются под прямым углом. В отличие от квадрата, у прямоугольника только противолежащие стороны равны. Если с помощью отрезка соединить любой угол с противоположным, получится диагональ. И у квадрата, и у прямоугольника диагонали равны.
Ромб — это фигура, у которой 4 равные стороны, но пересекаются они не под прямыми углами. У ромба противоположные углы ромба равны. Ромб, так же как квадрат и прямоугольник, является четырехугольником.
Треугольник — это фигура, у которой 3 угла и 3 стороны. Точки, в которых пересекаются стороны треугольника, принято называть его вершинами.

Виды треугольников в зависимости от размера углов:

🔷 остроугольный — все углы острые (каждый равен менее 90°)

🔷 тупоугольный — один угол является тупым (равным более 90°)

🔷 прямоугольный — один угол является прямым (равным 90°)

Различают также виды треугольников по соотношению их сторон:

🔶 равносторонний имеет 3 равные стороны

🔶 равнобедренный — 2 равные стороны

🔶 разносторонний — 3 разные стороны

Выше мы рассмотрели основные геометрические фигуры на плоскости. Но существует множество других, например:

Трапеция — это четырехугольник, у которого как минимум 2 стороны параллельны. Таким образом, квадрат, ромб и прямоугольник можно рассматривать как частные случаи трапеции.
Параллелограмм — четырехугольник, у которого противолежащие стороны попарно параллельны. Так, прямоугольник, квадрат и ромб считаются частными случаями параллелограмма.
Пентагон — фигура, представляющая собой правильный многоугольник с 5 сторонами. У пентагона все стороны и углы равны.
Гексагон — это правильный многоугольник, у которого 6 равных сторон, а углы образуют 6 равносторонних треугольников.
Крест — это фигура, которая состоит из 2 пересекающихся линий или прямоугольников.
Звезда — плоский невыпуклый многоугольник, по форме напоминающий звезду. Звезда может быть трехконечной, четырехконечной, пятиконечной (как на картинке выше) и так далее.

Геометрическая фигура может быть выпуклой, если ей целиком принадлежат все точки отрезка, соединяющего любые ее две точки. Круг, шар, овал и треугольник являются выпуклыми фигурами. А четырехугольники могут быть как выпуклыми, так и невыпуклыми. К примеру, на картинке выше изображена одна и та же фигура — дельтоид. Это четырехугольник, стороны которого можно сгруппировать в две пары равных смежных сторон. Слева — дельтоид выпуклый, а справа — невыпуклый.

Пространственные геометрические фигуры

Если фигура располагается в трехмерном пространстве, где объекты характеризуются длиной, шириной и высотой, а также имеют глубину или толщину, ее называют пространственной. Чаще всего различают следующие пространственные фигуры:

Слово "выпуклый" пришло в математику из бытового языка, поэтому на интуитивном уровне должно быть представление о выпуклости: у выпуклой фигуры нет никаких вогнутостей или впячиваний.

Но в математике выпуклость -- строгое понятие.

Вот на картинке два многоугольника.

Проведем через каждую сторону первого многоугольника прямую. Он помещается по одну сторону от каждой такой прямой (а не только одной нарисованной черным). Поэтому он выпуклый.

Для второго многоугольника нашлась прямая (зеленая) такая, что он находится по одну сторону от нее, но этого недостаточно для выпуклости. Другую сторону продлили в обе стороны -- получилась синяя прямая. Точки многоугольника есть по обе стороны от нее, значит, он невыпуклый.

Для доказательства невыпуклости достаточно найти хотя бы одну такую сторону многоугольника.

Выпуклой называется такая фигура, которой принадлежат все точки отрезка, соединяющего любые ее две точки. Выпуклыми фигурами являются, например, круг, шар, треугольник; четырехугольники могут быть как выпуклыми, так и невыпуклыми (рис. 1).

Верно и обратное утверждение: если через каждую точку границы некоторой плоской фигуры можно провести опорную прямую, то эта фигура является выпуклой. Таким образом, существование опорных прямых в каждой граничной точке можно принять за определение плоской выпуклой фигуры.

Для выпуклых тел опорные плоскости определяются аналогично (рис. 3).

Для выпуклых тел (в пространстве) теорема Хелли в приведенном виде неверна. Чтобы в этом убедиться, достаточно рассмотреть четыре треугольника, образующих грани треугольной пирамиды. Однако если потребовать, чтобы у системы выпуклых тел в пространстве каждые четыре тела имели общую точку, то тогда и все эти тела будут иметь общую точку. Теорема Хелли в соответствующей формулировке была доказана для пространства произвольного числа измерений и в этом виде оказалась очень полезной во многих математических исследованиях.

Простейшей кривой постоянной ширины является окружность, но трудно представить себе другую кривую с таким свойством. Первым такую кривую нашел не математик, а французский механик Ф. Рело. Это равносторонний криволинейный треугольник, стороны которого являются дугами окружностей с центрами в вершинах этого треугольника (рис. 5). Из рис. 6 нетрудно понять способы построения двух других кривых постоянной ширины. Интересно, что длина любой кривой постоянной ширины равна .

Кривые постоянной ширины имеют многочисленные практические применения. На рис. 7 изображен механизм, состоящий из подвижной рамки, способной подниматься и опускаться, и треугольника Рело, который может вращаться вокруг своей вершины . При таком вращении рамки часть периода полного оборота находится в нижнем положении, потом периода поднимается вверх, далее неподвижно стоит там еще периода и за последние периода опускается вниз. Такое движение часто бывает необходимым, например, в киносъемочных аппаратах и кинопроекторах.

Треугольник Рело, как и любая кривая постоянной ширины , может вращаться внутри полосы ширины , как в описанном механизме, постоянно касаясь обеих прямых, более того, он может вращаться внутри квадрата со стороной , касаясь одновременно всех четырех его сторон.

А существуют ли такие выпуклые фигуры, которые могут вращаться внутри, скажем, равностороннего треугольника, постоянно касаясь всех его сторон? Одну такую фигуру вы знаете – это вписанный круг. А еще? Оказывается, таким свойством обладает пересечение двух кругов одинакового радиуса, расположенных так, что центр каждого из них лежит на границе другого (рис. 8). В отличие от круга, который при вращении продолжает касаться каждой прямой в одной и той же точке, этот двуугольник при вращении входит в соприкосновение последовательно и со всеми точками границы треугольника. Это его свойство позволило сконструировать механизм, позволяющий высверливать отверстия треугольной формы.

На этом уроке мы повторим геометрические фигуры, которые вы уже знаете. Также мы рассмотрим понятие границы геометрических фигур, определим, какие фигуры называют выпуклыми, а какие невыпуклыми. Еще мы научимся точно изображать окружность, поговорим о точном определении круга и обсудим его свойства. Это те свойства, которые делают круг особенным. Также на этом уроке мы рассмотрим определение эллипса и его свойства. Полученные знания помогут вам как при решении более сложных задач, так и в повседневной жизни.

На рис. 1 изображено пять геометрических фигур.

Рис. 1. Геометрические фигуры

Треугольник и круг

Среди всех знакомых фигур треугольник и круг являются уникальными в своем роде.

Треугольник – минимальная замкнутая ломаная. То есть замкнутая ломаная не может состоять из одного или двух звеньев.

Кроме того, любой треугольник – выпуклая фигура, единственный многоугольник, обладающий таким свойством (рис. 2).

Рис. 2. Выпуклые треугольники

Остальные многоугольники могут быть как выпуклыми, так и невыпуклыми (рис. 3).

Рис. 3. Выпуклые и невыпуклые многоугольники

Круг так же, как и треугольник, является выпуклой фигурой. Эти фигуры связаны между собой следующими свойствами.

1. Около треугольника всегда можно описать окружность. То есть провести такую окружность, что все вершины треугольника будут на ней находиться (рис. 4).

Рис. 4. Описанная окружность

2. В треугольник всегда можно вписать окружность, то есть провести окружность, которая касается всех сторон треугольника. Касается – это значит, имеет ровно одну общую точку (рис. 5).

Рис. 5. Вписанная окружность

3. У треугольника может быть только одна вписанная и одна описанная окружность (рис. 6).

Рис. 6. Вписанная и описанная окружности у треугольника

Другие многоугольники такими свойствами не обладают. Вписать либо описать окружность получается не всегда (рис. 7).

Рис. 7. Многоугольники, в которые нельзя вписать или описать окружность

Чтобы нарисовать эти фигуры, нужно провести некоторую линию. Линия является границей фигуры. А сама фигура – это все, что лежит внутри данной границы (рис. 8).

Рис. 8. Изображение геометрической фигуры

Например, в раскрасках обычно дают границу, а раскрашивать нужно сами фигуры (рис. 9).

Рис. 9. Фигура и ее границы на примере раскраски

Толщина линии

Какая толщина может быть у границы? Если мы говорим о границе между морем и сушей, например. Если отклониться в одну сторону, то мы окажемся в воде, если отклониться в другую сторону, то окажемся на суше.

На самом деле, когда мы говорим о границе, мы имеем в виду линию, которая не имеет толщины.

Этот вывод мы делаем еще в раннем детстве, когда берем в руки карандаш или ручку и начинаем рисовать.

Например, если мы рисуем в тетради домик, то для нас не имеет значения, какой толщины линия. Мы проводим линию только для того, чтобы отделить от всего листа тетради ту его часть, которая, по нашему замыслу, будет домом.

Тот факт, что иногда мы рисуем линии, изображающие границы, толще или тоньше, не отменяет указанного выше свойства. Толщина линии границы не содержит информации и не несет никакого смысла для рисунка.

Так же, как и смысл слова КОТ не меняется от того, какими буквами мы его напишем – с тонкими линиями или с жирными.

Мы встречаемся с понятием границы, когда говорим о границе государства, то есть линии, которая ограничивает территорию государства и отделяет его от других. Или, например, понятие границы возникает, когда мы говорим о границе моря и суши, то есть линии, которая отделяет берег от моря (рис. 10, рис. 11).


Рис. 10. Границы фигуры на примере границы государства	Рис. 11. Границы фигуры на примере границы моря и суши

Подобным образом каждую фигуру на плоскости ограничивает некоторая замкнутая линия и отделяет ее от остальной части плоскости.

На рис. 12. первая и вторая фигуры имеют углы и стороны, их граница – это замкнутая ломаная. У третьей и четвертой фигур нет ни углов, ни сторон, а их границей является гладкая кривая.

То есть гладкая фигура – фигура, у которой нет углов.

Рис. 12. Геометрические фигуры

Рассмотрим подробнее третью и пятую фигуры (рис. 13.). Определим, чем они отличаются.

Если взять любые две точки круга (третьей фигуры), то отрезок, который их соединяет, обязательно окажется внутри. Фигуры, обладающие таким свойством, называются выпуклыми.

Для пятой фигуры это не всегда так. Такие фигуры называются невыпуклыми.

Рис. 13. Выпуклые и невыпуклые геометрические фигуры

Как видим, круг – выпуклая фигура.

Овалом называется любая выпуклая фигура, с гладкой границей.

На рис. 14 изображены две фигуры: круг и эллипс. И эллипс, и круг являются овалами, так как их ограничивают гладкие кривые и они являются выпуклыми.

Рис. 14. Изображение круга и эллипса

Как нарисовать эллипс

Рассмотрим еще один известный овал – эллипс. Эллипсы встречаются в жизни не реже окружностей. Например, планеты движутся вокруг Солнца по эллипсам.

Наверное, вы замечали, что если светить фонариком вертикально к поверхности, то он освещает круг (рис. 15).

Рис. 15. Освещаемое пятно от фонарика

Если фонарик наклонять, то освещаемое пятно становится эллипсом (рис. 16).

Рис. 16. Освещаемое пятно от фонарика

Еще один пример – разрезание колбасы. Если резать колбасу вертикально, то на срезе получается круг. Если резать под углом – получается эллипс.

Рассмотрим, как нарисовать эллипс. Выполним следующие действия.

Вобьем два гвоздя и привяжем за концы нитку. После этого карандаш цепляем за нитку и берем таким образом, что нитка остается все время натянутой. Когда обойдем карандашом вокруг гвоздиков, получится эллипс (рис. 17).

Рис. 17. Изображение эллипса с помощью гвоздиков, нитки и карандаша

Таким образом, эллипс – это геометрическое место точек, сумма расстояний от которых до двух данных точек (фокусов эллипса) – постоянная величина (рис. 18).

Рис. 18. Изображение эллипса

Вернемся к движению планет вокруг Солнца. Следует отметить, что Солнце находится в одном из фокусов эллипса, по которому двигаются планеты (рис. 19).

Рис. 19. Фокус эллипса, по которому двигаются планеты

Если уменьшать расстояние между гвоздиками, эллипс будет все больше и больше походить на окружность. При совмещении двух гвоздиков получится окружность.

Можно сказать, что окружность – это частный случай эллипса.

Как видим, эллипс задается двумя точками и длиной нити. А окружность – одной точкой и длиной нити. В этом смысле эллипс сложнее окружности в описании.

Зачем колеса делают круглыми

Кажется, что ответ очевиден – для того, чтобы они легко катились.

Если бы колеса велосипеда были, например, овальными, езда на таком велосипеде напоминала бы прогулку по улице, на которой на каждом шагу встречаются ступеньки. Действительно, каждый знает, что подниматься куда-то по лестнице или просто куда-то вверх – это достаточно тяжело. Что проще: пройти путь наверх и вниз или все это время идти прямо?

Как раз круглая форма колес обеспечивает движение тела велосипедиста по прямой. Если бы колеса имели овальную форму, то велосипедист то поднимался бы вверх, то опускался вниз, затрачивая тем самым на движение куда большее количество усилий.

Рассмотрим, каким образом можно нарисовать круг. Известно, что для этого нужно нарисовать его границу, которая называется окружностью.

Линия, которая ограничивает круг, называется окружностью.

Запомнить легко: окружность проводится около круга.

Научимся проводить точную окружность. Для этого следует выполнить следующие действия (рис. 20).

Возьмем гвоздик, возьмем нитку и один ее конец привяжем к гвоздику. Ко второму концу привяжем карандаш. Натянем нитку и нарисуем замкнутую линию. Полученная линия и есть окружность.

Рис. 20. Изображение точной окружности с помощью гвоздика, нитки и карандаша

Рассмотрим любую точку на этой линии. Расстояние от нее до гвоздика – длина нитки. То есть все точки на окружности находятся на одинаковом расстоянии от гвоздика, который называют центром окружности (рис. 21).

При этом отрезок, соединяющий центр окружности с любой точкой на ней, называют радиусом окружности. Значит, длина радиуса – это длина нитки.

Рис. 21. Центр и радиус окружности

Окружность – это геометрическое место точек, которые находятся на одинаковом расстоянии от некоторой точки (центра окружности).

Расстояние от центра до любой точки окружности называют радиусом окружности. Длина радиуса обозначается буквой (рис. 22).

Рис. 22. Радиус окружности

С окружностями мы встречаемся каждый день. Например, кончики стрелок часов движутся по окружностям (рис. 23). При этом для каждой из стрелок радиус этой окружности равен длине самой стрелки.

Рис. 23. Движение кончиков стрелок часов по окружности

Катаясь на карусели, мы также описываем окружность.

Мы уже говорили, что граница фигуры отделяет фигуру от остальной части плоскости. При этом окружность – не исключение.

Окружность делит плоскость на две части: внутреннюю и внешнюю. Точки вне окружности удалены от центра на расстояние, большее радиуса. Аналогично, точки внутри окружности удалены от центра на расстояние, меньшее радиуса (рис. 24).

Рис. 24. Точки внутри и вне окружности

Часть плоскости, которая находится внутри окружности, вместе с самой окружностью называется кругом.

Круг можно получить, если, например, привязать корову к колышку и дать ей возможность кушать траву вокруг колышка. В этом случае корова рано или поздно выест всю траву в круге с центром в колышке и радиусом, равным длине веревки.

Определение: круг – часть плоскости, ограниченная окружностью.

Отрезок, соединяющий любые две точки окружности, называется хордой. Чем ближе концы хорды на окружности, тем меньше длина хорды (рис. 25).

Рис. 25. Хорда окружности

Хорда максимальной длины проходит через центр окружности и называется диаметром. Длина диаметра обозначается буквой (рис. 26). Диаметр состоит из двух радиусов, значит, длина диаметра в два раза больше длины радиуса. Выполняется соотношение:

Рис. 26. Диаметр окружности

Две точки на окружности могут соединяться не только по прямой (в этом случае образуется хорда), но и по самой окружности.

Любая часть окружности называется дугой окружности (рис. 27).

Рис. 27. Хорда и дуга окружности

Если концы хорды совпадают с концами дуги, говорят, что хорда стягивает дугу окружности (рис. 28).

Рис. 28. Хорда, стягивающая дугу окружности

Диаметр стягивает дугу, которая называется полуокружностью, так как диаметр делит окружность на две одинаковые дуги, длины которых равны (рис. 29).

Рис. 29. Полуокружность

Задача Дидоны

Представьте, что нам дана нитка и стоит задача – ограничить на карте государство максимальной площади. Как поступить?

Наибольшую площадь мы выделим, если ограничим круг. Так и поступила Дидона.

Согласно легенде, город Карфаген основала Дидона. Она попросила местного царя участок земли для создания небольшого поселения. Царь разрешил Дидоне и ее свите взять себе столько земли, на сколько хватит шкуры одного быка. Забив самого большого быка, которого только смогли найти ее люди, Дидона разрезала его шкуру на очень узкие полоски. Она обнесла ими максимальную по площади территорию, выложив их в форме окружности. Царь был удивлен и покорен умом Дидоны и дал ей то, что она просила.

Вывод можно сформулировать следующий: кривая заданной длины будет ограничивать фигуру максимальной площади, если она является окружностью.

Итак, на этом уроке мы дали точные математические определения окружности и кругу. Узнали о том, что такое границы фигуры, гладкая кривая и выпуклая фигура. Также обсудили некоторые важнейшие свойства окружности и круга, те самые, которые выделяют их среди других фигур соответственно. Также узнали некоторые характеристики: радиус, диаметр, хорда и дуга окружности.

Список литературы

Зубарева И. И., Мордкович А. Г. Математика. 5 класс. – М.: Мнемозина, 2013.
Виленкин Н. Я. и др. Математика. 5 кл. – М.: Мнемозина, 2013.
Ерина Т. М. Математика 5 кл. Раб. тетрадь к уч. Виленкина, 2013. – М.: Мнемозина, 2013.

Домашнее задание

Учебник: Зубарева И. И.,Мордкович А. Г. Математика. 5 класс. – М.: Мнемозина, 2013.
Упр. 407, 409 стр. 114–115.
Учебник: Виленкин Н. Я. и др. Математика. 5 кл. – М.: Мнемозина, 2013.
Упр. 850, 853 стр. 134.

Дополнительные рекомендованные ссылки на ресурсы сети Интернет

Читайте также: