Узел решетки это кратко

Обновлено: 04.07.2024

Твердые вещества бывают аморфные или кристаллические (чаще всего имеют кристаллическое строение).

Кристаллическое строение характеризуется правильным расположением частиц в определенных точках пространства. При соединении этих точек воображаемыми прямыми линиями образуется так называемая кристаллическая решетка. Точки, в которых размещены частицы, называются узлами кристаллической решетки.

В узлах кристаллической решетки могут находиться ионы, атомы или молекулы.

В зависимости от вида частиц, расположенных в узлах кристаллической решетки, и характера связи между ними различают четыре типа кристаллических решеток:

Ионная решетка

Эту решетку образуют все вещества с ионным типом связи — соли, щелочи, бинарные соединения активных металлов с активными неметаллами (оксиды, галогениды, сульфиды), алкоголяты, феноляты, соли аммония и аминов. В узлах решетки — ионы, между которыми существует электростатическое притяжение. Ионная связь очень прочная.

Свойства ионных кристаллов :

· твердые, но хрупкие;

· отличаются высокими температурами плавления;

· нелетучи, не имеют запаха;

· расплавы ионных кристаллов обладают электропроводностью;

· многие растворимы в воде; при растворении в воде диссоциируют на катионы и анионы, и образующиеся растворы проводят электрический ток.

Металлическая решетка

Характерна для веществ с металлической связью. Реализуется в простых веществах — металлах и их сплавах. В узлах решетки — атомы и катионы металла, при этом электроны металла обобществляются и образуют так называемый электронный газ, который движется между узлами решетки, обеспечивая ее устойчивость. Именно свободно перемещающимися электронами и обусловлены свойства веществ с металлической решеткой :

· тепло- и электропроводность;

· обладают металлическим блеском;

· высокие температуры плавления.

Атомная решетка

В узлах решетки — атомы, связанные ковалентными связями. Химическая связь — ковалентная полярная или неполярная. Атомная кристаллическая решетка характерна для углерода (алмаз, графит), бора, кремния, германия, оксида кремния SiO₂(кремнезем, кварц, речной песок), карбида кремния SiC (карборунд), нитрида бора BN.

Свойства веществ с атомной решеткой :

· высокие температуры плавления;

Молекулярная решетка

В узлах — молекулы веществ, которые удерживаются в решетке с помощью слабых межмолекулярных сил.

Молекулярное строение имеют:

o все органические вещества (кроме солей);

o вещества — газы и жидкости;

o легкоплавкие и летучие твердые вещества, в молекулах которых ковалентные связи (полярные и неполярные).

Из курса физики вы знаете, что вещества могут существовать в трёх агрегатных состояниях: твёрдм, жидком, газообразном. В данном параграфе рассмотрим кристаллические вещества, т. е. вещества, находящиеся в твёрдом состоянии. Они образуют кристаллические решётки.
Кристаллические решётки веществ-это упорядоченное расположение частиц (атомов, молекул, ионов) в строго определённых точках пространства. Точки размещния частиц называют узлами кристаллической решётки.
В зависимости от типа частиц, расположенных в узлах кристаллической решётки, ихарактера связи между ними различают 4 типа кристаллических решёток: ионные, атомные, молекулярные, металлические. Рассмотрим каждую из решёток в отдельности и поподробней.
ионные
Ионными называют кристаллические решетки, в узлах которых находятся ионы. Их образуют вещества с ионной связью. Ионные кристаллические решётки имеют соли, некоторые оксиды и гидроксиды металлов.

АТОМНЫЕ
АТОМНЫЕ
Атомными называют кристаллические решётки, в узлах которых находятся отдельные атомы, которые соединены очень прочными ковалентными связями. Ниже показана кристаллическая решётка алмаза.
МОЛЕКУЛЯРНЫЕ

Молекулярными называют кристаллические решётки, в узлах которых располагаются молекулы. Химические связи в них ковалентные, как полярные, так и неполярные. Связи в молекулах прочные, но между молекулами связи не прочные. Ниже представлена кристаллическая решётка I2
МЕТАЛЛИЧЕСКИЕ
Металлическими называют решётки, в узлах которых находятся атомы и ионы металла.

Математические знания – вещь уникальная. Они копятся и систематизируются с древнейших времен, не теряя своей актуальности. Купцы, жрецы и простые городские жители в древности, а ныне продавцы, пловцы и мудрецы – жизнь для всех без математических навыков пуста. Начиналась наука с того, что имела самое практическое применение – измерять расстояния, площади, объёмы и т.д. На сегодняшний день, математика – обширнейшая область знаний, задействованная в любой другой науке и сфере жизни.

А жизнь каждого школьника начинается с листа бумаги в клетку. Но не один из первоклассников и представить себе не может, на что способен он с помощью простого листа бумаги в клетку, отчасти о котором пойдет речь в данной курсовой работе.

Листок в клетку – самый очевидный и важнейший пример точечной решётки. Мы на ней чертим, рисуем, выводим красивые и не очень геометрические фигуры. Эта самая простая решётка стала, например, для немецкого математика К.Гаусса отправной точкой в работе по сравнению площади круга с количеством точек с целыми координатами, находящимися внутри него. И вообще именно Гаусс стал основоположником использования целочисленной решётки. А другой немецкий математик с корнями из Российской Империи Г.Минковский заметил, что элементарные геометрические утверждения тесно связаны с арифметическими исследованиями. Он одним из первых, в 1896 году, для рассмотрения алгебраических проблем привлек методы геометрии.

Данная курсовая работа посвящена вопросам, которые находятся на границе арифметики и геометрии, и именно этим проблема исследования вызывает неподдельный интерес.

Какие из всех возможных правильных многоугольников можно расположить на решетке так, что все его вершины попадают на узлы решетки? Курсовая работа посвящена ответам на этот и некоторые другие вопросы. Например, для ответа на заданный вопрос на помощь приходит утверждение об иррациональности значений тригонометрических функций.

Также в этой работе будет показана формула австрийского математика Георга Пика, которая у каждого 11-классника вызывает радость, потому что сильно сокращает время выполнение планиметрического задания первой части ЕГЭ и уменьшает количество формул для нахождения площадей, которые приходится запоминать.

Как оказывается, решётка на плоскости, о которой пойдёт речь, является мощнейшим средством, позволяющим алгебраические задачи решать на геометрическом языке и наоборот. Это движение по мосту между арифметикой и геометрией является, как будет показано, двусторонним и достаточно интенсивным.

Цели курсовой работы:

− обоснование связи между арифметикой и геометрий;

Задачи курсовой работы:

− систематизировать знания, находящиеся на границе арифметики и геометрии;

− обосновать формулу Пика для правильных многоугольников;

− показать практическое применение формулы Пика.

Глава 1. Решётка на плоскости

Понятие и определение решётки. Узлы

Целочисленной решёткой, вообще говоря, называется множество точек на прямоугольной (декартовой) координатной плоскости, имеющих целочисленные координаты. Легче всего представить решётку как бесконечный лист клетчатой бумаги (рис.1.1). Важно отметить, что многоугольник только тогда считается расположенным на целочисленной решётке, когда все его вершины являются точками этой решётки. Отметим, что точки также называются узлами решётки.

Рисунок 1.1

Если подробнее пытаться определить, что же такое узлы решётки, то можно сказать следующее. Узлы – это точки, в которых пересекаются прямые заданной сети. Иногда, кстати говоря, при объяснении в 9 или 11 классе этого вопроса, у детей возникают затруднения с понятием узлов.

Отметим, что в предыдущем абзаце речь идет о двумерной целочисленной решётке. А вообще, решётка может быть n-мерной. Она имеет своё обозначение: . В данной работе речь будет идти только о двумерной целочисленной решётке . Но общее определение целочисленной решётки, конечно, дадим. Целочисленная решётка – это совокупность точек плоскости (пространства), координаты которых в некоторой системе координат имеют целочисленные координаты.

Важную роль решётка играет не только в вопросах подсчёта площадей многоугольников, но и в теории функций, в теории чисел, в химии (в кристаллографии) и во многих других областях. При изучении симметрии также часто используется целочисленная решётка.

Есть целый раздел геометрии – геометрия чисел, которую создал немецкий математик Минковский, которого выше мы уже упоминали. Этот раздел математики получил широкое развитие в работах наших соотечественников: Г.Ф.Вороного, Б.Н.Делоне и многих других.

Рисунок 1.2

Работа с листом в клетку восхищает, однако вполне возможно, что целочисленная решётка – это не только клетчатый лист. Это может быть и листок в треугольник. Его можно увидеть на рисунке 1.2. Иначе говоря, это треугольная решётка, точки пересечения которой, как и прежде, называются узлами.

Вполне может вызвать интерес такое маленькое исследование. А будет ли та же формула Пика, с которой мы ещё познакомимся, актуальна для треугольной решётки? Как окажется, формулы совпадут.

Далее речь пойдет о свойствах целочисленной решётки. Прежде чем о них говорить, нужно показать, каким образом вообще можно задать целочисленную решётку.

Рассмотрим на плоскости два семейства параллельных прямых, разбивающих плоскость на равные параллелограммы; множество L всех точек пересечения этих прямых (или множество вершин всех параллелограммов) и назовём точечной решеткой или простой решеткой, а сами точки – её узлами. Любой из этих параллелограммов называется фундаментальным параллелограммом или параллелограммом, порождающим решетку; площадь фундаментального параллелограмма решетки L обозначим через ∆=∆(L). Обычно предполагается, что начало координат является одним из узлов решетки.

Задать решетку можно еще следующим образом. Предположим, что на плоскости заданы две пересекающиеся прямые l₀ и m₀, а так же два положительных числа a и b. По обе стороны от прямой l₀ проведем параллельные прямые l_±_1, l_±₂, l_±₃. отметим все точки пересечение прямых l_i с прямыми m_j; множество всех этих точек пересечения и является решеткой L. (рис 2.1)

Рисунок 2.1

Нужно иметь в виду, что решетка состоит из точек, а сами прямые к ней не относятся. Одна и та же решетка может быть получена при помощи различных семейств параллельных прямых.

Рисунок 2.2

На рисунке 2.2 изображена так называемая ортогональная целочисленная решетка Z₂, состоящая из точек с целыми координатами в декартовой (прямоугольной) системе координат. То же семейство точек можно получить пересечением других семейств прямых, не являющихся ортогональными. Таким образом, решётка точек напрямую не связана с семейством прямых в отличие от её фундаментального параллелограмма.

Также известен способ задания целочисленной решётки с помощью параллелограмма. Изначально отмечают вершины имеющегося параллелограмма, а затем начинают этот параллелограмм смещать параллельно одной из сторон. Длина смещения равна длина стороне, параллельно которой двигают фигуру. Этот процесс сначала происходит в одном направлении, затем – в противоположном. Таким образом, на плоскости образуется полоса, граница которой состоит из вершин параллелограмма – точек, которые и становятся узлами.

После начинают сдвигать имеющуюся полосу в направлении другой стороны параллелограмма. Ясно, что длина смещения равна длине стороны. Отмечают вновь получившиеся точки и представляют, что этот процесс происходит в двух противоположных направлениях. Таким образом, образуется решётка, имеющая целочисленные координаты. А параллелограмм, с которого было начато задание решётки, и называется фундаментальным, или, иначе говорят, что данный параллелограмм порождает эту решётку.

Это были рассмотрены основные способы задания решётки на плоскости. Но вначале было отмечено, что решетка может быть задана как в плоскости, так и в любом n-мерном пространстве. Для построения целочисленной решётки в 3-мерном пространстве используется произвольный параллелепипед.

Аналогично могут быть определены решётки в пространствах любой размерности.

Узлы пространственной решетки ассоциируются с центрами тяжести структурных единиц кристалла и отражают их пространственное расположение в кристалле. Структурной единицей может быть атом, ион, молекула. [2]

Таким образом, узлы пространственной решетки образованы пересечением трех групп плоскостей, параллельных и равноотстоящих друг от друга в каждой такой группе. Эти плоскости рассекают все пространство на элементарные параллелепипеды, в вершинах которых будут иметься узлы, но на ребрах которых узлов не будет. Такие параллелепипеды, один из которых отмечен жирными линиями на рис. 249 Г, называются элементарными ячейками пространственной решетки. [3]

Природа частиц, заполняющих узлы пространственной решетки кристалла ( рис. 111 - 53), может быть намечена, исходя из основных типов валентной связи. Наиболее характерно для подобных решеток то, что каждый ион в равной мере относится ко всем непосредственно окружающим его нонам противоположного знака. [4]

Природа частиц, заполняющих узлы пространственной решетки кристалла ( рис. 111 - 55), может быть намечена, исходя из основных типов валентной связи. Наиболее характерно для подобных решеток то, что каждый ион в равной мере относится ко всем непосредственно окружающим его ионам противоположного знака. [6]

Прямые и плоскости, проходящие через узлы пространственной решетки , называют соответственно узловыми прямыми и плоскостями. Все узловые прямые ( направления) и плоскости, одинаково ориентированные в пространстве, составляют семейство прямых ( направлений) и плоскостей. [8]

Прямые и плоскости, проходящие через узлы пространственной решетки , называют соответственно узловыми прямыми и плоскостями. Все узловые прямые или плоскости, одинаково ориентированные в пространстве, составляют семейство прямых или плоскостей. Они кристаллографически идентичны и обладают одинаковыми периодами идентичности или соответственно межплоскостным расстоянием. [9]

Металлы состоят из положительных ионов ( узлы пространственной решетки ) и подвижных свободных электронов - электронный газ. Эти электроны постоянно переходят от одних атомов к другим и вращаются вокруг ядра то одного атома, то другого. Металлическая связь определяется наличием ковалентной связи между нейтральными атомами и одновременным электростатическим ( кулоновским) притяжением между ионами и свободными электронами. Металлическая связь характеризуется отсутствием направленности действия и большим координационным числом. Это значит, что каждый атом окружен большим числом ближайших соседних атомов. Металлическая связь наблюдается как в твердом, так и в жидком агрегатных состояниях вещества. [12]

В кристаллографии принято плоскости и прямые проводить через узлы пространственной решетки , отсюда и название узловые плоскости и узловые прямые. В дальнейшем нас будут интересовать только такие плоскости и прямые. [14]

У каждого вещества есть набор физических свойств. Например, соли легко растворяются в воде и проводят электрический ток, а металлы имеют характерный блеск и ковкость. Такие характеристики зависят от строения вещества — от его кристаллической решетки. В этом материале мы расскажем о видах кристаллических решеток и о том, какие свойства придает веществу каждая из них.

О чем эта статья:

11 класс, ЕГЭ/ОГЭ

Статья находится на проверке у методистов Skysmart.
Если вы заметили ошибку, сообщите об этом в онлайн-чат (в правом нижнем углу экрана).

Что такое кристаллическая решетка

Как известно, все вещества состоят из частиц — атомов, которые могут располагаться хаотично или в определенном порядке. У аморфных веществ частицы расположены беспорядочно, а у кристаллических они образуют определенную структуру. Эта структура называется кристаллической решеткой. Она определяет такие характеристики вещества, как твердость, хрупкость, температура кипения и/или плавления, пластичность, растворимость, электропроводность и т. д.

Кристаллическая решетка — это внутренняя структура кристалла, порядок взаимного расположения атомов, ионов или молекул. Точки, в которых находятся эти частицы, называются узлами решетки.

Частицы удерживаются на своих местах благодаря химическим связям между ними. В зависимости от того, какой вид связи удерживает атомы или ионы данного вещества, в химии выделяют основные типы кристаллических решеток:

атомная (ковалентные связи),

молекулярная (ковалентные связи и притяжение между молекулами),

металлическая (металлические связи),

ионная (ионные связи).

Не путайте эти два понятия — кристаллическая решетка и химическая связь. Тип решетки говорит о том, как расположены атомы/ионы в молекуле вещества, а тип связи — по какому принципу они между собой взаимодействуют.

Строение и агрегатное состояние веществ

Выделяют три агрегатных состояния: твердое тело, жидкость и газ. Каждое из них предполагает определенное расположение частиц. Ниже мы расскажем подробнее, как связаны в химии кристаллическая решетка и агрегатное состояние вещества, а пока осветим общие закономерности.

Если частицы хаотично движутся, а расстояние между ними многократно превышает их собственные размеры — это газ. За счет большой удаленности друг от друга молекулы и атомы в таком веществе слабо взаимодействуют между собой.

Если частицы расположены все так же беспорядочно, но на небольшом расстоянии друг от друга — это жидкость. В жидком состоянии вещества его молекулы и атомы имеют более прочные связи, которые сложнее разорвать.

Если частицы собраны близко друг к другу и в определенном порядке — это твердое тело. В таком состоянии связи между ними наиболее прочны. Частицы могут двигаться только в пределах своего расположения и почти не перемещаются в пространстве.

Большинство веществ могут находиться и в твердом, и в жидком, и газообразном состоянии, а в зависимости от давления и температуры легко переходить из одного в другое. Типичный пример — вода, которая при нагревании превращается в пар, а при остывании становится твердым льдом.

Атомная кристаллическая решетка

Согласно своему названию, атомная кристаллическая решетка — это структура, в узлах которой расположены атомы. Они взаимодействуют с помощью ковалентных связей, то есть один атом отдает другому свободный электрон или же электроны из разных атомов образуют общую пару. В кристаллах с атомной решеткой частицы прочно связаны, что обуславливает ряд физических характеристик.

Свойства веществ с атомной решеткой:

неспособность к растворению в воде,

высокая температура кипения и плавления.

К примеру, атомную кристаллическую решетку имеет алмаз — самый твердый минерал в мире.

Другие примеры: германий Ge, кремний Si, нитрид бора BN, карборунд SiC. Типичный представитель этой группы — обычный песок, который по сути является оксидом кремния SiO₂.

Если нужно рассказать о свойствах веществ с атомной кристаллической решеткой, достаточно вспомнить песок и перечислить его характеристики.

Молекулярная кристаллическая решетка

Как и в предыдущей группе, в этой находятся вещества с ковалентными связями между атомами. Но физические характеристики этих веществ совершенно иные — они легко плавятся, превращаются в жидкость, растворяются в воде. Почему так происходит? Все дело в том, что здесь кристаллы строятся не из атомов, а из молекул.

Молекулярная кристаллическая решетка — это структура, в узлах которой находятся не атомы, а молекулы.

Внутри молекул атомы имеют прочные ковалентные связи, но сами молекулы связаны между собой слабо. Поэтому кристаллы таких веществ непрочные и легко распадаются.

Молекулярная кристаллическая решетка характерна для воды. При комнатной температуре это жидкость, но стоит нагреть ее до температуры кипения (которая сравнительно низка), как она тут же начинает превращаться в пар, т. е. переходит в газообразное состояние.

Некоторые молекулярные вещества — например, сухой лед CO₂, способны преобразоваться в газ сразу из твердого состояния, минуя жидкое (данный процесс называется возгонкой).

Свойства молекулярных веществ:

у некоторых — наличие запаха.

Помимо воды к веществам с молекулярной кристаллической решеткой относятся аммиак NH₃, гелий He, радон Rn, йод I, азот N₂ и другие. Все благородные газы — молекулярные вещества. Также к этой группе принадлежит и большинство органических соединений (например, сахар).

Ионная кристаллическая решетка

Как известно, в ходе ионной химической связи один атом отдает другому ионы и приобретает положительный заряд, в то время как принимающий атом заряжается отрицательно. В итоге появляются разноименно заряженные ионы, из которых и состоит структура кристалла.

Ионная решетка — это кристаллическая структура, в узловых точках которой находятся ионы, связанные взаимным притяжением.

Ионную кристаллическую решетку имеют практически все соли, типичным представителем можно считать поваренную соль NaCl. О ней стоит вспомнить, если нужно перечислить физические характеристики этой группы. Также ионную решетку имеют щелочи и оксиды активных металлов.

Свойства веществ с ионной структурой:

способность растворяться в воде.

Примеры веществ с ионной кристаллической решеткой: оксид кальция CaO, оксид магния MgO, хлорид аммония NH₄Cl, хлорид магния MgCl₂, оксид лития Li₂O и другие.

Металлическая кристаллическая решетка

Для начала вспомним, как проходит металлическая химическая связь. В молекуле металла свободные отрицательно заряженные электроны перемещаются от одного иона к другому и соединяются с некоторыми из них, а после отрываются и мигрируют дальше. В результате получается кристалл, в котором ионы превращаются в атомы и наоборот.

Металлическая кристаллическая решетка — это структура, которая состоит из ионов и атомов металла, а между ними свободно передвигаются электроны. Как несложно догадаться, она характерна лишь для металлов и сплавов.

Свободные электроны, мигрирующие между узлами решетки, образуют электронное облако, которое под воздействием электротока приходит в направленное движение. Это объясняет такое свойство металлов, как электрическая проводимость.

В химии типичным примером вещества, которое имеет металлическую кристаллическую решетку, считается медь. Она очень ковкая, пластичная, имеет высокую тепло- и электропроводность. Впрочем, все металлы ярко демонстрируют эти характеристики, поэтому назвать физические свойства данной группы несложно.

Свойства веществ с металлической кристаллической решеткой:

При этом температура плавления веществ может существенно различаться. Например, у ртути это −38,9°С, а у бериллия целых +1287°С.

Подведем итог: о характеристиках разных типов кристаллических решеток расскажет таблица.

Частицы в узлах решетки

Тип связи между частицами

Физические свойства веществ

Как определить кристаллическую решетку

Как понятно из предыдущего материала, строение вещества, его состав и физические характеристики тесно связаны. Поэтому для определения вида кристаллической решетки можно руководствоваться теми данными, которые у нас есть. Как правило, известен состав вещества, а значит, мы можем сделать вывод о химических связях внутри его молекулы, что позволит в свою очередь предположить тип решетки.

Также можно провести быстрый анализ:

если это неметалл, который при комнатной температуре представляет собой твердое тело — скорее всего он имеет атомную решетку;

если в обычных условиях это жидкость или газ либо речь об органическом веществе — предполагаем молекулярную решетку;

если это соль либо щелочь — кристаллы имеют ионную решетку;

если это металл или сплав — решетка точно будет металлической.

Вопросы для самопроверки:

Назовите виды кристаллических решеток.

Чем отличается кристаллическая решетка от химической связи?

Назовите примеры веществ с металлической кристаллической решеткой, с ионной, атомной и молекулярной.

Выберите лишнее вещество: молекулярную кристаллическую решетку имеет вода, поваренная соль, аргон, криптон.

Читайте также: