Уравнения с частными производными кратко

Обновлено: 02.07.2024

Множество D называют областью определения функции.

Все значения, которые принимает функция f(x,y) (при (x,y) принадлежащих области её определения), образуют область значений функции.

Аналогично можно ввести понятие функции трех переменных u = f(x,y,z), определенной на множестве D, состоящем не из действительных чисел (как для функции одной переменной) и не из пар действительных чисел (как для функции двух переменных), а из троек действительных чисел (x,y,z), рассматриваемых в определенном порядке. Можно ввести понятие функции четырех, пяти и вообще любого конечного числа переменных – все такие функции называют функциями нескольких переменных.

Примеры функций нескольких переменных:

S = xy – площадь прямоугольника со сторонами x, y есть функция двух переменных;

U = IR (закон Ома) – напряжение U на участке электрической цепи есть функция двух переменных: силы тока I и сопротивления R;

V = xyz - объем прямоугольного параллелепипеда со сторонами x,y,z есть функция трех переменных.

Чтобы задать функцию двух (трех) переменных, нужно указать способ, с помощью которого для каждой пары (тройки) значений аргументов можно найти соответствующее значение функции.

Наиболее употребительным (как и в случае функций одной переменной) является способ задания функции с помощью формулы Z = f(x,y), где f(x,y) – некоторое выражение с переменными x,y. В таком случае говорят, что функция задана формулой или что функция задана аналитически.

Значение функции Z = f(x,y) в точке M(x₀,y₀) называется частным значением функции и обозначается f(x₀,y₀) или f(M).

Дана функция Вычислить

1.2 Область определения

Область определения функции Z = f(x,y)в простейших случаях представляет собой либо часть плоскости, ограниченную замкнутой кривой, причем точки этой кривой (границы области) могут принадлежать или не принадлежать области определения, либо всю плоскость, либо, наконец, совокупность нескольких частей плоскости xOy

Геометрическим изображением функции Z = f(x,y) в прямоугольной системе координат Oxyz (графиком функции) является некоторая плоскость.

Для аналитически заданной функции иногда не указывают явно область ее определения. В таком случае подразумевают, что область определения функции Z = f(x,y) совпадает с областью определения выражения Z = f(x,y), т.е. с множеством тех значений x,y, при которых выражение f(x,y) имеет смысл.

Пример: Найти область определения функции:

а) Функция не определена лишь в случае, когда y = x. Геометрически это означает, что область определения функции состоит из двух полуплоскостей, одна из которых лежит выше, а другая ниже прямой y = x.

б) Функция определена при условии , т.е. . Это круг с центром в начале координат и радиусом , включающий свою границу, т.е. окружность = 1.

в) Функция определена при условии - 4 > 0, т.е. > 4. Это часть плоскости, лежащая вне круга с центром в начале координат и радиусом 2, не включающая границу круга, т.е. окружность = 4

г) Функция определена при (x,y,z), удовлетворяющих одновременно условиям x 0, y 0, z 0.

1.3 Частные производные

Пусть задана функция Z = f(x,y).

Переменной x дадим приращение dx, а y оставим без изменения. Если существует предел:

то он называется частной производной от функции Z = f(x,y) по переменной x.

Обозначать частную производную от функции Z = f(x,y) по переменной x можно любым из символов:

Чтобы найти частную производную от функции Z = f(x,y) по переменной x, нужно найти производную от этой функции по x, считая, что x является постоянной.

Аналогично, частной производной от функции Z = f(x,y) по переменной y, называется предел:

и обозначается одним из символов:

Частная производная от функции Z = f(x,y) по переменной y - это производная от функции Z = f(x,y) по переменной в предположении, что x = const..

Частные производные от функции нескольких переменных находятся как производные от функции одной переменной при условии, что все остальные переменные считаются на момент дифференцирования постоянными.

Частными производными второго порядка от функции Z = f(x,y) называются частные производные от частных производных первого порядка:

Частные производныеназываются смешанными частными производными второго порядка.

В точках, где смешанные производные непрерывны, они равны, т.е.:

Для частных производных справедливы обычные правила и формулы дифференцирования.

Пример 1. Найти .

Рассматривая y как постоянную величину, получим

Рассматривая x как постоянную, найдем

Пример 3. Найти

Найдем частные производные:

Дифференцируя повторно, получим

Пример 4.

Пример 6. Требуется показать, что функция удовлетворяет равенству:

Дифференциальное уравнение первого порядка вида имеет бесчисленное множество решений, определяемых формулой, содержащей одну произвольную постоянную: . Аналогично общее решение дифференциального уравнения второго порядка содержит две произвольные постоянные: . Выделение частного решения может быть произведено путем задания начальных условий, которые для уравнения второго порядка имеют вид: , .

Подставляя эти значения , и в общее решение и в его производную, получим два уравнения для отыскания произвольных постоянных и . Если правая часть уравнения – функция – непрерывна в некоторой окрестности значений , и и имеет там непрерывные частные производные и , то существует единственное частное решение, удовлетворяющее данным начальным условиям (теорема существования и единственности решения).

Для однородного уравнения общее решение есть линейная комбинация двух его частных решений и , если только эти решения линейно независимы (т.е. , где – константа):

Общее решение неоднородного уравнения есть сумма какого-либо его частного решения и общего решения соответствующего однородного уравнения.

Дифференциальные уравнения с частными производными – уравнения, содержащие неизвестную функцию нескольких переменных и ее частные производные. Обычно имеем дело с уравнениями для функций двух или трех независимых переменных. Вот примеры таких уравнений ( – независимые переменные, – неизвестная функция):

Порядком дифференциального уравнения называется наивысший порядок входящих в уравнение частных производных. В первой строке написаны уравнения, содержащие частные производные только первого порядка. Такие уравнения называются уравнениями первого рода. Соответственно уравнения, написанные во второй строке, являются примерами уравнений второго рода.

Пусть имеем дифференциальное уравнение с частными производными порядка :

связывающее независимые переменные , ,…, , искомую функцию и ее частные производные (наличие хотя бы одной производной обязательно). Здесь , ,…, – неотрицательные числа, такие, что .

Обозначим через множество функций, непрерывных в области вместе со всеми производными до порядка включительно.

Определение. Решением дифференциального уравнения (1.2) в некоторой области изменения независимых переменных , ,…, называется всякая функция такая, что подстановка этой функции и ее производных в уравнение (1.2) обращает последнее в тождество по , ,…, в области .

Рассмотрим несколько примеров: будем считать, что неизвестная функция зависит от двух переменных и .

Ясно, что искомая функция не зависит от переменной , но может быть любой функцией от :

Дифференцируя функцию по , получаем нуль, а это и значит, что равенство (1.3) соблюдается. Следовательно, решение (1.4) уравнения (1.3) содержит одну произвольную функцию .

В этом и заключается коренное отличие решения уравнения с частными производными первого порядка от общего решения обыкновенного дифференциального уравнения первого порядка, которое содержит лишь произвольную постоянную. По аналогии решение (1.4), содержащее одну произвольную функцию, будем называть общим решением уравнения (1.3).

Рассмотрим более сложное уравнение:

где – заданная функция. Все функции , удовлетворяющие уравнению (1.5) имеют вид:

где – произвольная функция от . Это можно проверить, дифференцируя обе части равенства (1.5) по :

Найденное решение уравнения (1.5) зависит от одной произвольной функции, т.е. является общим.

Видно, что уравнения с частными производными имеют целые семейства решений. Однако существуют уравнения с частными производными, множества решений которых весьма узки и, в некоторых случаях, даже пусты.

Например, множество действительных решений уравнения:

исчерпывается функцией , а уравнение:

вовсе не имеет действительных решений.

Проверим, что уравнение имеет общее решение , где – произвольная дифференцируемая функция.

Вспомним для этого правило дифференцирования сложной функции нескольких переменных. Если , где – функции нескольких переменных , то .

Аналогичные формулы имеют место и для производных по . При этом число промежуточных аргументов , так же как и число независимых переменных , может быть любым.

В данном примере , где . Поэтому:

Подставляя эти выражения в уравнение, получим тождество:

Рассмотрим теперь уравнение второго порядка:

Положим . Тогда уравнение (1.7) примет вид . Общим решением уравнения будет произвольная функция . Возвращаясь к функции , получим опять уравнение первого порядка: .

Согласно (1.6) его общим решением будет функция:

Так как – произвольная функция от , то и интеграл от нее также является произвольной функцией, которую обозначим через . В результате получили решение в виде:

где и – произвольные дифференцируемые функции. Легко проверить, что функция (1.8) действительно удовлетворяет уравнению (1.7):

Решение (1.8) уравнения (1.7) с частными производными второго порядка содержит уже две произвольные функции. В этом случае оно называется общим решением.

Проверим, что функция является общим решением уравнения .

Согласно правилу дифференцирования сложной функции и обозначая , последовательно получим:

Подставляя выражения для производных в левую часть уравнения, убеждаемся, что она обращается в нуль:

Таким образом, дифференциальные уравнения математической физики имеют между собой много общих черт: все они – второго порядка и линейны относительно неизвестной функции и ее частных производных. Чаще всего все коэффициенты перед функцией и ее производными – постоянные числа. Общий вид таких уравнений для функции , зависящей от двух переменных и таков:

где , , , , , – постоянные числа, а правая часть – заданная функция переменных и .

Существуют различные виды уравнений в зависимости от соотношения между коэффициентами. Рассмотрим некоторые из них.

При , , получается уравнение первого порядка вида – называемое уравнением переноса. На практике в этом уравнении одной из переменных может быть время . Тогда его называют также эволюционным уравнением.

Если хотя бы один из коэффициентов , , отличен от нуля, то (1.9) является уравнением второго порядка. В зависимости от знака дискриминанта оно может принадлежать к одному из трех типов: гиперболическому ( ), параболическому ( ) или эллиптическому ( ).

Например,определить вид уравнений:

, , , . Следовательно, в области уравнение гиперболично, в области – эллиптично, а в области – параболично.

, , , . Следовательно, это уравнение всюду параболического типа.

, , , . Следовательно, это уравнение гиперболического типа.

Пусть имеем дифференциальное уравнение с частными производными порядка :

Рассмотрим несколько примеров: будем считать, что неизвестная функция зависит от двух переменных и .

Ясно, что искомая функция не зависит от переменной , но может быть любой функцией от :

Рассмотрим более сложное уравнение:

где – заданная функция. Все функции , удовлетворяющие уравнению (1.5) имеют вид:

где – произвольная функция от . Это можно проверить, дифференцируя обе части равенства (1.5) по :

Найденное решение уравнения (1.5) зависит от одной произвольной функции, т.е. является общим.

Например, множество действительных решений уравнения:

исчерпывается функцией , а уравнение:

вовсе не имеет действительных решений.

Проверим, что уравнение имеет общее решение , где – произвольная дифференцируемая функция.

В данном примере , где . Поэтому:

Подставляя эти выражения в уравнение, получим тождество:

Рассмотрим теперь уравнение второго порядка:

Согласно (1.6) его общим решением будет функция:

Проверим, что функция является общим решением уравнения .

Согласно правилу дифференцирования сложной функции и обозначая , последовательно получим:

Подставляя выражения для производных в левую часть уравнения, убеждаемся, что она обращается в нуль:

где , , , , , – постоянные числа, а правая часть – заданная функция переменных и .

Например,определить вид уравнений:

, , , . Следовательно, в области уравнение гиперболично, в области – эллиптично, а в области – параболично.

Часто одно лишь упоминание дифференциальных уравнений вызывает у студентов неприятное чувство. Почему так происходит? Чаще всего потому, что при изучении основ материала возникает пробел в знаниях, из-за которого дальнейшее изучение диффуров становиться просто пыткой. Ничего не понятно, что делать, как решать, с чего начать?

Однако мы постараемся вам показать, что диффуры – это не так сложно, как кажется.

Основные понятия теории дифференциальных уравнений

Со школы нам известны простейшие уравнения, в которых нужно найти неизвестную x. По сути дифференциальные уравнения лишь чуточку отличаются от них – вместо переменной х в них нужно найти функцию y(х), которая обратит уравнение в тождество.

Дифференциальные уравнения имеют огромное прикладное значение. Это не абстрактная математика, которая не имеет отношения к окружающему нас миру. С помощью дифференциальных уравнений описываются многие реальные природные процессы. Например, колебания струны, движение гармонического осциллятора, посредством дифференциальных уравнений в задачах механики находят скорость и ускорение тела. Также ДУ находят широкое применение в биологии, химии, экономике и многих других науках.

Дифференциальное уравнение (ДУ) – это уравнение, содержащее производные функции y(х), саму функцию, независимые переменные и иные параметры в различных комбинациях.

Существует множество видов дифференциальных уравнений: обыкновенные дифференциальные уравнения, линейные и нелинейные, однородные и неоднородные, дифференциальные уравнения первого и высших порядков, дифуры в частных производных и так далее.

Решением дифференциального уравнения является функция, которая обращает его в тождество. Существуют общие и частные решения ДУ.

Общим решением ДУ является общее множество решений, обращающих уравнение в тождество. Частным решением дифференциального уравнения называется решение, удовлетворяющее дополнительным условиям, заданным изначально.

Порядок дифференциального уравнения определяется наивысшим порядком производных, входящих в него.

Обыкновенные дифференциальные уравнения

Обыкновенные дифференциальные уравнения – это уравнения, содержащие одну независимую переменную.

Рассмотрим простейшее обыкновенное дифференциальное уравнение первого порядка. Оно имеет вид:

Решить такое уравнение можно, просто проинтегрировав его правую часть.

Примеры таких уравнений:

Уравнения с разделяющимися переменными

В общем виде этот тип уравнений выглядит так:

Решая такое уравнение, нужно разделить переменные, приведя его к виду:

После этого останется проинтегрировать обе части и получить решение.

Линейные дифференциальные уравнения первого порядка

Такие уравнения имеют вид:

Здесь p(x) и q(x) – некоторые функции независимой переменной, а y=y(x) – искомая функция. Приведем пример такого уравнения:

Решая такое уравнение, чаще всего используют метод вариации произвольной постоянной либо представляют искомую функцию в виде произведения двух других функций y(x)=u(x)v(x).

Для решения таких уравнений необходима определенная подготовка и взять их “с наскока” будет довольно сложно.

Пример решения ДУ с разделяющимися переменными

Вот мы и рассмотрели простейшие типы ДУ. Теперь разберем решение одного из них. Пусть это будет уравнение с разделяющимися переменными.

Сначала перепишем производную в более привычном виде:

Затем разделим переменные, то есть в одной части уравнения соберем все "игреки", а в другой – "иксы":

Теперь осталось проинтегрировать обе части:

Интегрируем и получаем общее решение данного уравнения:

Конечно, решение дифференциальных уравнений – своего рода искусство. Нужно уметь понимать, к какому типу относится уравнение, а также научиться видеть, какие преобразования нужно с ним совершить, чтобы привести к тому или иному виду, не говоря уже просто об умении дифференцировать и интегрировать. И чтобы преуспеть в решении ДУ, нужна практика (как и во всем). А если у Вас в данный момент нет времени разбираться с тем, как решаются дифференциальные уравнения или задача Коши встала как кость в горле или вы не знаете, как правильно оформить презентацию, обратитесь к нашим авторам. В сжатые сроки мы предоставим Вам готовое и подробное решение, разобраться в подробностях которого Вы сможете в любое удобное для Вас время. А пока предлагаем посмотреть видео на тему "Как решать дифференциальные уравнения":

Иван Колобков, известный также как Джони. Маркетолог, аналитик и копирайтер компании Zaochnik. Подающий надежды молодой писатель. Питает любовь к физике, раритетным вещам и творчеству Ч. Буковски.

Представлены способы решения линейных однородных и неоднородных дифференциальных уравнений в частных производных первого порядка методом характеристик. Даны примеры решения таких задач. В разобранных примерах получено общее решение заданного уравнения. На его основе найдено частное решение, удовлетворяющее заданным граничным условиям.

Линейные однородные уравнения в частных производных первого порядка

Пусть X ₁ , X ₂ , . X_n – заданные функции переменных x ₁ , x ₂ , . x_n .

Чтобы решить линейное однородное уравнение в частных производных первого порядка:

необходимо решить систему обыкновенных дифференциальных уравнений (уравнение характеристик):
:
Далее нужно представить решение в виде:
φ ₁( x ₁ , x ₂ , . x_n ) = C ₁ ,
φ ₂( x ₁ , x ₂ , . x_n ) = C ₂ ,
.
φ_{n- 1} ( x ₁ , x ₂ , . x_n ) = C_{n- 1} ,
где C_k – постоянные.
После чего сразу получаем общее решение:
,
где F – произвольная функция от n – 1 аргументов.

Если нужно получить частное решение с определенными граничными условиями, то необходимо подставить значения переменных из граничных условий в общее решение и найти вид функции F .

Линейные неоднородные уравнения в частных производных первого порядка

Пусть X ₁ , X ₂ , . X_{n+ 1} – заданные функции от переменных x ₁ , x ₂ , . x_n и z .

Чтобы решить линейное неоднородное уравнение в частных производных первого порядка:
,
необходимо решить уравнение характеристик:
.
Решение этой системы нужно представить в следующем виде:
φ ₁( x ₁ , x ₂ , . x_n , z ) = C ₁ ,
φ ₂( x ₁ , x ₂ , . x_n , z ) = C ₂ ,
.
φ_n ( x ₁ , x ₂ , . x_n , z ) = C_n .
После чего сразу получаем общий интеграл в неявном виде:

где F – произвольная функция. Также общий интеграл можно представить в различных вариантах, например:
φ ₁ = F ( φ ₂ , φ ₃ , . φ_n ) ,
φ ₂ = F ( φ ₁ , φ ₃ , . φ_n ) ,
и т. д.

Примеры решений линейных уравнений в частных производных первого порядка

Однородное уравнение

Найти общее решение линейного однородного уравнения в частных производных первого порядка и решить задачу Коши с указанным граничным условием:
,
при .

Это линейное однородное уравнение в частных производных первого порядка. Составляем уравнение характеристик:

Это уравнение характеристик содержит три уравнения:
;
;
.
Нам нужно выбрать и решить любые два из них. Тогда третье будет выполнено автоматически.

Выбираем и решаем первое уравнение:

Здесь переменные уже разделены, интегрируем:

Интегралы табличные,

Потенцируем:

Отсюда

Подставим во второе уравнение:

Или:

Это линейное уравнение. Решаем с помощью интегрирующего множителя. Умножим на x -1 и преобразуем:

Интегрируем:

Подставим полученное ранее выражение C₁ = x y 2 :

Итак, мы нашли два интеграла уравнения характеристик:

Общее решение исходного уравнения в частных производных имеет вид:

где F - произвольная функция от двух аргументов F(φ₁, φ₂) . Найдем ее вид из граничного условия
при .

Рассматриваем решение на границе.
Положим x y = –1 :

Отсюда

На границе
.

Итак, мы нашли, что на границе функция F имеет вид:
F ( φ ₁ , φ ₂ ) = φ ₁ φ ₂ .
Такой же вид она имеет и во всей области
Подставляя
;
,
получаем частное решение исходного уравнения в частных производных с заданным граничным условием:

Общее решение:

где F - произвольная функция от двух аргументов F ( φ ₁ , φ ₂ ) .

Неоднородное уравнение

Найти поверхность, удовлетворяющую данному уравнению
,
и проходящую через данную окружность x + y + z = 0 , x 2 + y 2 + z 2 = a 2 .

Это линейное неоднородное уравнение в частных производных первого порядка. Составляем уравнение характеристик:

Оно содержит три уравнения:
;
;
.
Нам нужно выбрать и решить любые два из них. Тогда третье удовлетворится автоматически. Выбираем первое и второе уравнения.

Решаем уравнение:

Умножаем на 2 z и интегрируем:

Интегралы табличные,

Потенцируем:

Отсюда
x = C ₁ y

Подставим во второе уравнение:

Или:

Замечаем, что , тогда

Это линейное уравнение. Решаем с помощью интегрирующего множителя. Разделим на y 2 и преобразуем:

Интегрируем:

Подставим полученное ранее выражение и преобразуем:

Итак, мы нашли два интеграла уравнения характеристик:

Для удобства дальнейших вычислений заметим, что функция от постоянной также является постоянной. Поэтому запишем интегралы в виде:

Общий интеграл исходного уравнения в частных производных имеет вид:
F ( φ ₁ , φ ₂) = 0
Но, поскольку F - произвольная функция от двух аргументов, то общий интеграл можно записать также в виде:
φ ₁ = F ( φ ₂) ,
где F - произвольная функция от одного аргумента.

Найдем вид этой функции, рассматривая решение на границе.
На границе, x 2 + y 2 + z 2 = a 2 , .
Из уравнения x + y + z = 0 , z = – ( x + y ) . Подставим в x 2 + y 2 + z 2 = a 2 и преобразуем:
x 2 + y 2 + ( x + y ) 2 = a 2
x 2 + y 2 + x 2 + 2 xy + y 2 = a 2
2 x 2 + 2 xy + 2 y 2 = a 2
Разделив на y 2 , имеем

Итак, мы нашли, что на границе:

.
Подставим в выражение общего интеграла:
φ ₁ = F ( φ ₂)
.
Сделаем подстановку
:
.

Итак, мы нашли, что на границе функция F имеет вид:
.
Такой же вид она имеет и во всей области, тогда
.
Подставляем выражения для φ₁ и φ₂ :

.
Умножим на a 2 y 2 .

Читайте также: