Уравнение tgx a кратко
Обновлено: 04.07.2024
Корни уравнения tg(x) = a выражаются формулой x=arctg(a)+πn, n ∈ Z.
Попробуем разобраться, почему, решения выражаются этой формулой.
Проще всего это сделать, посмотрев на график функции y = tg(x).
Корни этого уравнения – это абсциссы точек пересечения прямой y = a. Начертим на одной плоскости график функции y = tg(x) и график функции y = a.
По рисунку видно, что абсцисса точки А – это arctg(a), остальные точки пересечения имеют абсциссы x=arctg(a)+πn, n ∈ Z.
Решить уравнение tg(2x) = 1.
По формуле, приведенной выше, имеем 2x = arctg(1)+πn, n ∈ Z.
Известно, что arctg(1) = π/4, значит 2x = π/4+πn, n ∈ Z, x = π/8+1/2πn, n ∈ Z.
Ошибка в тексте? Выдели её мышкой и нажми
Остались рефераты, курсовые, презентации? Поделись с нами - загрузи их здесь!
Арктангенсом числа m называется такое число α, что: и .
Арктангенс числа m обозначают:.
Арккотангенсом числа n называется такое число α, что:
Арккотангенс числа n обозначают:
Основная литература:
Простейшими тригонометрическими уравнениями называют уравнения вида:
где a – произвольное число.
Решение уравнения sin x = a
| Обычная форма записи решения | |
| Более удобная форма записи решения | |
| Ограничения на число a | В случае, когда , уравнение решений не имеет |
Обычная форма записи решения:
Более удобная форма записи решения:
Ограничения на число a:
В случае, когда , уравнение решений не имеет.
Графическое обоснование решения уравнения sin x = a представлено на рисунке 1
Определение тангенса и котангенса через отношение сторон прямоугольника и с помощью касательной к числовой окружности – см. §3 данного справочника.
Свойства функции y=tgx на всей области определения \(x\in\mathbb\) - см. §6 данного справочника.
Свойства функции y=ctgx на всей области определения \(x\in\mathbb\) - см. §7 данного справочника.
Определение и свойства взаимно обратных функций - см. §2 справочника для 9 класса.
п.1. Понятие арктангенса
В записи \(y=tgx\) аргумент x - это значение угла (в градусах или радианах), функция y – тангенс угла, действительное число в пределах от \(-\infty;\) до \(+\infty\). Т.е., по заданному углу мы находим тангенс.
Можно поставить обратную задачу: по заданному тангенсу найти угол. Но одному значению тангенса соответствует бесконечное количество углов. Например, если \(tgx=1\), то \(x=\frac\pi4+\pi k,\ k\in\mathbb\); если \(tgx=0\), то \(x=\pi k,\ k\in\mathbb\) и т.д.
Поэтому, чтобы построить однозначную обратную функцию, ограничим значения углов x главной ветвью тангенса: \(-\frac\pi2\leq x\leq \frac\pi2\) (правая половина числовой окружности, вся ось тангенсов).
Арктангенсом числа \(a\ (a\in\mathbb
п.2. График и свойства функции y=arctgx
1. Область определения \(x\in\mathbb\) .
2. Функция ограничена сверху и снизу асимптотами \(-\frac\pi2\leq arctgx\leq \frac\pi2\) .
Область значений \(y\in\left(-\frac\pi2; \frac\pi2\right)\)
3. Функция стремится к максимальному значению \(y_=\frac\pi2\ \text\ x\rightarrow +\infty\)
Функция стремится к минимальному значению \(y_=-\frac\pi2\ \text\ x\rightarrow -\infty\)
Функция имеет две горизонтальные асимптоты \(y=\pm\frac\pi2\) .
4. Функция возрастает на всей области определения.
5. Функция непрерывна на всей области определения.
6. Функция нечётная: \(arctg(-x)=-arctg(x)\) .
п.3. Уравнение tgx=a
п.4. Понятие арккотангенса
По аналогии с арктангенсом, арккотангенс определяется на главной ветви котангенса: \(0\lt x\lt \pi\) (верхняя половина числовой окружности, вся ось котангенсов).
Арккотангенсом числа \(a\ (a\in\mathbb
п.5. График и свойства функции y=arcctgx
1. Область определения \(x\in\mathbb\) .
2. Функция ограничена сверху и снизу асимптотами \(0\lt arcctgx\lt \pi\) .
Область значений \(y\in(0;\pi)\)
3. Функция стремится к максимальному значению \(y_=\pi\ \text\ x\rightarrow -\infty\)
Функция стремится к минимальному значению \(y_=0\ \text\ x\rightarrow +\infty\)
Функция имеет две горизонтальные асимптоты \(y=0\ \text\ y=\pi\) .
4. Функция убывает на всей области определения.
5. Функция непрерывна на всей области определения.
6. Функция ни чётная, ни нечётная.
п.6. Уравнение ctgx=a
2) \(ctgx=2\)
\(x=arcctg2+\pi k\)
Можно также преобразовать уравнение в \(tg x=\frac\)
Получаем ответ: \(x=arctg\frac12+\pi k\)
Очевидно, что \(arcctg 2=arctg\frac\) (см. ниже формулы для аркфункций).
п.7. Формулы преобразования аркфункций
Аркфункции от обратных тригонометрических функций \begin arcsin(sin\alpha)=\alpha,\ \ \alpha\in\left[-\frac\pi2;\frac\pi2\right],\ \ arccos(cos\alpha)=\alpha,\ \ \alpha\in[0;\pi]\\ arctg(tg\alpha)=\alpha,\ \ \alpha\in\left(-\frac\pi2;\frac\pi2\right),\ \ arcctg(ctg\alpha)=\alpha,\ \ \alpha\in(0;\pi) \end
Аркфункции отрицательных аргументов \begin arcsin(-\alpha)=-arcsin\alpha,\ \ arccos(-\alpha)=\pi-arccos\alpha\\ arctg(-\alpha)=-arctg\alpha,\ \ arcctg(-\alpha)=\pi-arcctg\alpha \end
Суммы аркфункций \begin arcsin\alpha+arccos\alpha=\frac\pi2,\ \ arctg\alpha+arcctg\alpha=\frac\pi2 \end
п.8. Примеры
Пример 1. Найдите функцию, обратную арктангенсу. Постройте графики арктангенса и найденной функции в одной системе координат.
Для \(y=arctgx\) область определения \(x\in\mathbb\), область значений \(-\frac\pi2\leq y\leq \frac\pi2\).
Обратная функция \(y=tgx\) должна иметь ограниченную область определения \(-\frac\pi2\leq x\leq \frac\pi2\) (главная ветвь) и область значений \(y\in\mathbb\).
Строим графики:
Графики симметричны относительно прямой y=x.
Обратная функция найдена верно.
Пример 2. Решите уравнения:
Пример 3. Вычислите:
a) \(2arccos\left(-\frac12\right)+arctg(-1)+arcsin\frac>=2\cdot\frac<2\pi>-\frac\pi4+\frac\pi4=\frac<4\pi>\)
б) \(arcsin1-arccos\frac<\sqrt>-arctg(\sqrt)=arcsin1-\frac\pi3+\frac\pi3=arcsin1\)
в) \(arctg4+arcsin0-arccos1=arctg4+0-0=arctg4\)
г) \(5-2arccos0+arcsin\frac>+3arccos\frac>=5-2\cdot\frac\pi2+\frac\pi4+3\cdot\frac\pi4=5\)
Пример 4. Постройте графики функций:
\(a)\ y=arccos\left(\frac\right)+arccos\left(-\frac\right)\)
Сумма арккосинусов \(arccosa+arccos(-a)=\pi\), где \(-1\leq a\leq 1\).
Получаем систему для определения ОДЗ: \begin -1\leq \frac\leq 1\Rightarrow 0\leq \frac+1\leq 2\Rightarrow \begin \frac\geq 0\\ \frac\leq 2 \end \Rightarrow \begin \frac\geq 0\\ \frac\leq 0 \end \Rightarrow \begin \frac\geq 0\\ \frac\geq 0 \end \Rightarrow\\ \Rightarrow \left[ \begin \begin x\gt 0\\ x+1\geq 0\\ x-1\geq 0 \end \\ \begin x\lt 0\\ x+1\leq 0\\ x-1\leq 0 \end \end \right. \Rightarrow \left[ \begin \begin x\gt 0\\ x\geq 1 \end \\ \begin x\lt 0\\ x\leq -1 \end \end \right. \Rightarrow x\leq -1\cup x\geq 1 \end Заметим, что используя модуль, тот же результат можно получить значительно быстрей: $$ -1\leq\frac\leq 1\Leftrightarrow |\frac|\leq 1\Leftrightarrow |x|\geq 1 $$ Таким образом, ОДЗ – вся числовая прямая, кроме \(x\notin(-1;1).\) $$ y=arccos\left(\frac\right)+arccos\left(-\frac\right)\Leftrightarrow \begin y=\pi\\ x\notin (-1;1) \end $$ Строим график:
\(б)\ y=arcctg(\sqrt)+arcctg(-\sqrt)\)
Сумма арккотангенсов \(arcctga+arcctg(-a)=\pi\), где \(a\in\mathbb\)
ОДЗ ограничено требованием к подкоренному выражению: \(x\geq 0\)
$$ y=arcctg\left(\sqrt\right)+arcctg\left(-\sqrt\right)\Leftrightarrow \begin y=\pi\\ x\geq 0 \end $$ Строим график:
Пример 5*. Запищите в порядке возрастания:
$$ arctg\left(\frac\pi4\right),\ \ arcsin\left(\frac\pi4\right),\ \ arctg1 $$
Пример 6*. Решите уравнения:
a) \(arccosx=arctgx\)
ОДЗ определяется ограничением для арккосинуса: \(-1\leq x\leq 1\)
Арккосинус ограничен \(0\leq arccosx\leq \pi\), арктангенс \(-\frac\pi2\leq arctgx\lt\frac\pi2\)
Т.к. по условию они равны, ограничение сужается до \(0\leq arctgx\lt \frac\pi2\) и \(0\leq arccos x\lt \frac\pi2\) $$ arccosx=arctgx\Leftrightarrow \begin x=cos(arctgx)\\ -1\leq x\leq 1\\ 0\leq arctgx\lt\frac\pi2\\ 0\leq arccosx\lt\frac\pi2 \end \Leftrightarrow \begin x=cos(arctgx)\\ -1\leq x\leq 1\\ 0\leq x\\ 0\lt x\leq 1 \end \Leftrightarrow \begin x=cos(arctgx)\\ 0\lt x\lt 1 \end $$ Для решения можно воспользоваться готовой формулой для \(cos(arctgx)\).
Выведем её. Пуcть \(arctgx=\varphi\). Тогда \(x=tg\varphi\) и $$ cos(arctgx)=cos\varphi=\sqrt>=\sqrt> $$ Получаем уравнение: $$ x=\sqrt>\Rightarrow x^2=\frac\Rightarrow x^2(1+x^2)=1\Rightarrow x^4+x^2-1=0 $$ $$ D=1+4=5,\ \ x^2=\frac<-1\pm\sqrt<5>> $$ Квадрат числа не может быть отрицательным. Остаётся корень \(x^2=\frac-1>\)
Откуда \(x=\pm\sqrt<\frac-1>>\)
По условию \(0\lt x\lt 1\). Получаем \(x=\sqrt<\frac-1>>\)
Ответ: \(\sqrt<\frac-1>>\)
б) \(arccos^2x+arcsin^2x=\frac<5\pi^2>\)
Используем формулу для суммы: \(arccosx+arcsinx=\frac\pi2\)
Получаем: \begin arccos^2x+\left(\frac\pi2-arccosx\right)^2=\frac<5\pi^2>\\ arccos^2x+\frac<\pi^2>-\pi arccosx+arccos^2x=\frac<5\pi^2>\\ 2arccos^2x-\pi arccosx+\frac<\pi^2>=0\\ D=(-\pi)^2-4\cdot 2\cdot \frac<\pi^2>=\pi^2-\frac89\pi^2=\frac<\pi^2>\\ arccosx=\frac<\pi\pm\frac\pi3>\Rightarrow \left[ \begin arccosx_1=\frac\pi6\\ arccosx_2=\frac\pi3 \end \right. \Rightarrow \left[ \begin x_1=cos\frac\pi6=\frac>\\ x_2=cos\frac\pi3=\frac12 \end \right. \end Ответ: \(\left\<\frac12; \frac>\right\>\)
Читайте также: