Теория игр нейман моргенштерн кратко

Обновлено: 05.07.2024

Описание : Эта книга содержит изложение математической теории игр и различных ее приложений. Теория игр развивалась одним из нас начиная с 1928 г. и теперь впервые публикуется во всей своей полноте. Приложения имеют двоякий характер: с одной стороны, к играм в собственном смысле слова, с другой стороны, к экономическим и социологическим проблемам. Мы надеемся показать, что подход к ним с этого направления является наилучшим. Приложения, которые мы будем развивать применительно к играм, будут служить как для подкрепления самой теории, так и для исследования этих игр. Характер этих взаимных отношений станет ясным по ходу исследования. Наши основные интересы лежат, разумеется, в экономическом и социологическом направлениях. Здесь мы сможем рассмотреть лишь простейшие вопросы. Однако эти вопросы имеют фундаментальный характер.
Кроме того, наша цель состоит прежде всего в том, чтобы показать, что существует строгий подход к вопросам, охватывающим проблемы совпадающих или противоположных интересов, полной или неполной информации, свободных разумных решений или случайных воздействий. К книге приложен список литературы, составленный редактором перевода.

Общее формальное описание стратегических игр
§ 5. Введение
5.1. Перенесение центра внимания с экономики на игры
5.2. Общие принципы классификации и подхода
§ 6. Упрощенное понятие игры
6.1. Объяснение технических терминов
6.2. Элементы игры
6.3. Информация и предварение
6.4. Предварение, транзитивность и сигнализация

§ 7. Полное описание понятия игры
7.1. Переменность характеристик каждого хода
7.2. Общее описание
§ 8. Множества и разбиения
8.1. Желательность теоретико-множественного описания игры
8.2. Множества, их свойства и их графическое представление
8.3. Разбиения, их свойства и их графическое представление
8.4. Логическая интерпретация множеств и разбиений
§9. Теоретико-множественное описание игры
9.1. Разбиения, описывающие игру

9.2. Рассмотрение разбиений и их свойств
§10. Аксиоматическая формулировка
10.1. Аксиомы и их интерпретация
10.2. Логическое обсуждение аксиом
10.3. Общие замечания относительно аксиом
10.4. Графическое представление
§ 11. Стратегии и окончательное упрощение описания игры
11.1. Понятие стратегии и его формализация
11.2. Окончательное упрощение описания игры
11.3. Роль стратегий в упрощенной форме игры
11.4. Смысл ограничения, касающегося нулевой суммы
Глава III

Игры двух лиц с нулевой суммой. Теория
§ 12. Предварительный обзор
12.1. Общие соображения
12.2. Игра с одним игроком

12.3. Случай и вероятность
12.4. Ближайшая цель
§ 13. Исчисление функций
13.1. Основные определения
13.2. Операции max и min
13.3. Вопросы коммутативности
13.4. Смешанный случай. Седловые точки
13.5. Доказательства основных фактов
§ 14. Вполне определенные игры
14.1. Формулировка проблемы
14.2. Минорантная и мажорантная игры
14.3. Рассмотрение вспомогательных игр
14.4. Выводы

14.5. Анализ полной определенности
14.6. Перемена ролей игроков. Симметрия
14.7. Игры, не являющиеся вполне определенными
14.8. Программа детального анализа полной определенности
§15. Игры с полной информацией
15.1.Постановка задачи. Индукция
15.2.Точное условие (основание индукции)
15.3.Точное условие (индуктивный переход)
15.4.Точное исследование индуктивного перехода
15.5.Точное исследование индуктивного перехода (продолжение)
15.6.Результат для случая полной информации
15.7.Применение к шахматам
15.8.Другой подход. Словесные рассуждения
§16. Линейность и выпуклость
16.1. Геометрические основания
16.2. Операции над векторами
16.3. Теорема об опорной гиперплоскости
16.4. Теорема об альтернативах для матриц
§17. Смешанные стратегии. Решение всех игр
17.1. Два элементарных примера
17.2. Обобщение изложенной точки зрения
17.3. Оправдание процедуры применительно к отдельной партии .
17.4. Минорантная и мажорантная игры (для смешанных стратегий)
17.5. Полная определенность в общем случае
17.6. Доказательство основной теоремы

17.7. Сравнение подходов для чистых и для смешанных стратегий
17.8. Исследование полной определенности в общем случае
17.9. Дальнейшие свойства оптимальных стратегий
17.10. Ошибки и их следствия. Перманентная оптимальность
17.11. Перемена ролей игроков. Симметрия
Глава IV

Игры трех лиц с нулевой суммой
§ 20. Предварительный обзор
20.1. Общие соображения
20.2. Коалиции
§ 21. Простая мажоритарная игра трех лиц

§ 32. Нахождение всех решений существенной игры трех лиц с нулевой суммой
32.1. Математическая формулировка задачи. Графический метод
32.2. Нахождение всех решений
§ 33. Выводы

Игры четырех лиц с нулевой суммой
§ 34. Предварительный обзор
34.1. Общая точка.зрения
34.2. Формализация существенной игры четырех лиц с нулевой суммой
34.3. Перестановки игроков

36.3. Другие участки главной диагонали
§ 37. Центр и его окрестности
37.1. Первоначальная ориентировка в отношении условий около центра
37.2. Две альтернативы и роль симметрии
37.3. Первая альтернатива в центре
37.4. Вторая альтернатива в центре
37.5. Сравнение двух центральных решений
37.6. Несимметричные центральные решения
§38. Семейство решений для окрестности центра
38.1. Преобразование решения, принадлежащего первой альтернативе в центре

Теория игр и экономическое поведение
§1. Постановка экономической проблемы
§2. Общее формальное описание стратегических игр
§3. Игры двух лиц с нулевой суммой. Теория
§4. Игры двух лиц с нулевой суммой. Примеры
§5. Игры трех лиц с нулевой суммой

§6. Формулировка общей теории. Игры п лиц с нулевой суммой
§7. Игры четырех лиц с нулевой суммой
§8. Некоторые замечания, касающиеся случая п >- 5 участников
§9. Композиция и разложение игр
§10. Простые игры
§11. Общие игры с нулевой суммой
§12. Обобщение понятий доминирования и решения
Теория игр — раздел математики
§1. Матричные игры
§2. Бесконечные антагонистические игры
§3. Кооперативная теория
§4. Бескоалиционные и коалиционные игры
§5. Динамические игры
Библиография

Содержание статьи:

Что такое теория игр простыми словами

Теория игр — это теоретическая основа для понимания социальных ситуаций между конкурирующими игроками. В некотором смысле теория игр — это наука о стратегии или, по крайней мере, об оптимальном процессе принятия решений независимыми и конкурирующими субъектами в стратегической обстановке.

Ключевыми пионерами теории игр были математик Джон фон Нейман и экономист Оскар Моргенштерн в 1940-х годах. Многие считают математика Джона Нэша первым значительным продолжением работ фон Неймана и Моргенштерна.

Предполагается, что игроки в игре рациональны и будут стремиться максимизировать свои выигрыши в игре.

Основы и суть теории игр

В центре внимания теории игр находится игра, которая служит моделью интерактивной ситуации среди рациональных игроков. Ключ к теории игр состоит в том, что выигрыш одного игрока зависит от стратегии, реализованной другим игроком. Игра определяет личности, предпочтения и доступные стратегии игроков, а также то, как эти стратегии влияют на результат. В зависимости от модели могут потребоваться различные другие требования или предположения.

Теория игр имеет широкий спектр приложений, включая психологию, эволюционную биологию, войну, политику, экономику и бизнес. Несмотря на многочисленные достижения, теория игр по-прежнему остается молодой и развивающейся наукой.

Согласно теории игр, действия и выбор всех участников влияют на результат каждого.

Терминология теории игр

Каждый раз, когда у нас возникает ситуация с двумя или более игроками, которая связана с известными выплатами или поддающимися количественной оценке последствиями, мы можем использовать теорию игр, чтобы определить наиболее вероятные результаты. Начнем с определения нескольких терминов, обычно используемых при изучении теории игр:

Равновесие Нэша

Однако это обычно происходит в играх с более сложными элементами, чем два выбора двух игроков. В одновременных играх, которые повторяются во времени, одно из этих множественных равновесий достигается после некоторых проб и ошибок. Этот сценарий различных вариантов выбора сверхурочно до достижения равновесия наиболее часто разыгрывается в деловом мире, когда две фирмы определяют цены на взаимозаменяемые продукты, такие как авиабилеты или безалкогольные напитки.

Влияние на экономику и бизнес

В бизнесе теория игр полезна для моделирования конкурирующего поведения экономических агентов. У предприятий часто есть несколько стратегических вариантов, которые влияют на их способность реализовать экономическую выгоду. Например, предприятия могут столкнуться с дилеммами, например: отказаться от существующих продуктов или разработать новые, снизить цены по сравнению с конкурентами или использовать новые маркетинговые стратегии. Экономисты часто используют теорию игр, чтобы понять поведение олигополистических фирм. Это помогает предсказать вероятные результаты, когда фирмы будут проявлять определенное поведение, например, сговор.

Двадцать теоретиков игр были удостоены Нобелевской премии по экономическим наукам за их вклад в эту дисциплину.

Типы теории игр

Хотя существует много типов теорий игр (например, симметричные / асимметричные, одновременные / последовательные и др.), наиболее распространенными являются теории кооперативных и некооперативных игр. Теория кооперативных игр изучает, как взаимодействуют коалиции или кооперативные группы, когда известны только выигрыши. Это игра между коалициями игроков, а не между отдельными людьми, и в ней задается вопрос, как формируются группы и как они распределяют выигрыш между игроками.

Примеры теории игр

Дилемма заключенного

Дилемма Заключенного является наиболее известным примером теории игр. Рассмотрим пример двух преступников, арестованных за преступление. У прокуратуры нет веских доказательств, чтобы их осудить. Однако, чтобы получить признание, чиновники выводят заключенных из одиночных камер и допросят каждого в отдельных камерах. Ни у одного из заключенных нет средств общаться друг с другом. Официальные лица представляют четыре сделки, часто отображаемые в виде квадрата 2 x 2.

Если оба признаются, каждый из них получит пятилетний тюремный срок.
Если заключенный 1 признается, а заключенный 2 — нет, то заключенный 1 получит три года, а заключенный 2 — девять лет.
Если заключенный 2 признается, а заключенный 1 — нет, то заключенный 1 получит 10 лет, а заключенный 2 — два года.
Если ни один из них не признается, каждый отсидит по два года тюрьмы.

Самая выгодная стратегия — не признаться. Однако ни один из них не осведомлен о стратегии другого, и без уверенности в том, что один из них не признается, оба, скорее всего, признаются и будут приговорены к пяти годам тюремного заключения. Равновесие Нэша предполагает, что в дилемме заключенного оба игрока сделают ход, который лучше для них по отдельности, но хуже для всех вместе.

Игра Диктатор и Ультиматум

Это простая игра, в которой игрок A должен решить, как разделить денежный приз с игроком B, который не участвует в принятии решения с игроком A. Хотя сама по себе эта стратегия не является теорией игр, она дает некоторые интересные сведения о поведении людей. Эксперименты показывают, что около 50% держат все деньги при себе, 5% делят их поровну, а остальные 45% дают другому участнику меньшую долю.

Игра в диктатора тесно связана с игрой в ультиматум, в которой Игроку А дается определенная сумма денег, часть которой должна быть отдана Игроку Б, который может принять или отклонить данную сумму. Загвоздка в том, что если второй игрок отклоняет предложенную сумму, ни A, ни B ничего не получают. Игры Диктатор и Ультиматум преподают важные уроки для таких вопросов, как благотворительность и филантропия.

Дилемма волонтера

В дилемме волонтера кто-то должен взять на себя рутинную работу или работу для общего блага. Наихудший возможный исход будет реализован, если никто не станет добровольцем. Например, рассмотрим компанию, в которой широко распространено мошенничество в области бухгалтерского учета, хотя высшее руководство об этом не подозревает. Некоторые младшие сотрудники бухгалтерии знают о мошенничестве, но не решаются сообщить об этом высшему руководству, потому что это приведет к увольнению сотрудников, причастных к мошенничеству, и, скорее всего, к судебному преследованию.

Признание разоблачителем также может иметь определенные последствия в будущем. Но если никто не станет добровольцем, крупномасштабное мошенничество может привести к банкротству компании и потере всех рабочих мест.

Игра Сороконожка

Игра с сороконожкой завершается, как только игрок берет тайник, причем этот игрок получает большую часть, а другой игрок — меньшую часть. В игре заранее определено общее количество раундов, которое заранее известно каждому игроку.

Ограничения теории игр

Самая большая проблема теории игр состоит в том, что, как и большинство других экономических моделей, она основана на предположении, что люди являются рациональными субъектами, корыстолюбивы и стремятся максимизировать полезность. Конечно, мы социальные существа, которые действительно сотрудничают и заботятся о благополучии других, часто за свой счет. Теория игр не может объяснить тот факт, что в некоторых ситуациях мы можем попасть в равновесие по Нэшу, а в других случаях — нет, в зависимости от социального контекста и игроков.

Резюме

Теоретически эти игры можно отнести к категории подобных дилемм заключенного, игре диктатора, ястребу и голубю, Баху или Стравинскому, а также нескольким другим вариациям.

Каковы предположения об этих играх?

Как и многие экономические модели, теория игр также содержит набор строгих предположений, которые должны выполняться для того, чтобы теория делала хорошие прогнозы на практике. Во-первых, все игроки являются рациональными субъектами, максимизирующими полезность, которые имеют полную информацию об игре, правилах и последствиях. Игрокам не разрешается общаться или взаимодействовать друг с другом. Возможные исходы не только известны заранее, но и не могут быть изменены. Теоретически количество игроков в игре может быть бесконечным, но большинство игр будет рассматриваться в контексте только двух игроков.

Что такое равновесие по Нэшу?

Равновесие по Нэшу — это важная концепция, относящаяся к стабильному состоянию в игре, в котором ни один игрок не может получить преимущество путем одностороннего изменения стратегии, при условии, что другие участники также не меняют свои стратегии. Равновесие Нэша обеспечивает концепцию решения в некооперативной (состязательной) игре. Оно названо в честь Джона Нэша, получившего Нобелевскую премию в 1994 году за свою работу.

Кто придумал теорию игр?

Теория игр в значительной степени приписывается работам математика Джона фон Неймана и экономиста Оскара Моргенштерна в 1940-х годах и широко развивалась многими другими исследователями и учеными в 1950-х годах. По сей день теория игр остается областью активных исследований и прикладной науки.

Теория игр — это теоретическая основа для понимания социальных ситуаций между конкурирующими игроками и обеспечения оптимального принятия решений независимыми и конкурирующими субъектами в стратегической обстановке.
Используя теорию игр, можно разложить реальные сценарии для таких ситуаций, как ценовая конкуренция и выпуск продукции (и многое другое), и спрогнозировать их результаты.
Сценарии включают дилемму заключенного и диктаторскую игру среди многих других.

А на этом сегодня все про Теорию Игр. Делитесь статьей в социальных сетях и мессенджерах и добавляйте сайт в закладки. Успехов и до новых встреч на страницах проекта Тюлягин!

Теория игр — это раздел математической экономики, изучающий решение конфликтов между игроками и оптимальность их стратегий. Конфликт может относиться к разным областям человеческого интереса: чаще всего это экономика, социология, политология, реже биология, кибернетика и даже военное дело. Конфликтом является любая ситуация, в которой затронуты интересу двух и более участников, традиционно называемых игроками. Для каждого игрока существует определенный набор стратегий, которые он может применить. Пересекаясь, стратегии нескольких игроков создают определенную ситуацию, в которой каждый игрок получает определенный результат, называемый выигрышем, положительным или отрицательным. При выборе стратегии важно учитывать не только получение максимального профита для себя, но так же возможные шаги противника, и их влияние на ситуацию в целом.

Краткая история развития.

Как это работает

Типы игр

Кооперативная\некооперативная игра

Кооперативной игрой является конфликт, в котором игроки могут общаться между собой и объединяться в группы для достижения наилучшего результата. Примером кооперативной игры можно считать карточную игру Бридж, где очки каждого игрока считаются индивидуально, но выигрывает пара, набравшая наибольшую сумму. Из двух типов игр, некооперативные описывают ситуации в мельчайших деталях и выдают более точные результаты. Кооперативные рассматривают процесс игры в целом. Не смотря на то, что эти два вида противоположны друг другу, вполне возможно объединение стратегий, которое может принести больше пользы, чем следование какой-либо одной.

С нулевой суммой и с ненулевой суммой

Игрой с нулевой суммой называют игру, в которой выигрыш одного игрока равняется проигрышу другого. Например банальный спор: если вы выиграли сумму N, то кто-то эту же сумму N проиграл. В игре же с ненулевой суммой может изменяться общая цена игры, таким образом принося выгоду одному игроку, не отнимаю ее цену у другого. В качестве примера здесь отлично подойдут шахматы: превращая пешку в ферзя игрок А увеличивает общую сумму своих фигур, при этом не отнимая ничего у игрока Б. В играх с ненулевой суммой проигрыш одного из игроков не является обязательным условием, хотя такой исход и не исключается.

Параллельные и последовательные

Параллельной является игра, в которой игроки делают ходы одновременно, либо ход одного игрока неизвестен другому, пока не завершится общий цикл. В последовательной игре каждый игрок владеет информацией о предидущем ходе своего оппонента до того, как сделать свой выбор. И совсем не обязательно информации быть полной, что подводит на с кледующему типу.

С полной или неполной информацией

Эти типы являются подвидом последовательных игр, и названия их говорят сами за себя.

Метаигры

В любом конфликте типы объединяются, определяя таким образом правила игры, будь это кооперативная последовательная игра с нулевой суммой, или метаигра с неполной информацией.

Проблемы практического применения

Безусловно, следует указать и на наличие определенных границ применения аналитического инструментария теории игр. В следующих случаях он может быть использован лишь при условии получения дополнительной информации.

Во-первых, это тот случай, когда у игроков сложились разные представления об игре, в которой они участвуют, или когда они недостаточно информированы о возможностях друг друга. Например, может иметь место неясная информация о платежах конкурента (структуре издержек). Если неполнотой характеризуется не слишком сложная информация, то можно применять опыт подобных случаев с учетом определенных различий.

Во-вторых, теорию игр трудно применять при множестве ситуаций равновесия. Эта проблема может возникнуть даже в ходе простых игр с одновременным выбором стратегических решений.

В-третьих, если ситуация принятия стратегических решений очень сложна, то игроки часто не могут выбрать лучшие для себя варианты. Например, на рынок в разные сроки могут вступить несколько предприятий или реакция уже действующих там предприятий может оказаться более сложной, нежели быть агрессивной или дружественной.

Экспериментально доказано, что при расширении игры до десяти и более этапов игроки уже не в состоянии пользоваться соответствующими алгоритмами и продолжать игру с равновесными стратегиями.

К сожалению, ситуации реального мира зачастую очень сложны и настолько быстро изменяются, что невозможно точно спрогнозировать, как отреагируют конкуренты на изменение тактики. Тем не менее, теория игр полезна, когда требуется определить наиболее важные и требующие учета факторы в ситуации принятия решений в условиях конкурентной борьбы. Эта информация важна, поскольку позволяет учесть дополнительные переменные или факторы, имеющие возможность повлиять на ситуацию, и тем самым повысить эффективность решения.

Заключение

В заключение следует особо подчеркнуть, что теория игр является очень сложной областью знания. При обращении к ней надо соблюдать известную осторожность и четко знать границы применения. Слишком простые толкования таят в себе скрытую опасность. Анализ и консультации на основе теории игр из-за их сложности рекомендуются лишь для особо важных проблемных областей. Опыт показывает, что использование соответствующего инструментария предпочтительно при принятии однократных, принципиально важных плановых стратегических решений, в том числе при подготовке крупных кооперационных договоров.

Если тема окажется интересной для сообщества, следующих статьях я попытаюсь подробнее раскрыть типы игр и их стратегии.

1 Теория игр Теория игр

3 Методологические принципы теории игр 1. Анализ ситуаций, в которых поведение субъектов взаимообусловлено Решение каждого оказывает влияние на решение других субъектов Анализ взаимодействия небольшого числа субъектов

4 Методологические принципы теории игр 2. Теория игр не требует полной рациональности индивидов, в ней используются разные модели: оппортунистическое поведение, ограниченная рациональность

5 Методологические принципы теории игр 3. Теория игр не предполагает существование единственного и Парето-оптимального равновесия

6 Методологические принципы теории игр 4. Теория игр основана на стремлении каждого участника к максимизации выигрыша

7 Теории кооперативных и некооперативных игр Кооперативные игры изучают поведение группы игроков, максимизирующих общий выигрыш Кооперативные игры изучают поведение группы игроков, максимизирующих общий выигрыш Теория лидировала до начала 70-х гг. Теория лидировала до начала 70-х гг.

8 Теория некооперативных игр рассматривает поведение отдельных участников, которые максимизируют индивидуальные выигрыши

9 Равновесие но Нэшу - ситуация, в которой ни один из игроков не может увеличить свой выигрыш в одностороннем порядке, меняя свой план действий - ситуация, в которой ни один из игроков не может увеличить свой выигрыш в одностороннем порядке, меняя свой план действий

10 Джон Нэш Нобелевский лауреат 1994 года

13 Prof. John Nash und Prof. Reinhard Selten zu Gast an der Universität zu Köln Здравствуйте, Ольга Владимировна! Я думала, беспокоить Вас или нет, но решила, что Вам будет интересно: В четверг я видела Джона Нэша и Рейнхарда Зельтена (по-настоящему!) Они приезжали в Кельн, чтобы рассказать о новостях в теории игр и экспериментальной экономике. Нэш отказался отвечать на вопросы про "Игры разума", а Зельтен сказал, что бихевиоризм умер (что, конечно, жаль). С уважением,Аня Здравствуйте, Ольга Владимировна! Я думала, беспокоить Вас или нет, но решила, что Вам будет интересно: В четверг я видела Джона Нэша и Рейнхарда Зельтена (по-настоящему!) Они приезжали в Кельн, чтобы рассказать о новостях в теории игр и экспериментальной экономике. Нэш отказался отвечать на вопросы про "Игры разума", а Зельтен сказал, что бихевиоризм умер (что, конечно, жаль). С уважением,Аня

15 Professor Dr. John Nash Universität Princeton

16 Die Spieltheorie ist die Basis für die Analyse von Konflikten und Kooperation. Sie wird nicht nur in allen Bereichen der Wirtschaftswissenschaften angewendet, sondern auch in vielen Natur- und Geisteswissenschaften.

18 Дилемма Заключенных (prisoners dilemma) случай в теории игр, когда каждому из двух заключенных, против которых имеются доказательства преступления, не достаточные для обвинения, и которые не могут общаться друг с другом, обещают облегчить наказание в случае их признания случай в теории игр, когда каждому из двух заключенных, против которых имеются доказательства преступления, не достаточные для обвинения, и которые не могут общаться друг с другом, обещают облегчить наказание в случае их признания наказание Д.Дэвид, Дж. Джери Большой толковый социологический словарь г.

19 Сюжет игры Оба сознаются - получают по 5 лет заключения Оба сознаются - получают по 5 лет заключения Один сознается и всю вину перекладывает на другого, другой не сознается - соответственно Один сознается и всю вину перекладывает на другого, другой не сознается - соответственно 1 год и 10 лет соответственно Оба не сознаются – по 2 года Оба не сознаются – по 2 года

20 Множество игроков J= Множество игроков J= Множество допустимых стратегий S 1 =, S 2 = Множество допустимых стратегий S 1 =, S 2 = Матрица выигрышей Матрица выигрышей Стратегическая форма игры

21 Матрица выигрышей Заключенный 2 Заключенный 1 С ознаться Н е сознаться -2; -2 -5; ; -1 -1; -10

22 Если сознаются оба, они получат умеренные приговоры, а если никто, то достаточно минимальные. Это типичный случай ненулевой игры, ибо в нем отсутствует отдельный "рациональный" результат. Если сознаются оба, они получат умеренные приговоры, а если никто, то достаточно минимальные. Это типичный случай ненулевой игры, ибо в нем отсутствует отдельный "рациональный" результат.

24 Условие нового равновесия Согласованность действий Согласованность действий Мешает взаимное недоверие Мешает взаимное недоверие Для выработки общей стратегии необходим способ принуждения Для выработки общей стратегии необходим способ принуждения

Теория игр — это область математического знания, изучающая принятие решений среди соревнующихся игроков. Она была впервые сформулирована математиком Джоном фон Нейманом и экономистом Оскаром Моргенштерном в 1940-х годах. Она была названа теорией игр, так как попыталась объяснить стратегии двух или более игроков в данной ситуации. В теории игр взаимодействие между двумя или более игроками обычно определяется в рамках игры с особым набором правил. Это относится к играм с нулевой суммой, что означает выигрыш одного игрока и проигрыш всех остальных. С помощью явления игры можно смоделировать многие явления в психологии, эволюционной биологии, войнах, политике, экономике, бизнесе, информатике. Таким образом, теория игр имеет очень широкую сферу применения. Она подразумевает 4 главных элемента:

Игрок: стратегическое лицо, принимающее решения.
Стратегия: правила, применимые к конкретной игре.
Исход: результат после принятия решения.
Равновесие: та точка, когда оба игрока приняли решения, и не могут сделать другой ход.

В теории игр есть две основные категории: кооперативная и некооперативная

Некооперативная

Некооперативная игра — это соревнование среди отдельных игроков, в которой есть несколько победителей и несколько проигравших. Самый известный пример некооперативной теории — это дилемма заключённого.

Имеется двое заключенных, которых зовут Джон и Алекс. Их арестовали и посадили в 2 отдельные комнаты так, что они не могут друг с другом общаться. Возможные исходы:

Если Джон и Алекс свалят вину друг на друга, то каждому присудят по два года тюрьмы
Если Джон обвинит Алекса, а Алекс сознается, то Джона освободят, а Алексу присудят три года тюрьмы
Если сознается Джон, а Алекс обвинит Джона, то Джона приговорят к трем годам лишения свободы, а Алекса освободят
Если и Алекс, и Джон сознаются, то обоим присудят по одному году заключения

В дилемме заключенного Алекс и Джон выбирают стратегию: обвинить или сознаться. В общей сложности эти варианты дают четыре комбинации, каждая из которых соответствует исходу. Таким образом, мы можем проиллюстрировать матрицу исходов (также называемых платежами) для каждой комбинации стратегий:

Нужно подчеркнуть, что у Джона и Алекса нет других инструментов, чтобы вознаградить или наказать партнера, кроме полученных ими тюремных сроков. Также принятые ими решения не отразятся на их репутации в будущем. Так как обвинить партнера — стратегия, которая обеспечит больший платеж, чем признание, все более или менее рациональные и заинтересованные в своей выгоде заключенные выберут вариант “обвинить партнера”, что означает единственный возможных для них обоих вариант: обвинить друг друга. Рассуждения основаны на дилемме:

Алекс признается или обвинит Джона.
Если Алекс признается, Джон должен обвинить Алекса, потому что свобода лучше одного года заключения.
Если Алекс обвинит Джона, то Джону тоже целесообразно обвинить Алекса, потому что срок в два года меньше, чем в три. Таким образом, Джону тоже стоит обвинить Алекса. Параллельные рассуждения говорят о том, что Алексу тоже целесообразно обвинить Джона.

Так как стратегия “обвинить” всегда дает лучший результат, чем “сознаться”, независимо от выбора другого игрока, она является доминирующей стратегией. Единственное равновесие Нэша (набор стратегий, для которых ни один из игроков не может улучшить свой исход, сменив стратегию) — это взаимное обвинение. Дилемма состоит в том, что хотя взаимное признание дает лучший результат, чем взаимное обвинение, оно не является рациональным результатом, так как выбор признания с точки зрения личной выгоды нерационален. Это некооперативная игра, так как все игроки выиграют, если нанесут другому удар в спину. Дилемма заключенного применима ко многим проблемам реального мира. Когда вы соревнуетесь с другими, наилучший выход — выбрать действие, наиболее выгодное для вас, вне зависимости от того, что выберут другие.

Кооперативная

В кооперативной теории игр каждый игрок выражает согласие работать вместе над общей целью. Принято называть группу коалицией, так как ее участники работают совместно в кооперации. Задачей кооперативной игры является определить то, какой вклад вносит каждый игрок и какую он должен получить от этого отдачу. Говоря простым языком, теория пытается определить, насколько честными являются условия. Если некооперативная игра определяется равновесием Нэша, то кооперативную можно описать с помощью вектора Шепли, который делит прибыль и затраты между игроками, основываясь на вкладе, который они внесли в коалицию. Это работает путем удовлетворения следующих аксиом:

Маржевой вклад. Вклад каждого игрока можно определить, убрав его из коалиции. Предположим, целью коалиции является произвести столько напитков, сколько возможно. Если из коалиции убрать Джона, то коалиция произведет на 100 напитков меньше, чем в день, когда Джон в ней состоял. Таким образом, маржевой вклад Джона равен 100.

Взаимозаменяемые игроки имеют равную ценность. Если 2 игрока производят равное количество вещей для коалиции, их вклад считается равным. Таким образом, их вознаграждение за труд также должно быть равным. Если 2 человека заказывают одинаковую еду в ресторане, у них должен быть одинаковый счет.

У фиктивного игрока нулевая ценность. Если игрок в коалиции не вносит никакого вклада, его вознаграждение также должно быть равно нулю. Если вы посетите ресторан с другом и ничего не закажете, вы не будете оплачивать никаких счетов за то, что даже не попробовали еду.

В игре, состоящей из множества частей, затраты и платежи должны быть распределены по этим частям. Если в понедельник вы производили минеральную воду, а в пятницу — красное вино, то ваш заработок за пятницу должен быть выше, чем за понедельник. Говоря простым языком, нечестно каждый раз использовать одно и то же решение. Таким образом, коалиции следует регулярно пересматривать суммы, чтобы вносить изменения.

Если все вышеизложенные условия выполнены, то вектор Шепли для игрока i в коалиционной игре можно вычислить по следующей формуле:

N — суммарное число участников, и сумма распространяется на все подмножества S из N, за исключением игрока i
S — это подмножество N
v(S) — это ценность для коалиции S

Таким образом, это можно интерпретировать как:

Чтобы упростить, представьте, что вы работаете один, чтобы произвести 10 напитков в час, пока ваш друг производит 20 напитков в час. Затем вы решаете работать совместно. Разделив задачи, вы работаете над упаковкой, пока ваш друг трудится на кухне. Оказывается, что вместе вы можете произвести 40 напитков в час. Скажем, один напиток стоит 1 рубль. Так как же разделить прибыль?

Вы производите 10 напитков в час, и, если вычесть это количество из общей суммы, то получится 40–10 = 30. Вот, что произойдет, если вы исключите из коалиции вашего друга. Таким образом, маржевой вклад вашего друга равен 30. Ваш друг производит 20 напитков в час, вычтем это количество из общей суммы: 40–20 = 20. Это ваш маржевой вклад. Если вы можете сделать 10 напитков в час, и ваш маржевой вклад равен 20, то, в соответствии с вектором Шепли, нужно найти среднее между этими величинами. Таким образом, ваше вознаграждение должно быть (20+10)/2 = 15. Ваш друг может сделать 20 напитков в час, и его маржевой вклад равен 30. Его вознаграждение должно быть (20+30)/2 = 25. Таким образом, из 40 рублей вам полагается 15 рублей, а вашему другу — 25.

Заключение

В индивидуальной гонке необходимо быть смекалистым, чтобы найти наиболее выгодное для себя решение, тогда как в группе людей, работающих вместе над одной общей целью, приоритетом должна быть честность.

Читайте также: