Теория движения луны кратко

Обновлено: 06.07.2024

Глава IV. Век девятнадцатый: Небесная механика идет на приступ
Лагранж и Лаплас
Последователи Лапласа
Спор о вековом ускорении
Теория и таблицы Петера Ганзена
Аналитический метод Шарля Делоне
Теория Хилла — Брауна и ее уточнения
Исследования по теории Луцы в России

Глава V. Век двадцатый. Теорию строят. ЭВМ
Система астрономических постоянных
Новые идеи и новые методы От письменного стола — к пульту ЭВМ
Преобразования Ли
Состязание машинных теорий
Светолокация Луны
Заключение
Список литературы
Именной указатель

И славен буду я,
Доколь в подлундом мире
Жив будет хоть один пиит.
Пушкин

Глава I
ОТ ДРЕВНИХ ВАВИЛОНЯН ДО ПТОЛЕМЕЯ

Луна – это космический объект, который может наблюдать на небе каждый житель Земли. Она считается единственным естественным спутником Земного шара. Как и Солнце, Луна определяет климатические особенности нашей планеты. На движении спутника вокруг Земли основан лунный календарь, использовать который стали еще в древние времена.

План урока:

Сидерический и синодический месяцы

Период, за который Луна вращается вокруг Земного шара относительно неподвижных звезд, называется сидерическим месяцем. Его продолжительность составляет 27.32 суток. За одни сутки небесное тело смещается на 13,2 0 . Луна, Солнце по эклиптике движутся в одну и ту же сторону. За сидерический месяц Солнце переместится по эклиптике приблизительно на 27 0 , а Луне потребуется еще 2.21 суток, чтобы возвратиться в исходное положение по отношению к Солнцу. Период, за который Луна вращается вокруг Земли относительно Светила, принято называть в астрономии синодическим месяцем. В отличие от сидерического, длительность синодического месяца немного больше и составляет 29,53 суток.

Движение Луны по небесной сфере

Также будет интересно знать, что наблюдатели видят с поверхности Земли где-то 55%от всей площади Луны. Причиной этому является эллиптическая форма орбиты и небольшое наклонение оси вращения Луны по отношению к орбитальной плоскости.

Смена лунных фаз

Наблюдая за Луной, человек замечает, как ночное светило на протяжении определенного времени меняет свой внешний вид. Это явление называется сменой лунных фаз. С астрономической точки зрения лунная фаза - освещенная Солнцем часть Луны, которую человек может наблюдать с поверхности Земли в определенный момент. Луна сама по себе не светится. Ее свет представляет собой отражение солнечного света. От того как расположены в определенный момент Солнце, Земля и Луна по отношению друг к другу и будет зависеть внешний вид природного спутника. Традиционно выделяют четыре фазы Луны:

Новолуние – лунный диск движется между Солнцем и Земным шаром. В этот период он обращен к планете стороной, на которую не попадают солнечные лучи. Поэтому его не видно на небосводе.
Первая четверть – наблюдается лишь ½ часть диска, который освещен. В Северном полушарии это будет правая сторона Луны.
Полнолуние – в это время вся сторона Луны, освещенная Солнцем, направлена к Земле, и наблюдатель видит полный диск.
Последняя четверть – снова видна только ½ часть освещенного диска, только теперь это будет его левая сторон.

В течение так называемого синодического месяца происходит смена лунных фаз.Он имеет строгие временные рамки и составляет 29.53 суток. Период фаз включает время, за которое происходит смена всех лунных фаз. Каждая основная фаза длится около семи суток, это позволяет определять возраст Луны:

0 или 30-ый день – лунный диск не видно;
7 дней – первая четверть, наблюдать за спутником лучше всего вечером;
15 дней – полнолуние, лунный диск видно на протяжении всей ночи;
22 дня – последняя четверть, наблюдать за Луной лучше всего ближе к утру.

Со сменой возраста Луна меняет свое месторасположение на небе. Зная некоторые особенности, человек с легкостью может определить стороны света и ориентироваться на местности без дополнительных приборов.

В первую четверть около 19:00 Луна будет на южной стороне, а к часу ночи она переместиться на запад. Во время полнолуния в 19:00 она появится на востоке, к часу ночи достигнет южного направления, в 7 часов утра окажется на западе. В последнюю четверть в час ночи Луну можно увидеть на востоке, а уже в 7 часов утра она будет указывать на южное направление. Зная хотя бы одну сторону света, всегда можно определить остальные.

Солнечное затмение

Наблюдать солнечные затмения человечество может только во время новолуния, то есть лунный диск должен расположиться между Солнцем и планетой Земля.

Известно, что Земной шар за сутки совершает один оборот вокруг оси и параллельно движется вокруг Солнца. Чтобы сделать полный круг по орбите вокруг Светила необходим 1 год (примерно 365 суток). Луна в это время также не стоит на месте, она движется вокруг планеты, для полного оборота ей необходимо 29.5 суток.

Солнце от Земли отдалено примерно на 150 000 000 км, Луна – на 384 000 км. Каждому известно, чем ближе расположен объект, тем большим он будет казаться. Если сравнивать Луну и Солнце, то спутник будет ближе к Земному шару в 400 раз. Кроме этого солнечный диаметр больше лунного также в 400 раз. Земной спутник способен собой целиком закрывать Солнце, потому что видимые размеры этих двух космических объектов практически не отличаются. Ученые-астрономы выделяют разные виды солнечного затмения: полное, частичное, кольцевое.

В связи с тем, что небесные тела вращаются по эллиптическим орбитам расстояние от Земного шара до Светила и Луны постоянно меняется. Соответственно видимые размеры объектов также будут меняться. Когда происходит максимальное отдаление земного спутника от планеты, он не может собой закрыть Солнце целиком. Данное явление получило название кольцеобразное (кольцевое) солнечное затмение.

За один год Луна 12 раз проходит фазу новолуния. Исходя из этого, затмения Солнца должны были бы повторяться каждый месяц. Но фактически такого не бывает. Если бы небесные тела перемещались в одной плоскости, то земной спутник во все новолуния находился бы на прямой между Землей и Солнцем. И тогда бы затмения люди видели регулярно. В Солнечной системе вращение Земного шара и Луны происходит в разных плоскостях, которые не совпадают между собой. В большинстве случаев в новолуние земной спутник находится либо выше, либо ниже Светила.

Видимый путь перемещения диска Луны по небосводу отличается от солнечного.В небесном пространстве существует две точки, в которых происходит пересечение лунной орбиты с эклиптикой. Это узлы лунной орбиты (южный и северный). В них пути небесных тел максимально приближаются друг к другу. Следовательно, если вблизи узлов Луна вступит в фазу новолуния, то земляне станут свидетелями затмения.

Если Светило и земной спутник окажутся практически в точке узла, то произойдет полное или кольцеобразное солнечное затмение. Если же небесные тела будут немного отдалены от этих точек, то наблюдатель увидит частное (частичное) солнечное затмение. Звезда всегда начинает закрываться с западной (правой) стороны, так как земной спутник движется по небосводу с запада на восток.

Лунное затмение

Это природное явление напрямую зависит от того, как земной спутник (Луна) движется вокруг планеты. Именно особенности этого движения приводят к полным или частичным лунным затмениям.

Увидеть их можно, когда ночное светило находится в фазе полнолуния. А система Луна-Земля-Солнце выстаивается водну линию. При этом планета находится посредине, а слева и справа размещаются Солнце и Луна.

Попадая в тень Земного шара, Луна полностью не исчезает. Ее всегда слабо, но видно. Лучи Солнца, которые проходят сквозь атмосферу Земли, преломляются, и проникают внутрь земной тени, а затем попадают на Луну. В атмосфере красные лучи спектра рассеиваются меньше всего. Следовательно, в момент затмения земной спутник может приобрести бурый или красноватый оттенок.

В большинстве случаев наблюдатель видит не полное, а частичное (полутеневое) затмение Луны. Неполное затмение лунного диска происходит вследствие того, что ночное светило попадает в тень Земли не полностью, а частично. Наблюдать такое явление можно на всем полушарии планеты, которое в этот момент обращено к Солнцу.

Так как небесные тела движутся в разных плоскостях и в одну линию выстраиваются только в определенные моменты, лунные, как и солнечные затмения происходят не каждый месяц.

Что такое сарос

За один сарос, как правило, происходит 43 солнечных затмений:

15 частных;
15 кольцеобразных;
13 полных.

Лунных затмений бывает 28:

Ежегодно в среднем человечество может наблюдать по 4 затмения. Чаще всего лунное и солнечное совпадают друг с другом. Если во время новолуния было солнечное затмение, то через 2 недели (в полнолуние), возможно, будет и лунное.

Время и календарь

Жизнь каждого современного человека в той или иной степени связана со временем и регулируется постоянной сменой дня и ночи, лета, осени, зимы и весны. Считать время научились еще в древние времена. А с развитием человечества методы исчисления только совершенствовались.

Звездное и солнечное время

В современном мире человек живет по солнечному времени. Единицей его измерения принято считать солнечный сутки, в которых 24 часа. Именно столько времени необходимо Земному шару для одного полного оборота вокруг собственной оси. Точкой отсчета считается Солнце. Еще из курса географии известно, что планета и вокруг оси вращается, и вокруг Светила движется. За то время, как Земной шар совершит один полный оборот, он пройдет определенное расстояние по своей орбите. Следовательно, происходит его смещение относительно Солнца. Также стоит учитывать, что планета движется не по круглой орбите, а по эллиптической. Как результат, солнечные сутки – это величина не постоянная, в течение года она то уменьшается, то увеличивается. Поэтому 24 часа – это среднее значение, которое принято использовать в повседневной жизни.

Определение звездного времени происходит относительно неподвижных звезд, а не Солнца. Продолжительность звездных суток составляет 23 часа 56 минут 4.1 секунды.

Звездный и тропический год

Период, за который Земной шар, проходит полный круг вокруг Солнца по отношению к звездам, называется звездный, либо же сидерический год Земли. Он составляет 365 дней 6 часов 9 минут. За это время на Земле меняются времена года (сезоны). Вот только полный период смены сезонов никак не совпадают со временем обращения Земли вокруг Светила.

Период смены времен года принято называть тропическим годом. Длится он 365 дней 5 часов 51 минуту. Измеряют его от одного весеннего равноденствия до другого. Разница в 20 минут между периодами тропического и звездного года объясняется прецессией земной оси.

Лунный и солнечный календарь

В лунном календаре сутки считаются относительно фаз Луны, соответственно, образуются синодические месяцы. Один лунный месяц насчитывает 29,5 суток. Чтобы не было путаницы с дробными частями, один месяц в календаре записывают 29 дней, в другой – 30. Полный год также состоит из 12 месяцев. В лунном календаре есть понятие как простого, так и високосного года.

Для отражения тропического года используют солнечный календарь. В его основе заложены времена года. Полный год имеет 365,2 суток. В нем также присутствует и простой, и високосный год.

Большинство древних народов создавало свои первые календари, учитывая смену фаз ночного светила. Человек стал замечать, что Луна, освещающая путь, каждый день принимала другую форму. С определенной периодичностью эти формы повторялись. На основе наблюдений, время начали определять между новолуниями, а данному временному промежутку присвоили название синодический месяц. С появлением лунного календаря началось первое летоисчисление.

Первый лунный календарь

С развитием сельского хозяйства лунный календарь перестал удовлетворять потребности человечества. Нужен был календарь, который бы отображал смену времен года. Это привело к созданию тропического календаря, в котором также стали использовать месяцы. Он помог систематизировать и улучшить земледельческие работы, а также наладить скотоводство. На сегодняшний день оба календарь важны в жизни каждого человека, они имеют и общие черты, и определенные различия:

оба календаря состоят из 12 месяцев (циклов);
продолжительность циклов отличается;
у солнечного календаря год всегда начинается с одной и той же даты, а у лунного она постоянно сдвигается, так как лунный цикл короче;
сутки солнечного календаря – это всегда 24 часа, у лунного – это значение меняется, но в определенный день цикла время всегда определенное.

Благодаря солнечному календарю человек точно знает, когда будет тепло, а когда холодно, когда наступит утро, а когда ночь. По лунному календарю высчитывают, когда лучше растут волосы и ногти, когда благоприятней делать операции, когда лучше сажать растения и т.д.

Юлианский и григорианский календарь

45 год до нашей эры ознаменован созданием юлианского календаря. Имя он получил от славноизвестного Юлия Цезаря, который стоял у власти как раз в это время. За основу взят солнечный календарь, а летоисчисление ориентировалось на время, за которое Солнце проходило все точки равноденствия. На тот момент данная система являлась самой точной. В году насчитывали 365 дней, появилось понятие високосный год, который предусматривал в календаре дополнительный день. Юлианский солнечный календарь активно применялся многими государствами на протяжении 1,5 тысяч лет.

В конце семнадцатого столетия Папой Григорием XIII была предложена другая система летоисчисления, которая получила название григорианский календарь. Количество дней полностью совпадало с юлианским календарем. Но все же вносились некоторые поправки касательно года високосного. По григорианскому календарю год, который заканчивается нулями и при этом не делится на 4, не может считаться високосным. Как пример возьмем 2000 год. Он был високосным, а вот 2100 будет обычным. Папа Григорий XIII утверждал, что праздник Пасхи всегда должен быть в воскресенье, а по юлианскому календарю он каждый год отмечался в разный день недели. Официально григорианский календарь был введен 24 февраля 1582 года.

На сегодняшний день оба календаря продолжают существовать вместе. Большая часть стран пользуется григорианским. В то время как юлианский используют для расчета христианских праздников. Россия по григорианскому календарю живет с 1917 года. После перехода летоисчисление сдвинулось на 14 дней. Именно поэтому в стране дважды отмечают Новый год: 1 января – по григорианскому календарю, а 14 января – по старому стилю, то есть по юлианскому календарю.

А вопрос ведь действительной не праздный — со школьных лет мы привыкли считать, что наш ближайший спутник в космическом пространстве — Луна движется вокруг Земли с периодом 29,5 суток, особенно не вдаваясь в сопутствующие подробности. На самом же деле наша соседка своеобразный и в какой-то степени уникальный астрономический объект, с движением которого вокруг Земли не всё так просто, как, возможно хотелось бы некоторым моим коллегам из ближайшего зарубежья.

Итак, оставив полемику в стороне, попытаемся с разных сторон, в меру своей компетенции, рассмотреть эту безусловно красивую, интересную и очень показательную задачу.

Открытый ещё во второй половине 17 века, сэром Исааком Ньютоном, закон всемирного тяготения говорит о том, что Луна притягивается к Земле (и Земля к Луне!) с силой, направленной вдоль прямой, соединяющей центры рассматриваемых небесных тел, и равной по модулю

где m₁, m₂ — массы, соответственно Луны и Земли; G = 6,67e-11 м 3 /(кг * с 2 ) — гравитационная постоянная; r_1,2 — расстояние между центрами Луны и Земли. Если принимать во внимание только эту силу, то, решив задачу о движении Луны как спутника Земли и научившись рассчитывать положение Луны на небе на фоне звезд, мы довольно скоро убедимся, путем прямых измерений экваториальных координат Луны, что в нашей консерватории не всё так гладко как хотелось бы. И дело здесь не в законе всемирного тяготения (а на ранних этапах развития небесной механики такие мысли высказывались весьма нередко), а в неучтенном возмущении движения Луны со стороны других тел. Каких? Смотрим на небо и наш взгляд сразу упирается в здоровенный, массой аж 1,99e30 килограмм плазменный шар прямо у нас под носом — Солнце. Луна притягивается к Солнцу? Ещё как, с силой, равной по модулю

где m₃ — масса Солнца; r_1,3 — расстояние от Луны до Солнца. Сравним эту силу с предыдущей

Возьмем положение тел, в котором притяжение Луны к Солнцу будет минимальным: все три тела на одной прямой и Земля располагается между Луной и Солнцем. В этом случае наша формула примет вид:

где , м — среднее расстояние от Земли до Луны; , м — среднее расстояние от Земли до Солнца. Подставим в эту формулу реальные параметры

Вот это номер! Получается Луна притягивается к Солнцу силой, более чем в два раза превышающей силу её притяжения к Земле.

Подобное возмущение уже нельзя не учитывать и оно определенно повлияет на конечную траекторию движения Луны. Пойдем дальше, принимая во внимание допущение о том, что орбита Земли круговая с радиусом a, найдем геометрическое место точек вокруг Земли, где сила притяжения любого объекта к Земле равна силе его притяжения к Солнцу. Это будет сфера, с радиусом

смещенная вдоль прямой, соединяющей Землю и Солнце в сторону противоположенную направлению на Солнце на расстояние

где — отношение массы Земли к массе Солнца. Подставив численные значения параметров получим фактические размеры данной области: R = 259300 километров, и l = 450 километров. Эта сфера носит название сферы тяготения Земли относительно Солнца.

Известная нам орбита Луны лежит вне этой области. То есть в любой точке траектории Луна испытывает со стороны Солнца существенно большее притяжение, чем со стороны Земли.

Эта информация, часто порождает споры, о том, что Луна не спутник Земли, а самостоятельная планета Солнечной системы, орбита которой возмущена притяжением близкой Земли.

Оценим возмущение, вносимое Солнцем в траекторию Луны относительно Земли, а так же возмущение, вносимое Землей в траекторию Луны относительно Солнца, воспользовавшись критерием, предложенным П. Лапласом. Рассмотрим три тела: Солнце (S), Землю (E) и Луну (M).
Примем допущение, что орбиты Земли относительно Солнца и Луны относительно Земли являются круговыми.

Рассмотрим движение Луны в геоцентрической инерциальной системе отсчета. Абсолютное ускорение Луны в гелиоцентрической системе отсчета определяется действующими на неё силами тяготения и равно:

С другой стороны, в соответствии с теоремой Кориолиса, абсолютное ускорение Луны

где — переносное ускорение, равное ускорению Земли относительно Солнца; — ускорение Луны относительно Земли. Ускорения Кориолиса здесь не будет — выбранная нами система координат движется поступательно. Отсюда получаем ускорение Луны относительно Земли

Часть этого ускорения, равная обусловлена притяжением Луны к Земле и характеризует её невозмущенное геоцентрическое движение. Оставшаяся часть

ускорение Луны, вызванное возмущением со стороны Солнца.

Если рассматривать движение Луны в гелиоцентрической инерциальной системе отсчета, то всё намного проще, ускорение характеризует невозмущенное гелиоцентрическое движение Луны, а ускорение — возмущение этого движения со стороны Земли.

При существующих в текущую эпоху параметрах орбит Земли и Луны, в каждой точке траектории Луны справедливо неравенство

что можно проверить и непосредственным вычислением, но я сошлюсь на источник, дабы излишне не загромождать статью.

Интересным является другое — превратив неравенство (1) в уравнение можно найти геометрическое место точек, где эффекты возмущения Луны (да и любого другого тела) Землей и Солнцем одинаковы. К сожалению это у же не так просто, как в случае со сферой тяготения. Расчеты показывают, что данная поверхность описывается уравнением сумасшедшего порядка, но близка к эллипсоиду вращения. Всё что мы может сделать без лишних заморочек, это оценить общие габариты этой поверхности относительно центра Земли. Решая численно уравнение

относительно расстояния от центра Земли до искомой поверхности на достаточном количестве точек, получаем сечение искомой поверхности плоскостью эклиптики

Для наглядности здесь показаны и геоцентрическая орбита Луны и, найденная нами выше сфера тяготения Земли относительно Солнца. Из рисунка видно, что сфера влияния, или сфера гравитационного действия Земли относительно Солнца есть поверхность вращения относительно оси X, сплющенная вдоль прямой, соединяющей Землю и Солнце (вдоль оси затмений). Орбита Луны находится глубоко внутри этой воображаемой поверхности.

Для практических расчетов данную поверхность удобно аппроксимировать сферой с центром в центра Земли и радиусом равным

где m — масса меньшего небесного тела; M — масса большего тела, в поле тяготения которого движется меньшее тело; a — расстояние между центрами тел. В нашем случае

Вот этот недоделанный миллион километров и есть тот теоретический предел, за который власть старушки Земли не распространяется — её влияние на траектории астрономических объектов настолько мало, что им можно пренебречь. А значит, запустить Луну по круговой орбите на расстоянии 38,4 млн. километров от Земли (как делают некоторые лингвисты) не получится, это физически невозможно.

Эта сфера, для сравнения, показана на рисунке синей пунктирной линией. При оценочных расчетах принято считать, что тело, находящееся внутри данной сферы будет испытывать тяготение исключительно со стороны Земли. Если тело находится снаружи данной сферы — считаем что тело движется в поле тяготения Солнца. В практической космонавтике известен метод сопряжения конических сечений, позволяющий приближенно рассчитать траекторию космического аппарата, используя решение задачи двух тел. При этом всё пространство, которое преодолевает аппарат разбивается на подобные сферы влияния.

Например, теперь понятно, для того чтобы иметь теоретическую возможность совершить маневры для выхода на окололунную орбиту, космический аппарат должен попасть внутрь сферы действия Луны относительно Земли. Её радиус легко рассчитать по формуле (3) и он равен 66 тысяч километров.

Таким образом, Луна справедливо может считаться спутником Земли. Однако, ввиду существенно влияния гравитационного поля Солнца она движется не в центральном гравитационном поле, а значит её траектория не является коническим сечением.

Итак, рассмотрим модельную задачу в общей постановке, известную в небесной механике как задача трех тел. Рассмотрим три тела произвольной массы, расположенных произвольным образом в пространстве и движущихся исключительно под действием сил взаимного гравитационного притяжения

Тела считаем материальными точками. Положение тел будем отсчитывать в произвольном базисе, с которым связана инерциальная система отсчета Oxyz. Положение каждого из тел задается радиус-вектором соответственно , и . На каждое тело действует сила гравитационного притяжения со стороны двух других тел, причем в соответствии с третьей аксиомой динамики точки (3-й закон Ньютона)

Запишем дифференциальные уравнения движения каждой точки в векторной форме

В соответствии с законом всемирного тяготения, силы взаимодействия направлены вдоль векторов

Вдоль каждого из этих векторов выпустим соответствующий орт

тогда каждая из гравитационных сил рассчитывается по формуле

С учетом всего этого система уравнений движения принимает вид

Введем обозначение, принятое в небесной механике

— гравитационный параметр притягивающего центра. Тогда уравнения движения примут окончательный векторный вид

Довольно популярным приемом при математическом моделировании является приведение дифференциальных уравнений и прочих соотношений, описывающих процесс, к безразмерным фазовым координатам и безразмерному времени. Нормируются так же и другие параметры. Это позволяет рассматривать, хоть и с применением численного моделирования, но в достаточно общем виде целый класс типовых задач. Вопрос о том, насколько это оправдано в каждой решаемой задаче оставляю открытым, но соглашусь, что в данном случае такой подход вполне справедлив.

Итак, введем некое абстрактное небесное тело с гравитационным параметром , такое, что период обращения спутника по эллиптической орбите с большой полуосью вокруг него равен . Все эти величины, в силу законов механики, связаны соотношением

Введем замену параметров. Для положения точек нашей системы

где — безразмерный радиус-вектор i-й точки;
для гравитационных параметров тел

где — безразмерный гравитационный параметр i-й точки;
для времени

где — безразмерное время.

Теперь пересчитаем ускорения точек системы через эти безразмерные параметры. Применим прямое двукратное дифференцирование по времени. Для скоростей

При подстановке полученных соотношений в уравнения движения всё элегантно схлопывается в красивые уравнения:

Данная система уравнений до сих пор считается не интегрируемой в аналитических функциях. Почему считается а не является? Потому что успехи теории функции комплексного переменного привели к тому, что общее решение задачи трех тел таки появилось в 1912 году — Карлом Зундманом был найден алгоритм отыскания коэффициентов для бесконечных рядов относительно комплексного параметра, теоретически являющихся общим решением задачи трех тел. Но… для применения рядов Зундмана в практических расчетах с требуемой для них точностью требует получения такого числа членов этих рядов, что эта задача во много превосходит возможности вычислительных машин даже на сегодняшний день.

Поэтому численное интегрирование — единственный способ анализа решения уравнения (5)

Как я уже писал ранее, прежде чем начинать численное интегрирование, следует озаботится расчетом начальных условий для решаемой задачи. В рассматриваемой задаче поиск начальных условий превращается в самостоятельную подзадачу, так как система (5) дает нам девять скалярных уравнений второго порядка, что при переходе к нормальной форме Коши повышает порядок системы ещё в 2 раза. То есть нам необходимо рассчитать целых 18 параметров — начальные положения и компоненты начальной скорости всех точек системы. Где мы возьмем данные о положении интересующих нас небесных тел? Мы живем в мире, где человек ходил по Луне — естественно человечество должно обладать информацией, как эта самая Луна движется и где она находится.

То есть, скажете вы, ты, чувак, предлагаешь нам взять с полок толстые астрономические справочники, сдуть с них пыль… Не угадали! Я предлагаю сходить за этими данными к тем, кто собственно ходил по Луне, к NASA, а именно в Лабораторию реактивного движения, Пасадена, штат Калифорния. Вот сюда — JPL Horizonts web interface.

Здесь, потратив немного времени на изучение интерфейса, мы добудем все необходимые нам данные. Выберем дату, например, да нам всё равно, но пусть это будет 27 июля 2018 года UT 20:21. Как раз в этот момент наблюдалась полная фаза лунного затмения. Программа выдаст нам огромную портянку

Бр-р-р, что это? Без паники, для того, кто хорошо учил в школе астрономию, механику и математику тут боятся нечего. Итак, самое главное конечное искомые координаты и компоненты скорости Луны.

Да-да-да, они декартовы! Если внимательно прочесть всю портянку, то мы узнаем, что начало этой системы координат совпадает с центром Земли. Плоскость XY лежит в плоскости земной орбиты (плоскости эклиптики) на эпоху J2000. Ось X направлена вдоль линии пересечения плоскости экватора Земли и эклиптики в точку весеннего равноденствия. Ось Z смотрит в направлении северного полюса Земли перпендикулярно плоскости эклиптики. Ну а ось Y дополняет всё это счастье до правой тройки векторов. По-умолчанию единицы измерения координат: астрономические единицы (умнички из NASA приводят и величину автрономической единицы в километрах). Единицы измерения скорости: астрономические единицы в день, день принимается равным 86400 секундам. Полный фарш!

Аналогичную информацию мы можем получить и для Земли

Здесь в качестве начала координат выбран барицентр (центр масс) Солнечной системы. Интересующие нас данные

Для Луны нам понадобятся координаты и скорость относительно барицентра Солнечной системы, мы можем их посчитать, а можем попросит NASA дать нам такие данные

Чудесно! Теперь необходимо слегка обработать полученные данные напильником.

Для начала определимся с масштабом, ведь наши уравнения движения (5) записаны в безразмерной форме. Данные, предоставленные NASA сами подсказывают нам, что за масштаб координат стоит взять одну астрономическую единицу. Соответственно в качестве эталонного тела, к которому мы будем нормировать массы других тел мы возьмем Солнце, а в качестве масштаба времени — период обращения Земли вокруг Солнца.

Взглянув на параметр RG мы увидим, что Солнце вращается вокруг барицентра Солнечной системы, и на 27.07.2018 центр звезды находится от него на расстоянии в миллион километров. Радиус Солнца, для справки — 696 тысяч километров. То есть барицентр Солнечной системы лежит в полумиллионе километров от поверхности светила. Почему? Да потому что все остальные тела, взаимодействующие с Солнцем так же сообщают ему ускорение, главным образом, конечно тяжеленький Юпитер. Соответственно у Солнца тоже есть своя орбита.

Мы конечно можем выбрать эти данные в качестве начальных условий, но нет — мы же решаем модельную задачу трех тел, и Юпитер и прочие персонажи в неё не входят. Так что в ущерб реализму, зная положение и скорости Земли и Луны мы пересчитаем начальные условия для Солнца, так, чтобы центр масс системы Солнце — Земля — Луна находился в начале координат. Для центра масс нашей механической системы справедливо уравнение

Поместим центр масс в начало координат, то есть зададимся , тогда

Перейдем к безразмерным координатам и параметрам, выбрав

Дифференцируя (6) по времени и переходя к безразмерному времени получаем и соотношение для скоростей

Однако, если уйти от сарказма, то мы действительно попробуем для этой цели питон, а почему нет? Я обязательно приведу ссылку на весь код в моем профиле Github.

Собственно само интегрирование сводится к более-менее стандартной для SciPy процедуре подготовки системы уравнений: преобразованию системы ОДУ к форме Коши и вызову соответствующих функций-решателей. Для преобразования системы к форме Коши вспоминаем, что

Тогда введя вектор состояния системы

сводим (7) и (5) к одному векторному уравнению

Для интегрирования (8) с имеющимися начальными условиями напишем немного, совсем немного кода

Посмотрим что у нас получилось. Получилась пространственная траектория Луны на первые 29 суток от выбранной нами начальной точки

а так же её проекция в плоскость эклиптики.

Во-первых, таки не окружность — заметно смещение проекции траектории от начала координат вправо и вниз. Во-вторых — ничего не замечаете? Не, ну правда?

Обещаю подготовить обоснование того (на основе анализа погрешностей счета и данных NASA), что полученное смещение траектории не есть следствие ошибок интегрирования. Пока предлагаю читателю поверить мне на слово — это смещение есть следствие солнечного возмущения лунной траектории. Крутанем-ка еще один оборот

Во как! Причем обратите внимание на то, что исходя из начальных данных задачи Солнце находится как раз в той стороне, куда смещается траектория Луны на каждом обороте. Да это наглое Солнце ворует у нас наш любимый спутник! Ох уж это Солнце!

Можно сделать вывод, что солнечная гравитация влияет на орбиту Луны достаточно существенно — старушка не ходит по небу дважды одним и тем же путём. Картинка за полгода движения позволяет (по крайней мере качественно) убедится в этом (картинка кликабельна)

Интересно? Ещё бы. Астрономия вообще наука занятная.

Я люблю механику. Всё то хорошее, чего я добился в своей жизни и карьере произошло благодаря этой науке и моим замечательным учителям. Я уважаю механику.

Луна является естественным спутником Земли и ближайшим к ней небесным телом. Она обращается вокруг Земли по эллиптической орбите в том же направлении, что и Земля вокруг Солнца. Среднее расстояние Луны от Земли равно 384 400 км. Плоскость орбиты Луны наклонена к плоскости эклиптики на 5°09′.

Наклон орбиты Луны к плоскости эклиптики

Точки пересечения орбиты Луны с эклиптикой называются узлами лунной орбиты. Движение Лупы вокруг Земли для наблюдателя представляется как видимое ее движение по небесной сфере. Видимый путь Луны по небесной сфере называется видимой орбитой Луны.

За сутки Луна перемещается по видимой орбите относительно звезд примерно на 13,2°, а относительно Солнца на 12,2°, так как Солнце за это время тоже перемещается по эклиптике в среднем на 1°. Промежуток времени, в течение которого Луна совершает полный оборот по своей орбите относительно звезд, называется звездным, или сидерическим месяцем. Его продолжительность равна 27,32 средних солнечных суток.

Промежуток времени, в течение которого Луна совершает полный оборот по своей орбите относительно Солнца, называется синодическим месяцем. Он равен 29,53 средних солнечных суток.

Сидерический и синодический месяцы различаются примерно на двое суток за счет движения Земли по своей орбите вокруг Солнца. На рисунке ниже показано, что при нахождении Земли на орбите в точке 1 Луна и Солнце наблюдаются на небесной сфере в одном и том же месте, например на фоне звезды К.

Синодический и сидерический месяцы

Через 27,32 сут, т. е. когда Лупа сделает полный оборот вокруг Земли, она снова будет наблюдаться на фоне той же звезды. Но так как Земля вместе с Луной за это время переместится по своей орбите относительно Солнца примерно на 27° и будет находиться в точке 2, то Луне необходимо еще пройти 27°, чтобы занять прежнее положение относительно Земли и Солнца, на что понадобится около 2 сут. Таким образом, синодический месяц длиннее сидерического на отрезок времени, который нужен Луне, чтобы переместиться на 27°.

Движение Луны на небесной сфере

Период вращения Луны вокруг своей оси равен периоду ее обращения вокруг Земли. Поэтому Луна обращена к Земле всегда одной и той же стороной. Вследствие того, что Луна за одни сутки перемещается по небесной сфере с запада на восток, т. е. в сторону, обратную суточному движению небесной сферы, на 13,2°, ее восход и заход ежесуточно запаздывают примерно на 50 мин.

Это ежедневное запаздывание приводит к тому, что Луна непрерывно меняет свое положение относительно Солнца, но через строго определенный период времени вновь возвращается в исходное положение. В результате движения Луны по видимой орбите происходит непрерывное и быстрое изменение ее экваториальных координат.

В среднем за сутки прямое восхождение Луны изменяется на 13,2°, а склонение — на 4°. Изменение экваториальных координат Луны происходит не только за счет ее быстрого движения по орбите вокруг Земли, но и вследствие необычайной сложности этого движения. На Луну действуют многие силы, имеющие различную величину и период, под влиянием которых все элементы лунной орбиты постоянно изменяются.

Наклон орбиты Луны к эклиптике колеблется в пределах от 4°59′ до 5°19′ за время, несколько меньшее полугода. Изменяются формы и размеры орбиты. Непрерывно с периодом 18,6 года меняется положение орбиты в пространстве, в результате чего происходит перемещение узлов лунной орбиты навстречу движению Луны.
Это приводит к постоянному изменению угла наклона видимой орбиты Луны к небесному экватору от 28°35′ до 18°17′. Поэтому пределы изменения склонения Луны не остаются постоянными. В некоторые периоды оно изменяется в пределах ±28°35′, а в другие — ±18° 17′.

Смена лунных фаз во время движения на небесной сфере

Движение Луны на небесной сфере сопровождается непрерывным изменением ее внешнего вида. Происходит так называемая смена лунных фаз. Фазой Луны называется видимая часть лунной поверхности, освещенная солнечными лучами.

Рассмотрим, вследствие чего происходит изменение лунных фаз. Известно, что Луна светит отраженным солнечным светом- Половина ее поверхности всегда освещена Солнцем. Но вследствие различных взаимных положений Солнца, Луны и Земли освещенная поверхность представляется земному наблюдателю в разных видах. Принято различать четыре фазы Луны: новолуние, первая четверть, полнолуние и последняя четверть.

Положения и фазы
Луны (1 – новолуние, 2 – первая четверть, 3 – полнолуние, 4 – последняя четверть)

Во время новолуния Луна проходит между Солнцем и Землей. В этой фазе Луна обращена к Земле неосвещенной стороной, и поэтому она не видна земному наблюдателю.

В фазе первой четверти Луна находится в таком положении, что наблюдатель видит ее в виде половины освещенного диска.

Во время полнолуния Луна находится в направлении, противоположном направлению на Солнце. Поэтому к Земле обращена вся освещенная сторона Луны и она видна в виде полного диска. После полнолуния видимая с Земли освещенная часть Луны постепенно уменьшается.

Когда Луна достигает фазы последней четверти, она снова видна в виде половины освещенного диска. В Северном полушарии в первой четверти освещена правая половина диска Луны, а в последней — левая.

В промежутке между новолунием и первой четвертью и в промежутке между последней четвертью и новолунием к Земле обращена небольшая часть освещенной Луны, которая наблюдается в виде серпа. В промежутках между первой четвертью и полнолунием, полнолунием и последней четвертью Луна видна в виде ущербленного диска.

Полный цикл смены лунных фаз происходит в течение строго определенного периода времени. Его называют периодом фаз. Он равен синодическому месяцу, т. е. 29,53 сут.

Промежуток времени между основными фазами Луны равен примерно 7 сут. Количество дней, прошедших с момента новолуния, принято называть возрастом Луны. С изменением возраста изменяются и точки восхода и захода Луны.

Движение Луны вокруг Земли является причиной лунных и солнечных затмений – затмения происходят только тогда, когда Солнце и Луна одновременно располагаются вблизи узлов лунной орбиты. Солнечное затмение происходит, когда Луна находится между Солнцем и Землей, т. е. в период новолуния, а лунное — когда Земля находится между Солнцем и Луной, т. е. в период полнолуния.

Читайте также: