Теории прочности сопромат кратко

Обновлено: 05.07.2024

Гипотезы прочности указывают критерии эквивалентности различных напряженных состояний .

Применение гипотез прочности избавляет от необходимости проведения огромного количества экспериментов. Тот или иной критерий эквивалентности может быть основой для практических расчетов на прочность лишь при условии, что для ряда частных случаев он проверен опытным путем, и результаты эксперимента оказались достаточно близки к результатам теоретического расчета.

Определение истинной причины разрушения материала является труднейшей задачей. Это обстоятельство не позволяет создать единую общую гипотезу прочности и повлекло за собой появление многих теорий, каждая из которых основывается на своей гипотезе о причине разрушения материала.

Независимо от принятой гипотезы прочности, условие прочности после определения эквивалентного напряжения представляется в виде одного из неравенств: или, при заданном коэффициенте запаса,

Исторически первая гипотеза прочности - наибольших нормальных напряжений

Первая гипотеза прочности основывается на предположении, что причиной разрушения материала являются наибольшие по абсолютному значению нормальные напряжения.

Обычно первую гипотезу прочности, предложенную Галилеем, называют гипотезой наибольших нормальных напряжений.

Условие прочности по первой гипотезе прочности: .

Если наибольшим по значению будет сжимающее главное напряжение , условие прочности по первой гипотезе прочности: .

Существенный недостаток первой гипотезы прочности: при определении эквивалентного напряжения совершенно не учитываются два других главных напряжения, оказывающих влияние на прочность материала.

Первая гипотеза прочности подтверждается экспериментальными данными только для хрупкого материала при растяжении, когда напряжения значительно меньше .

При всестороннем сжатии, например, цементного кубика, первая гипотеза прочности приводит к ошибочным результатам, поскольку кубик выдерживает напряжения, во много раз превышающие предел прочности при одноосном сжатии.

В настоящее время первая гипотеза прочности не применяется и имеет лишь историческое значение.

Вторая гипотеза прочности - наибольших линейных деформаций

Недостатки первой гипотезы прочности привели к появлению второй гипотезы прочности, предложенной Мариоттом и развитой Сен-Венаном.

Согласно второй гипотезе прочности , называемой гипотезой наибольших линейных деформаций, причиной разрушения являются наибольшие линейные деформации. Эквивалентные напряжения вычисляются по формуле , где – коэффициент Пуассона.

Считается, что для пластичных материалов закон Гука выполняется вплоть до предела текучести, а для хрупких – до предела прочности, что является грубым допущением.

Достоинством второй гипотезы прочности является то, что при вычислении эквивалентного напряжения она учитывает все три главных напряжения.

С помощью гипотезы наибольших линейных деформаций можно объяснить разрушение хрупких материалов при простом сжатии. Однако вторая гипотеза прочности недостаточно подтверждается опытами и не применяется.

Третья гипотеза прочности – наибольших касательных напряжений

Согласно третьей гипотезе прочности наибольших касательных напряжений, причиной разрушения материала являются наибольшие Касательные напряжения. Максимальное касательное напряжение для заданного объемного напряженного состояния и эквивалентного ему линейного напряженного состояния одинаковы: .

Формула наибольшего касательного напряжения при объемном напряженном состоянии: . Эквивалентное напряжение при одноосном растяжении: .

Условие прочности по третьей гипотезе прочности:

Третья гипотеза прочности не учитывает второго главного напряжения ( ). Однако, опыты показывают, что для пластичных материалов гипотеза наибольших касательных напряжений дает удовлетворительные результаты. Ошибка от пренебрежения влиянием не превышает 10 – 15 %.

Четвертая гипотеза прочности - энергетическая

Четвертая (энергетическая) гипотеза прочности: количество удельной потенциальной энергии изменения формы, накопленной к моменту наступления предельного состояния материала, одинаково как при сложном напряженном состоянии, так и при простом одноосном растяжении.

В четвертой гипотезе прочности речь идет не обо всей удельной потенциальной энергии деформации, а лишь ее части, которая накапливается за счет изменения формы кубика с ребром равным единице.

В общем случае полная удельная потенциальная энергия деформации может быть представлена как сумма энергий, связанных с изменением объема кубика и изменением его формы.

Условие прочности по четвертой гипотезе прочности:

Достоинство четвертой гипотезы прочности: эквивалентное напряжение определяется значениями всех трех главных напряжений.

Энергетическая гипотеза прочности согласуется с опытными данными для пластичных материалов.

Гипотеза прочности Мора

Согласно гипотезе прочности Мора, предложенной Отто Мором, два напряженных состояния равноопасны, если для соответствующих главных напряжений и соблюдается соотношение: .

Условие прочности по гипотезе прочности Мора:

Гипотеза прочности Мора не учитывает влияния второго главного напряжения ().

Коэффициент представляет собой отношение предельных напряжений, соответствующих одноосным растяжению и сжатию, который равен для хрупких материалов: , для пластичных: .

Гипотеза прочности Мора рекомендуется для хрупких материалов. Для пластичных материалов гипотеза прочности Мора тождественна третьей гипотезе прочности.

3.12. ПОНЯТИЯ О ТЕОРИЯХ ПРОЧНОСТИ Теории прочности используются для оценки прочности конструкций в случае плоского и объемного напряженных состояний. При двух- и трехосном напряженном состояниях соотношения между нормальными и касательными напряжениями настолько разнообразны (тензор напряжений содержит девять компонентов, из которых шесть независимы), что экспериментальная проверка опасного состояния для каждого из соотношений практически исключается. Задача несколько упрощается, если вместо шести компонентов напряжений рассматривать эквивалентные им три главных напряжения и найти такую их комбинацию, которая была бы равноопасной линейному напряженному состоянию, то есть простому растяжению или сжатию. Характеристики прочности и пластичности, полученные при испытании на растяжение, достаточно полно приведены в справочной литературе. Суть теорий (гипотез, критериев) прочности состоит в том, что, определив главную причину разрушения материала (преимущественное влияние того или иного фактора), можно подобрать соответствующее эквивалентное напряжение при сложном напряженном состоянии, а затем сопоставить его с простым одноосным растяжением, как показано на схеме. Эквивалентное напряжение σэкв – напряжение, которое следует создать в растянутом образце, чтобы его напряженное состояние стало равноопасным с заданным. Создан ряд теорий (гипотез, критериев) прочности (более 20), позволяющих определить вид функциональных зависимостей, представляющих сложное напряженное состояние эквивалентным ему одноосным напряженным состоянием. В качестве причин наступления опасного состояния считают: а) нормальные напряжения – разрушение хрупкое, путем отрыва; б) линейные деформации; в) касательные напряжения – разрушение пластичное, путем сдвига; г) энергия деформации и другие. Следует заметить, что опасное состояние как для пластичных материалов (момент появления больших остаточных деформаций), так и для хрупких (момент появления трещин) лежит на границе области упругого деформирования. Это позволяет при всех дальнейших вычислениях, относящихся к проверкам прочности, пользоваться формулами, выведенными при условии применимости закона Гука. ГИПОТЕЗА НАИБОЛЬШИХ НОРМАЛЬНЫХ НАПРЯЖЕНИЙ (первая теория прочности) Прочность при любом напряженном состоянии будет обеспечена, если максимальное нормальное напряжение не превзойдет допускаемого, определенного при простом растяжении: σэкв(I) = σ1 ≤ [σ]. σ3 σ2 σ1 σэкв [σ] или σпред Заменить Сравнить Здесь [σ] – допускаемое напряжение при растяжении. Эту гипотезу связывают с именем Г. Галилея (XVII). Гипотеза пренебрегает действием двух других главных напряжений и не учитывает появления пластических деформаций; дает удовлетворительные результаты для хрупких материалов: стекло, керамика, камень, кирпич, бетон, гипс. ГИПОТЕЗА НАИБОЛЬШИХ ЛИНЕЙНЫХ ДЕФОРМАЦИЙ (вторая теория прочности) Прочность при любом напряженном состоянии будет обеспечена, если наибольшее относительное удлинение не превзойдет допускаемого, определенного при простом растяжении: ε≤ε xa m[]. Гипотеза предложена Э. Мариоттом (1682), развита Б. Сен-Венаном (XIX). Из первой строки обобщенного закона Гука для объемного напряженного состояния (3.12) Для линейного напряженного состояния, когда σ2 = σ3 = 0, ε2 = ε3 = 0 Решая совместно последние три равенства, получим: Экспериментально гипотеза подтверждается слабо, в расчетной практике применялась в начале прошлого века. ГИПОТЕЗА НАИБОЛЬШИХ КАСАТЕЛЬНЫХ НАПРЯЖЕНИЙ (третья теория прочности) Прочность при любом напряженном состоянии будет обеспечена, если наибольшее касательное напряжение не превзойдет допускаемого, определенного при простом растяжении τ≤τ. Гипотеза предложена Ш. Кулоном (1773 г.), развита Б. Сен-Венаном (1871). Для объемного напряженного состояния При простом растяжении (линейном напряженном состоянии, σ2 = σ3 = 0) Решая совместно последние два равенства, получим. Гипотеза не учитывает действие второго главного напряжения σ2. Хорошо согласуется с опытом для пластичных материалов. ГИПОТЕЗА УДЕЛЬНОЙ ПОТЕНЦИАЛЬНОЙ ЭНЕРГИИ ФОРМОИЗМЕНЕНИЯ – ЭНЕРГЕТИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ ПРОЧНОСТИ (четвертая теория прочности) Прочность при любом напряженном состоянии будет обеспечена, если удельная потенциальная энергия деформации, идущая на изменение формы, не превзойдет допускаемого значения, определенного при простом растяжении ≤uuф [ ]. Согласно гипотезе, высказанной Д. Максвеллом в 1856 г. и разработанной М. Хубером в 1930 г., удельную потенциальную энергию деформации следует разложить на две компоненты, одна из которых отвечает за изменение объема, а другая – формы. В расчетах учитывать лишь одну из них – последнюю. Напряжения σ1, σ2 и σ3, действующие по граням параллелепипеда, тоже можно разложить на две компоненты, как показано на схеме: Первая компонента – шаровой тензор, по граням которого действует среднее напряжение σm, отвечает только за изменение объема (одинаковое удлинение всех ребер). Вторая компонента – девиатор (от лат. deviatio – отклонение) отвечает за изменение формы элементарного параллелепипеда. Энергия формоизменения для объемного напряженного состояния (вывод опускается). При одноосном растяжении, когда σ2 = σ3 = 0, приняв σэкв = σ1, получим: Тогда условие прочности по четвертой теории можно записать так. Четвертая теория более точно, чем третья, описывает появление в материале малых пластических деформаций. Опыты хорошо подтверждают четвертую теорию для пластичных материалов, одинаково работающих на растяжение и сжатие. ГИПОТЕЗА КУЛОНА-МОРА (ТЕОРИЯ ПРОЧНОСТИ МОРА, 1900) Прочность при любом напряженном состоянии будет обеспечена, если круг Мора не выходит за пределы огибающих кругов, построенных на допускаемых напряжениях при простом растяжении и сжатии. Гипотеза (ее иногда называют пятой и обозначают римской цифрой V) применяется для материалов, обладающих разным сопротивлением растяжению и сжатию (чугун, бетон…). В случае, если допускаемые напряжения при растяжении [σ+] и сжатии [σ-] одинаковы, теория Мора совпадает с третьей теорией прочности. Таким образом, для практических расчетов следует рекомендовать четвертую или третью теории прочности (строго говоря – теории перехода локального объема в пластическое состояние) для материалов, одинаково сопротивляющихся растяжению и сжатию, то есть пластичных, и теорию Мора – для материалов, различно сопротивляющихся растяжению и сжатию. Рис. 3.12. Круги Мора: для осевого растяжения (1); осевого сжатия (2); опасного напряженного состояния (3); безопасного напряженного состояния (4) Решение Напряжениям, показанным на рисунке, дадим обозначение согласно координатной системе xyz: Площадка, нормаль к которой параллельна оси z – главная, поскольку касательные напряжения на ней отсутствуют. Покажем напряженное состояние на двух других площадках в плоскости x0z. Величина главных напряжений: Назначаем индексы при главных напряжениях: =1σ 45,7МПа; σ2 = −34,7 МПа; σ3 = −70 МПа. Проверка результатов расчета с использованием свойства суммы нормальных напряжений. Положение главных площадок Угол α (положительный) откладывается против хода часовой стрелки от направления большего из заданных напряжений в плоскости x0z, то есть от σy. Проверка прочности Назначим допускаемые напряжения, выбрав коэффициент запаса прочности [nв] = 3, рекомендуемый для хрупких материалов, по-разному сопротивляющихся растяжению и сжатию Пример 3.3. В опасном сечении детали, выполненной из серого чугуна СЧ25, выделен элемент, по граням которого действуют напряжения (в МПа), как показано на рисунке. Проверить прочность элемента. Согласно первой гипотезы прочности прочность обеспечена. Согласно второй гипотезы прочности прочность обеспечена Согласно третьей гипотезы прочности Прочность недостаточна. Согласно четвертой гипотезы прочности прочность недостаточна. Согласно теории прочности Кулона-Мора прочность обеспечена Вывод. Рассмотрены варианты использования различных теорий прочности при выполнении поверочного расчета элемента из хрупкого материала. Третья и четвертая теории прочности, обычно применяемые для пластичных материалов, дали отрицательный ответ

Технический портал, посвященный Сопромату и истории его создания

Предельное сопротивление материалов

Под предельным сопротивлением материалов следует понимать либо собственное разрушение, либо явление неустойчивости деформирования, приводящее к локализации деформаций. Разрушение материалов может произойти в следующих случаях:

1) Когда напряжения деталей достигают опасного значения для данного материала.

2) Когда в материале накапливается предельная пластическая деформация в процессе длительной эксплуатации.

3) Когда в материале накапливаются определённого рода повреждения.

За опасное напряжение принимается предел прочности для хрупких материалов и предел текучести для пластичных материалов. Хрупкие материалы разрушаются по площадкам, где действуют наибольшие главные напряжения, а пластичные – по площадкам, где действуют наибольшие касательные напряжения.

Рассмотрим случай, когда в материале накапливаются предельные пластические деформации в процессе длительной эксплуатации. Несмотря на то, что эксплуатация материала происходит при напряжениях меньше предела текучести, в процессе выдержки под нагрузкой с течением времени накапливается пластическая деформация, которая может достичь предельной для данного материала, и произойдёт разрушение.

Эксперименты показывают, что конструкционные стали в зависимости от вида напряжённого состояния достигают предельного состояния в различной форме. В одних случаях при некотором соотношении главных напряжений происходит разрушение, при других – потеря устойчивости пластического деформирования. Какой случай произойдёт раньше, прогнозировать трудно. Иметь в виду необходимо оба варианта, когда напряжения или упругие деформации достигают опасного значения для данного материала.

Теория прочности

Поведение материала под нагрузкой зависит от его свойств и вида напряженного состояния. Как уже указывалось, для пластичного материала за предельное или опасное состояние принимается такое, при котором начинают развиваться заметные пластические деформации, а для хрупкого – напряжённое состояние, которому соответствует начало разрушения. Рассмотрим случай сложного напряжённого состояния.

При сложном напряжённом состоянии, которое характеризуется тремя главными напряжениями, нахождение предельных значений этих напряжений сильно усложняется, так как число возможных соотношений между последними бесконечно велико. Поэтому ограничиваются построением зависимостей, позволяющих сравнивать прочность материала при различных напряжённых состояниях и оценивать таким образом степень опасности последних. Для теории прочности принято такое условие прочности:

В такой форме теория прочности выражает условие постоянства (независимости вида напряжённого состояния).

Построение теорий прочности основывается на предпосылке, состоящей в том, что два каких-либо напряжённых состояния считаются равноправными и равноопасными, если они при пропорциональном увеличении главных напряжений в одно и то же число раз одновременно становятся предельными.

Составляются рассмотренные формулы, связывающие между собой определённой зависимостью главные напряжения изучаемого напряжённого состояния (плоского или объёмного).

Теории отрыва

Причиной разрушения путём отрыва можно считать либо наибольшее растягивающее нормальное напряжение, либо наибольшую упругую деформацию растяжения.

Эта теория называется теорией наибольших нормальных напряжений или первой теорией прочности. У этой теории разрушение материала произойдёт независимо от вида напряжённого состояния из условия:

Для хрупких материалов:

Безопасное состояние будет при

Эта теория подтверждается опытами на растяжение таких материалов, как кирпич, камень, бетон, стекло, фарфор и др. и неудачна для пластичных материалов.

Предположение о том, что хрупкое разрушение связано не с наибольшими растягивающими напряжениями, а с наибольшим относительным удлинением высказано впервые французскими физиками Мариоттом и Сен-Венаном. Основанная на этом предположении теория прочности называется теорией наибольших удлинений или второй теорией прочности. По этой теории разрушение материалов независимо от вида нагруженного состояния наступит, если наибольшее упругое относительное удлинение станет равным некоторой постоянной для этого материала величине

а при простейшем растяжении

Тогда при сложном напряжённом состоянии разрушение произойдёт при условии, что

безопасное состояние или условие прочности по этой теории запишется в виде :

Это условие может быть выполнено при:

Использование второй теории в случае сжатия, когда

позволяет объяснить причины разрушения хрупких материалов по площадкам, параллельным направлению сжимающей силы, а также объяснить, почему сопротивление хрупких материалов сжатию значительно выше их сопротивления растяжению.

При растяжении:

а при сжатии:

Теории среза

Как уже известно, пластичные материалы разрушаются по площадкам, где действуют наибольшие касательные напряжения. Такое обстоятельство даёт основание принять, что такие напряжения при построении служат в качестве критерия прочности. Эта теория (третья) носит название теории наибольших касательных напряжений и предложена впервые Кулоном.

По этой теории опасное состояние материала (текучесть или разрушение) независимо от вида напряжённого состояния наступит при условии, когда наибольшее касательное напряжение станет равным некоторой постоянной для этого материала :

Условие прочности:

При сложном напряженном состоянии:

По третьей теории прочности предполагается, что промежуточное главное напряжение не влияет на прочность материала. Опытами это предположение не вполне подтверждается. Если не учитывать , то можно допустить ошибку в 15%.

Эта теория хорошо согласуется с опытами над пластичными материалами, одинаково сопротивляющимися растяжению и сжатию, но не пригодна для проверки прочности деталей из хрупких материалов и пластичных, обладающих разным сопротивлением растяжению и сжатию. Для них более удобна теория Мора.

Теория Мора

В теории Мора на основе экспериментальных данных устанавливается определённая зависимость прочностных свойств материала от вида напряжённого состояния.

это допускаемое напряжение при растяжении;

Коэффициент К позволяет учитывать различные сопротивления материала растяжению и сжатию. Условие применимо как для хрупких, так и для пластичных материалов.

Энергетическая теория прочности

Энергетическая теория связывается с развитием только пластических деформаций, которые характеризуются изменением формы тела, но не сопровождаются изменением его объёма.

По этой теории применяется гипотеза, согласно которой за причину наступления предельного напряжённого состояния принимается энергия, которая накапливается вследствие изменения формы кубика с ребром, равным единице.

где – энергия, связанная с изменением кубика при простом растяжении;

Для случая простого растяжения:

, тогда расчетное или эквивалентное напряжение

Для частного случая в условиях плоского напряжённого состояния напряжение равно:

А по третьей теории касательных напряжений:

Используя ту или иную теорию прочности, можно оценить степень опасности того или иного напряжённого состояния.

Первая, вторая и третья классические теории прочности

Первая, вторая и третья классика Теория прочности Одна из самых старых теорий основана на гипотезе, что причиной разрушения материала является максимальное нормальное напряжение. Обычно эту теорию называют теорией максимального нормального напряжения. 371 соответствующие условия прочности в этом случае записываются следующим образом: тах=°1C0>(12.3) Здесь O-

критическое напряжение, полученное в результате испытания на одноосное растяжение (предел текучести пластмассы и предел прочности хрупкого материала AB). Если задан коэффициент запаса, он указывает на основное напряжение a! через arac мы получаем такое условие прочности:%ach=(12.4), где[o] — допустимое напряжение, определенное из эквивалента (12.2). я

В случае плоского напряженного состояния условие (12.4) после подстановки основного уравнени Людмила Фирмаль

напряжения (3.13) из уравнения в главе III (3.1) имеет следующий вид: °РАО,= — u°u+G ( ° , — L.) a+4^, C и — (12.5) Основным недостатком теории максимальных вертикальных напряжений является то, что она не учитывает два других основных напряжения:О2, О3. На практике эти напряжения оказывают существенное влияние на прочность материала. Так, например, при полном периметрическом (гидростатическом) сжатии цементного куба он выдерживает

напряжение, которое не разрушается, но превышает предел прочности на растяжение в несколько раз. Другие материалы работают аналогично в тех же условиях. Вывод этой теории подтверждается опытом только в случае растяжения хрупкого материала. В настоящее время первая теория силы не применяется, она имеет только историческое значение. Эта теория основана на

гипотезе, что наибольшее растяжение является причиной разрушения материала. Эта теория называется теорией максимального удлинения. Для объемного напряженного состояния при Е1>Е2>е, з, принятого предположили, условия прочности выглядят следующим образом е тах~e1e0(12.6) История *Если максимальное абсолютное значение-напряжение сжатия / SG3|, введите sgrasch= / a8|при условии (12.4), чтобы ввести допустимое напряжение из эксперимента для простого сжатия. 372gde h-

минимальным главным напряжением О, и —

Образовательный сайт для студентов и школьников

Читайте также: