Теорема о разгрузке кратко

Обновлено: 30.06.2024

Начнём с первой теоремы — она часто используется при доказательстве второй. А в конце будет пара важных пояснений.

1. Теорема о нуле непрерывной функции

Теорема 1. (о нуле непрерывной функции). Пусть функция $f\left( x \right)$ непрерывна на отрезке $\left[ a;b \right]$. Пусть также на концах этого отрезка она принимает значения разных знаков, т.е. $f\left( a \right)\cdot f\left( b \right) \lt 0$.

Тогда существует число $c\in \left( a;b \right)$ такое, что $f\left( c \right)=0$.

Интуитивно теорема кажется очевидной: чтобы соединить две точки по разные стороны от оси $OX$ непрерывной линией, придётся в какой-то момент пересечь ось $OX$. Таких пересечений может быть несколько:

А может быть лишь одно. Но пересечение будет обязательно:

1.1. Доказательство теоремы Больцано-Коши

Будем доказывать методом Больцано. Без ограничения общности положим $f\left( a \right) \lt 0$ и $f\left( b \right) \gt 0$.

Обозначим отрезок $_>=\left[ a;b \right]$ и разделим его пополам точкой $_>=<\left( a+b \right)>/\;$. Возможны три варианта:

Если $f\left( _> \right)=0$, то теорема доказана. Дальнейшие рассуждения не нужны.
Если $f\left( _> \right) \gt 0$, то обозначим отрезок $_>=\left[ a;_> \right]$.
Если $f\left( _> \right) \lt 0$, то обозначим отрезок $_>=\left[ _>;b \right]$.

Суть в том, что $f\left( _> \right)$ имеет знак, отличный либо от $f\left( a \right)$, либо от $f\left( b \right)$. И в качестве $_>$ мы выбираем ту половину $_>$, у которой знаки $f\left( x \right)$ на концах различаются.

Повторяя эту процедуру много раз, мы либо наткнёмся на некое $_>$ такое, что $f\left( _> \right)=0$, либо построим последовательность стягивающихся отрезков

\[_>\supset _>\supset \ldots \supset _>\supset \ldots \]

Длина этих отрезков $\left| _> \right|=\left| a-b \right|\cdot ^>$ стремится к нулю при $n\to +\infty $. Следовательно, по лемме о стягивающихся отрезках существует единственная точка $c\in _>$ для всех $n\in \mathbb$.

Но функция $f\left( x \right)$ непрерывна на отрезке $\left[ a;b \right]$. Следовательно, она непрерывна в точке $c\in \left[ a;b \right]$. Вспомним определение непрерывности по Гейне:

Откуда $f\left( c \right)=0$, что и требовалось доказать.

1.2. Краткое доказательство

Либо наткнёмся на точку $_>\in \left[ a;b \right]$ такую, что $f\left( _> \right)=0$
Либо построим последовательность стягивающихся отрезков с общей точкой $c\in \left[ a;b \right]$, в которой $f\left( c \right)=0$.

Теорема полностью доказана. А вся идея доказательства уместилась в двух пунктах. Плюс лемма о стягивающихся отрезках, которые должны иметь ровно одну общую точку.:)

Переходим к обобщению теоремы о нуле непрерывной функции — это будет та самая теорема, которая изначально и называлась теоремой Больцано-Коши.

2. Теорема Больцано-Коши

Теорема 2. Путь функция $f\left( x \right)$ непрерывна на отрезке $\left[ a;b \right]$, причём $f\left( a \right)=m$, $f\left( b \right)=M$ и $m\ne M$. Пусть также $c$ — любое число, которое удовлетворяет условию

\[\begin m & \le c\le M\left( m \lt M \right) \\ M & \le c\le m\left( M \lt m \right) \\ \end\]

Тогда найдётся точка $_>\in \left[ a;b \right]$ такая, что $f\left( _> \right)=c$.

Это и есть теорема о промежуточном значении непрерывной функции. Графически это выглядит так:

Интуитивно всё понятно. Теперь докажем теорему строго.

2.1. Доказательство теоремы Больцано-Коши

Вновь без ограничения общности положим $m \lt M$ и зафиксируем точку $c\in \left[ m;M \right]$. Если $c=m=f\left( a \right)$, то $_>=a$. Если $c=M=f\left( b \right)$, то $_>=b$.

Пусть теперь $m \lt c \lt M$. Рассмотрим функцию $g\left( x \right)=f\left( x \right)-c$. Она непрерывна на отрезке $\left[ a;b \right]$, как и функция $f\left( x \right)$. Поэтому

\[\begin g\left( a \right) & =f\left( a \right)-c=m-c \lt 0 \\ g\left( b \right) & =f\left( b \right)-c=M-c \gt 0 \\ \end\]

Следовательно, функция $g\left( x \right)$ принимает на концах отрезка значения разных знаков:

\[g\left( a \right)\cdot g\left( b \right) \lt 0\]

По теореме о нуле непрерывной функции найдётся точка $_>\in \left[ a;b \right]$ такая, что

\[\begin g\left( _> \right) & =0 \\ f\left( _> \right)-c & =0 \\ f\left( _> \right) & =c\end\]

Итак, мы предъявили точку $_>\in \left[ a;b \right]$ такую, что $f\left( _> \right)=c$. Теорема доказана.

2.2. Замечания к теореме Больцано-Коши

Иногда в курсе матанализа основная теорема Больцано-Коши, которую мы только что доказали, формулируется и доказывается первой. В этом случае теорема о нуле непрерывной функции становится ещё частным случаем (для $c=0$). Впрочем, из последнего доказательства легко видеть, что эти теоремы эквивалентны.

Часто в учебниках (и на многих сайтах) эти теоремы нумеруют:

Всё это порождает путаницу, особенно когда в экзаменационных билетах написано одно, а на лекциях теорема называлась по-другому. Однако суть теорем от этого никак не меняется.

Важно понимать, что обе теоремы отражают универсальные свойства непрерывных функций. Они работают именно на отрезках, но могут быть обобщены на произвольный компакт (об этом — в отдельном уроке по топологии).

ГЛАВА 2. УРАВНЕНИЯ СВЯЗИ МЕЖДУ НАПРЯЖЕНИЯМИ И ДЕФОРМАЦИЯМИ В ТОЧКЕ ДЕФОРМИРУЕМОГО ТЕЛА. УСЛОВИЯ НАЧАЛА ПЛАСТИЧЕСКОГО ТЕЧЕНИЯ МАТЕРИАЛА

ГЛАВА 3. ОСНОВНЫЕ ЗАКОНЫ И УРАВНЕНИЯ, ОПИСЫВАЮЩИЕ ПЛАСТИЧЕСКОЕ СОСТОЯНИЕ МАТЕРИАЛА

ГЛАВА 6. ПЛОСКОЕ ДЕФОРМИРОВАННОЕ СОСТОЯНИЕ

ГЛАВА 8. ПРИМЕНЕНИЕ МЕТОДОВ ТЕОРИИ ПЛАСТИЧНОСТИ К РЕШЕНИЮ ПРИКЛАДНЫХ ЗАДАЧ

Раздел II. ЗАКОНЫ, УРАВНЕНИЯ И ПРИКЛАДНЫЕ ЗАДАЧИ ЦИКЛИЧЕСКОЙ ПЛАСТИЧНОСТИ

ГЛАВА 11. ПРИКЛАДНЫЕ ЗАДАЧИ ТЕОРИИ ПЛАСТИЧНОСТИ ПРИ ПЕРЕМЕННЫХ НАПРЯЖЕНИЯХ

Раздел III. ЗАКОНЫ, УРАВНЕНИЯ И КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ ТЕОРИИ ПОЛЗУЧЕСТИ

ГЛАВА 13. ЗАКОНЫ ПОЛЗУЧЕСТИ И ЗАКОНОМЕРНОСТИ РАЗРУШЕНИЯ МАТЕРИАЛОВ ПРИ ПЕРЕМЕННЫХ ТЕМПЕРАТУРАХ И НАПРЯЖЕНИЯХ В УСЛОВИЯХ ЛИНЕЙНОГО НАПРЯЖЕННОГО СОСТОЯНИЯ

ГЛАВА 14. ОСНОВНЫЕ УРАВНЕНИЯ ТЕОРИИ ПОЛЗУЧЕСТИ В УСЛОВИЯХ СЛОЖНОГО НАПРЯЖЕННОГО СОСТОЯНИЯ

ГЛАВА 15. ОБЩИЕ УРАВНЕНИЯ УСТАНОВИВШЕЙСЯ ПОЛЗУЧЕСТИ И МЕТОДЫ ИХ РЕШЕНИЯ

ГЛАВА 16. ПРИМЕНЕНИЕ МЕТОДОВ ТЕОРИИ УСТАНОВИВШЕЙСЯ ПОЛЗУЧЕСТИ К РЕШЕНИЮ ЗАДАЧ

Промышленный металл это поликристалл, состоящий из зерен (кристаллитов или монокристаллов), хаотично ориентированных в твердом теле.

Рис.11.1 .Схематичный вид поликристаллического тела

Рис.11.2 .Деформированное состояние при скольжении (а) и двойниковании (б)

Пластическая деформация монокристалла может происходить в основном двумя путями: скольжением и двойникованием. Скольжение параллельное смещение тонких слоев монокристалла относительно друг друга (рис.11.2,а).

Двойникование смещение атомов, расположенных в плоскостях, параллельных некоторой плоскости, которая называется плоскостью двойникования (рис.11.2,б).

Рис.11.3 . Схема краевой дислокации

Рис.11.4 . Схема винтовой дислокации

(смещение центра дислокации из положения

Теорема о разгрузке

Теорема о разгрузке, доказанная А.А. Ильюшиным, утверждает, что перемещения точки (а также деформации и напряжения) в некоторый момент разгрузки равны разностям между их значениями в момент начала разгрузки и упругими перемещениями (соответственно деформациями и напряжениями), которые возникли бы в ненагруженном теле под действием внешних сил, равных разностям нагрузок до и после разгрузки.

внешние объемные силы-( X , Y , Z ) поверхностные силы-( X , Y , Z )

После уменьшения нагрузки на значения

X * , Y * , Z * , X * , Y * , Z *

на тело действуют внешние силы X

под влиянием которых в теле возникают остаточные напряжения ij ,

и перемещения u i .

Решив задачу упругости при внешней нагрузки X * , Y * , Z * , X * , Y

, Z * найдем в теле напряжения

ij и перемещения

Тогда, согласно изложенному выше, остаточные напряжения, деформации и перемещения

вычисляются по следующим формулам

Рис.11.5 . Изменение кривизны детали после разгрузки

Согласно теореме о разгрузке имеем (рис.11.5):

Метод переменных параметров упругости

Физические уравнения теории пластичности после преобразований могут быть записаны в форме закона Гука:

Рис.11.6 . Обобщенная диаграмма деформирования по методу переменных параметров упругости

Расчеты необходимо продолжать до тех пор, пока полученные результаты расчетов n -го приближения будут отличаться от результатов расчетов ( n- 1)-го приближения на заданную

величину с требуемой точностью, т.е.

Постановка краевой задачи пластического деформирования деталей ЛА

Рис.11.7 . Схемы процессов ОМД: 1 - область деформации; 2 – инструмент; 3 – внеконтактные области; 4 – контактные поверхности

Типичные упрощения в постановке краевых задач ОМД

Упрощения, связанные с уменьшением числа независимых переменных.

1. Установившиеся движения.

2. Плоское деформированное состояние.

3. Плоское напряжённое состояние.

4. Осесимметричное НДС.

5. Потенциальное движение . Здесь v grad x e Откуда следует , где – потенциал скоростей i . i

Упрощение реологической модели деформируемой среды.

1. Условие несжимаемости.

2. Пренебрежение упругими деформациями.

3. Идеальная пластичность.

4. Условие полной пластичности А. Хаара и Т. Кармана: предполагается, что для наступления пластического состояния нужно, чтобы не одно, а два главных касательных напряжения были

равны пределу текучести на сдвиг .

5. Предположение об изотермичности процесса.

6. Пренебрежение массовыми (объемными силами).

Линеаризация уравнений и задач.

1) Нелинейность вносит большие трудности в математические методы исследования и решение задач. Поэтому нелинейные уравнения часто линеаризуют. Например, пользуются линейной теорией бесконечно малых деформаций, в которой произведениями малых величин пренебрегают. Условие пластичности можно заменить в ряде случаев линейным условием

2) Линеаризуют и упрощают (смягчают) граничные условия поставленной краевой задачи ОМД.

а) Например, решая задачу прокатки, цилиндрическую поверхность контакта прокатываемой полосы с валками заменяют плоскостью. Считают, что напряжение трения одинаково на всей контактной поверхности, соответствует закону Кулона и т.д.

б) Формулируя граничные условия задач ОМД, полезно иметь в виду широко применяемый при решении задач механики деформируемого твердого тела принцип смягчения задаваемых граничных условий Сен-Венана.

в) Для упрощения задачи можно заменить распределенные на границы силы статически эквивалентной системой сил, приложенной к той же части поверхности тела.

Статически эквивалентные системы распределённых сил и принцип Сен-Венана

Законы трения: p p n

(закон Амонтона Кулона) или

p s s (закон Зибеля)

Граничные условия в задачах ОМД

Рис.11.9 . Характерные составляющие объема V и поверхности деформируемого тела при прокатке

напряжения, деформации, перемещения и скорости должны быть непрерывными:

(на свободных поверхностях

( t , x 1 , x 2 , x 3 );

u i * ( t , x 1 , x 2 , x 3 )

Условия прилипания : v среды v инстр ; u среды u инстр

На поверхности задаются смешанные граничные условия: v (среды) v (инстр) ,

p p n , p p v s / v s

где v s v (инстр) v (среды)

Условие обтекания (непроницаемости): v n (среды) v n (инстр) v * n ( t , x 1 , x 2 , x 3 )

Негативная роль трения: выражается в следующем: а) ведет к возникновению неоднородности деформаций и увеличивает эту неоднородность; б) изменяет схему напряженного состояния материала в зонах контакта; в) увеличивает деформирующее усилие, работу и мощность в системе обрабатывающий инструмент заготовка; г) снижает стойкость инструмента; д) требует применения (нанесения и удаления) смазок.

Важнейшим фактором, влияющим на коэффициент трения, является смазка. Смазка должна: 1) значительно понижать коэффициент внешнего трения; 2) создавать прочную непрерывную пленку между заготовкой и инструментом, равномерно распределяться по обрабатываемой поверхности и прочно удерживаться на трущихся поверхностях (прочное сцепление с поверхностями); 3) быть вязкой; 4) обеспечивать стабильность смазки, стойкость в отношении разложения и других химических изменений; 5) легко наноситься и удаляться с поверхности металла; 6) быть жаростойкой; 7) исключать коррозионное воздействие на материал изделий и на инструмент; 8) быть нетоксичной; 9) не образовывать коксующихся остатков после отжига

изделий; 10) быть простой при приготовлении; 11 ) быть экологичной .

Важный вопрос при подготовке производства – это повышение качества готовой продукции. Для ее решения необходимо исследовать процессы, протекающие в металле в процессе деформирования.

Создание математических моделей и научно-обоснованных методов расчета технологических параметров исследуемых процессов ОМД является основой для автоматизированного проектирования технологической оснастки и параметров настройки станков с ЧПУ, что значительно сокращает трудоемкость и сроки ТПП.

Учет факторов, порождающих погрешности формообразования (пружинение, физическая и геометрическая нелинейность и т.п.) повышает точность изготовления деталей, благодаря чему сокращается объем доводочных работ, повышается производительность труда, уменьшается себестоимость изготовления изделий.

Несколько упрощая, ТГН утверждает, что в достаточно сложных языках существуют недоказуемые высказывания. Но в этой фразе почти каждое слово нуждается в пояснении.

Переход от одной формулы к другой происходит по некоторым известным правилам. Переход от 4-й формулы к 5-й произошёл, скажем, потому, что всякое число равно самому себе — такова аксиома арифметики. А вся процедура доказывания, таким образом, переводит формулу в булево значение ИСТИНА . Результатом могла быть и ЛОЖЬ — если бы мы опровергали какую-то формулу. В таком случае мы бы доказали её отрицание. Можно себе представить программу (и такие программы действительно написаны), которые бы доказывали подобные (и более сложные) высказывания без участия человека.

Изложим то же самое чуть более формально. Пусть у нас есть множество, состоящее из строк символов какого-то алфавита, и существуют правила, по которым из этих строк можно выделить подмножество так называемых высказываний — то есть грамматически осмысленных фраз, каждая из которых истинна или ложна. Можно сказать, что существует функция , сопоставляющая высказываниям из одно из двух значений: ИСТИНА или ЛОЖЬ (то есть отображающая их в булево множество из двух элементов).

доказательство которой нашли только через три с половиной века после первой формулировки (и оно далеко не элементарно). Следует различать истинность высказывания и его доказуемость. Ниоткуда не следует, что не существует истинных, но недоказуемых (и не проверяемых в полной мере) высказываний.

Примеры высказываний формальной арифметики:

и т.д. Иными словами, ФСП эквивалентны функциям натурального аргумента с булевыми значением.

Обозначим множество всех ФСП буквой . Понятно, что его можно упорядочить (например, сначала выпишем упорядоченные по алфавиту однобуквенные формулы, за ними — двухбуквенные и т.д.; по какому именно алфавиту будет происходить упорядочивание, нам непринципиально). Таким образом, любой ФСП соответствует её номер в упорядоченном списке, и мы будем обозначать её .

Перейдём теперь к наброску доказательства ТГН в такой формулировке:

Для языка высказываний формальной арифметики не существует полной непротиворечивой дедуктики.

Доказывать будем от противного.

Итак, допустим, что такая дедуктика существует. Опишем следующий вспомогательный алгоритм , ставящий в соответствие натуральному числу булево значение следующим образом:

Находим -ю формулу в списке .
Подставляем в неё число в качестве аргумента.
Применяем к полученному высказыванию наш доказывающий алгоритм (по нашему предположению, он существует), который переводит его в ИСТИНУ или ЛОЖЬ .
Применяем логическое отрицание к полученному результату.

Проще говоря, алгоритм приводит к значению ИСТИНА тогда и только тогда, когда результат подстановки в ФСП её собственного номера в нашем списке даёт ложное высказывание.

Тут мы подходим к единственному месту, в котором я попрошу читателя поверить мне на слово.

Очевидно, что, при сделанном выше предположении, любой ФСП из можно сопоставить алгоритм, содержащий на входе натуральное число, а на выходе – булево значение. Менее очевидно обратное утверждение:

Лемма: Любому алгоритму, переводящему натуральное число в булево значение, соответствует какая-то ФСП из множества .

Доказательство этой леммы потребовало бы, как минимум, формального, а не интуитивного, определения понятия алгоритма. Однако, если немного подумать, то она довольно правдоподобна. В самом деле, алгоритмы записываются на алгоритмических языках, среди которых есть такие экзотические, как, например, Brainfuck, состоящий из восьми односимвольных слов, на котором, тем не менее, можно реализовать любой алгоритм. Странно было бы, если бы описанный нами более богатый язык формул формальной арифметики оказался бы беднее — хотя, без сомнения, для обычного программирования он не очень подходит.

Пройдя это скользкое место, мы быстро добираемся до конца.

Итак, выше мы описали алгоритм . Согласно лемме, в которую я попросил вас поверить, существует эквивалентная ему ФСП. Она имеет какой-то номер в списке — скажем, . Спросим себя, чему равно ? Пусть это ИСТИНА . Тогда, по построению алгоритма (а значит, и эквивалентной ему функции ), это означает, что результат подстановки числа в функцию — ЛОЖЬ . Аналогично проверяется и обратное: из ЛОЖЬ следует ИСТИНА . Мы пришли к противоречию, а значит, исходное предположение неверно. Таким образом, для формальной арифметики не существует полной непротиворечивой дедуктики. Что и требовалось доказать.

В заключение я хочу заметить, что ничего особенного удивительного ТГН не утверждает. В конце концов, все давно привыкли, что не все числа представимы в виде отношения двух целых (помните, у этого утверждения есть очень изящное доказательство, которому больше двух тысяч лет?). И корнями полиномов с рациональными коэффициентами являются тоже не все числа. А теперь вот выяснилось, что не все функции натурального аргумента вычислимы.

Приведённый набросок доказательства относился к формальной арифметике, но нетрудно понять, что ТГН применима и к многим другим языкам высказываний. Разумеется, не всякие языки таковы. Например, определим язык следующим образом:

Читайте также: