Теорема о проецировании прямого угла начертательная геометрия кратко

Обновлено: 05.07.2024

Приведем простой пример. Пусть у нас есть прямая a, и точка А, лежащая на этой прямой(см. рис.) Построим АВ так, чтобы и.в. АВ была равна, скажем, 15. Для этого берем произвольную точку 1 и находим ту самую гипотенузу (т. е. делаем вид, что мы ищем и. в. А-1, но доделываем только до того момента, когда мы построили эту гипотенузу). Гипотенуза и есть линия истинных величин отрезка. Отмеряем на этой прямой заданное расстояние (равное 15), и строим, строим, строим… Желаю удачи. (мне в лом писать дальше, это и так видно из рисунка.)

Нетрудно догадаться, что если нам даны две из трех величин (например, ∆Z и и.в., или может быть какой-нить угол), то третью из прямоугольного треугольника мы легко найдем.

Теорема о частном случае проецирования прямого угла.

Собственно, теорема звучит так:

Если одна из сторон угла параллельна плоскости проекций, а другая не перпендикулярна этой плоскости, то угол проецируется на эту плоскость в истинную величину. (см. Гордон, стр. 38, рис. 89)

В общем можно сказать, что если у нас прямая частного положения(горизонталь или фронталь), то теорема будет справедлива, правда, с учетом некоторых оговорок.(подумайте, каких).

Итак, приступим. С задачей 2,1 вам все должно быть ясно (не зря же я старался, примеры приводил!). Едем дальше.

2,2 Вертолет, летит… Тьфу! Нехорошая (хотя, для кого как) задача, и в условие сразу не въедешь… Был засечен. Локатором. В точке. Угол места, расстояние до локатора… Найти положение.

Короче. И. в. СА дано, угол дан. Находим |С’A’|. Ползадачи есть.

На прямой l’ отмечаем А’ так, чтобы С’A’ было равно тому катету(указан стрелкой). (на рисунках размеры не сверять, указан только принцип) Внимание опечатка: на рисунке перепутано С’ и C’’, читать наоборот!

Продолжаем линию связи от А’. Под углом 30 градусов проводим линию из точки C’’. Получаем А’’ . Задача решена.

3. Плоскость

Необходимая теория.

Плоскость можно задать по-разному, в том числе и следами. Следы плоскости – линии пересечения плоскости с плоскостями проекций. На рис. 2 плоскость α задана следами: горизонтальным h0α и фронтальным f0α.

Пусть некоторая точка лежит в плоскости, заданной следами. Запомните правило: фронтальная проекция точки на фронтальном следе – горизонтальная проекция на оси(и наоборот: если штрих на оси, то два штриха на следе), горизонтальная проекция на горизонтальном следе – вторая проекция на оси(и наоборот).(рис. 3)

При выполнении задачи 3.1 помните, что если плоскость задана прямой и точкой, или двумя параллельными прямыми, или следами, мы всегда можем перезадать ее двумя пересекающимися прямыми, просто проведя оные. Это очень удобно для построения недостающих проекций точек. Алгоритм такой: строим прямую через точку, с помощью точек пересечения этой прямой с двумя прямыми, которыми задана плоскость, строим вторую проекцию этой прямой. Вторые проекции точек будут лежать на только что построенной проекцией прямой.

Пересекающиеся прямые в пространстве могут быть расположены под прямым углом, т.е. взаимно перпендикулярно. Прямой угол между перпендикулярными прямыми может проецироваться на чертеж в натуральную величину при определенном условии.

Теорема о проекции прямого угла :

если одна сторона прямого угла параллельна какой-либо плоскости проекций, а вторая сторона ей не перпендикулярна, то на эту плоскость проекций угол проецируется в натуральную величину, т.е. прямым (90°).

Па рис. 4.17 дано изображение, поясняющее теорему о проекции прямого угла. Две перпендикулярные прямые и , образующие плоскость проецируются на некоторую плоскость проекций . Прямая по условию параллельна этой плоскости проекций. Доказательство теоремы основано на известной из геометрии теореме о грех перпендикулярах (обратная теорема): прямая , проведенная в плоскости перпендикулярно наклонной прямой , перпендикулярна и ее проекции; следовательно, угол — прямой.

. Для решения многих задам начертательной геометрии требуется по условию строить проекции прямого угла.

На рис. 4.18. а, б показано построение на чертеже недостающей фронтальной проекции прямого угла .

На рис. 4.18, а изображено графическое условие задачи: дана горизонтальная проекция прямого угла и фронтальная проекция одной стороны этого угла.

На рис. 4.18, б показано решение задачи: так как одна сторона прямого угла по условию является фронтальной прямой, т.е. параллельна фронтальной плоскости проекций , то по теореме о проекции прямого угла на плоскость заданный прямой угол должен проецироваться прямым; следовательно, фронтальную проекцию стороны прямого угла проводим перпендикулярно заданной фронтальной проекции стороны .

На рис. 4.19, а, 6 показано построение на чертеже недостающей горизонтальной проекции прямого угла .

На рис. 4.19, а изображено графическое условие задачи: дана фронтальная проекция прямого угла и горизонтальная проекция одной стороны этого угла.

На рис. 4.19, б показано решение задачи: так как одна сторона прямого угла но условию является горизонтальной прямой. т.е. параллельна горизонтальной плоскости проекций , то по теореме о проекции прямого угла на плоскость заданный прямой угол должен проецироваться прямым; следовательно, горизонтальную проекцию стороны угла проводим перпендикулярно заданной горизонтальной проекции стороны .

Эта теория взята со страницы задач по начертательной геометрии:

Возможно эти страницы вам будут полезны:

Образовательный сайт для студентов и школьников

Прямая на чертеже может быть задана изображением прямой, точкой и направлением, отрезком прямой и двумя пересекающимися плоскостями.

а б
Рисунок 2.1 – Проекции прямой

Прямоугольной проекцией отрезка в общем случае является отрезок (второе свойство центрального и параллельного проецирования). На чертеже прямая m (Рисунок 2.1, а) и отрезок АВ (Рисунок 2.1, б) произвольно наклонены к плоскостям проекций. Такие прямые называются прямыми общего положения.

Прямая, не параллельная ни одной из плоскостей проекций, называется прямой общего положения .

Длина прямоугольной параллельной проекции отрезка общего положения всегда меньше длины самого отрезка.

2.2. Прямые частного положения

Прямая, параллельная или перпендикулярная какой-либо плоскости проекций, называется прямой частного положения .

Прямые, параллельные плоскостям проекций, называются прямыми уровня .

Прямая, параллельная горизонтальной плоскости проекций, называется горизонтальной прямой или горизонталью (Рисунок 2.2).

Рисунок 2.2 – Эпюр горизонтали

Если отрезок параллелен плоскости проекций π₁, то его фронтальная проекция А₂В₂ параллельна оси проекций π₁/π₂, а горизонтальная проекция отрезка А₁В₁ определяет истинную величину АВ:

Прямая, параллельная фронтальной плоскости проекций, называется фронтальной прямой или фронталью (Рисунок 2.3).

Рисунок 2.3 – Эпюр фронтали

Если отрезок параллелен плоскости проекций π₂, то его горизонтальная проекция параллельна оси проекций π₂/π₁, а фронтальная проекция отрезка C₂D₂ определяет истинную величину CD.

Прямая GH, параллельная профильной плоскости проекций, называется профильной прямой (Рисунок 2.4).

Прямые, перпендикулярные плоскостям проекций, называются проецирующими .

Прямая EF, перпендикулярная горизонтальной плоскости проекций, называется горизонтально-проецирующей (Рисунок 2.4).

Прямая KL, перпендикулярная фронтальной плоскости проекций, называется фронтально-проецирующей (Рисунок 2.4).

Прямая MN, перпендикулярная профильной плоскости проекций, называется профильно-проецирующей (Рисунок 2.4).

Рисунок 2.4 – Эпюры проецирующих прямых (EF, KL, MN) и профильной прямой GH

2.3. Метод прямоугольного треугольника

Метод прямоугольного треугольника позволяет по эпюру отрезка прямой общего положения определить его истинную величину.

Рассмотрим положение отрезка АВ относительно горизонтальной плоскости проекций π₁ (Рисунок 2.5).

Рисунок 2.5 – Определение истинной величины отрезка общего положения

На рисунке 2.5, а:

АА₁ – расстояние от точки А до плоскости проекций π₁;

ВВ₁ – расстояние от точки В до плоскости проекций π₁;

ΔАКВ – прямоугольный треугольник, в котором:

ВК=ВВ₁–АА₁=Δ₁ – второй катет, равный разности расстояний от концов отрезка АВ до плоскости π₁ (то есть, разности координат Z точек А и В);

АВ – гипотенуза ΔАКВ – истинная величина.

При известных координатах концов отрезка общего положения можно на эпюре определить его истинную величину (Рисунок 2.5, б) на любой из плоскостей проекций.

Рисунок 2.6 – Определение истинной длины и угла наклона отрезка AB к плоскости проекций π₂

2.4. Точка и прямая

Если точка принадлежит прямой, то её проекции:

Принадлежат одноимённым проекциям данной прямой;
Лежат на одной линии связи.

Рисунок 2.7 – Принадлежность точки прямой
Точка С принадлежит отрезку АВ (Рисунок 2.7), так как:

Если точка делит отрезок в каком-либо отношении, то проекции этой точки делят одноименные проекции данного отрезка в том же отношении:

Упражнение

Разделить точкой К отрезок EF в соотношении EK:KF=1:3 (Рисунок 2.8)

Рисунок 2.8 – Деление отрезка в заданном отношении
Решение:

Проведём произвольную прямую из любого конца любой проекции отрезка, например, Е₂.
Отложим на этой прямой от точки Е₂ равные отрезки, количество которых равно сумме чисел, составляющих дробь (в нашем примере 1+3=4).
Соединим последнюю точку 4 с другим концом фронтальной проекции отрезка – точкой F₂.
Из точки 1 проведём прямую, параллельную прямой (4—F₂) до пересечения с проекцией E₂F₂, таким образом будет найдена фронтальная проекция искомой точки К₂.
Горизонтальную проекцию точки К₁ получим путём построения линии проекционной связи до пересечения её с горизонтальной проекцией отрезка.

Упражнение

Определить принадлежность точки С отрезку прямой АВ (Рисунок 2.9).

Рисунок 2.9а – Решение упражнения 2. Способ 1.

Рисунок 2.9б – Решение упражнения 2. Способ 2.

Ответ: точка С не принадлежит отрезку АВ, так как не выполняется условие принадлежности точки прямой.

2.5. Следы прямой

След прямой – точка пересечения прямой с плоскостью проекций.

Прямая общего положения в общем случае может быть три следа:

горизонтальный след M₁– точка пересечения прямой с горизонтальной плоскостью проекций π₁;
фронтальный след N₂– точка пересечения прямой с фронтальной плоскостью проекций π₂;
профильный след L₃ – точка пересечения прямой с профильной плоскостью проекций π₃.

След прямой является точкой частного положения, поскольку он принадлежит плоскости проекций, следовательно, след прямой всегда совпадает с одной из своих проекций:

горизонтальный след совпадает со своей горизонтальной проекцией M≡M₁,
фронтальный – с фронтальной проекцией N≡N₂,
профильный – с профильной проекцией L≡L₃ (Рисунок 2.10).

Рисунок 2.10 – Построение следов отрезка прямой АВ

Построим следы отрезка АВ с плоскостями проекций (Рисунки 2.10, 2.11).

Для построения горизонтального следа прямой АB необходимо:

Продолжить фронтальную проекцию прямой АB до пересечения с осью X, точка пересечения М₂ является фронтальной проекцией горизонтального следа;
Из точки М₂ провести линию проекционной связи до его пересечения с горизонтальной проекцией прямой АB или её продолжением. Точка пересечения М₁ и будет являться горизонтальной проекцией горизонтального следа, которая совпадает с самим следом М.

Чтобы построить фронтальный след отрезка АB прямой, необходимо:

Продолжить горизонтальную проекцию прямой АB до пересечения с осью X, точка пересечения N₁ является горизонтальной проекцией фронтального следа;
Из точки N₁ провести линию проекционной связи до его пересечения с фронтальной проекцией прямой АB или ее продолжением. Точка пересечения N₂ и будет являться фронтальной проекцией фронтального следа, которая совпадает с самим следом N.

Ниже приводим алгоритм построения следов отрезка прямой АВ:

Рисунок 2.11 – Эпюр построения следов отрезка прямой АВ

Прямая, параллельная одной из плоскостей проекций, не имеет следа на плоскости, которой она параллельна, и пересекает только две плоскости. Прямая, параллельная двум плоскостям проекций (проецирующая прямая), имеет только один след, совпадающий с проекцией прямой на плоскость, к которой она перпендикулярна.

2.6. Взаимное расположение прямых

Две прямые в пространстве могут быть:

параллельными;
пересекающимися;
скрещивающимися.

Параллельные прямые – прямые, пересекающиеся в несобственной точке.

Если прямые в пространстве параллельны, то их ортогональные проекции взаимно параллельны, или сливаются, или представляют собой точки, на одной из плоскостей проекций (Рисунок 2.12).

Рисунок 2.12 – Параллельные прямые
Пересекающиеся прямые – прямые, имеющие одну общую точку.

Если прямые в пространстве пересекаются, то на чертеже одноименные проекции прямых пересекаются, при этом проекции точки пересечения прямых лежат на одной линии проекционной связи и делят соответствующие проекции отрезков прямых в равных отношениях (Рисунок 2.13).

Рисунок 2.13 – Пересекающиеся прямые

Скрещивающиеся прямые – прямые, не имеющие общих точек и не удовлетворяющие признакам параллельных и пересекающихся прямых (Рисунок 2.14).

Рисунок 2.14 — Скрещивающиеся прямые

2.7. Проекции плоских углов

Угол между двумя пересекающимися прямыми проецируется в истинную величину, если плоскость этого угла параллельна плоскости проекций.

Рисунок 2.15

По проекциям (Рисунок 2.15) нельзя судить о величине угла между двумя прямыми. На чертежах видно, что острый угол может проецироваться в виде тупого, а тупой – в виде острого.

Теорема о проецировании прямого угла в частном случае

Теорема . Если одна из сторон прямого угла параллельна какой-либо плоскости, а другая – этой плоскости не перпендикулярна, то на эту плоскость прямой угол проецируется в виде прямого угла (Рисунок 2.16, а и б).

Обратная теорема . Если одна из двух пересекающихся прямых параллельна некоторой плоскости проекций и проекции этих прямых на эту же плоскость пересекаются под прямым углом, то в пространстве эти прямые взаимно перпендикулярны.

Рисунок 2.16 – Проецирование прямого угла

Дано: две пересекающиеся под прямым углом прямые АВ ⊥ ВС,

2.8. Задачи для самостоятельного решения

1. Построить отрезок прямой АВ // π₁, равный 35 мм и наклонённый к π₂ под углом 25° (Рисунок 2.17).

Рисунок 2.17

2. Построить отрезок прямой CD по координатам его концов С (20; 15; 30), D (70; 40; 15) и определить истинную величину отрезка и углы наклона его к плоскостям проекций π₂ и π₁.

3. Постройте проекции отрезков частного положения, расположенных под углом 30° к плоскости проекций π₁ и 45° — к плоскости проекций π₂.

4. Определите взаимное положение прямых и постройте пересечение прямых АВ и CD прямой EF//π₂/π₁ (Рисунок 2.18).

1. Если плоскость, в которой расположен некоторый угол, перпендикулярна к плоскости проекций, то он проецируется на эту плоскость в виде прямой линии.

2. Если плоскость тупого или острого угла не перпендикулярна к плоскости проекций и хотя бы одна сторона угла параллельна плоскости проекций, то проекция тупого на эту плоскость представляет собой тупой угол, а проекция острого угла – острый угол.

3. Если обе стороны любого угла параллельны плоскости проекций, то его проекция равна истинной величине проецируемого угла. Но для острого или тупого угла, у которого только одна сторона параллельна плоскости проекций, проекция угла не может равняться проецируемому углу. При этом проекция острого угла меньше проецируемого угла, а проекция тупого угла больше проецируемого угла.

4. Если обе стороны любого угла параллельны плоскости проекций или одинаково наклонены к ней, то деление проекции угла на этой плоскости пополам соответствует делению пополам и самого угла в пространстве.

5. Деление угла в пространстве пополам соответствует делению пополам и его проекции только при условии, что стороны угла составляют с плоскостью проекций равные углы.

6. Если стороны угла одинаково наклонены к плоскости проекций, но не параллельны плоскости проекций, то угол – проекция не может равняться проецируемому углу.

7. Проекции острого и тупого углов могут равняться проецируемому углу не только при условии параллельности сторон угла плоскости проекций.

В дальнейшем большое применение при решении задач будет иметь теорема о частном случае проецирования прямого угла (примеры на рис.28).

Теорема:

Если плоскость прямого угла не перпендикулярна плоскости проекций, а одна из сторон этого угла параллельна плоскости проекций, то прямой угол проецируется на эту плоскость в истинную величину (в виде прямого угла).

Из этой теоремы вытекает два следствия:

1. Если проекция прямого угла представляет собой прямой угол, то проецируемый угол будет прямым лишь при условии, что, по крайней мере, одна из его сторон будет параллельна плоскости проекций.

2. Если проекция некоторого угла, у которого одна сторона параллельна плоскости проекций, представляет собой прямой угол, то проецируемый угол тоже прямой.

Чертежи прямых углов, у которых одна из сторон параллельна плоскости проекций, приведены на рис.27.

Проекции прямых (AB _┴ BN) (BD _┴ DM)выполненына две плоскости проекций (π₁иπ₂). При этом AB // π₁, BD // π₂.

Проекции прямых (KB _┴ EF)выполненына три плоскости проекций (π₁, π₂ и π₃). При этом BF // π₃.

Свойства проецирования плоских углов

Теорема:

Из этой теоремы вытекает два следствия:

Чертежи прямых углов, у которых одна из сторон параллельна плоскости проекций, приведены на рис.27.

Проекции прямых (AB _┴ BN) (BD _┴ DM)выполненына две плоскости проекций (π₁иπ₂). При этом AB // π₁, BD // π₂.

Проекции прямых (KB _┴ EF)выполненына три плоскости проекций (π₁, π₂ и π₃). При этом BF // π₃.

Читайте также: