Теорема гаусса для электростатического поля в диэлектрике кратко

Обновлено: 04.07.2024

Поскольку Q_инд = Q(1 - 1/К), то Q - Q_инд = Q(1 - 1 + 1/K) = Q/K. Тогда

Хотя соотношение (25.13) получено в частном случае, оно справедливо всегда при наличии диэлектрика. Обратим внимание на то, что Q в этом выражении - только свободный заряд. Индуцированный связанный заряд не входит в формулу, так как он учитывается коэффициентом К (или ?).

где мы воспользовались формулами (25.12) и (25.13). Величина E_d соответствует полю внутри диэлектрика и определяется выражениями

Как из этих результатов, так и из общего выражения для теоремы Гаусса (25.13) видно, что отличие от случая вакуума состоит лишь в замене ?₀ на К?₀ = ?.

Продолжение следует. Коротко о следующей публикации:

Поляризация и электрическое смещение.
Прямоугольная диэлектрическая пластина между заряженными обкладками плоского конденсатора обладает дипольным моментом. Для характеристики диэлектрика можно ввести новую величину - вектор поляризации Р, дипольный момент единицы объема.
Вектор поляризации направлен от поверхности с отрицательным зарядом с одной стороны диэлектрика к поверхности с положительным зарядом на противоположной стороне, подобно вектору дипольного момента.

Влияние диэлектриков на электрическое поле сводится к ответному действию возникающих в поле поляризационных зарядов. Теорема Остроградского-Гауса для тел в вакууме электростатического поля может быть трансформирована с помощью добавления к свободным зарядам поляризационных для получения теоремы с диэлектриками. В этом случае она запишется как:

Со значением q j s υ в качестве связанных зарядов, q i - свободных зарядов, Φ E - потока вектора напряженности электрического поля.

Теорема Остроградского-Гаусса

Если использовать вектор электрического смещения D → , то это заметно облегчает анализ поля при наличии диэлектрика. Теорему Остроградского-Гаусса при наличии диэлектрика можно записать в интегральном виде:

∮ S D → · d S → = ∑ i = 1 N q i = Q , где Q является суммарным свободным зарядом, находящийся внутри объема, который ограничен поверхностью S .

Поток вектора D → через замкнутую поверхность может быть определен только с помощью свободных зарядов. В вакууме векторы D → и E → совпадающие.

Дифференциальная форма теоремы Гаусса выражения ∮ S D → · d S → = ∑ i = 1 N q i = Q изображается как:

d i v D → = ρ с ρ , являющейся объемной плотностью свободных зарядов.

Теорема Остроградского-Гаусса вида ∮ S D → · d S → = ∑ i = 1 N q i = Q и d i v D → = ρ справедлива только в электростатике и выполняется для переменных полей. Ее относят к составной части системы уравнений Максвелла.

Теорема Остроградского-Гаусса в дифференциальной форме

Напомним формулу вектора электрической индукции:

D → = ε 0 E → + P → со значением ε 0 в качестве электрической постоянной, E → - вектора напряженности, P → - вектора поляризации.

Произведем подстановку формулы D → = ε 0 E → + P → в d i v D → = ρ :

d i v D → = d i v ε 0 E → + P → = ε 0 d i v E → + d i v P → .

При использовании теоремы Остроградского-Гаусса дифференциального вида, получим:

d i v E → = 1 ε 0 ρ - d i v P → .

Для вектора напряженности вышеуказанная формула примет вид в присутствии диэлектрика:

d i v E → = 1 ε 0 ρ + ρ s v с ρ s v , являющейся плотностью заряда. В этом случае необходимо применить d i v E → = 1 ε 0 ρ + ρ s v и d i v E → = 1 ε 0 ρ - d i v P → :

d i v P → = - 1 ε 0 c s v .

Теорема Остроградского-Гаусса для диэлектриков

Теорема Остроградского-Гаусса для вектора электрического смещения в диэлектрике выглядит также, как и для напряженности поля в вакууме. Отсюда следует, что математические соотношения, получившиеся для E → поля в вакууме, аналогичны записям для однородного диэлектрика при замене напряженности электрического поля на вектор D → .

Дан диэлектрический шар, имеющий диэлектрическую проницаемость ε 1 , равномерно заряжен по объему с постоянной плотностью заряда ρ . Его нахождение в среде обусловлено наличием диэлектрической проницаемости ε 2 . Изобразить график напряженности поля шара от расстояния до его центра.

Решение

Поле, создаваемое шаром по заданным условиям, имеет сферическую симметрию. Необходимо рассмотреть его внутри шара r ≤ R . Для нахождения E ( r ) выбирается сферическая поверхность с радиусом меньше сферы. По теореме Остроградского-Гаусса:

E · S = q ε 1 ε 0 , где S - площадь поверхности сферы, которая была выделена. Отсюда следует:

Заряд, находящийся внутри сферы, ищем из формулы:

q = ρ V = ρ 4 3 π r 3 .

Очевидно, что будут происходить изменения напряженности поля внутри шара r ≤ R , согласно выражениям:

E · 4 π r 2 = ρ 4 3 π r 3 ε 1 ε 0 ,

E = ρ r 3 ε 1 ε 0 .

Перейдем к рассмотрению поля вне шара r ≥ R . Для нахождения E ( r ) выбираем сферическую поверхность с радиусом больше радиуса сферы. По теореме Остроградского-Гаусса получим:

E · S = q ε 2 ε 0 , где S обозначает площадь поверхности выделенной сферы. Отсюда следует:

Формула S = 4 π r 2 имеет r ≥ R . Поэтому находящийся внутри заряд выделенной сферы находится из:

q = ρ V = ρ 4 3 π R 3 .

Далее следует подставить площадь из S = 4 π r 2 , заряд из q = ρ V = ρ 4 3 π R 3 , подставив в E · S = q ε 2 ε 0 :

E · 4 πr 2 = ρ 4 3 πR 3 ε 2 ε 0 .

E = ρ R 3 3 ε 2 ε 0 r 2 .

В результате запишем:

E = ρ r 3 ε 1 ε 0 п р и r ≤ R , E = ρ R 3 3 ε 2 ε 0 r 2 п р и r ≥ R .

Ответ: графики показаны на рисунке 1 . Внутри шара напряженность увеличивается прямо пропорционально расстоянию от центра шара. Вне шара она равняется E ~ 1 r 2 . На границе диэлектриков происходит разрыв. Кривая под номером 1 соответствует условию ε 1 > ε 2 .

Предположим, что имеется воображаемая сфера, в центре которой находится точечный заряд. Будет ли изменяться поток вектора напряженности через эту поверхность, если: 1 ) все пространство будет заполнено однородным и изотопным диэлектриком, 2 ) произвести замену сферической поверхности на кубическую?

Решение

По теореме Остроградского-Гаусса поток вектора напряженности через поверхность сферы в пространстве с диэлектриком будет равняться:

Φ E = ∮ S E → d S → = 1 ε 0 q + ∑ j = 1 K q j s v , со значением q j s v в качестве связанных зарядов, которые вызваны поляризацией диэлектрика полем одиночного заряда, q в качестве свободного заряда, находящегося в центре сферы.

Учитывая теорему Остроградского-Гаусса, формула потока вектора напряженности через поверхность сферы в пространстве без диэлектрика примет вид:

Теорема Остроградского-Гаусса или теорема о дивергенции — один из основополагающих законов электродинамики, устанавливающий связь между электрическими зарядами и электрическим полем.

Эта теорема выражает равенство между потоком напряженности электрического поля через замкнутую поверхность и значением заряда $q$ , расположенного внутри объема этой поверхности.

В отличие от закона Кулона теорема Остроградского-Гаусса позволяет выразить свойства электростатического поля в более общей форме.

Осторожно! Если преподаватель обнаружит плагиат в работе, не избежать крупных проблем (вплоть до отчисления). Если нет возможности написать самому, закажите тут.

Имея заряд $q$ , окруженный замкнутой поверхностью любой формы, в каждой точке этой поверхности можно наблюдать электрическое поле, спровоцированное этим зарядом. Чтобы найти поток напряженности электрического поля, необходимо перемножить напряженность этого поля и сколь угодно малую единицу окружающей заряд поверхности. А после, зная это, можно рассчитать поток напряженности, который проходится на каждую единицу поверхности.

В этом заключается суть теоремы Остроградского-Гаусса. Ее можно сформулировать как совокупный поток напряженного электрического поля, проходящий через плоскость, окружающую заряд, пропорционален величине заряда.

Теорема активно используется в электродинамике, а для более сложных полевых теорий, существуют ее обобщения и аналоги.

Теорема была выведена двумя учеными независимо друг от друга. Российский математик Михаил Остроградский в 1828 году вывел теорему, применимую для векторного поля любой природы, а то время как его немецкий коллега Карл Гаусс, увлекшись изучением магнетизма и электрических полей, представил миру свою теорему применительно к электростатическому полю.

Михаил Остроградский доказал теорему электростатики через уравнение дифференциальной формы, в то время как Карл Гаусс в 1839 году получил аналогичный результат в интегральной форме.

Физический смысл формулы

Физический смысл формулы сводится к тому, что поток электрической индукции ( $D$ ) через любую замкнутую поверхность $S$ пропорционален суммарному заряду, заключенному внутри этой поверхности ( $q$ ).

Вывод формулы в интегральной форме

Начнем с того, что поток вектора напряженности электрического поля равен числу линий напряженности, пересекающих поверхность $S$ . Обратим внимание на рисунок 1. В данном случае поток вектора напряженности через $dS$ будет равен:

Таким образом, в однородном поле $\phi_E=ES$ , а в произвольном электрическом поле:

$\phi_E=\int_SE_ndS=\int_s\overrightarrow Ed\overrightarrow S$

В этом случае $d\overrightarrow S=dS\overrightarrow n$ — положение $dS$ в пространстве задается с помощью вектора $\overrightarrow n$ . То есть направление вектора $d\overrightarrow S$ совпадает с направлением $\overrightarrow n$ .

Теперь попробуем вычислить поток вектора $\overrightarrow E$ через произвольную замкнутую поверхность $S$ , которая окружает заряд $q$ (рисунок 2). Окружим заряд $q$ сферой $S_1$ . Центр сферы и центр заряда совпадают, поэтому радиус сферы $S_1$ равен $R_1$ .

Проекция $\overrightarrow E$ на направление внешней нормали одинакова на каждой точке поверхности $S_1$ и вычисляется по формуле:

В таким случае поток через $S_1$ можно узнать, применив формулу:

Пример

Далее вычислим поток через сферу $S_2$ , которая имеет радиус $R_2$ по формуле:

Учитывая непрерывность линии $\overrightarrow E$ , поток через любую поверхность $S$ будет равен той же величине:

Формула для нескольких зарядов будет записываться следующим образом:

Вывод формулы в дифференциальной форме

Дифференциальная форма теоремы используется для расчета электростатического поля в случае произвольного пространственного распределения зарядов. В этой форме отражена связь между объемной плотностью заряда $\rho$ и изменением $\overrightarrow E$ вокруг этой точки пространства.

Используем теорему Остроградского-Гаусса, в соответствии с которой поток вектора $\overrightarrow A$ через любую замкнутую поверхность равняется интегралу от его дивергенции по объему, охваченному этой поверхностью:

Пример

В данном случае $div\overrightarrow A$ в любой точке поля обозначает предел отношения потока вектора $\overrightarrow A$ через замкнутую поверхность $S$ , которая охватывает точку $M$ , к объему $\triangle V$ части поля, ограничиваемой поверхностью $S$ , при неограниченном уменьшении $\triangle V$ :

$div\overrightarrow A=\lim_\frac1\oint(\overrightarrow Ad\overrightarrow S)$ .

Вернемся к заряду. Предположим, что он распределен в пространстве $\triangle V$ , а его объемная плотность  , тогда в соответствии с теоремой Остроградского-Гаусса:

$\oint(\overrightarrow Ed\overrightarrow S)=\frac q$ или же $ \oint(\overrightarrow Ed\overrightarrow S)=\frac< \triangle V>$ .

Если устремить $\triangle V$ к $0$ , притягивая его к нужной нам точке, то в этом случае  в этом точке будет стремиться к $\rho$ , то есть $\frac< >\rightarrow\frac\rho.$

Дивергенцией вектора $\overrightarrow E$ называется величина, которая является пределом отношения $\oint(\overrightarrow Ed\overrightarrow S)$ к $ \triangle V$ при $\triangle V\rightarrow0$ . Обозначается это как $div\overrightarrow E$ и соответствует $div\overrightarrow E\;=\;\lim_\frac1\oint(\overrightarrow Ed\overrightarrow S$ )

Этим же способом определяется дивергенция любого векторного поля.

Применение формулы

Формула используется для того, чтобы преобразовать объемный интеграл в интеграл по замкнутой поверхности и наоборот.

В матанализе формула теоремы Остроградского-Гаусса используется для вычисления дивергенции, то есть потока векторного поля через поверхность окрестности по внешним направлениям. Принимая во внимание то, что поток векторного поля через замкнутую поверхность $\delta$ в направлении внешней единичной нормали $\overline$ равен дивергенции данного поля, вычисленной по телу $T$ , которое эта поверхность

Применение теоремы

Для расчета электростатического поля

Теорема Остроградского-Гаусса применяется для расчета электростатического поля для тех задач, где поле имеет специальную симметрию. Например, плоскую, цилиндрическую или сферическую. В данном случае на эффективность применения теоремы влияют симметрия и конфигурация поля, которые должны соответствовать двум условиям:

заряженное тело должно быть окружено простой замкнутой поверхностью;
вычисление потока вектора напряженности необходимо свести к умножению $Е$ (или $E_n$ ) на площадь поверхности $S$ или часть нее.

Если исходные данные не соответствуют условиям, то при решении задачи необходимо использовать другие методы.

Для плоскости

Рассмотрим применение теоремы для равномерно заряженной плоскости.

Задача

Предположим, что заряд положительный, а плоскость заряжена с постоянной поверхностной плотностью, что выражается в формуле $\delta=\frac$ . Благодаря симметрии можно сделать вывод, что напряженность в любой точке поля обладает направлением, перпендикулярным плоскости. Из этого же можно сделать вывод, что во всех точках, симметричных плоскости, напряженность поля одинакова, но ее направление противоположно.

Отметим на заряженной плоскости площадь $\triangle S$ . Определим вокруг площадки замкнутую цилиндрическую поверхность (рисунок 3) так, чтобы ее образующие основания были перпендикулярны плоскости, располагались симметрично, относительно нее и имели величину $\triangle S$ .

А теперь используем теорему Остроградского-Гаусса: $\oint_SE_ndS=\frac1^<>>q_1$ . Так как в этом случае $E_n=0$ в каждой точке, через боковую часть потока не будет. В случае оснований $E_n=E$ , а исходя из этого совокупный поток через поверхность равен $2E\triangle S$ .

Посмотрим теперь внутрь поверхности. Там заключен заряд $\delta\triangle S$ . В соответствии с теоремой Остроградского-Гаусса, должно быть выполнено условие: $2E\triangle S=\frac$ , из чего следует $E=\frac\delta$ .

Так как напряженность поля равна на любых расстояниях от плоскости, в вычисления не нужно включать длину цилиндра. Если плоскость заряжена, то направление векторов изменяется на противоположное.

Для сферической поверхности

Задача

Возьмем поле, которое создает сферическая поверхность с радиусом $R$ , заряженное с постоянной поверхностной плоскость $\delta$ . Так как этому полю характерна центральная симметрия, направление вектора $\overrightarrow E$ в любой точке проходит через центр сферы. Учитывая это, мы знаем, что значение напряженности можно выразить функцией расстояния $r$ от центра сферы.

Вычислим напряженность поля. Для начала расчетов проведем через точки на A и B (на рисунке 1.1) сферические поверхности для вычисления потока вектора, проходящего через них. Точка B располагается внутри заряженной поверхности, а ее расстояние от центра составляет $r$ (при $ r ). Внутри поверхности, которую мы провели через эту точки, заряд содержаться не будет, а, значит, по теореме Остроградского-Гаусса \(\oint_SE_ndS=\frac1^<>>q_1$ , напряженность в этой точки будет равняться нулю.

Теперь обратимся к полю, созданному заряженной сферической поверхностью в точке A, чье расстояние от центра сферы равно $r$ . Поместим заряженное тело в замкнутое сферическую поверхность радиусом r, проходящей через точку A. В этом случае $E_n=E(r)$ справедливо для всех точек этой поверхности. Заряд $q$ , создающий данное поле, пропадает внутри этой поверхности. Таким образом, $E(r)4\mathrm^2=\frac<\mathrm q><<\mathrm\varepsilon>_0>,\;\mathrm\;\mathrm\;\oint(\overrightarrow<\mathrm E>\mathrm d\overrightarrow<\mathrm S>)=\frac<\mathrm q>_1><<\mathrm\varepsilon>_0>$ . Из этого следует, что напряженность поля в точках, располагающихся на расстоянии $r>R$ , равняется $E=\frac1<4\pi\varepsilon_0>\frac q$ .

В диэлектрике

Диэлектрики влияют на электрического поле. Это влияние выражается в ответном действии поляризационных зарядов, которые возникают в поле. Исходя из этого теорему Остроградского-Гаусса для тел в вакууме можно видоизменить, прибавив к свободным зарядам поляризационные, и тогда эту теорему можно применять в диэлектрической среде.

Теорема будет выглядеть так: $\oint_s\overrightarrow Dd\overrightarrow S=\sum_^Nq_i=Q(2)$

В этом случае $\overrightarrow D$ — это вектор электрического смещения, $q_i$ — это свободные заряды, а $Q$ — суммарный свободный заряд, находящийся внутри объема, ограниченного поверхностью $S$ . В вакууме векторы $\overrightarrow D$ и $\overrightarrow E$ совпадают.

Для расчета магнитного поля

Выделим элементарную бесконечно малую площадку $dS$ в магнитном поле. Предположим, что она настолько маленькая и плоская, что вектор B можно признать одинаковым по величине и направлению в каждой точке магнитного поля, независимо от того однородно оно или нет.

Тогда поток вектора магнитной индукции сквозь $dS$ можно определить с помощью выражения $d\phi=BdS\cos\left(\overrightarrow B\wedge d\overrightarrow S\right)=B_ndS=\overrightarrow Bd\overrightarrow S $ .

В данном случае $B_n$ равно $B\cos\left(\alpha\right)$ , где $\alpha$ это острый угол между направлениями вектора $В$ и нормалью. $B_n$ — это проекция вектора магнитной индукции в области нахождения площадки $dS$ на направление нормали (рисунок 4).

Определение потока магнитной индукции через произвольную поверхность звучит как сумма потоков через элементарные площадки, на которые разбита эта поверхность, и выражается в виде интеграла по этой поверхности:

Области применения теоремы

Ценность теоремы Остроградского-Гаусса состоит в формулировке общих свойств электрического поля. Она — один из основных постулатов теории электричества. Поэтому широко применяется в общей и учебной физике и таких ее областях как электромагнетизм, электростатика и механика, с ее помощью решают задачи и изучают векторные (в том числе электромагнитные) поля.

Кроме этого теорема применяется в электродинамике, гидродинамике и математическом анализе.

Влияние диэлектриков на электрическое поле сводится к ответному действию возникающих в поле поляризационных зарядов. Поэтому теорему Остроградского -- Гаусса для тел в вакууме можно трансформировать, добавив к свободным зарядам поляризационные заряды и получить теорему с диэлектриками. В таком случае теорема Остроградского -- Гаусса примет вид в системе СИ:

где $q_$ -- связанные заряды, $q_i$ -- свободные заряды, $Ф_E$ -- поток вектора напряженности электрического поля.

Использование вектора электрического смещения ($\overrightarrow)$ существенно облегчает анализ поля при наличии диэлектрика. Так, например, теорема Остроградского -- Гаусса в интегральном виде при наличии диэлектрика может быть записана как:

где $Q$- суммарный свободный заряд, который находится внутри объема, который ограничен поверхностью S.

Поток вектора $\overrightarrow$ через замкнутую поверхность определен только свободными зарядами. В вакууме векторы $\overrightarrow$ и $\overrightarrow$ совпадают.

В дифференциальной форме выражение (2) принимает следующий вид:

где $\rho $ -- объемная плотность свободных зарядов. Теорема Остроградского - Гаусса в виде (2) и (3) справедлива не только в электростатике, она выполняется и для переменных полей. Данная теорема является составной частью системы уравнений Максвелла.

Теорема Остроградского -- Гаусса в дифференциальной форме

Вспомним определение вектора электрической индукции:

где $_0$ -- электрическая постоянная, $\overrightarrow$ -- вектор напряженность, $\overrightarrow$ -- вектор поляризации. Подставим (4) в выражение (3), получим:

Следовательно, если использовать теорему Остроградского -- Гаусса в дифференциальном виде, то можно записать:

Но для вектора напряженности также можно записать теорему Остроградского -- Гаусса в дифференциальной форме в присутствии диэлектрика, она будет выглядеть как:

где $_$ -- плотность связанного заряда. В таком случае, используя (7) и (6), получим:

Теорема Остроградского -- Гаусса для вектора электрического смещения в диэлектрике имеет такой же вид, как для напряженности в вакууме. Следовательно, все математические соотношения, которые были получены для $\overrightarrow$ поля в вакууме, имеют такой же вид для однородного диэлектрика при замене напряженности электрического поля на вектор $\overrightarrow.$

Готовые работы на аналогичную тему

Задание: Диэлектрический шар, диэлектрическая проницаемость которого $_1$ равномерно заряжен по объему с постоянной плотностью заряда $\rho $. Находится шар в среде с диэлектрической проницаемостью $_2$. Нарисуйте график зависимости напряженности поля шара от расстояния от его центра.

Поле, которое создает шар, который дан в условиях задачи, имеет сферическую симметрию.

Рассмотрим поле внутри шара ($r\le R$). Для того, чтобы найти $E(r)$ выберем сферическую поверхность, радиус которой меньше радиуса сферы. Из теоремы Остроградского -- Гаусса имеем:

где $S$ -- площадь поверхности сферы, которую мы выделили, следовательно:

при этом заряд, который находится внутри выделенной сферы, мы можем найти как:

\[q=\rho V=\rho \frac\pi r^3\left(1.3\right).\]

В таком случае напряженность поля внутри шара ($r\le R$) будет изменяться в соответствии с:

Рассмотрим поле вне шара ($r\ge R$). Для того, чтобы найти E(r) выберем сферическую поверхность, радиус которой больше радиуса сферы. Из теоремы Остроградского -- Гаусса имеем:

где $S$ -- площадь поверхности сферы, которую мы выделили, следовательно:

Но мы помним, что в (1.7) $r\ge R$. При этом заряд, который находится внутри выделенной сферы, мы можем найти как:

\[q=\rho V=\rho \frac\pi R^3\left(1.8\right).\]

Подставляем площадь из (1.7) и заряд из (1.8) в (1.6), получаем:

В результате мы получили:

Ответ: Рис. 1 графики, которые требовалось изобразить. Внутри шара напряженность растет прямо пропорционально расстоянию от центра шара. Вне шара $E\sim \frac$. На границе двух диэлектриков напряжённость испытывает разрыв. Причем, кривая с номером 1 соответствует $_1>_2$, кривая с номером 2 $_1

Задание: В центре воображаемой сферы находится точечный заряд. Изменится ли поток вектора напряженности через эту поверхность, если, 1)все пространство сферы заполнить однородным и изотропным диэлектриком, 2) заменить сферическую поверхность на кубическую?

1) В соответствии с теоремой Остроградского -- Гаусса поток вектора напряженности через поверхность сферы в пространстве с диэлектриком будет равен:

где $q_$ -- связанные заряды, которые вызваны поляризацией диэлектрика полем одиночного заряда, $q$ -- свободный заряд, который находится в центре сферы.

В соответствии с теоремой Остроградского -- Гаусса поток вектора напряженности через поверхность сферы в пространстве без диэлектрика будет равен:

2) Так как поле создается точечным свободным зарядом, то при замене формы поверхности поток вектора напряженности не изменится, так как он равен величине заряда, который находится внутри поверхности.

Читайте также: