Теорема эйлера доказательство кратко

Обновлено: 01.07.2024

Современная теория многогранников берет свое начало с работ Леонарда Эйлера (1707-1783) – одного из величайших математиков мира, работы которого оказали решающее влияние на развитие многих разделов математики. Л. Эйлер был не только выдающимся математиком, но и крупной творческой личностью. Им было написано около 760 научных статей для журналов, 40 книг, 15 работ для различных конкурсов. Поражает работоспособность ученого, росшая на протяжении всей жизни. Так, в первые 14 лет научной деятельности им было написано 80 работ объемом около 4000 печатных листов, а в последние 14 лет жизни, несмотря на тяжелую болезнь – слепоту, опубликовано свыше 359 работ общим объемом приблизительно 8000 печатных листов. Многие рукописи Эйлера сохранились до наших дней. Эйлер долгое время (с 1727 по 1741 год и с 1766 до конца жизни) жил и работал в России, был действительным членом Петербургской академии наук, оказал большое влияние на развитие русской математической школы, на подготовку кадров ученых – математиков и педагогов России.

Рассмотрим различные доказательства этой теоремы. В дальнейшем данный материал можно использовать как для факультативных и кружковых занятий, так и для самостоятельного изучения учениками.

Прежде чем рассматривать доказательство, обратимся к следующей таблице (Г- число граней многогранника, В – вершин, Р - ребер ):

Название многогранника	Г	В	Р
Тетраэдр	4	4	6
Четырехугольная призма	6	8	12
Семиугольная пирамида	8	8	14
Пятиугольная бипирамида	10	7	15
Правильный додекаэдр	12	20	30

Теперь найдем сумму Г+В-Р для каждого из представленных в таблице многогранников. Во всех случаях получилось: Г+В-Р=2. Справедливо это только для выбранных многогранников? Оказывается это соотношение справедливо для произвольного выпуклого многогранника. Это свойство впервые было подмечено и затем доказано Л. Эйлером.

Теорема Эйлера. Для любого выпуклого многогранника справедливо соотношение Г+В-Р=2 (*), где Г – число граней, В – число вершин и Р – число ребер данного многогранника.

Доказательство. Существует множество различных доказательств теоремы Эйлера. Предлагается рассмотреть три наиболее интересных из них.

Для данной сетки нужно доказать соотношение

тогда для многогранника будет справедливо соотношение (*).

Докажем, что соотношение (**) не меняется, если в сетке провести какую-либо диагональ. Действительно, после проведения некоторой диагонали в сетке будет Г′+1 граней, В вершин и Р+1 ребро, т.е.

Пользуясь этим свойством, проведем в сетке диагонали, разбивающие ее на треугольники (на рисунке 3 диагонали изображены пунктирами), и докажем соотношение (**) методом математической индукции по числу n треугольников в сетке.

Пусть n=1, т.е. сетка состоит из одного треугольника. Тогда Г′=1, В=3, Р=3 и выполняется соотношение(**). Пусть теперь соотношение (**) имеет место для сетки, состоящей из n треугольников. Присоединим к ней еще один треугольник. Его можно присоединить следующими способами:

1. как ∆ABC (рис 3). Тогда сетка состоит из Г′+1 граней, В+1 вершин и Р+2 ребер, и, следовательно,

2. Как ∆MNL. Тогда сетка состоит из Г′+1 граней, В вершин и Р+1 ребер, и, следовательно,

Таким образом, в обоих случаях, т.е. при любом присоединении (n+1)-го треугольника, выражение (**) не меняется, и если оно равнялось 1 для сетки из n треугольников, то оно равняется 1 и для сетки из (n+1) треугольника. Итак, соотношение (**) имеет место для любой сетки из треугольников, значит, для любой сетки вообще. Следовательно, для данного многогранника справедливо соотношение (*). Такое доказательство предложено в [18].

2)Способ доказательства теоремы Эйлера, связанный с нахождением суммы плоских углов выпуклого многогранника. Обозначим ее ∑_а. Напомним, что плоским углом многогранника являются внутренние плоские углы его граней.

Например, найдем ∑_а для таких многогранников:

а) тетраэдр имеет 4 грани – все треугольники. Таким образом, ∑_а = 4π;

б) куб имеет 6 граней – все квадраты. Таким образом, ∑_а = 6∙π = 12π;

в) возьмем теперь произвольную пятиугольную призму. У нее две грани – пятиугольники и пять граней – параллелограммы. Сумма углов выпуклого пятиугольника равна 3π. (Напомним, что сумма внутренних углов выпуклого n-угольника равна π (n-2).) Сумма углов параллелограмма равна 2π. Таким образом,

Итак, для нахождения ∑_а мы вычисляли сначала сумму углов, принадлежащих каждой грани. Воспользуемся этим приемом и в общем случае.

Введем следующие обозначения: S₁, S₂, S₃, …, S_r – число сторон 1, 2, 3-й и т.д. последней грани многогранника. Тогда

Далее найдем общее число сторон всех граней многогранника. Оно равно S₁ +S₂ +S₃ +…+S_r . Так как каждое ребро многогранника принадлежит двум граням, имеем:

(Напомним, что через Р мы обозначили число ребер данного многогранника.) Таким образом получаем:

Заметим, что спроектированный многогранник представляет слившиеся две наложенные друг на друга многоугольные пластины с общим контуром, из которых верхняя разбита на (Г-1) многоугольник, а нижняя на грани не делится. Обозначим число сторон внешнего окаймляющего многоугольника через r. Теперь найдем ∑_а спроектированного многогранника. ∑_а состоит из следующих трех сумм:

1) Сумма углов нижней грани, у которой r сторон, равна π (r-2).

2) Сумма углов верхней пластины, вершинами которых являются вершины нижней грани, тоже равна π (r-2).

∑_а = π (r-2) + π (r-2) + 2π (В-r) = 2πВ - 4π. (2)

Таким образом, сравнивая выражения (1) и (2), получаем:

что и требовалось доказать.

Этот способ доказательства теоремы Эйлера рассмотрен в книге американского математика и педагога Джорджа Пойа. [10]

3)Способ, предложенный математиком Л.Н. Бескиным. [5]

Здесь, как и в случае 1), вырезаем одну грань многогранника и оставшуюся поверхность растягиваем на плоскость. При этом на плоскости получается некоторая плоская фигура, например, изображенная на рисунке 6.

Представим себе, что эта плоская фигура изображает собой остров, который со всех сторон окружен морем и состоит из отдельных полей – граней, отделенных друг от друга и от воды плотинами – ребрами.

Начнем постепенно снимать плотины, чтобы вода попала на поля. Причем плотину можно снять только в том случае, если она граничит с водой лишь с одной стороны. Снимая очередную плотину, мы орошаем ровно одно поле. Покажем теперь, что число всех плотин (т.е. Р – число ребер взятого многогранника) равно сумме чисел снятых и оставшихся плотин.

Итак, число снятых плотин равно (Г-1). Действительно, снимая плотины, которые омывает вода только с одной стороны, мы оросили все поля (т.е. грани, число которых равно (Г-1), так как одна грань была сначала вырезана). На рисунке 6 номера 1, 2, 3, … , 15 показывают порядок снятия плотин. Число оставшихся плотин равно (В-1). Покажем это. На рисунке 7 наша система изображена после снятия всех возможных плотин. Больше ни одну плотину снять нельзя, так как они омываются с двух сторон. Далее никакие две вершины системы, например B и D (рис. 7), не могут соединяться двумя путями, так как в противном случае получился бы замкнутый контур (рис 8), внутри которого не было бы воды, что противоречит тому, что все поля орошены водой. Отсюда следует, что в оставшейся системе плотин должен быть тупик, т.е. вершина, в которую ведет одно единственное ребро. Выберем какую-либо вершину, например вершину А (рис 7), и пойдем по пути, составленному из плотин, причем не будем проходить никакую вершину дважды. В конце концов, так как число вершин конечно, мы придем в тупик (например в вершину G на рис 7). Тогда отрезок-тупик, т.е. вершину G и прилежащее к ней ребро-плотину, отрежем. В оставшейся системе опять выберем какую-нибудь вершину, пойдем от нее и отрежем получившийся тупик. Поступая так, мы наконец придем к системе, в которой нет плотин, а имеется только одна вершина, которая останется после отрезания последнего тупика. Таким образом, число оставшихся плотин равно (В-1).

Думаю, что такое многогранник, представляют все. Но все же давайте определим его точнее.

Определение. Многогранником называется тело в пространстве, ограниченное поверхностью, которую образуют многоугольники, при этом выполняются условия:

1. каждая сторона любого многоугольника является стороной другого многоугольника, причем только одного;
2. многоугольники с общей вершиной образуют цепочку, в которой два соседних многоугольника имеют общую сторону.

Многоугольники называются гранями многогранника, их стороны называются ребрами, а вершины — вершинами многогранника.

Многогранник называется выпуклым, если для любых двух точек, которые он содержит, отрезок, соединяющий эти две точки, также целиком принадлежит многограннику.

Многогранник называется простым, если он не имеет дыр. Другими словами, любая замкнутая кривая на поверхности многогранника стягивается в точку, принадлежащую поверхности. При этом в процессе стягивания кривая всегда лежит на поверхности многогранника.

Из выпуклости следует простота, но не наоборот.

Примером простого многогранника является куб. А вот если рассмотреть куб, у которого вырезан еще один куб, размером поменьше, так что оба куба имеют общий центр симметрии, то такой многогранник не будет простым.

Теорема Эйлера устанавливает связь между числом вершин , числом ребер и числом граней простого многогранника. Формула Эйлера весьма красива. Она справедлива также для планарных графов.

Интересно, что Эйлер, опубликовавший свою теорему в 1751 году, переоткрыл то, что в 1639 году практически доказал Декарт. Он доказал, что сумма величин всех углов всех граней многогранника равна и что в то же время она равна , откуда сразу же следует формула Эйлера (надо сказать, что Декарт ее в таком виде не получил).

Теорема Эйлера. Для простого многогранника

Доказательство. Удалим одну из граней многогранника. Теперь деформируем оставшуюся поверхность в плоскую сеть (собственно, это и есть планарный граф), состоящую из точек и кривых. Не умаляя общности, можно считать, что деформированные ребра являются отрезками. При этом число вершин, ребер и граней не изменится, если считать, что внешняя для сети часть плоскости соответствует удаленной грани.

Теперь последовательно применим преобразования, которые будут упрощать полученную сеть, не изменяя эйлеровой характеристики, т.е. числа .

1. Если есть многоугольная грань с более, чем тремя, сторонами, проведем диагональ. Это добавит одно ребро и одну грань. Будем добавлять ребра, пока все грани не станут треугольниками.

2. Будем удалять по одному треугольники, у которых две стороны являются границами с внешней областью. Тем самым, удаляется вершина, два ребра и одна грань.

3. Удалим треугольники, одна сторона которых общая с внешней гранью. Это уменьшает количество ребер и граней на один, при этом число вершин не изменяется.

Будем последовательно применять преобразования 2 и 3 до тех пор, пока не останется один треугольник. Для него (считая внешнюю грань), . Следовательно, , что и доказывает теорему.

Проблемы в определении

Фигуры, не являющиеся многогранниками

Правильный

Первые шаги к теореме Эйлера для многогранников

Полиэдральная формула

Систематическое исследование этих фигур началось сравнительно рано в истории математики. Леонард Эйлер был первым, кто заметил, что для выпуклых трехмерных многогранников справедлива формула, связывающая число их вершин, граней и ребер.

Она выглядит так:

где V – число многогранных вершин, F — число ребер многогранников, а E — число граней.

Леонард Эйлер – швейцарский математик, который считается одним из величайших и производительных ученых всех времен. Он большую часть жизни был слеп, но потеря зрения послужила ему поводом стать еще более продуктивным. Существует несколько формул, названных в его честь, и ту, которую мы только что рассмотрели, иногда называют формулой многогранников Эйлера.

Есть одно уточнение. Формула Эйлера, однако, работает только для многогранников, которые следуют определенным правилам. Они заключаются в том, что форма не должна иметь никаких отверстий. И недопустимо, чтобы она пересекала саму себя. Многогранник также не может состоять из двух частей, соединенных вместе, например, двух кубов с одной вершиной. Эйлер упомянул о результате своего исследования в письме к Христиану Гольдбаху в 1750 году. Позднее он опубликовал две работы, в которых описал, как попытался найти доказательство своего нового открытия. На самом деле существуют формы, которые дают другой ответ на V + F - E. Ответ на сумму F + V - E = Х называется эйлеровой характеристикой. У нее есть еще один аспект. Некоторые формы могут даже иметь характеристику Эйлера, которая является отрицательной

Теория графов

Доказательства формулы Эйлера

Эйлер сначала сформулировал полиэдральную формулу как теорему о многогранниках. Сегодня ее часто трактуют в более общем контексте связанных графов. Например, как структуры, состоящие из точек и отрезков линий, соединяющих их, которые находятся в одной части. Огюстен Луи Коши был первым человеком, который нашел эту важную связь. Она и послужила доказательством теоремы Эйлера. Он, в сущности, заметил, что граф выпуклого многогранника (или то, что сегодня называется таковым) топологически гомеоморфен сфере, имеет плоский связный граф. Что это такое? Плоский граф — это тот, который был нарисован в плоскости таким образом, что его ребра встречаются или же пересекаются только в вершине. В этом и была найдена связь теоремы Эйлера и графов.

Одним из признаков важности результата является то, что Дэвид Эпштейн смог собрать семнадцать различных доказательств. Существует много вариантов обоснования полиэдральной формулы Эйлера. В некотором смысле наиболее очевидными доказательствами являются методы, использующие математическую индукцию. Результат можно доказать, проводя ее по числу либо ребер, граней либо вершин графа.

Доказательство Радемахера и Теплица

Иордановая кривая. Теорема

Основной тезис, который прямо или косвенно используется при доказательстве формулы многогранников теоремы Эйлера для графов, зависит от Иордановой кривой. Эта идея связана с обобщением. Она гласит, что любая простая замкнутая кривая делит плоскость на три множества: точки на ней, внутри и вне ее. Поскольку интерес к многогранной формуле Эйлера развился в девятнадцатом веке, было сделано много попыток обобщить ее. Это исследование заложило основу для развития алгебраической топологии и связало ее с алгеброй и теорией чисел.

Группа Мебиуса

Диаграмма Эйлера

Ученый совершил еще одно открытие, которое используется до сих пор. Это так называемая диаграмма Эйлера — графическое изображение, состоящее из кругов, обычно используемое для иллюстрации отношений между множествами или группами. Диаграммы обычно включают цвета, которые смешиваются в областях, где круги перекрываются. Множества же изображаются именно кругами или овалами, хотя для них также могут быть использовать другие фигуры. Включение представлено перекрытием эллипсов, называемых эйлеровыми кругами.

Они представляют множества и подмножества. Исключение составляют неперекрывающиеся круги. Диаграммы Эйлера тесно связаны с другим графическим изображением. Их часто путают. Это графическое изображение называется диаграммами Венна. В зависимости от рассматриваемых множеств обе версии могут выглядят одинаково. Однако на диаграммах Венна перекрывающиеся круги необязательно указывают на общность между множествами, а только на возможную логическую связь, если их метки не находятся в пересекающемся круге. Оба варианта были приняты для преподавания теории множеств в рамках нового математического движения 1960-х годов.

Теоремы Ферма и Эйлера

Эйлер оставил заметный след в математической науке. Алгебраическая теория чисел обогатилась теоремой, названной в его честь. Она также является следствием другого важного открытия. Это так называемая общеалгебраическая теорема Лагранжа. Имя Эйлера также связано с малой теоремой Ферма. В ней говорится, что если p — простое число и a — целое число, не делящееся на p, то:

а p-1 - 1 делится на p.

Иногда это же открытие носит другое название, чаще всего встречающееся в иностранной литературе. Звучит оно как "рождественская теорема Ферма". Все дело в том, что открытие стало известно благодаря письму ученого, отправленного в канун 25 декабря 1640 года. Но само утверждение встречалось и раньше. Его использовал другой ученый по имени Альбер Жирар. Ферма лишь пытался доказать его теорию. Автор намекает в другом своем письме на то, что его вдохновил метод бесконечного спуска. Но никаких доказательств он не привел. Позже к этому же методу обратиться и Эйдер. А после него - множество других известных ученых, в том числе Лагранж, Гаусс и Минкоский.

Особенности тождеств

Малая теорема Ферма называется также частным случаем теоремы из теории чисел, принадлежащей Эйлеру. В этой теории функция тождества Эйлера подсчитывает положительные целые числа до заданного целого числа n. Они взаимно просты по отношению к n. Теорема Эйлера в теории чисел записывается с использованием греческой буквы φ и выглядит как φ (n). Ее можно более формально определить как число целых чисел k в диапазоне 1 ≤ k ≤ n, для которого наибольший общий делитель gcd (n, k) равен 1. Запись φ (n) также может называться фи-функцией Эйлера. Целые числа k этой формы иногда называются тотативными. В основе теории чисел функция тождества Эйлера является мультипликативной, означающей, что если два числа m и n взаимно просты, то φ(mn) = φ(m)φ(n). Она также играет ключевую роль в определении системы шифрования RSA.

2)Для данной сетки нужно доказать соотношение Г′+В-Р=1,(**) тогда для многогранника будет справедливо соотношение (*).

3)Докажем, что соотношение (**) не меняется, если в сетке провести какую-либо диагональ. Действительно, после проведения некоторой диагонали в сетке будет Г′+1 граней, В вершин и Р+1 ребро, т.е. (Г′+1)+В-(Р+1)=Г′+В-Р.

4)Пользуясь этим свойством, проведем в сетке диагонали, разбивающие ее на треугольники (на рисунке 3 диагонали изображены пунктирами), и докажем соотношение (**) методом математической индукции по числу n треугольников в сетке.

Доказательство 1

5)Пусть n =1, т.е. сетка состоит из одного треугольника. Тогда Г′=1, В=3, Р=3 и выполняется соотношение(**). Пусть теперь соотношение (**) имеет место для сетки, состоящей из n треугольников. Присоединим к ней еще один треугольник. Его можно присоединить следующими способами:

6) ∆ABC (рис 3). Тогда сетка состоит из Г′+1 граней, В+1 вершин и Р+2 ребер, и, следовательно,

5) Как ∆MNL. Тогда сетка состоит из Г′+1 граней, В вершин и Р+1 ребер, и, следовательно, (Г′+1)+В-(Р+1)=Г′+В-Р.

6) Таким образом, в обоих случаях, т.е. при любом присоединении ( n +1)-го треугольника, выражение (**) не меняется, и если оно равнялось 1 для сетки из n треугольников, то оно равняется 1 и для сетки из ( n +1) треугольника. Итак, соотношение (**) имеет место для любой сетки из треугольников, значит, для любой сетки вообще. Следовательно, для данного многогранника справедливо соотношение(*).

Доказательство 2

1)Возьмем с наружи многогранника точку О вблизи от какой-либо грани F и спроектируем остальные грани на F из центра О (рис. 9). Их проекции образуют разбиение грани F на многоугольники.
Подсчитаем двумя способами сумму α углов всех полученных многоугольников и самой грани F.
Сумма углов n-угольника равна ∏(n - 2).
Сложим эти числа для всех граней (включая грань F). Сумма членов вида ∏n равна общему числу сторон всех граней, т.е. 2Р - ведь каждое из Р рёбер принадлежит двум граням. А так как у нас всего Г слагаемых, α = ∏(2Р - 2Г).
Теперь найдем сумму углов при каждой вершине разбиения и сложим эти суммы. Если вершина лежит внутри грани F, то сумма углов вокруг нее равна 2∏. Таких вершин В-k, где k- число вершин самой грани F, а значит, их вклад в равен 2∏(В - k). Углы при вершинах F считаются в сумме дважды (как углы F и как углы многоугольников разбиения); их вклад равен 2∏(k - 2). Таким образом,

α = 2∏(B - k) + 2∏(k - 2) = 2∏(B - 2). Приравнивая два результата и сокращения на 2π, получаем требуемое равенство Р - Г = В - 2.

Читайте также: