Сонаправленные углы это кратко и понятно

Обновлено: 02.07.2024

Любая прямая a , лежащая в плоскости, разделяет плоскость на две части, называемые полуплоскостями. Прямая a называется границей каждой из этих полуплоскостей.

Это одна из аксиом планиметрии.

Два луча OA и O 1 A 1 в пространстве называются одинаково направленными (сонаправленными), если один из их содержит другой или они параллельны и лежат в одной полуплоскости с границей OO 1 .

Теорема. Если стороны двух углов соответственно сонаправлены, то такие углы равны.

По условию теоремы нам даны углы АОВ и А1О1В1 и известно что их стороны соответственно сонаправлены т.е. ОА и О1А1, ОВ и О1В1 – сонаправленные лучи

Доказать что данные углы равны

При доказательстве ограничимся случая, когда углы лежат в разных плоскостях.

1.Стороны углов сонаправлены, а значит параллельны. Проведем через них плоскости и как показано на чертеже.

Отметим на сторонах угла O произвольные точки A и B .

На соответствующих сторонах угла O 1 отложим отрезки O 1 A 1 и O 1 B 1 равные соответственно О A и OB .

2. В плоскости a рассмотрим четырехугольник OAA 1 O 1.

Так как противолежащие стороны OA и O 1 A 1 этого четырехугольника равны и параллельны по условию, то этот четырехугольник – параллелограмм и, следовательно, равны и параллельны стороны AA 1 и OO 1

3. В плоскости b , аналогично можно доказать, что OBB 1 O 1 параллелограмм, поэтому равны и параллельны стороны ВВ1 и OO 1

4. Если две отрезка AA 1 и BB 1 равны параллельны третьему отрезку OO 1 , значит они равны и параллельны, т. е. АА1|| BB 1 и AA 1 = BB 1 .

По определению четырехугольник АВВ1А1 – параллелограмм и из этого получаем АВ=А1В1

5. из выше построенного и доказанного АВ=А1В1, О A = O 1 A 1 и OB = O 1 B 1 следуем что треугольники AOB и A 1 O 1 B 1 . равны по трем сторонам, и поэтому О=О1

Теорема. Если стороны двух углов соответственно сонаправлены, то такие углы равны.


1.Стороны углов сонаправлены, а значит параллельны, через них можно провести плоскости и .

Отметим на сторонах O точки A и B .

На соответствующих сторонах O 1 отложим отрезки O 1 A 1 = О A и O 1 B 1 = OB .

2. В плоскости рассмотрим OAA 1 O 1.

3. В плоскости b , аналогично можно доказать, что

Задача 1. Прямые OB и CD параллельны, а OA и CD – скрещивающиеся прямые. Найдите угол между прямыми OA и CD

Через точку D проведем прямую A 1 D || AO .

Задача 1. Прямые OB и CD параллельны, а OA и CD – скрещивающиеся прямые. Найдите угол между прямыми OA и CD

Даны параллелограмм ABCD и трапеция ABEK с основанием EK , не лежащие в одной плоскости. Стороны AB = 22,5 см, EK = 27,5 см.

а) Выясните взаимное расположение CD и EK .

б) Найдите периметр трапеции, если известно, что в нее можно вписать окружность.

Нам известны два случая расположения прямых в пространстве a ∩ b; а || b. Общее для них: они лежат в одной плоскости (рис. 1, 2).

(по следствию из аксиомы)

(по определению параллельных прямых)

ЗАДАНИЕ №1 в рабочей тетради

Значит, в пространстве есть прямые, которые не пересекаются и не являются параллельными, так как они не лежат в одной плоскости. Такие прямые называются скрещивающимися.

Определение: Две прямые называются скрещивающимися, если они не лежат в одной плоскости.

Теорема (признак скрещивающихся прямых)

Если одна из двух прямых лежит в некоторой плоскости, а другая прямая пересекает эту плоскость в точке, не лежащей на первой прямой, то эти прямые скрещивающиеся.

Дано: АВ ⊂ α, CD ∩ α = С, С ∉ АВ (рис. 4).

Доказать, что АВ скрещивается с CD.

Допустим, что CD и АВ лежит в одной плоскости. Пусть это будет плоскость β.

Плоскости совпадают, чего быть не может, так как прямая CD пересекает α. Плоскости, которой принадлежат АВ и CD не существует и следовательно по определению скрещивающихся прямых АВ скрещивается с CD.

ЗАДАНИЕ №2 в рабочей тетради

Теорема :

Через каждую из двух скрещивающихся прямых проходит плоскость, параллельная другой плоскости, и притом только одна.

Доказательство: учащиеся разбирают по учебнику самостоятельно с последующей записью на доске и в тетрадях.

Дано: АВ скрещивается CD (рис. 6).

Построить α: АВ ⊂ α, CD || α.

Доказать, что α - единственная.

1. Через точку А проведем прямую АЕ, АЕ || CD.

2. Прямые АЕ и АВ пересекаются и образуют плоскость α. АВ ⊂ α (по построению), CD || α (по признаку параллельности прямой и плоскости), α - искомая плоскость.

3. Докажем, что α - единственная плоскость. α - единственная по следствию из аксиом. Любая другая плоскость, которой принадлежит АВ, пересекает АЕ и, следовательно, прямую CD.

В доказательстве этой теоремы дается способ построения плоскости, проходящей через данную точку и параллельной двум скрещивающимся прямым. Рассмотреть задачу на построение.

Задание №3-№4 в рабочей тетради

Углы с сонаправленными сторонами. Угол между прямыми

Любая прямая а, лежащая в плоскости, разделяет плоскость на 2 части, называемые полуплоскостями. Прямая а называется границей каждой из этих полуплоскостей.

1. Определение сонаправленных лучей

Любая прямая, например ОО1 (Рис. 1.), рассекает плоскость на две полуплоскости. Если лучи ОА и О1А1 параллельны и лежат в одной полуплоскости, то они называются сонаправленными.

Лучи О2А2 и ОА не являются сонаправленными (Рис. 1.). Они параллельны, но не лежат в одной полуплоскости.


2. Теорема о равенстве углов с сонаправленными сторонами

Если стороны двух углов сонаправленны, то такие углы равны.

Пусть нам даны параллельные лучи ОА и О1А1 и параллельные лучи ОВ и О1В1 (Рис. 2.). То есть, мы имеем два угла АОВ и А1О1В1, чьи стороны лежат на сонаправленных лучах. Докажем, что эти углы равны.


На стороне луча ОА и О1А1 выберем точки А и А1 так, чтобы отрезки ОА и О1А1 были равны. Аналогично, точки В и В1 выберем так, чтобы отрезки ОВ и О1В1 были равны.

Рассмотрим четырехугольник А1О1ОА (Рис. 3.). В этом четырехугольники стороны ОА и О1А1 параллельны и равны. По признаку параллелограмма, четырехугольник А1О1ОА является параллелограммом. Так как А1О1ОА – параллелограмм, то стороны ОО1 и АА1 параллельны и равны.

Рассмотрим четырехугольник В1О1ОВ. В этом четырехугольники стороны ОВ и О1В1 параллельны и равны. По признаку параллелограмма, четырехугольник В1О1ОВ является параллелограммом. Так как В1О1ОВ – параллелограмм, то стороны ОО1 и ВВ1 параллельны и равны.


И прямая АА1 параллельна прямой ОО1, и прямая ВВ1 параллельна прямой ОО1, значит прямые АА1 и ВВ1 параллельны.

Рассмотрим четырехугольник В1А1АВ. В этом четырехугольники стороны АА1 и ВВ1 параллельны и равны. По признаку параллелограмма, четырехугольник В1А1АВ является параллелограммом. Так как В1А1АВ – параллелограмм, то стороны АВ и А1В1 параллельны и равны.

Рассмотрим треугольники АОВ и А1О1В1. Стороны ОА и О1А1равны по построению. Стороны ОВ и О1В1 также равны по построению. А как мы доказали, и стороны АВ и А1В1 тоже равны. Значит, треугольники АОВ и А1О1В1равны по трем сторонам. В равных треугольниках против равных сторон лежат равные углы. Значит, углы АОВ и А1О1В1 равны, что и требовалось доказать.

3. Угол между пересекающимися прямыми

1) Пересекающиеся прямые.


Если прямые пересекающиеся, то мы имеем четыре разных угла. Углом между двумя прямыми, называется наименьший из углов между двумя прямыми. Угол между пересекающимися прямыми а и b обозначим α (Рис. 4.). Угол α такой, что .


Рис. 4. Угол между двумя пересекающимимся прямыми

4. Угол между скрещивающимися прямыми

2) Скрещивающиеся прямые

Пусть прямые а и b скрещивающиеся. Выберем произвольную точку О. Через точку О проведем прямую а1, параллельную прямой а, и прямую b1, параллельную прямой b (Рис. 5.). Прямые а1 и b1 пересекаются в точке О. Угол между двумя пересекающимися прямыми а1 и b1 , угол φ, и называется углом между скрещивающимися прямыми.


Рис. 5. Угол между двумя скрещивающимися прямыми

Зависит ли величина угла от выбранной точки О? Выберем точку О1. Через точку О1 проведем прямую а2, параллельную прямой а, и прямую b2, параллельную прямой b (Рис. 6.). Угол между пересекающимися прямымиа2 и b2 обозначим φ1. Тогда углы φ и φ1 - углы с сонаправленными сторонами. Как мы доказали, такие углы равны между собой. Значит, величина угла между скрещивающимися прямыми не зависит от выбора точки О.


5. Задача 1 Найти угол между двумя прямыми

Прямые ОВ и СD параллельны, ОА и СD скрещиваются. Найдите угол между прямыми ОА и СD, если:

Выберем точку С. Через нее проходи прямая СD. Проведем СА1 параллельно ОА (Рис. 7.). Тогда угол А1СD – угол между скрещивающимися прямыми ОА и СD. По теореме об углах с сонаправленными сторонами, угол А1СDравен углу АОВ, то есть 40°.


Рис. 7. Найти угол между двумя прямыми

Сделаем то же самое построение (Рис. 8.). Тогда угол между скрещивающимися прямыми ОА и СD равен 45°, так как он наименьший из углов, которые получаются при пересечении прямых СD и СА1.


Сделаем то же самое построение (Рис. 9.). Тогда все углы, которые получаются при пересечении прямых СD и СА1 равны 90°. Искомый угол равен 90°.


6. Задача 2

1) Докажите, что середины сторон пространственного четырехугольника являются вершинами параллелограмма.


Пусть нам дан пространственный четырехугольник ABCD. M, N, K, L – середины ребер BD, AD, AC, BC соответственно (Рис. 10.). Нужно доказать, что MNKL – параллелограмм.

Рассмотрим треугольник АВD. МN – средняя линия. По свойству средней линии, МN параллельна АВ и равняется ее половине.

Рассмотрим треугольник АВС. LК – средняя линия. По свойству средней линии, LК параллельна АВ и равняется ее половине.

И МN, и LК параллельны АВ. Значит, МN параллельна LК по теореме о трех параллельных прямых.

Получаем, что в четырехугольнике MNKL – стороны МN и LК параллельны и равны, так как МN и LК равны половине АВ. Значит, по признаку параллелограмма, четырехугольник MNKL – параллелограмм, что и требовалось доказать.

2) Найдите угол между прямыми АВ и СD, если угол МNК = 135°.

Как мы уже доказали, МN параллельна прямой АВ. NК – средняя линия треугольника АСD, по свойству, NК параллельна DС. Значит, через точку N проходят две прямые МN и NК, которые параллельны скрещивающимся прямым АВ и DС соответственно. Значит, угол между прямыми МN и NК является углом между скрещивающимися прямыми АВ и DС. Нам дан тупой угол МNК = 135°. Угол между прямыми МN и NК – наименьший из углов, полученных при пересечении этих прямых, то есть 45°.

7. Итоги урока по теме "Угол между двумя прямыми"

Итак, мы рассмотрели углы с сонаправленными сторонами и доказали их равенство. Рассмотрели углы между пересекающимися и скрещивающимися прямыми и решили несколько задач на нахождение угла между двумя прямыми. На следующем уроке мы продолжим решение задач и повторение теории.

Два луча а и b называются сонаправленными, если они перпендикулярны некоторой плоскости α и лежат с одной стороны от неё (рис. 125).


Для сонаправленных лучей а и b употребляется обозначение: а ↑↑ b.

  1. два сонаправленных луча лежат на одной прямой, и тогда один из них содержит другой (рис. 126, а);
  2. два сонаправленных луча лежат на параллельных прямых, и тогда они лежат с одной стороны от прямой, проходящей через их начала (рис. 126, б).


Основной признак сонаправленности лучей даёт следующая лемма:

Лемма (о сонаправленности лучей). Два луча, сонаправленные с третьим лучом, сонаправлены.

Доказательство. Пусть лучи а и b сонаправлены с лучом с. Докажем, что а и b сонаправлены. Так как a ↑↑ с, то они перпендикулярны некоторой плоскости α и лежат с одной стороны от неё. Аналогично b и с перпендикулярны некоторой плоскости β и лежат с одной стороны от β. Так как α и β перпендикулярны одной прямой, на которой лежит луч с, то α || β (рис. 127).


Пусть плоскость α удалена от начала луча с дальше, чем плоскость β. Тогда все лучи а, b, с лежат с одной стороны от плоскости α и все перпендикулярны ей (по теоремам из пп. 8.1 и 8.2.). Поэтому лучи а и b сонаправлены. Если даны луч р и точка А, то из точки А можно провести единственный луч q, сонаправленный с лучом р.

  1. точка А и луч р лежат на одной прямой;
  2. они не лежат на одной прямой.

В первом случае один из лучей р или q содержит другой (рис. 128, а). Во втором случае лучи р и q лежат на параллельных прямых с одной стороны от прямой, проходящей через их начала (рис. 128, б).


15.2 Угол между лучами

Угол между сонаправленными лучами полагается равным 0°.

Если лучи р и q не сонаправлены и имеют общее начало, то угол между ними определяется как величина плоского угла со сторонами р и q.

Наконец, в общем случае, когда лучи р и q не сонаправлены и имеют различные начала, поступают так: из любой точки О проводят лучи р' и q', сонаправленные соответственно с лучами р и q (рис. 129). Углом между р и q называется величина угла между р' и q'.


Угол между лучами р и q обозначается так: ∠(pq).

Угол между р и q не зависит от выбора точки О. Это вытекает из следующей леммы:

Лемма (об углах с сонаправленными сторонами ). Углы, стороны которых соответственно сонаправлены, равны.

Доказательство. Пусть даны два угла с вершинами в точках О и О' и соответственно со-направленными сторонами: р ↑↑ р' и q ↑↑ q'. В частном случае, когда у этих углов есть стороны, лежащие на одной прямой, утверждение леммы вытекает из равенства соответственных углов при параллельных прямых, пересечённых третьей прямой (рис. 130, а). Поэтому рассмотрим общий случай, когда стороны углов не лежат на одной прямой.


Отложим на сонаправленных сторонах этих углов равные отрезки: ОА = ОА' на р и р', а также OВ = O'В' на q и q' (рис. 130, б). Проведём отрезки ОО', АА', ВВ', АВ и А'В'. Так как ОА = ОА' и ОА || ОА', то четырёхугольник ОАА'О' — параллелограмм. Поэтому АА' = ОО', АА' || ОО'. Аналогично OO' = ВВOO' || ВВ'. Поэтому АА' = ВВ', АА || ВВ', т. е. четырёхугольник АА'В'В — параллелограмм. Следовательно, АВ = А'В'.

Итак, в треугольниках ОАВ и О'А'В' соответственные стороны равны. Но тогда в них равны и соответственные углы. Итак, ∠AOB = ∠A'O'B', т. е. ∠(pq) = ∠(p'q').

Пусть теперь даны два луча р и q. Из точек А и В проведём сонаправленные с ними лучи р, q' и p", q” (рис. 131). По лемме о сонаправленности лучей (п. 15.1) р' || р" и q' || q". А тогда по лемме об углах с сонаправленными сторонами, доказанной в этом пункте, ∠(p'q') = ∠(p"q")9 как и говорилось при определении угла между р и q.


15.3 Угол между прямыми

Если прямые пересекаются, то угол между ними, как известно из планиметрии, равен величине вертикальных не тупых углов, образованных этими же прямыми.

Если же прямые скрещиваются, то угол между ними определяют так: через любую точку проводят прямые, параллельные данным, и находят угол между этими прямыми.

В частности, мы можем теперь говорить о взаимно перпендикулярных скрещивающихся прямых и отрезках, если угол между ними равен 90° (отрезки взаимно перпендикулярны, если они лежат на взаимно перпендикулярных прямых).

При таком расширении понятия перпендикулярности прямых, лучей и отрезков остаются справедливыми доказанные ранее теоремы, в которых перпендикулярность рассматривалась лишь для пересекающихся прямых, лучей и отрезков: признак перпендикулярности прямой и плоскости (п. 7.1) и теорема о трёх перпендикулярах (п. 13.2).

Убедитесь в этом!

В дальнейшем мы будем применять эти теоремы именно в этом более широком смысле. Так, например, прямая а перпендикулярна плоскости α, если она перпендикулярна любым двум пересекающимся прямым, лежащим на этой плоскости. Эти прямые прямую а могут и не пересекать.

15.4 Угол между прямой и плоскостью

Мы уже подробно изучили два важнейших случая взаимного расположения прямой и плоскости: перпендикулярность и параллельность. Если прямая перпендикулярна плоскости, то она перпендикулярна любой прямой в этой плоскости. Поэтому естественно считать, что угол между взаимно перпендикулярными прямой и плоскостью равен 90°. Если же прямая параллельна плоскости или лежит в ней, то угол между ними считается равным 0°.

Рассмотрим общий случай, когда прямая а пересекает плоскость α, но не перпендикулярна ей (рис. 132), т. е. случай прямой, наклонной к плоскости. Характеризуя взаимное расположение таких прямых, часто указывают, насколько прямая отклонилась от перпендикуляра к плоскости. Например, в оптике говорят про угол падения луча света на плоскую поверхность, т. е. про угол между прямой и перпендикуляром (нормалью) к данной плоскости (рис. 132, а). Но в геометрии, оценивая наклон прямой к плоскости, рассматривают не этот угол, а угол, дополняющий его до 90°, т. е. показывающий, насколько прямая отклонилась от плоскости.


Углом между плоскостью и наклонной к ней прямой называется угол φ между этой прямой и её проекцией на данную плоскость (рис. 132, б).

Ясно, почему это определение исключает случай, когда прямая перпендикулярна плоскости: проекцией такой прямой на плоскость будет точка.

Угол между прямой а и плоскостью α обозначается так: ∠aα.

Угол между прямой и плоскостью обладает следующим минимальным свойством: он является наименьшим среди всех углов, образованных данной прямой с прямыми на плоскости. Докажите это свойство сами.

Читайте также: