Скалярное векторное и смешанное произведение векторов кратко

Обновлено: 30.06.2024

В векторной алгебре рассматриваются два вида произведения двух векторов: скалярное или векторное. Результатом скалярного умножения двух векторов является число (скаляр); результатом векторного умножения двух векторов является вектор.

Определение 1.Скалярным произведением двух векторов называется число, равное произведению модулей этих векторов на косинус угла φ между векторами (рис.4.1).

Замечание 1. Скалярное умножение нельзя распространить на случай трех векторов-сомножителей, так как результатом его будет уже вектор, а не число.

Рис. 4.1. К понятию скалярного произведения

Для обозначения скалярного произведения вектора на вектор упот-ребляется одна из записей : .Согласно определению имеем (1)Заметив, что согласно рис. 3.1 ,равенство (1) можно записать в виде

Таким образом, скалярное произведение двух векторов равно длине одного вектора, умноженной на проекцию второго на направление первого.

Итак, в результате скалярного произведения получается число (скаляр), а не новый вектор .

Физический смысл скалярного произведения заключается в том, что скалярное произведение численно равно работе А силы по направленному отрезку .

Геометрический смысл скалярного произведения: скалярное произведение вектора на единичный вектор равно проекции вектора на направление, определяемое , т. е. .

Из определения скалярного произведения вытекает следующая таблица умножения ортов :

Если векторы заданы своими координатами и , т. е. , , то, перемножая эти векторы скалярно и используя таблицу умножения ортов, получим выражение скалярного произведения через координаты векторов:

Векторное произведение двух векторов

Определение 1.Векторным произведением двух неколлинеарных век-торов и называется такой вектор который удовлетворяет трем условиям (рис.4.4).

2) т.е. перпендикулярен к плоскости векторов и ;

3) направлен так, чтобы тройка векторов , , бы-ла правой.

Рис.4.4. К понятию векторного произведения.

1. Приведенные условия однозначно определяют векторное произведение, если сомножители – ненулевые векторы. Если хоть один из сомножителей – нулевой вектор, то векторное произведение равно нулю.

2. Модуль векторного произведения численно равен площади парал-лелограмма (рис. 4.4), построенного на векторах и .

Геометрический смысл векторного произведения заключается в том, что модуль векторного произведения двух векторов есть площадь параллелограмма, построенного на этих векторах;

Физический смысл векторного произведения

― момент силы относительно точки О; ― радиус ― вектор точки приложения силы, тогда

причем, если перенести в точку О, то тройка , , должна быть ориентирована как вектора базиса.

Смешанное произведение

Смешанным (векторно-скалярным) произведением векторов называется число, которое получается в результате умножения векторного произведения скалярно на вектор и обозначаемое через .

Геометрический смысл смешанного произведения. Модуль смешанного произведения трех векторов a, b и с равен объёму параллелепипеда, образованного этими векторами:

Vпарал = a · [b × c]

Геометрический смысл смешанного произведения. Объем пирамиды образованной тремя векторами a, b и с равен одной шестой части от модуля смешанного произведения этих векторов: Vпир = 1/6|a · [b × c

Плоскость в пространстве

Если поместить плоскость, на которой изображены точки и прямые, в трехмерное пространство, то мы получим точки и прямые в пространстве. Представление о плоскости в пространстве позволяет получить, к примеру, поверхность стола или стены. Однако, стол или стена имеют конечные размеры, а плоскость простирается за их границы в бесконечность.

Точки и прямые в пространстве обозначаются также как и на плоскости – большими и маленькими латинскими буквами соответственно. Например, точки А и Q, прямые а и d. Если заданы две точки, лежащие на прямой, то прямую можно обозначить двумя буквами, соответствующими этим точкам. К примеру, прямая АВ или ВА проходит через точки А и В. Плоскости принято обозначать маленькими греческими буквами, например, плоскости , или .

При решении задач возникает необходимость изображать плоскости на чертеже. Плоскость обычно изображают в виде параллелограмма или произвольной простой замкнутой области.

Плоскость обычно рассматривается вместе с точками, прямыми или другими плоскостями, при этом возникают различные варианты их взаимного расположения.

Прямая в пространстве.

Мысленно отмечаем две точки в пространстве и проводим с помощью линейки линию от одной точки до другой и за пределы точек в бесконечность.

Все обозначения точек, прямых и отрезков в пространстве аналогичны случаю на плоскости.

Вообще, прямая линия целиком принадлежит некоторой плоскости в пространстве. Это утверждение вытекает из аксиом:

через две точки проходит единственная прямая;

если две точки прямой лежат в некоторой плоскости, то все точки прямой лежат в этой плоскости.

Существует еще одна аксиома, которая позволяет рассматривать прямую в пространстве как пересечение двух плоскостей: если две плоскости имеют общую точку, то они имеют общую прямую, на которой лежат все общие точки этих плоскостей.

Скалярным произведением двух векторов называется число, равное произведению длин этих векторов на косинус угла между ними, т.е.

Из определения следует где – угол между векторами .

Свойства скалярного произведения:

Приложения скалярного произведения:

Определение косинуса угла между векторами:

Нахождение проекции вектора на заданное направление:

Пример. Найти косинус угла между векторами и , если , , .

Решение. Найдем координаты векторов и и их модули:

Определение. Векторным произведением вектора на вектор называется третий вектор определяемый следующим образом:

длина его равна площади параллелограмма, построенного на векторах и , т.е. , где – угол между векторами и ; вектор перпендикулярен векторам и ; векторы , , после приведения к общему началу образуют правую тройку векторов. Свойства векторного произведения . , если или , , или условие коллинеарности векторов. 3. .

Приложения векторного произведения:

Установление коллинеарности векторов: ( ( ), т.е.

Нахождение площади параллелограмма и треугольника:

Пример. Вычислить площадь треугольника с вершинами ,

Решение. Найдем координаты векторов

Вычислим векторное произведение

Найдем модуль вектора ,

Определение. Смешанным произведением трех векторов , , называется число .

Геометрический смысл смешанного произведения: модуль смешанного произведения трех векторов численно равен объему параллелепипеда, построенного на этих векторах.

Пусть ребрами параллелограмма являются векторы , , образующие правую тройку векторов и вектор

Имеем ? , так как – площадь основания построенного на векторах , а – высота параллелограмма, то – объем параллелограмма построенного на правой тройке векторов , .

Для левой тройки векторов .

Получаем, , где – объем параллелепипеда построенного на векторах , , .

Из определения следует где – угол между векторами .

Свойства скалярного произведения:

Приложения скалярного произведения:

Определение косинуса угла между векторами:

Нахождение проекции вектора на заданное направление:

Пример. Найти косинус угла между векторами и , если , , .

Решение. Найдем координаты векторов и и их модули:

Приложения векторного произведения:

Установление коллинеарности векторов: ( ( ), т.е.

Нахождение площади параллелограмма и треугольника:

Пример. Вычислить площадь треугольника с вершинами ,

Решение. Найдем координаты векторов

Вычислим векторное произведение

Найдем модуль вектора ,

Определение. Смешанным произведением трех векторов , , называется число .

Пусть ребрами параллелограмма являются векторы , , образующие правую тройку векторов и вектор

Под углом между векторами мы понимаем угол между векторами, равными данным и имеющими общее начало. В некоторых случаях мы будем указывать, от какого вектора и в каком направлении угол отсчитывается. Если такого указания не сделано, углом между векторами считается тот из углов, который не превосходит $\pi$. Если угол прямой, то векторы называются ортогональными.

Скалярным произведением двух векторов называется число, равное произведению длин этих векторов на косинус угла между ними. Если хоть один из векторов нулевой, то угол не определен, и скалярное произведение по определению равно нулю.

Необходимо подчеркнуть следующее принципиальное обстоятельство: скалярное произведение может быть определено только после того, как будет выбрана определенная единица измерения длин векторов. Иначе приведенное выше определение не имеет смысла.

Скалярное умножение имеет следующие очевидные свойства.

Аналогично вычисляются и остальные компоненты.

Легко показать, что такая же формула справедлива и для линейной комбинации любого числа векторов. Используя коммутативность скалярного умножения, мы получаем тождество
$$
(\boldsymbol, \beta\boldsymbol + \gamma\boldsymbol) = \beta(\boldsymbol, \boldsymbol) + \gamma(\boldsymbol, \boldsymbol).\nonumber
$$

Отметим, что требование ортонормированности базиса очень существенно. В произвольном базисе выражение скалярного произведения через компоненты гораздо сложнее. Поэтому в задачах, связанных со скалярным произведением, чаще всего используются ортонормированные базисы.

Если почему-либо все же надо вычислить скалярное произведение в неортонормированном базисе, следует перемножить разложения сомножителей по базису и, раскрыв скобки, подставить в полученное выражение известные скалярные произведения базисных векторов.

Пусть задан вектор $\overrightarrow$ и некоторая прямая $l$. Опустим из точек $A$ и $B$ перпендикуляры на прямую и обозначим их основания $A’$ и $B’$ (рис. 4.2). Вектор $\overrightarrow$ называется (ортогональной) векторной проекцией вектора $\overrightarrow$ на прямую $l$ и обозначается Пр$_\overrightarrow$.

Из определения сразу следует, что векторные проекции равных векторов на параллельные прямые равны между собой.

Пусть $\boldsymbol$ — ненулевой вектор на прямой $l$. Тогда $\overrightarrow = \alpha\boldsymbol$ при некотором $\alpha$. Представим $\overrightarrow$ в виде $\overrightarrow = \overrightarrow = \alpha\boldsymbol + \boldsymbol$ и заметим, что вектор $\boldsymbol = \overrightarrow$ ортогонален $\boldsymbol$. Поэтому после скалярного умножения на $\boldsymbol$ получаем $(\overrightarrow, \boldsymbol) = \alpha(\boldsymbol, \boldsymbol)$. Находя отсюда $\alpha$, имеем
$$
\mbox_\overrightarrow = \frac<(\overrightarrow, \boldsymbol)><|\boldsymbol|^>\boldsymbol.\label
$$
Хотя на вид это выражение зависит от $\boldsymbol$, фактически оно не меняется при замене $\boldsymbol$ любым ненулевым вектором $\lambda\boldsymbol$, коллинеарным $\boldsymbol$.

Проекцию $\overrightarrow$ можно представить в виде
$$
\frac<(\overrightarrow, \boldsymbol)><|\boldsymbol|> \frac<\boldsymbol><|\boldsymbol|>\nonumber
$$
и заметить, что $(\overrightarrow, \boldsymbol)/|\boldsymbol|$ — это компонента $\overrightarrow$ по вектору $\boldsymbol^ = \boldsymbol/|\boldsymbol|$. Так как $|\boldsymbol^| = 1$, компонента по абсолютной величине равна длине $\overrightarrow$. Она положительна, если направление $\overrightarrow$ совпадает с направлением $\boldsymbol$, и отрицательна в противоположном случае.

Величина $(\overrightarrow, \boldsymbol)/|\boldsymbol|$ не меняется при замене $\boldsymbol$ на сонаправленный вектор $\lambda\boldsymbol$, $\lambda > 0$, и меняет знак при замене $\boldsymbol$ на противоположно направленный вектор.

Прямая линия называется направленной прямой (употребляются также термины ориентированная прямая и ось), если на ней указано определенное направление. Подробнее это определение рассматривается в начале следующего раздела.

Число $(\overrightarrow, \boldsymbol)/|\boldsymbol|$ называется скалярной проекцией вектора $\overrightarrow$ на ось $l$, определяемую вектором $\boldsymbol$ (или на вектор $\boldsymbol$), и обозначается Пр$_\overrightarrow$ или Пр$_<\boldsymbol>\overrightarrow$.

Из определения следует, что Пр$_\overrightarrow = |\overrightarrow| \cos \varphi$, где $\varphi$ — угол между $\overrightarrow$ и $\boldsymbol$. Компоненты вектора в ортонормированном базисе равны его скалярным проекциям на оси координат.

Ориентация прямой, плоскости и пространства.

Выше мы дали определение ориентированной прямой (оси). Скажем о нем подробнее, с тем чтобы аналогично ввести определение ориентированной плоскости и ориентированного пространства.

Все базисы (ненулевые векторы) на прямой разделяются на два класса: векторы из одного класса направлены одинаково, а векторы из разных классов направлены противоположно. Говорится, что прямая ориентирована или что на ней задана ориентация, если из двух классов базисов выбран один. Базисы выбранного класса называются положительно ориентированными или положительными.

Задать ориентацию можно, указав какой-либо базис и считая положительно ориентированными все базисы того же класса. Однако то, что прямая ориентирована, не означает, что на ней выбран какой-то определенный базис.

Два базиса на плоскости называются одинаково ориентированными, если в обоих базисах кратчайший поворот от первого вектора ко второму производится в одну сторону, и противоположно ориентированными в противном случае. Например, на рисунке ниже, базисы в левой части ориентированы одинаково, а на правой части — противоположно. Если фиксировать какой-то базис, то любой другой ориентирован с ним либо одинаково, либо противоположно, и, таким образом, все базисы распадаются на два класса: любые два базиса одного класса ориентированы одинаково, базисы разных классов ориентированы противоположно.

На левом рисунке базисы ориентированы одинаково, а на правом — противоположно.

Плоскость ориентирована, если из двух классов базисов на ней выбран один класс.

Ориентацию можно задать, выбрав базис и считая положительно ориентированными все базисы одного с ним класса. Но, конечно, задание ориентации не предполагает выбор определенного базиса.

В планиметрии часто ориентируют плоскость, считая положительными те базисы, у которых кратчайший поворот от первого вектора ко второму производится против часовой стрелки. Для плоскости в пространстве это соглашение не имеет смысла, так как видимое направление поворота зависит от того, с какой стороны смотреть на плоскость. Но если выбрать одно из полупространств, ограничиваемых плоскостью, и смотреть на повороты именно из него, то класс базиса определяется видимым направлением поворота.

Базис в пространстве называется правым, если (считая векторы имеющими общее начало) с конца третьего вектора мы видим кратчайший поворот от первого вектора ко второму направленным против часовой стрелки. В противном случае базис называется левым (рис. 4.3).

Рис 4.3. Левый базис (а), правый базис (б).

Представим себе, что на рис. 4.4 концы векторов лежат в плоскости рисунка, а их общее начало — за плоскостью. Тогда поворот от вектора $\boldsymbol_$ к вектору $\boldsymbol_$ и затем к $\boldsymbol_$ для правого базиса нам виден против часовой стрелки, а для левого — по часовой стрелке.

Рис 4.3. Левый базис (а), правый базис (б).

Пространство называется ориентированным, если из двух классов базисов (правых или левых) выбран один. Базисы этого класса называются положительно ориентированными.

Далее мы всегда будем выбирать правую ориентацию пространства, считая положительными правые базисы. Но важно помнить, что выбор ориентации мог бы быть противоположным.

Аналогично, в ориентированном пространстве можно внешним образом задать ориентацию прямой линии. Для этого нужно задать ориентацию плоскости, перпендикулярной этой прямой. Положительным базисом на прямой будет такой базис, который вместе с положительным базисом плоскости составляет положительный базис пространства.

Площадь ориентированного параллелограмма, объем ориентированного параллелепипеда.

Если прямая ориентирована, то длине ненулевого вектора на ней можно приписать знак: считать длину положительной, если вектор ориентирован положительно, и отрицательной в противоположном случае. Именно так мы приписываем знак длине векторной проекции, когда определяем скалярную проекцию. Обобщим это определение.

Рассмотрим параллелограмм, построенный на двух векторах так, что две его смежные стороны являются векторами с общим началом. Параллелограмм называется ориентированным, если пара векторов, на которой он построен, упорядочена. На ориентированной плоскости параллелограмм считается положительно или отрицательно ориентированным, смотря по тому, как ориентирована определяющая его пара векторов.

На ориентированной плоскости принято считать площадь ориентированного параллелограмма числом со знаком: она равна площади параллелограмма (положительна), если параллелограмм ориентирован положительно, и равна той же площади со знаком минус, если отрицательно. Мы будем обозначать площадь ориентированного параллелограмма, построенного на векторах $\boldsymbol$ и $\boldsymbol$, через $S_<\pm>(\boldsymbol, \boldsymbol)$.

Рассмотрим теперь параллелепипед, построенный на трех векторах так, что три его ребра, исходящие из одной вершины, являются векторами с общим началом. Параллелепипед называется ориентированным, если эти три ребра упорядочены. В ориентированном пространстве ориентация параллелепипеда положительна или отрицательна смотря по тому, какую тройку образуют векторы, на которых он построен.

В ориентированном пространстве объем ориентированного параллелепипеда — число со знаком: объем положительно ориентированного параллелепипеда считается положительным, а отрицательно ориентированного — отрицательным.

При выбранной нами правой ориентации пространства положительными считаются объемы ориентированных параллелепипедов, построенных на правых тройках векторов.

Пусть задана декартова прямоугольная система координат в пространстве. Введем в рассмотрение единичные векторы координатных осей. Тогда всякий вектор , где — проекции вектора на соответствующие координатные оси. На основании теоремы о диагонали прямоугольного параллелепипеда заключаем: — длина вектора.

Скалярное произведение

Доказательство следует из определения скалярного произведения.

Теорема. Скалярное произведение двух векторов и выражается формулой: .

Доказательство. Из определения скалярного произведения двух векторов имеем:

По условию теоремы имеем:

Тогда по свойству 3):

Из таблицы, приведенной вначале теоремы, заключаем:

Следствие 1. Косинус угла между двумя векторами определяется формулой

Следствие 2. Два вектора и взаимно перпендикулярны тогда и только тогда, если .

Пусть имеется тройка упорядоченных векторов , , , которые некомпланарны и приложены в одной точке. Будем смотреть с конца вектора на векторы и . Если кратчайший поворот от вектора к вектору совершается против часовой стрелки, то тройка называется правой, если — по часовой стрелке, то тройка называется левой. Будем пользоваться правыми декартовыми системами координат .

Векторное произведение двух векторов

Векторным произведением двух векторов и называется вектор , который удовлетворяет следующим свойствам:

1) — угол между векторами и ;
2) вектор перпендикулярен каждому из векторов и ;

3) тройки (, , ) и () являются тройками одной ориентации.

Свойства векторного произведения двух векторов:

Доказательство следует из определения векторного произведения.

Теорема. Векторное произведение двух векторов ; выражается формулой:

Формула в теореме символически записывается следующим образом:

Следствие 3. Площадь параллелограмма, построенного на векторах и , вычисляется по формуле

Следствие 4. Площадь треугольника определяется формулой

Задача №22.

Вычислить площадь , если

Решение:

Смешанное произведение трех векторов

Пусть даны три вектора . Их смешенным произведением
называется число .

Теорема. Смешанное произведение трех некомпланарных векторов равно объему параллелепипеда, построенного на векторах , взятому со знаком плюс, если тройка — правая, и со знаком минус, если эта тройка — левая.

Теорема. Смешанное произведение трех векторов: , , определяется по формуле

Задача №23.

Даны векторы . Найти их скалярное, векторное произведения и угол между ними.

Решение:

Скалярное произведение

Векторное произведение векторов :

Этот материал взят со страницы кратких лекций с решением задач по высшей математике:

Возможно эти страницы вам будут полезны:

Образовательный сайт для студентов и школьников

Читайте также: