Симметрия в призме кратко
Обновлено: 06.07.2024
Напомним, что правильной называется прямая призма, в основании которой лежит правильный многоугольник. Симметричность правильных призм определяется симметричностью их оснований (рис. 7.13), а так же перпендикулярностью основаниям боковых ребер и граней.
У правильной П-угольной призмы имеется П плоскостей симметрии, проходящих через соответствующие оси симметрии оснований призмы (рис. 7.14). Кроме того, у нее имеется еще одна плоскость симметрии, которая проходит через середины боковых ребер (рис. 7.15).
Осями симметрии правильной -угольной призмы всегда являются осей симметрии сечения этой призмы, проходящего через середины боковых ребер (рис. 7.16). Если к тому же четно, то осью симметрии является еще прямая, которая соединяет центры оснований (рис. 7.17). Если же нечетно, то это не так и других осей симметрии нет.
Отрезок, соединяющий центры оснований правильной призмы, называется ее осью (рис. 7.17).
Если П четно, то середина оси правильной -угольной призмы является центром симметрии этой призмы (рис. 7.18). Если же нечетно, то центра симметрии у правильной призмы нет (как и у ее основания).
Итак, симметричность правильной -угольной призмы определяется симметричностью ее основания — правильного П-угольника. Но, как известно из планиметрии, правильные П-угольники имеют еще один вид симметрии — вращательную, т. е. они самосовмещаются при повороте вокруг своего центра на угол (рис. 7.19), а также на любой угол, кратный . Аналогично, правильные -угольные призмы самосовмещаются при повороте вокруг своей оси на такой же угол (рис. 7.20).
Подробнее это означает следующее. Плоскости, перпендикулярные оси правильной -угольной призмы Р, параллельны ее основанию. Поэтому все сечения призмы Р такими плоскостями равны ее основанию и проектируются на него. Центры этих правильных -угольников лежат на оси призмы. Поэтому, если эти многоугольники одновременно повернуть в их плоскостях в одном направлении на угол вокруг их центров, то все они самосовместятся. А потому при таком преобразовании и призма Р самосовместится. Такое преобразование призмы называется поворотом вокруг прямой — оси призмы — на угол Тем самым призма среди симметрий имеет и поворотную симметрию.
Заметим еще, что осевая симметрия в пространстве является поворотом на 180° вокруг оси симметрии. Действительно, в результате поворота на 180° вокруг
прямой а точка X, не лежащая на прямой а, перейдет в такую точку X, что прямая а перпендикулярна отрезку и пересекает его в середине.
Тема: Симметрия в кубе, в параллелепипеде, в призме и в пирамиде. Представление о правильных многогранниках.
I. Проверка знаний студентов. Тест по теме "Многогранники и их основные свойства" (15 мин.)
II. Изучение нового материала.
Симметрия: определение и основные понятия.
Симметрия в кубе.
Симметрия в параллелепипеде.
Симметрия в призме.
Симметрия в пирамиде.
Представление о правильных многогранниках.
? Как вы понимаете, что такое симметрия? Где мы можем встретиться с симметрией? Приведите примеры симметрии в природе, технике, архитектуре, быту.
Совершенно верно. С симметрией мы встречаемся в природе, архитектуре, технике, быту. Мы часто видим симметричные творения природы (листья, цветы, птицы, животные) или творения человека (здания, техника) - все то, что окружает нас каждый день. В быту: молотки, рубанки, лопаты, трубы. Мы смотрим на себя в зеркало и видим, что части нашего лица симметричны друг другу. По улицам ездят автомобили, автобусы, правая и левая части которых симметричны. Таким образом, симметрия бывает не только на плоскости (кленовый лист), но и в пространстве (лицо).
Симметрия – это закономерная повторяемость элементов (или частей) фигуры или какого-либо тела, при которой фигура совмещается сама с собой при некоторых преобразованиях (вращение вокруг оси, отражение в плоскости).
Понятие симметрии включает в себя такие понятия, как: ось симметрии, центр симметрии и плоскость симметрии.
1) Ось симметрии - воображаемая ось, при повороте вокруг которой на некоторый угол, фигура совмещается сама с собой в пространстве (
2) Центр симметрии - это точка внутри многогранника, в которой пересекаются и делятся пополам прямые, соединяющие одинаковые элементы многогранника (грани, рёбра, углы) (С).
3) Плоскость симметрии делит многогранник на 2 зеркально равные части (Р).
4) Степенью симметрии называется совокупность всех элементов симметрии, которыми обладает данный многогранник. Например, куб обладает высокой степенью симметрии, т.к. в нём присутствуют 3 оси симметрии четвёртого порядка (3, четыре оси симметрии 3 - го порядка (4, шесть осей второго порядка (6 В точке пресечения осей симметрии располагается центр симметрии куба. Кроме того в кубе можно провести 9 плоскостей симметрии (9Р).
(2) Симметрия в кубе.
Кубу свойственны все виды симметрии.
а) Центр симметрии (центр куба) - точка пресечения диагоналей куба.
б) Плоскости симметрии (9): 1) 3 плоскости симметрии, проходящие через середины параллельных ребер; 2) 6 плоскостей симметрии, проходящие через противолежащие ребра.
в) Оси симметрии (13): 1) 3 оси, проходящие через центры противолежащих граней; 2) 4 оси симметрии, проходящие через противолежащие вершины; 3) 6 осей, проходящие через середины противолежащих рёбер.
(3) Симметрия в параллелепипеде.
а) Центр симметрии - точка пересечения диагоналей прямоугольного параллелепипеда.
б) Плоскость симметрии. 3 плоскости симметрии, проходящие через середины параллельных рёбер.
в) Оси симметрии. 3 оси симметрии, проходящие через точки пересечения диагоналей противолежащих граней
(4) Симметрия в призме.
1) Симметрия прямой призмы. Одна плоскость симметрии, проходящая через середины боковых рёбер.
2) Симметрия правильной призмы.
а) Центр симметрии. При чётном числе сторон основания центр симметрии - это точка пересечения диагоналей правильной призмы.
б) Плоскости симметрии: 1) плоскость, проходящая через середины боковых рёбер; 2) при чётном числе сторон основания - плоскости, проходящие через противолежащие рёбра.
1) 2)
в) Ось симметрии: а) при чётном числе сторон основания - ось симметрии проходит через центры оснований; б) оси симметрии, проходящие через точки пресечения диагоналей противолежащих боковых граней.
(5) Симметрия в пирамиде.
а) Плоскости симметрии: при четном числе сторон основания — а) плоскости, проходящие через противолежащие боковые ребра, и б) плоскости, проходящие через медианы, проведенные к основанию противолежащих боковых граней.
б) Ось симметрии: при четном числе сторон основания — ось симметрии проходит через вершину правильной пирамиды и центр основания.
(6) Самостоятельная работа студентов по теме " Представление о правильных многогранниках". Задание: заполнить таблицу "Правильные многогранники".
Плоскость симметрии, проходящая через середины боковых ребер .
Симметрия правильной призмы
1. Центр симметрии при четном числе сторон основания — точка пересечения диагоналей правильной призмы
2. Плоскости симметрии: плоскость, проходящая через середины боковых ребер; при четном числе сторон основания — плоскости, проходящие через противолежащие ребра
3. Оси симметрии: при четном числе сторон основания — ось симметрии, проходящая через центры оснований, и оси симметрии, проходящие через точки пересечения диагоналей противолежащих боковых граней .
Симметрия правильной призмы
Напомним, что правильной называется прямая призма, в основании которой лежит правильный многоугольник. Симметричность правильных призм определяется симметричностью их оснований (рис. 1), а так же перпендикулярностью основаниям боковых ребер и граней.
У правильной n-угольной призмы имеется n плоскостей симметрии, проходящих через соответствующие оси симметрии оснований призмы (рис. 2).
Кроме того, у нее имеется еще одна плоскость симметрии, которая проходит через середины боковых ребер (рис. 7/15).
Осями симметрии правильной n -угольной призмы всегда являются n осей симметрии сечения этой призмы, проходящего через середины боковых ребер (рис. 7.16). Если к тому же четно, то n осью симметрии является еще прямая, которая соединяет центры оснований (рис. 7.17). Если же нечетно, то это не так и других n осей симметрии нет.
Отрезок, соединяющий центры оснований правильной призмы, называется ее осью (рис. 7.17).
Если n - четно, то середина оси правильной -угольной призмы является центром симметрии этой призмы (рис. 7.18).
Если же n - нечетно, то центра симметрии у правильной призмы нет (как и у ее основания).
Итак, симметричность правильной n-угольной призмы определяется симметричностью ее основания — правильного n-угольника. Но, как известно из планиметрии, правильные n-угольники имеют еще один вид симметрии — вращательную, т. е. они самосовмещаются при повороте вокруг своего центра на угол (рис. 7.19), а также на любой угол, кратный . Аналогично, правильные n -угольные призмы самосовмещаются при повороте вокруг своей оси на такой же угол (рис. 7.20).
Подробнее это означает следующее. Плоскости, перпендикулярные оси правильной n -угольной призмы Р, параллельны ее основанию. Поэтому все сечения призмы Р такими плоскостями равны ее основанию и проектируются на него. Центры этих правильных n -угольников лежат на оси призмы. Поэтому, если эти многоугольники одновременно повернуть в их плоскостях в одном направлении на угол вокруг их центров, то все они самосовместятся. А потому при таком преобразовании и призма Р самосовместится. Такое преобразование призмы называется поворотом вокруг прямой — оси призмы — на угол Тем самым призма среди симметрий имеет и поворотную симметрию.
Заметим еще, что осевая симметрия в пространстве является поворотом на 180° вокруг оси симметрии. Действительно, в результате поворота на 180° вокруг
прямой а точка X, не лежащая на прямой а, перейдет в такую точку X`, что прямая а перпендикулярна отрезку XX` и пересекает его в середине.
Симметрия правильной пирамиды
1. Плоскости симметрии: при четном числе сторон основания — плоскости, проходящие через противолежащие боковые ребра; и плоскости, проходящие через медианы, проведенные к основанию противолежащих боковых граней (рис. 15).
2. Ось симметрии: при четном числе сторон основания — ось симметрии, проходящая через вершину правильной пирамиды и центр основания .
Слайд 2
Симметрия – это закономерная повторяемость элементов (или частей) фигуры или какого-либо тела, при которой фигура совмещается сама с собой при некоторых преобразованиях (вращение вокруг оси, отражение в плоскости). Понятие симметрии включает в себя составные части – элементы симметрии. Сюда относятся плоскость симметрии, ось симметрии, центр симметрии.
Слайд 3
Симметрия в кубе Оси симметрии в кубе: - прямые, проходящие через центры противоположных граней (таких 3) – прямые, проходящие через середины противоположных рёбер(таких 6).
Слайд 4
Плоскости симметрии в кубе - плоскости, проходящие через любые две оси симметрии. Плоскостей симметрии у куба 9. Проходят они либо через противоположные ребра (таковых плоскостей 6), либо через середины противоположных ребер (таких - 3). Центр симметрии куба - точка пересечения его диагоналей. Через центр симметрии проходят 9 осей симметрии.
Слайд 5
Симметрия в параллелепипеде У прямоугольного параллелепипеда, как у всякого параллелепипеда, центр симметрии — точка пересечения его диагоналей, плоскости симметрии ( таких 3), проходящие через центр симметрии параллельно граням. На рисунке показана одна из таких плоскостей. Она проходит через середины четырех параллельных ребер параллелепипеда. Концы ребер являются симметричными точкам.
Слайд 6
Симметрия в призме 1. Центр симметрии при четном числе сторон основания — точка пересечения диагоналей правильной призмы
Слайд 7
2. Плоскости симметрии: плоскость, проходящая через середины боковых ребер; плоскости, проходящие через противолежащие ребра, при четном числе сторон основания
Слайд 8
3. Оси симметрии: при четном числе сторон основания ось симметрии, проходящая через центры оснований, оси симметрии, проходящие через точки пересечения диагоналей противолежащих боковых граней
Слайд 9
Симметрия в пирамиде Симметрия правильной пирамиды 1. Плоскости симметрии: при четном числе сторон основания плоскости, проходящие через противолежащие боковые ребра; плоскости, проходящие через медианы, проведенные к основанию противолежащих боковых граней (рис. 1). 2. Ось симметрии: при четном числе сторон основания — ось симметрии, проходящая через вершину правильной пирамиды и центр основания (рис. 2).
Читайте также: