Сформулируйте теорему о сумме углов четырехугольника кратко

Обновлено: 05.07.2024

Определение 1. Четырехугольником называется фигура, состоящая из четырех точек (вершины), никакие три из которых не лежат на одной прямой, и четырех последовательно соединяющих их непересекающихся отрезков (стороны).
Определение 2. Соседними называют вершины, которые являются концами одной стороны.
Определение 3. Вершины, не являющиеся соседними, называют противолежащими.
Определение 4. Отрезки, соединяющие противоположные вершины четырехугольника, называются его диагоналями.
Теорема 1. Сумма углов четырехугольника равна 360 о .
Действительно, поделив четырехугольник диагональю на два треугольника, получаем, что сумма его углов равна сумме углов этих двух треугольников. Зная, что сумма углов треугольника равна 180 о , получаем искомое: 2 * 180 о =360 о
Определение d1. Описанный четырёхугольник - это четырёхугольник, все стороны которого касаются некоторой окружности. Напомним, что понятие стороны, касающейся окружности: окружность считается касающейся данной стороны, если она касается прямой, содержащей эту сторону, и точка касания лежит на этой стороне.
Определение d2. Вписанный четырехугольник - это четырёхугольник, все вершины которого принадлежат некоторой окружности.
Теорема 2. У любого четырехугольника, вписанного в окружность, суммы пар противоположных углов равны 180 о .
Углы А и С оба опираются на дугу BD только с разных сторон, то есть охватывают всю окружность, а сама окружность - это дуга величиной в 360 о , но мы знаем теоремму, которая твердит, что величина вписанного угла равна половине угловой величины дуги, на которую он опирается, поэтому можем утвердить, что сумма этих углов (А и С в частности) равна 180 о . Тем же способом можно жоказать эту теорему и для другой пары углов.
Теорема 3. Если в четырехугольник можно вписать окружность, то суммы длин его противоположных сторон равны.
Для доказательства этой теоремы воспользуемся теоремой из темы круг и окружность, которая гласит: Отрезки касательных, проведенных из одной точки к окружности, равны, т.е. ВК=ВР, СР=СН, DH=DT и АТ=АК. Суммируем стороны АВ и CD: AB+CD=(AK+KB)+(DH+HC)=AT+BP+DT+CP=(AT+TD)+(BP+PC)=AD+BC, ч.т.д.

Для теорем 2 и 3 существуют обратные. Запишем их соответственно:

Теорема 4. Около четырехугольника можно описать окружность тогда и только тогда, когда сумма противоположных углов равны 180 градусам
Теорема 5. В четырехугольник можно вписать окружность тогда и только тогда, когда суммы длин противоположных сторон равны.

Доказательство: Пусть ABCD - данный четырехугольник, и него AB + CD = AD + BC. Проведем биссектрисы его углов A и D. Эти биссектрисы непараллельны, а значит, пересекаются в некоторой точке O. Опустим из точки O на стороны AB, AD и CD перпендикуляры OK, OL и OM. Тогда OK=OL, и OL=OM, а значит, окружность с центром в точке O и радиусом OK касается сторон AB, AD и CD данного четырёхугольника. Проведём из точки B касательную к этой окружности. Пусть эта касательная пересекает прямую CD в точке P. Тогда ABPD - описанный четырёхугольник. Следовательно, по свойству описанного четырёхугольника, AB + DP = AD + BP. Также, по условию, AB+ CD = AD + BC. Следовательно, BP + PC = BC, а значит, по неравенству треугольника, точка P лежит на отрезке BC. Следовательно, прямые BP и BC совпадают, а значит, прямая BC касается окружности с центром в точке O, то есть ABCD - описанный четырёхугольник по определению. Теорема доказана.
Теорема 6. Площадь четырехугольника равна половине произведения его диагоналей и синуса угла между ними.

Доказательство: Пусть ABCD - данный четырёхугольник. Пусть также O - точка пересечения диагоналей. Тогда
S_ABCD = S_ABO + S_BCO +S_CDO + S_DAO =
= 1/2(AO·BO·sin ∠ AOB + BO·CO·sin ∠ BOC +
+ CO·DO·sin ∠ COD + DO·AO·sin ∠ AOD) =
= 1/2·sin ∠ BOC·(AO + CO)·(BO + DO) =
= 1/2·sin ∠ BOC·AC·BD.
Теорема доказана.
Теорема d1. (Вариньона) Четырёхугольник с вершинами в серединах сторон любого четырёхугольника есть параллелограмм, причём площадь этого параллелограмма равна половине площади исходного четырёхугольника.

Доказательство: Пусть ABCD - данный четырёхугольник, а K, L, M и N - середины его сторон. Тогда KL - средняя линия треугольника ABC, а значит, KL параллельно AC. Также LM параллельно BD, MN параллельно AC, а NK параллельно BD. Следовательно, KL параллельно MN, LM параллельно KN. Значит, KLMN - параллелограмм. Площадь этого параллелограмма - KL·KN·sin ∠ NKL =
1/2·AC·BD·sin ∠ DOC = 1/2S_ABCD.
Теорема доказана.

Четырехугольник — фигура, состоящая из четырех точек и четырех отрезков,последовательно их соединяющих; причем ни одна из трех данных точек не лежит на одной прямой, а отрезки, соединяющие их, не пересекаются.

Соседние вершины — вершины четырехугольника, являющиеся концами одной из его сторон.
Противолежащие вершины — несоседние вершины.
Соседние стороны — стороны выходящие из одной вершины. Противолежащие стороны — несоседние стороны.
Диагональ четырехугольника — отрезок, соединяющий противолежащие вершины четырехугольника.
Периметр четырехугольника — сумма длин всех сторон.
Выпуклый четырехугoльник — четырехугольник, лежащий в одной полуплоскости относительно прямой,содержащей его сторону.
Внешний угол четырехугольника — угол,смежный с углом четырехугольника.

Свойства углов и сторон четырехугольника

Свойства углов
1. Сумма углов четырехугольника равна 360°.
2. Сумма внешних углов четырехугольника, взятых по одному при каждой вершине, равна 360°.

Свойства сторон
1. Каждая сторона четырехугольника меньше суммы всех его других сторон.
2. Сумма диагоналей меньше его периметра.

Виды четырехугольников

Конспекты по четырехугольникам:

Читайте также: