Сформулируйте и докажите теорему выражающую второй признак равенства треугольников кратко

Обновлено: 04.07.2024

Поскольку ∠A=∠A₁, сторона A₁С₁ при этом наложится на луч AC.

Так как ∠B=∠B₁, сторона B₁C₁ наложится на сторону BC.

Точка С₁ принадлежит как стороне A₁С₁, так и стороне B₁C₁, поэтому С₁ лежит и на луче AC, и на луче CB.

Лучи AC и CB пересекаются в точке C. Следовательно, точка С₁ совместится с точкой C.

Значит, сторона A₁С₁ совместится со стороной AC, а сторона B₁C₁ — со стороной BC.

Таким образом, при наложении треугольники ABC и A₁B₁C₁ полностью совместятся.

Теорема:
Если сторона и два прилежащих к ней угла одного треугольника соответственно равны стороне и двум прилежащим к ней углам другого треугольника, то такие треугольники равны.
Доказательство:
Рассмотрим треугольники АВС и А1В1С1, у которых АВ=А1В1, угол А= углу А1, угол В=углу В1. Докажем, что треугольник АВС=треугольнику А1В1С1.

Наложим треугольник АВС на треугольник А1В1С1, так, чтобы вершина А совместилась с вершиноу А1, сторона АВ совместилась с равной ей стороной А1В1, а вершины С и С1 оказались по одну сторону от прямой А1В1.
Так как угол А= углу А1 и угол В=углу В1, то сторона АС наложится на луч А1С1, а сторона ВС- на луч В1С1. Поэтому вершина С - общая точка сторон АС и ВС - окажется лежащей как на луче А1С1, так и на луче В1С1 и, следовательно, совместятся с общей точкой этих лучей - вершиной С. Значит совместятся стороны АС и А1С1, АС и В1С1.
Итак, треугольник АВС и А1В1С1 полностью совместятся, поэтому они равны. Теорема доказана.

Наложим треугольник АВС на треугольник А1В1С1, так, чтобы вершина А совместилась с вершиноу А1, сторона АВ совместилась с равной ей стороной А1В1, а вершины С и С1 оказались по одну сторону от прямой А1В1.
Так как угол А= углу А1 и угол В=углу В1, то сторона АС наложится на луч А1С1, а сторона ВС- на луч В1С1. Поэтому вершина С - общая точка сторон АС и ВС - окажется лежащей как на луче А1С1, так и на луче В1С1 и, следовательно, совместятся с общей точкой этих лучей - вершиной С. Значит совместятся стороны АС и А1С1, АС и В1С1.
Итак, треугольник АВС и А1В1С1 полностью совместятся, поэтому они равны. Теорема доказана.

Наложим треугольник АВС на треугольник А1В1С1, так, чтобы вершина А совместилась с вершиной А1, сторона АВ совместилась с равной ей стороной А1В1, а вершины С и С1 оказались по одну сторону от прямой А1В1.
Так как угол А= углу А1 и угол В=углу В1, то сторона АС наложится на луч А1С1, а сторона ВС- на луч В1С1. Поэтому вершина С - общая точка сторон АС и ВС - окажется лежащей как на луче А1С1, так и на луче В1С1 и, следовательно, совместятся с общей точкой этих лучей - вершиной С. Значит совместятся стороны АС и А1С1, АС и В1С1.
Итак, треугольник АВС и А1В1С1 полностью совместятся, поэтому они равны. Теорема доказана.

Если сторона и два прилежащих к ней угла одного треугольника соответственно равны стороне и двум прилежащим к ней углам другого треугольника, то такие треугольники равны.
Доказательство:
Рассмотрим треугольники АВС и А1В1С1, у которых АВ=А1В1, угол А= углу А1, угол В=углу В1. Докажем, что треугольник АВС=треугольнику А1В1С1.

Доказательство.
Пусть у треугольников ABC и A1B1C1 ∠ A = ∠ A1, ∠ B = ∠ B1, AB = A1B1.
Пусть A1B2C2 – треугольник, равный треугольнику ABC. Вершина B2 расположена на луче A1B1, а вершина С2 в той же полуплоскости относительно прямой A1B1, где лежит вершина С1. Так как A1B2 = A1B1, то вершина B2 совпадает с вершиной B1. Так как ∠ B1A1C2 = ∠ B1A1C1 и ∠ A1B1C2 = ∠ A1B1C1, то луч A1C2 совпадает с лучом A1C1, а луч B1C2 совпадает с лучом B1C1. Отсюда следует, что вершина С2 совпадает с вершиной С1. Треугольник A1B1C1 совпадает с треугольником A1B2C2, а значит, равен треугольнику ABC. Теорема доказана.

Если сторона и два прилежащих к ней угла одного треугольника соответственно равны стороне и двум прилежащим к ней углам другого треугольника, то такие треугольники равны. (ТЕОРЕМА)

Второй признак равенства треугольников.
Теорема.
Если сторона и прилежащие к ней углы одного треугольника равны соответственно стороне и прилежащим к ней углам другого треугольника, то такие треугольники равны.
Доказательство.
Пусть у треугольников ABC и A1B1C1 ∠ A = ∠ A1, ∠ B = ∠ B1, AB = A1B1.
Пусть A1B2C2 – треугольник, равный треугольнику ABC. Вершина B2 расположена на луче A1B1, а вершина С2 в той же полуплоскости относительно прямой A1B1, где лежит вершина С1. Так как A1B2 = A1B1, то вершина B2 совпадает с вершиной B1. Так как ∠ B1A1C2 = ∠ B1A1C1 и ∠ A1B1C2 = ∠ A1B1C1, то луч A1C2 совпадает с лучом A1C1, а луч B1C2 совпадает с лучом B1C1. Отсюда следует, что вершина С2 совпадает с вершиной С1. Треугольник A1B1C1 совпадает с треугольником A1B2C2, а значит, равен треугольнику ABC. Теорема доказана.

Теорема.
Если сторона и прилежащие к ней углы одного треугольника равны соответственно стороне и прилежащим к ней углам другого треугольника, то такие треугольники равны.

Доказательство.
Пусть у треугольников ABC и A₁B₁C₁ ∠ A = ∠ A₁, ∠ B = ∠ B₁, AB = A₁B₁.
Пусть A₁B₂C₂ – треугольник, равный треугольнику ABC. Вершина B₂ расположена на луче A₁B₁, а вершина С₂ в той же полуплоскости относительно прямой A₁B₁, где лежит вершина С₁. Так как A₁B₂ = A₁B₁, то вершина B₂ совпадает с вершиной B₁. Так как ∠ B₁A₁C₂ = ∠ B₁A₁C₁ и ∠ A₁B₁C₂ = ∠ A₁B₁C₁, то луч A₁C₂ совпадает с лучом A₁C₁, а луч B₁C₂ совпадает с лучом B₁C₁. Отсюда следует, что вершина С₂ совпадает с вершиной С₁. Треугольник A₁B₁C₁ совпадает с треугольником A₁B₂C₂, а значит, равен треугольнику ABC. Теорема доказана.

Второй признак равенства треугольников.

Если сторона и два прилежащих к ней угла одного треугольника соответственно равны стороне и двум прилежащим к ней углам другого треугольника, то такие треугольники равны.

Доказательство
Рассмотрим треугольники ABC и A₁B₁C₁, у которых
AB = A₁B₁, ∠A = ∠A₁, ∠B = ∠B₁.

Докажем, что △ABC = △A₁B₁C₁.

Наложим треугольник ABC на треугольник A₁B₁C₁ так, чтобы вершина A совместилась с вершиной A₁, сторона AB – с равной ей стороной A₁B₁, а вершины C и C₁ оказались по одну сторону от прямой A₁B₁.

Так как ∠A = ∠A₁ и ∠B = ∠B₁, то по сторона AC наложится на луч A₁C₁, а сторона BC – на луч B₁C₁.

Поэтому вершина C – общая точка сторон AC и BC – окажется как лежащей на луче A₁C₁, так и на луче B₁C₁ и, следовательно, совместиться с общей точкой этих лучей – вершиной C₁.

Значит, совместятся стороны AC и A₁C₁, BC и B₁C₁.

Итак треугольники ABC и A₁B₁C₁ полностью совместятся.

Следовательно, они равны.

Второй признак равенства треугольников - Теорема (признак равенства треугольников по стороне и прилежащим к ней углам). Если сторона и прилежащие к ней углы одного треугольника равны соответственно стороне и прилежащим к ней углам другого треугольника, то такие треугольники равны.

Доказательство. Пусть ABC и A₁B₁C₁ - два треугольника, у которых AB = A₁B₁, угол A = углу A₁ и угол B = углу B₁ (рис. 47).

Докажем, что треугольники равны.
Пусть A₁B₂C₂ - треугольник, равный треугольнику ABC, с вершиной B₂ на луче A₁B₁ и вершиной C₂ в той же полуплоскости относительно прямой A₁B₁, где лежит вершина C₁.
Так как A₁B2 = A₁B₁, то вершина B₂ совпадает с вершиной B₁. Так как угол B₁A₁C₂ = углу B₁A₁C₁ и угол A₁B₁C₂ = углу A₁B₁C₁, то луч A₁C₂ совпадает с лучом A₁C₁, а луч B₁C₂ совпадает с лучом B₁C₁. Отсюда следует, что вершина C₂ совпадает с вершиной C₁.
Итак, треугольник A₁B₁C₁ совпадает с треугольником A₁B₂C₂, а значит, равен треугольнику ABC. Теорема доказана.

ABC = A₁B₁C₁, так как AB = A₁B₁, A = A₁, B = B₁.

Доказательство:

Дано: ABC, A₁B₁C₁, AB = A₁B₁, A = A₁, B = B₁.

Доказать: ABC = A₁B₁C₁

Доказательство:

Рассмотрим ABC и A₁B₁C₁. Наложим их друг на друга так, чтобы совместились: вершины A и A₁ и равные стороны AB и A₁B₁. При этом вершины C и C₁ должны быть по одну сторону от прямой A₁B₁.

Поскольку A = A₁ и B = B₁, то сторона AC наложится на луч A₁C₁, а сторона BC - на луч B₁C₁. Поэтому общая точка сторон AC и BC, вершина C, окажется лежащей как на луче A₁C₁, так и на луче B₁C₁ и, следовательно, совместится с общей точкой этих лучей - вершиной C₁. Значит, совместятся стороны AC и A₁C₁, BC и B₁C₁.

Таким образом, ABC и A₁B₁C₁ полностью совместятся, поэтому они равны, что и требовалось доказать.

Читайте также: