Резонанс в электрическом колебательном контуре это кратко

Обновлено: 05.07.2024

Колебательный контур является типичным представителем резонансных колебательных систем, играющих важную роль в большинстве разделов физики — в механике это различного типа маятники и звуковые резонаторы (струны, мембраны, трубы, свистки, органы), в электродинамике — колебательные контуры, закрытые и открытые резонаторы с распределенными параметрами, в оптике — лазерные резонаторы, эталоны Фабри — Перо и т.д. Принципы описания всех колебательных систем настолько общи, что теория колебаний стала самостоятельным разделом физики. Поэтому изучение параметров, свойств и характеристик колебательного контура полезно рассматривать как общее введение в мир резонансных колебательных систем.

В теории колебаний выделяются два класса явлений — явления в линейных и нелинейных колебательных системах. Линейными называются такие системы, параметры которых не зависят от амплитуды колебаний. Например, для маятников это означает такие малые колебания, при которых упругость пружин и стержней не зависит от амплитуды колебания, а натяжение нити подвеса определяется только гравитационными силами. Для электрических колебательных контуров независимыми от амплитуды токов и напряжений должны оставаться такие величины, как индуктивность $L$, емкость $C$ и сопротивление $R$.

Резонансные системы имеют два важных свойства.

Свойство избирательно реагировать на внешние источники сигналов, выделяя только те из них, частоты которых совпадают с собственной частотой колебательной системы.

Свойство запасать энергию колебаний, возбужденных внешним источником, поддерживая колебания в течение определенного времени после выключения внешнего источника.

Колебательный контур характеризуется двумя основными параметрами: частотой собственных (резонансных) колебаний $\omega _ $ и добротностью $Q$, характеризующей отношение мощности энергии собственного колебания к мощности потерь за период.

Свободные колебания происходят в замкнутой цепи без вынуждающей силы (рис. 19,а). Согласно второму закону Кирхгофа для такой цепи можно написать: $$ R\cdot I+U_ =-L\cdot \frac. $$ Выражая $U_ $ через заряд $q$, получим уравнение

$$ R\cdot I+L\cdot \frac +\frac =0 \ \ \ \mbox < (СИ). >$$ Дифференцируя по времени и учитывая равенство $I=\frac $, получаем $$ L\frac I> > +R\frac +\frac =0 \ \ \ \mbox < (СИ). >$$ Разделив на $L$ и вводя обозначения $\delta =\frac $ и $\omega _^ =\frac $, получим общее уравнение для свободных колебаний линейной резонансной системы: $$ I''+2\delta \, I'+\omega _^ I=0, $$ где параметр $\delta $ называется затухание, а параметр $\omega _ $ — собственная частота, или частота свободных колебаний. Оно решается подстановкой $I=A\cdot e^ $, которая приводит к характеристическому уравнению $$ -\omega ^ +2i\omega \, \delta +\omega _^ =0, $$ с решением $$ \lambda \, _ =i\, \delta \pm \sqrt<\omega _^ -\delta ^ > . $$ Общее решение имеет две составляющие $$ I=A\cdot e^ +B\cdot e^ . $$ Константы $A$ и $B$ определяются начальными данными задачи, например, зарядом $q_ $ или напряжением на конденсаторе $U_ $. Характер начальных данных определяется конкретной физической системой.

Подставив найденные значения $A$ и $B$, получим общее решение для свободных колебаний в контуре $$ I=i\frac >^ -\delta ^ > > e^ \frac^ -\delta ^ > \, t> -e^<-i\sqrt<\omega _<0>^ -\delta ^ > \, t> > . $$

Если бы колебательный контур состоял только из идеальных (без потерь) реактивных элементов (индуктивности $L$ и емкости $C$), то переход энергии из электрической в магнитную и обратно совершался бы без потерь, а в контуре существовали бы незатухающие свободные колебания с собственной частотой $\omega _ =2\pi \, f=\sqrt>.$

Если затухание мало, т. е. $\delta \omega _ $, величина $\omega _^ -\delta ^ $ отрицательна, корень из нее мнимый. Такой случай называется апериодическим процессом. Общее решение, аналогичное, полученному ранее, будет иметь вид $$ I=-\frac > e^ \mbox\sqrt <(\delta ^-\omega _^ )> \, t. $$ График этой функции приведен на рис. 21. Критическим условием, при котором затухающие колебания переходят в апериодический процесс, является условие $\delta =\omega _ $. В этом случае решение общего уравнения имеет вид $$ I=-\frac <\omega L>(\omega t)e^ \, =-\frac t\, e^ . $$ Остается добавить, что аналогичные параметры могут быть введены для любой резонансной колебательной системы независимо от ее физической природы (механические, термодинамические, электромагнитные, оптические, аэро– и гидродинамические системы).

Вынужденные колебания

Колебательный контур, рассмотренный в предыдущем разделе, представлял собой замкнутую электрическую цепь, в которой совершаются свободные колебания.

Вынужденные колебания в последовательном контуре, резонанс напряжений

Закон Кирхгофа, позволяющий исследовать процессы в контуре (рис. 22,а) в зависимости от частоты, записывается в виде $$ U=U_ +U_ +U_ =IR+iI(\omega L-\frac <\omega C>)=I\cdot Z. $$ Контур представляет для генератора некоторое комплексное сопротивление $$ Z=R_L +i\cdot (\omega L-\frac <\omega C>), $$ $$ \left|Z\right| = \sqrt)^2>, \ \ \ \ \mbox\varphi =\frac<\omega L-\frac <\omega C>> $$ где $\left|Z\right|$ — модуль комплексного сопротивления; $R_$ — омическое сопротивление катушки индуктивности; $\varphi $ — сдвиг фазы между активным и реактивным сопротивлениями, равный сдвигу фазы между током $I$ в цепи и входным напряжением $U$.

Из последнего выражения видно, что сопротивление цепи будет минимально и равно активному сопротивлению $R_ $ на некоторой частоте $\omega _ $, определяемой условием $$ \omega _0 L=\frac <\omega _0 C>, \ \ \ \mbox < где >\ \ \ \omega _ =\frac> \ \ \ \mbox < (СИ).>$$ Таким образом, на резонансной частоте сопротивление контура минимально, чисто активно, а ток в цепи совпадает по фазе с входным напряжением (напряжением генератора). Фактически это и есть определение резонанса в последовательном колебательном контуре.

Для практических целей представляет интерес исследовать поведение напряжений на реактивных элементах контура в зависимости от частоты генератора и определить его добротность $Q$.

Поскольку фазы $U_ $ и $U_ $ независимо от частоты всегда сдвинуты относительно тока $I$ на $+$ и $-90^$ соответственно, то достаточно исследовать зависимость от частоты их модулей. Это можно сделать исходя из уравнений $$ U_ =IR, \ \ U_ =I\omega L, \ \ U_ =\frac<\omega C>, \ \ I=\frac . $$

Для примера раскроем уравнения для $I$ и $U_ $. Используя введенное для свободных колебаний понятие добротности $Q=\left(\omega _ RC\right)^$, получим следующее выражение для тока в последовательном контуре: $$ I=\frac +(\omega L-\frac <\omega C>)^ > > =\frac \frac <\sqrt<1+Q^(\frac<\omega > <\omega _> -\frac <\omega _> <\omega >)^ > > . $$ Тогда напряжение на индуктивности будет равно $$ U_ =\omega LI=U\frac <\omega _> > <\sqrt<1+Q^(\frac<\omega > <\omega _> -\frac <\omega _> <\omega >)^ > > . $$

Аналогичное уравнение можно получить для напряжения на $C$. При $\omega =\omega _ $ напряжения на $L$ и $C$ будут равны $U_ =U_ =Q\cdot U$, т.е. в $Q$ раз больше напряжения вынуждающей эдс.

На самом деле максимумы напряжения на элементах $L$ и $C$ несколько выше и смещены от резонансной частоты и выражаются следующими соотношениями: $$ \omega _ =\omega _ \sqrt C> > > =\omega _ \sqrt<2-\left(\frac<1> \right)^ > > , \ \ \ \omega _ =\frac<\omega _^ > <\omega _> . $$

При добротности контура $Q \ge 10$ сдвиг частот максимумов $U_ $ и $U_ $ относительно резонансной частоты $\omega _ $ не превышает 1% и экспериментально резонансную частоту и добротность можно определять по резонансной кривой любого из напряжений $U_ $ и $U_ $. Напряжение на реактивных элементах $U_ $ и $U_ $ при $\omega =\omega _ $ в $Q$ раз больше, чем входное напряжение $U$, поэтому резонанс в последовательном контуре называется резонансом напряжений.

Важно отметить, что для нашего анализа существенно, что само входное напряжение $U$ от частоты не зависит. В противном случае все параметры зависели бы не только от самого контура, но и от параметров источника сигнала. Как было показано в предыдущем параграфе, для этого выходное сопротивление генератора должно быть много меньше $R$.

Вынужденные колебания в параллельном контуре, резонанс токов

Схема подключения параллельного контура представлена на рис. 21,б. Из–за комплексного характера нагрузки ток генератора является комплексной величиной. Поэтому модуль тока $I$ может оказаться меньше не только суммы модулей токов индуктивной и емкостной ветвей контура, но и каждого из них в отдельности. Именно это и происходит при резонансе в параллельном контуре: токи в индуктивной и емкостной ветвях контура в $Q$ раз больше, чем ток, потребляемый от генератора тока. Поэтому резонанс в параллельном контуре называется резонансом токов.

Комплексное сопротивление параллельного контура равно $$ Z=\frac Z_ > +Z_ > = \frac <(R_+i\omega L)(i\omega C)^> +i(\omega L-(\omega C)^ )> \approx \frac +i(\omega L-(\omega C)^)> . $$

Мы пренебрегли величиной $R_ $ в числителе, поскольку она в $Q$ раз меньше индуктивного сопротивления, но этого нельзя делать в знаменателе, поскольку при резонансе величина в скобках стремится к нулю.

Условие резонанса для параллельного контура то же, что и для последовательного — равенство реактивных сопротивлений ветвей с $L$ и $C$: $$ \omega _ L=\frac <\omega _C>, \ \ \mbox < где >\ \ \omega _ =\frac > \ \ \mbox < (СИ). >$$ Таким образом, при резонансе сопротивление контура становится чисто активным и равным $$ R_ =\frac < C R_> =\frac > , $$ где — $\rho =\sqrt $ волновое сопротивление контура.

Добротность параллельного контура $$ Q=\frac <\omega _L> > =\frac \omega _ C> =\frac > =R_ \sqrt > . $$

Собственные параметры параллельного контура, т.е. резонансная частота $\omega _ $ и добротность $Q$ будут такими же, как и в последовательном контуре при тех же $C$, $L$ и $R_.$

В предыдущей статье рассматривалось существование собственных электромагнитных колебаний в идеальном колебательном контуре, когда его активное сопротивление принималось равным нулю.

Частота возникающих собственных колебаний определяется ёмкостью конденсатора и индуктивностью катушки:

Реальный колебательный контур обладает активным сопротивлением R, поэтому возникшие в нём колебания со временем затухают.

Скорость затухания колебаний определяется величиной активного сопротивления R контура. Чем оно больше, тем быстрее идёт процесс затухания колебаний.

Продолжительность существования свободных колебаний в контуре определяется его добротностью Q.

Под добротностью понимается отношение реактивного сопротивления колебательного контура ( емкостного или индуктивного ) к его активному сопротивлению.

На практике нужно, чтобы колебания в контуре были незатухающими. Этого можно добиться периодически добавляя в колебательный контур энергию , то есть колебания в контуре должны совершаться не за счёт первоначального запаса энергии заряженного конденсатора, как это происходит при свободных колебаниях, а под непрерывным действием источника переменной эдс высокой частоты (о таких источниках - генераторах высокой частоты- будет говориться в следующей статье), то есть колебания в контуре должны быть вынужденными .

Так как механические и электрические колебания имеют одинаковые закономерности, то сначала прочтите статью " Вынужденные колебания. Резонанс" о механических колебаниях, затем перейдите к электрическим колебаниям, которые сейчас будут рассматриваться.

Итак, для создания вынужденных электрических колебаний в колебательный контур включается источник переменной эдс высокой частоты.

Этот источник можно подключить в колебательный контур двояко : ввести его внутрь контура последовательно с катушкой и конденсатором или включить источник переменной эдс параллельно катушке и конденсатору:

Рассмотрим сначала первый способ получения вынужденных колебаний в колебательном контуре, затем второй.

Последовательное соединение катушки, конденсатора и источника переменной эдс. Резонанс напряжений

О последовательном соединении и о резонансе напряжений подробно говорилось в статье с таким же названием (посмотрите эту статью), посвящённой электрической цепи переменного промышленного тока частотой 50 Гц. Допускать резонанса в электротехнике нельзя, так как может быть нарушена изоляция конденсатора и катушки.

В радиотехнике такую же цепь называем колебательным контуром с включенным в него источником переменной эдс высокой частоты. В радиотехнике, в отличие от электротехники, резонанс необходим, поэтому здесь резонансу уделяется особое внимание.

Резонанс напряжений в колебательном контуре, проявляющийся в резком возрастании силы тока в контуре, наступает при равенстве частоты эдс источника и собственной частоты контура:

Резонанс устанавливается не сразу после подключения источника. Амплитуда колебаний силы тока нарастает до тех пор, пока энергия, выделяющаяся за период на активном сопротивлении контура не сравняется с энергией, поступающей в контур за период от источника..

Более чётко резонанс в колебательном контуре выражается при малом активном сопротивлении R контура.

Одновременно с ростом силы тока при резонансе напряжений резко возрастают напряжения на конденсаторе и катушке индуктивности. Эти напряжения при малом активном сопротивлении контура во много раз превышают эдс источника, поэтому резонанс и назвали резонансом напряжений.

В контуре совершается преобразование электрической энергии, запасённой в конденсаторе, в энергию магнитного поля, охватывающего катушку, и обратно.

Разряду конденсатора через катушку препятствует напряжение (эдс индукции), существующее на концах катушки. Напряжения, образующиеся на катушке и конденсаторе колебательного контура, всегда действуют навстречу друг другу.

При резонансе напряжений напряжения на катушке и конденсаторе равны, поэтому полностью компенсируют друг друга и не влияют на величину тока, создаваемого источником эдс. Величина этого тока определяется лишь величиной активного сопротивления контура, поэтому оказывается очень большой.

В близи резонанса напряжения на катушке и конденсаторе уже не равны друг другу и уже не будут компенсировать п олностью друг друга. Разность этих напряжений будет препятствовать протеканию тока от источника эдс, и ток в контуре будет меньше, чем при резонансе.

То, что при резонансе напряжения на конденсаторе и катушке гораздо больше эдс источника широко используется в радиотехнике. Например, используя резонанс напряжений во входных контурах приёмника, получают усиление слабого сигнала, воздействующего на антенну приёмника.

Практически явление резонанса напряжений можно получить двумя способами : путём изменения частоты внешнего источника, при постоянной собственной частоте колебательного контура, или путём изменения собственной частоты контура (изменяя его ёмкость или индуктивность или обе величины сразу) при неизменной частоте внешнего источника.

Но удобнее резонанс проследить первым способом, изменяя частоту внешней эдс при неизменной собственной частоте контура.

Подключив источник к колебательному контуру, плавно изменяют частоту колебаний источника, следя за током в контуре.

По мере приближения к резонансу, ток в контуре будет увеличиваться. В момент резонанса он достигает максимальной величины, а при дальнейшем увеличении частоты источника начинает уменьшаться.

На рисунке ниже представлены такие экспериментальные кривые, называемые р езонансными кривыми .

Чем выше добротность Q (чем меньше активное сопротивление R) контура, тем более острый вид имеет его резонансная кривая.

Сегодня нас интересует простейший колебательный контур, его принцип работы и применение.

За полезной информацией по другим темам переходите на наш телеграм-канал.

Колебания – процесс, повторяющийся во времени, характеризуется изменением параметров системы около точки равновесия.

Первое, что приходит на ум - это механические колебания математического или пружинного маятников. Но ведь колебания бывают и электромагнитными.

По определению колебательный контур (или LC-контур) – это электрическая цепь, в которой происходят свободные электромагнитные колебания.

Такой контур представляет собой электрическую цепь, состоящую из катушки индуктивностью L и конденсатора емкостью C. Соединены эти два элемента могут быть лишь двумя способами - последовательно и параллельно. Покажем на рисунке ниже изображение и схему простейшего колебательного контура.

Кстати! Для всех наших читателей сейчас действует скидка 10% на любой вид работы.

Принцип действия колебательного контура

Давайте рассмотрим пример, когда сначала мы заряжаем конденсатор и замыкаем цепь. После этого в цепи начинает течь синусоидальный электрический ток. Конденсатор разряжается через катушку. В катушке при протекании через нее тока возникает ЭДС самоиндукции, направленная в сторону, противоположную току конденсатора.

Разрядившись окончательно, конденсатор благодаря энергии ЭДС катушки, которая в этот момент будет максимальна, начнет заряжаться вновь, но только в обратной полярности.

Колебания, которые происходят в контуре – свободные затухающие колебания. То есть без дополнительной подачи энергии колебания в любом реальном колебательном контуре рано или поздно прекратятся, как и любые колебания в природе.

Это обусловлено тем, что контур состоит из реальных материалов (конденсатор, катушка, провода), обладающих таким свойством, как электрическое сопротивление, и потери энергии в реальном колебательном контуре неизбежны. В противном случае это нехитрое устройство могло бы стать вечным двигателем, существование которого, как известно, невозможно.

Еще одна важная характеристика LC-контура – добротность Q. Добротность определяет амплитуду резонанса и показывает, во сколько раз запасы энергии в контуре превышают потери энергии за один период колебаний. Чем выше добротность системы, тем медленнее будут затухать колебания.

Резонанс LC-контура

Электромагнитные колебания в LC-контуре происходят с определенной частотой, которая называется резонансной Подробнее про резонанс – в нашей отдельной статье. Частоту колебаний можно менять, варьируя такие параметры контура, как емкость конденсатора C, индуктивность катушки L, сопротивление резистора R (для LCR-контура).

Как рассчитать резонансную частоту колебательного контура? Очень просто! Приведем окончательную формулу:

Применение колебательного контура

Колебательный контур широко применяется на практике. На его основе строятся частотные фильтры, без него не обходится ни один радиоприемник или генератор сигналов определенной частоты.

Если вы не знаете, как подступиться к расчету LC-контура или на это совершенно нет времени, обратитесь в профессиональный студенческий сервис. Качественная и быстрая помощь в решении любых задач не заставит себя ждать!

Наличие сопротивления в цепи приводит к превращению энергии тока но внутреннюю энергию проводника (проводник нагревается). Поэтому резонанс в электрическом колебательном контype должен быть выражен отчетливо при малом активном сопротивлении R.

Если активное сопротивление мало, то собственная циклическая частота колебаний в контуре определяется формулой

Сила тока при вынужденных колебаниях должна достигать максимальных значений, когда частота переменного напряжения, приложенного к контуру, равна собственной частоте колебательного контура:

Резонансом в электрическом колебательном контуре называется явление резкого возрастания амплитуды вынужденных колебаний силы тока при совпадении частоты внегннего переменного напряжения с собственной частотой колебательного контура.

Амплитуда силы тока при резонансе. При резонансе в колебательном контуре создаются оптимальные условия для поступления энергии от внешнего источника в контур. Мощность в контуре максимальна в том случае, когда сила тока совпадает по фазе с напряжением.

Не сразу после включения внешнего переменного напряжения в цепи устанавливается резонансное значение силы тока. Амплитуда колебаний силы тока нарастает постепенно — до тех пор, пока энергия, выделяющаяся за период на резисторе, не сравняется с энергией, поступающей в контур за это же время:

Отсюда амплитуда установившихся колебаний силы тока при резонансе определяется уравнением

При R 0 резонансное значение силы тока неограниченно возрастает: (I_m)_рез . Наоборот, с увеличением R максимальное значение силы тока уменьшается, и при больших R говорить о резонансе уже не имеет смысла. Зависимость амплитуды силы тока от частоты при различных сопротивлениях (R₁

Читайте также: