Рекуррентная формула это кратко

Обновлено: 30.06.2024

РЕКУРРЕНТНАЯ ФОРМУЛА (от лат. recurrcns, род. падеж recurrentis - возвращающийся), формула приведения, формула, сводящая вычисление га-го члена к.-л. последовательности (чаще всего числовой) к вычислению нескольких предыдущих её членов. Обычно эти члены находятся в рассматриваемой последовательности "недалеко" от её n-го члена, число их от п не зависит, а n-й член выражается через них достаточно просто. Однако возможны Р. ф. и более сложной структуры. Общая проблематика рекуррентных вычислений является предметом теории рекурсивных функций.

Примеры. 1) Последовательность ф_n - т. н. чисел Фибоначчи - задаётся формулами:

Последняя из них является Р. ф.; она позволяет вычислить ф₂, ф₃ и дальнейшие члены этой последовательности.

Нетрудно показать, что для n>= 2 выполняется соотношение

Это - Р. ф., сводящая вычисление I_nк вычислению I_o или I₁ в зависимости от чётности п.

Р. ф. обычно даёт удобную вычислительную схему для нахождения членов последовательности друг за другом. Однако иногда, исходя из Р. ф., стремятся получить "явное" выражение для n-го члена последовательности, описываемой этой Р. ф. Так, в случае чисел Фибоначчи

Последняя из них является Р. ф.; она позволяет вычислить φ₂, φ₃ и дальнейшие члены этой последовательности.

Большая советская энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия . 1969—1978 .

Смотреть что такое "Рекуррентная формула" в других словарях:

Рекуррентная формула — формула вида , выражающая каждый член последовательности через p предыдущих членов. Общая проблематика вычислений с использованием рекуррентных формул является предметом теории рекурсивных функций. Содержание 1 Примеры … Википедия

РЕКУРРЕНТНАЯ ФОРМУЛА — (формула приведения) формула, связывающая значения p + 1 соседних членов uk, uk 1. uk p (k ? p + 1) некоторой последовательности (n = 1, 2. ):uk = f(k, uk 1, . uk p).Рекуррентная формула позволяет шаг за шагом определить любой член… … Большой Энциклопедический словарь

рекуррентная формула — — [Л.Г.Суменко. Англо русский словарь по информационным технологиям. М.: ГП ЦНИИС, 2003.] Тематики информационные технологии в целом EN recurrence formularecursion formula … Справочник технического переводчика

рекуррентная формула — (формула приведения), формула, связывающая значения р + 1 соседних членов uk, uk 1, . uk p (k≥р + 1) некоторой последовательности (n = 1, 2, . ): uk = f(k, uk 1, . uk p). Рекуррентная формула позволяет шаг за шагом определить любой… … Энциклопедический словарь

рекуррентная формула — rekurentinė formulė statusas T sritis fizika atitikmenys: angl. recurrence formula vok. Rekursionsformel, f rus. рекуррентная формула, f pranc. formule de récurrence, f … Fizikos terminų žodynas

Рекуррентная последовательность — Рекуррентная формула формула вида , , выражающая каждый член последовательности an ( ) через предыдущих членов. Общая проблематика рекуррентных вычислений является предметом теории рекурсивных функций … Википедия

РЕКУРРЕНТНАЯ ТОЧКА — д и н а м и ч е с к о й с и с т е м ы точка хдинамич. системы ft (или, в иных обозначениях, f(t,.), см. [2]), заданной на метрич. пространстве S, удовлетворяющая условию: для всякого e>0 найдется T>0 такое, что все точки траектории ftx… … Математическая энциклопедия

Математическая формула — Эта статья об обозначениях элементарной математики; Для более общего контекста см.: Математические обозначения. Математическая формула (от лат. formula уменьшительное от forma образ, вид) принятая в математике (а также… … Википедия

Линейная рекуррентная последовательность — Линейной рекуррентной последовательностью (линейной рекуррентой) называется всякая числовая последовательность , задаваемая линейным рекуррентным соотношением: при с заданными начальными членами , где n фиксированное натуральное число … Википедия

РЕКУРРЕНТНОЕ СООТНОШЕНИЕ — рекуррентная формула, соотношение вида к рое позволяет вычислять все члены последовательности а 1, а 2, а 3,. . ., если заданы ее первые рчленов. Примеры Р. с.: 1) геометрич. прогрессия, 2) an +1=an+d арифметич. прогрессия, 3) а n+ 2= = а n+1+ а… … Математическая энциклопедия

Запишем несколько первых чётных чисел и пронумеруем их:

Этот ряд бесконечен, но, глядя на таблицу, его легко задать формулой: \begin \mathrm> \end

Теперь, пользуясь формулой, для любого порядкового номера n мы сможем найти соответствующее чётное число.

Функцию натурального аргумента $\mathrm>$ называют числовой последовательностью .
Значения y₁, y₂, . y_n. называют членами последовательности .
В символе y_n число n называют индексом последовательности .

Для обозначения членов последовательности и их индексов можно использовать разные буквы: x₁, x₂, . x_m. ; a₁, a₂, . a_k. ; A₁, A₂, . A_s. и т.д.

Числовую последовательность как частный случай функции можно задавать аналитически (формулой), описанием (словесно), рекуррентно, графически и т.д.
Первые три способа используются чаще других.

Например:
Найти 1й, 3й и 4й члены последовательности, заданной формулой $\mathrm>$ $$ \mathrm< y_1=\frac=0,\ \ y_3=\frac=\frac12,\ \ y_4=\frac=\frac35 > $$

п.2. Задание последовательностей описанием

Кроме того, существуют такие последовательности, которые можно задать только описанием.

Например:
1. Последовательность простых чисел:

2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, …

2. Последовательность десятичных приближений числа $\mathrm>$ по недостатку:

1; 1,7; 1,73; 1,732; 1,7320; 1,73205; 1,7302050; 1,73020508,…

п.3. Рекуррентные формулы числовых последовательностей

Важнейшим классом числовых последовательностей, которые широко используются в алгоритмах вычислительной математики, являются рекуррентные отношения (от латинского слова recurrere – возвращаться).

Рекуррентной формулой называют правило, по которому можно найти n-й член последовательности, если известны значения её предыдущих членов.

Например:
Найти y₅, если y₁ = 1, y_n = 2y_n-1 + 1
Проводим последовательные вычисления:
y₂ = 2y₁ + 1 = 3, y₃ = 2y₂ + 1 = 7, y₄ = 2y₃ + 1 = 15, y₅ = 2y₄ + 1 = 31
Интересно, что, если присмотреться, эту последовательность можно также задать аналитически: y_n = 2 n – 1.

п.4. Свойства числовых последовательностей

Числовую последовательность называют возрастающей , если каждый её член, начиная со второго, больше предыдущего: y₁

Например:
Последовательность квадратов натуральных чисел y_n = n 2 возрастающая:

Числовую последовательность называют убывающей , если каждый её член, начиная со второго, меньше предыдущего: y₁ > y₂ > y₃ > . > y_n > .

Например:
Последовательность дробей с индексом в знаменателе $\mathrm$ – убывающая: $$ 1\gt\frac12\gt\frac13\gt. \gt\frac1n\gt. $$

Числовую последовательность называют ограниченной сверху , если существует такое число M, что для любого члена последовательности выполняется неравенство y_n ≤ M

Например:
Последовательность отрицательных дробей с индексом в знаменателе $\mathrm$ ограничена сверху числом M = 0: $$ -1\lt 0,\ \ -\frac12\lt 0,\ \ -\frac13\lt 0. \ \ -\frac1n\lt 0, . $$

Числовую последовательность называют ограниченной снизу , если существует такое число M, что для любого члена последовательности выполняется неравенство y_n ≥ M

Например:
Последовательность дробей с индексом в знаменателе $\mathrm$ ограничена снизу числом M = 0: $$ -1\gt 0,\ \ \frac12\gt 0,\ \ \frac13\gt 0. \ \ \frac1n\gt 0, . $$

Числовую последовательность называют ограниченной , если она ограничена сверху и снизу, т.е. существуют такие числа M и K, что для любого члена последовательности выполняется неравенство M ≤ y_n ≤ K или M ≥ y_n ≥ K

Например:
Последовательность дробей с индексом в знаменателе $\mathrm$ ограничена: $$ 1\gt \frac12\gt \frac13\gt . \gt \frac1n\gt . \gt 0 $$ Верхней границей является M = 1, нижней границей K = 0.

Числовую последовательность называют стационарной , если для любого члена последовательности выполняется равенство y_n = C где C - некоторое число.

п.5. Примеры

Пример 1. Найдите первые 4 члена последовательности, заданной формулой
a) $\mathrm>$

Пример 2. Найдите первые 4 члена последовательности, заданной рекуррентной формулой
a) y₁ = 3, y_n = 3y_n – 1

Пример 3*. Укажите какую-либо формулу для n-го члена числовой последовательности

а) 3, 5, 7, 9, .
Это – последовательность нечётных чисел, для которой:
y_n = 2n + 1

б) 5, -5, 5, -5.
Это – знакопеременная последовательность, для которой модуль всегда равен 5, а знак меняется. Изменение знака можно записать как степень (–1). Учитывая, что нечётные члены последовательности положительные, а чётные – отрицательные, получаем:
y_n = (–1) n+1 · 5

в) $\mathrm,\ \ \frac,\ \ \frac. >$
Это – последовательность дробей, у которых в знаменателе произведение текущего индекса n на следующий индекс (n + 1):
$\mathrm$

г) 2, 5, 10, 17, 26, 37, .
Заметим, что

5 - 2 = 3, 10 - 5 = 5, 17 - 10 = 7, 26 - 17 = 9, .

Каждый последующий член отличается от предыдущего на возрастающее нечётное число. Можем записать рекуррентную формулу:
y₁ = 2, y_n = y_n-1 + (2n –1)

и т.д.
Задайте эту последовательность 1) рекуррентной формулой; 2) аналитической формулой.

1) Запишем последовательность в явном виде, как это следует из чертежа: $$ \mathrm< y_1=1,\ \ y_2=\underbrace_+2=3,\ \ y_3=\underbrace_+3=6,\ \ y_4=\underbrace_+4=10 > $$ Отсюда получаем следующую рекуррентную формулу: y₁ = 1, y_n = y_n-1 + n

В этой статье мы расскажем, что такое рекуррентные формулы и как использовать их при интегрировании. Мы не будем перечислять все возможные варианты, а лишь сформулируем общий принцип их получения.

Рекуррентные формулы выражают n -ный член последовательности через предыдущие члены. Их можно вывести путем преобразования подынтегральной функции с помощью метода интегрирования по частям.

Допустим, мы вычисляем неопределенный интеграл с помощью рекуррентной формулы J n ( x ) = cos x · sin n - 1 ( x ) n + n - 1 n J n - 2 ( x ) .

Расчет будет выглядеть следующим образом:

J 5 ( x ) = ∫ sin 5 x d x = - cos x · sin 4 x 5 + 4 5 J 3 ( x ) = = - cos x · sin 4 x 5 + 4 5 ∫ sin 3 x d x = = - cos x · sin 4 x 5 + 4 5 - cos x · sin 2 x 3 + 2 3 ∫ sin x d x = = - cos x · sin 4 x 5 - 4 cos x · sin 2 x 15 - 8 15 cos x + C

Теперь рассмотрим, как именно была выведена формула J n ( x ) = ∫ sin n x d x = - cos x · sin n - 1 ( x ) n + n - 1 n J n - 2 ( x ) . Вспомним основные тригонометрические формулы и запишем:

J n ( x ) = ∫ sin n x d x = ∫ sin n - 2 x · sin 2 x d x = ∫ sin n - 2 x · ( 1 - cos 2 x ) d x = = ∫ sin n - 2 x d x - ∫ sin n - 2 x · cos 2 x d x = J n - 2 ( x ) - ∫ sin n - 2 x · cos 2 x d x

Получившийся в итоге интеграл можно взять, используя метод интегрирования по частям. Берем в качестве функции u ( x ) cos x , тогда d v x = sin n - 2 x · cos x d x .

d u x = - sin x d x , v ( x ) = ∫ sin n - 2 x · cos x d x = ∫ sin n - 2 x d ( sin x ) = sin n - 1 x n - 1

∫ sin n - 2 x · cos 2 x d x = u ( x ) v ( x ) - ∫ v ( x ) d ( u ( x ) ) = = sin n - 1 x · cos x n - 1 + 1 n - 1 ∫ sin n x d x = sin n - 1 x · cos x n - 1 + 1 n - 1 J n ( x )

Теперь вернемся к тому интегралу, что был у нас в начале:

J n ( x ) = ∫ sin n x d x = J n - 2 ( x ) - ∫ sin n - 2 x · cos 2 x d x = = J n - 2 ( x ) - sin n - 1 x · cos x n - 1 + 1 n - 1 J n ( x ) = = J n - 2 ( x ) - sin n - 1 x · cos x n - 1 - 1 n - 1 J n ( x )

Таким образом, мы получим следующее:

J n ( x ) = J n - 2 ( x ) - sin n - 1 x · cos x n - 1 - 1 n - 1 J n ( x ) ⇒ ⇒ 1 + 1 n - 1 J n ( x ) = J n - 2 ( x ) - sin n - 1 x · cos x n - 1 ⇒ J n ( x ) = - cos x · sin n - 1 ( x ) n + n - 1 n J n - 2 ( x )

Это и есть то, что нам нужно было доказать.

Другие рекуррентные формулы могут быть выведены точно таким же образом.

Чтобы найти интеграл вида J n ( x ) = ∫ sin n x d x , нужно использовать формулу J n ( x ) = - cos x · sin n - 1 ( x ) n + n - 1 n J n - 2 ( x ) , где n является натуральным числом.
Если нам надо вычислить интеграл вида J n ( x ) = ∫ d x sin n ( x ) , то для этого нам пригодится формула J n ( x ) = cos x ( n - 1 ) · sin n - 1 x + n - 2 n - 1 J n - 2 ( x ) .
Для вычисления интеграла K n ( x ) = ∫ cos n ( x ) d x применяется рекуррентная формула K n ( x ) = sin x · cos n - 1 ( x ) n + n - 1 n K n - 2 ( x ) .
Чтобы найти интеграл вида K n ( x ) = sin x · cos n - 1 ( x ) n + n - 1 n K n - 2 ( x ) , берем формулу K n ( x ) = sin x ( n - 1 ) · cos n - 1 x + n - 2 n - 1 K n - 2 ( x ) .

Вычислите неопределенный интеграл ∫ cos - 3 x d x .

Решение

Нам потребуется рекуррентная формула, указанная в пункте 4 . Значение n при этом будет равно трем.

Из таблицы первообразных мы знаем, что ∫ cos - 1 x d x = ln 1 + sin x cos x + C 1 , следовательно,

∫ cos - 3 x d x = sin x 2 cos 2 x + 1 2 ∫ cos - 1 x d x = = sin x 2 cos 2 x + 1 2 ln 1 + sin x cos x + C

Добавим к нашему списку формул еще одну. Она пригодится в том случае, если нужно выполнить интегрирование простейших дробей четвертого типа.

J n = ∫ d x x 2 + p x + q n = = 2 x + p ( n - 1 ) ( 4 q - p 2 ) ( x 2 + p x + q ) n - 1 + 2 n - 3 n - 1 · 2 4 q - p 2 · J n - 1

Она выводится путем преобразования подынтегральной функции с дальнейшим интегрированием по частям.

∫ d x x 2 + p x + q n = ∫ d x x + p 2 2 + 4 q - p 2 4 n = z = x + p 2 = = ∫ d z z 2 + 4 q - p 2 4 n = 4 4 q - p 2 ∫ z 2 + 4 q - p 2 4 - z 2 d z z 2 + 4 q - p 2 4 n = = 4 4 q - p 2 ∫ d z z 2 + 4 q - p 2 4 n - 1 - 4 4 q - p 2 ∫ z 2 d z z 2 + 4 q - p 2 4 n - 1

Получившийся в итоге интеграл мы берем по частям.

Ответы: d v ( z ) = z d z z 2 + 4 q - p 2 4 n - 1

Найдите множество первообразных функции 1 ( x 2 + 3 x + 8 ) 3 .

Решение

Из условия мы знаем, что q = 8 , p = 3 , а n = 3 . Для вычисления берем рекуррентную формулу:

∫ d x ( x 2 + 3 x + 8 ) 3 = = 2 x + 3 ( 3 - 1 ) ( 4 · 8 - 3 2 ) x 2 + 3 x + 8 3 - 1 + 2 · 3 - 3 3 - 1 · 2 4 · 8 - 3 2 · ∫ d x ( x 2 + 3 x + 8 ) 2 = = 2 x + 3 46 ( x 2 + 3 x + 8 ) 2 + 3 23 · ∫ d x ( x 2 + 3 x + 8 ) 2 = = п р и м е н я е м ф о р м у л у в н о в ь д л я n = 2 = = 2 x + 3 46 ( x 2 + 3 x + 8 ) 2 + + 3 23 · 2 x + 3 ( 2 - 1 ) ( 4 · 8 - 3 2 ) x 2 + 3 x + 8 2 - 1 + 2 · 2 - 3 2 - 1 · 2 4 · 8 - 3 2 · ∫ d x x 2 + 3 x + 8 = = 2 x + 3 46 ( x 2 + 3 x + 8 ) 2 + 3 529 · 2 x + 3 x 2 + 3 x + 8 + 6 529 · ∫ d x x 2 + 3 x + 8 = = в ы д е л я е м п о л н ы й к в а д р а т в з н а м е н а т е л е = = 2 x + 3 46 ( x 2 + 3 x + 8 ) 2 + 3 529 · 2 x + 3 x 2 + 3 x + 8 + 6 529 · ∫ d x x + 3 2 2 + 23 4 = = 2 x + 3 46 ( x 2 + 3 x + 8 ) 2 + 3 529 · 2 x + 3 x 2 + 3 x + 8 + 6 529 · 2 23 · a r c t g 2 x + 3 23 + C = = 2 x + 3 46 ( x 2 + 3 x + 8 ) 2 + 3 529 · 2 x + 3 x 2 + 3 x + 8 + 12 529 23 · a r c t g 2 x + 3 23 + C

Ответ: ∫ d x ( x 2 + 3 x + 8 ) 3 = 2 x + 3 46 ( x 2 + 3 x + 8 ) 2 + 3 529 · 2 x + 3 x 2 + 3 x + 8 + 12 529 23 · a r c t g 2 x + 3 23 + C

Подводя итоги статьи, отметим, что применение рекуррентных формул делает интегрирование более быстрым и простым, однако в некоторых случаях можно обойтись без них, воспользовавшись основными методами интегрирования.

Это значит, что п+1 элемент находится за счёт п-го элемента. Потом найденное значение подставляется вместо п-го и процесс повторяется. Метод последовательных приближений.

Рекуррентная формула — формула, выражающая каждый член последовательности an () через предыдущих членов.
Общая проблематика рекуррентных вычислений является предметом теории рекурсивных функций

Рекуррентная формула (от лат. recurrens, родительный падеж recurrentis — возвращающийся) , формула приведения, формула, сводящая вычисление n-го члена какой-либо последовательности (чаще всего числовой) к вычислению нескольких предыдущих её членов. Обычно эти члены находятся в рассматриваемой последовательности "недалеко" от её n-го члена, число их от n не зависит, а n-й член выражается через них достаточно просто. Однако возможны Р. ф. и более сложной структуры. Общая проблематика рекуррентных вычислений является предметом теории рекурсивных функций.

Читайте также: